Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа
Для исследования взаимодействия колеблющейся пологой оболочки с трехмерным дозвуковым течением газа выводится система сингулярных интегральных уравнений относительно аэродинамических производных перепада давления. Давление и потенциал скоростей удовлетворяют уравнению Бернулли. Потенциал скоростей и...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99249 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа / К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99249 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Аврамов, К.В. 2016-04-25T13:57:29Z 2016-04-25T13:57:29Z 2015 Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа / К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99249 539.3 Для исследования взаимодействия колеблющейся пологой оболочки с трехмерным дозвуковым течением газа выводится система сингулярных интегральных уравнений относительно аэродинамических производных перепада давления. Давление и потенциал скоростей удовлетворяют уравнению Бернулли. Потенциал скоростей и функция давления при колебаниях оболочки представлена в виде линейной функции относительно обобщенных координат и обобщенных скоростей конструкции. Аэродинамические производные удовлетворяют уравнению Лапласа. Эта система уравнений решается с помощью метода дискретных вихрей. В результате его применения система сингулярных интегральных уравнений сводиться к системе линейных алгебраических уравнений большой размерности. Для описания колебаний пологой оболочки получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода заданных форм. Для выбора форм колебаний, которые учитываются в разложениях перемещений, предлагается сравнивать частоту автоколебаний с собственными частотами учитываемых форм колебаний. Формы колебаний выбираются так, чтобы полусумма максимальной и минимальной частоты была как можно ближе к частоте автоколебаний. Для исследования динамической неустойчивости оболочки рассчитываются характеристические показатели. Численно исследуется влияние кривизны пологой оболочки и частоты автоколебаний на параметры ее динамической неустойчивости. Для дослідження взаємодій пологої оболонки з тривимірною дозвуковою течією виводиться система сингулярних інтегральних рівнянь відносно аеродинамічних похідних перепаду тиску. Ця система рівнянь розв’язується за допомогою методу дискретних вихорів. В результаті його застосування ця система зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Для описання коливань пологої оболонки отримана система диференційних рівнянь за допомогою методу заданих форм. Для дослідження динамічної нестійкості оболонки розраховуються характеристичні показники. Чисельно досліджується вплив кривини пологої оболонки на параметри динамічної нестійкості. The system of singular integral equations with respect to aerodynamic derivatives is derived to analyze the interaction of the vibrating plate with subcritical gas stream. The pressure and velocity potential satisfy the Bernoulli equation. The velocity potential and pressure are presented in the form of linear functions with respect to the generalized coordinates and the generalized velocity. The aerodynamic derivatives meets the Laplas equation. Discrete vortex method is used to solve the system of singular integral equations. Using this method, the system of singular equations is transformed into the large dimension system of linear algebraic equations. The system of ordinary differential equations is derived by assumed- mode method to describe the vibrations of shallow shells. The frequencies of the self- sustained oscillations are compared with the eigenfrequencies to choose the eigenmodes, which are accounted in the expansions of the displacements. The characteristic exponents are calculated to analyze the shell dynamic instability. The influence of the shallow shell curvature and frequency of self-sustained oscillations on the parameters of dynamic instability is analyzed numerically. Работа выполнена при поддержке Целевой комплексной программы НАН Украины по научным космическим исследованиям на 2012–2016 гг. в рамках договора «Расчетная оценка вибраций элементов аэрокосмических систем при силовых и аэродинамических нагружениях». ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа Interaction of shallow shell with subcritical potential stream Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| spellingShingle |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа Аврамов, К.В. Динамика и прочность машин |
| title_short |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| title_full |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| title_fullStr |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| title_full_unstemmed |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| title_sort |
взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа |
| author |
Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Аврамов, К.В. |
| topic |
Динамика и прочность машин |
| topic_facet |
Динамика и прочность машин |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы машиностроения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Interaction of shallow shell with subcritical potential stream |
| description |
Для исследования взаимодействия колеблющейся пологой оболочки с трехмерным дозвуковым течением газа выводится система сингулярных интегральных уравнений относительно аэродинамических производных перепада давления. Давление и потенциал скоростей удовлетворяют уравнению Бернулли. Потенциал скоростей и функция давления при колебаниях оболочки представлена в виде линейной функции относительно обобщенных координат и обобщенных скоростей конструкции. Аэродинамические производные удовлетворяют уравнению Лапласа. Эта система уравнений решается с помощью метода дискретных вихрей. В результате его применения система сингулярных интегральных уравнений сводиться к системе линейных алгебраических уравнений большой размерности. Для описания колебаний пологой оболочки получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода заданных форм. Для выбора форм колебаний, которые учитываются в разложениях перемещений, предлагается сравнивать частоту автоколебаний с собственными частотами учитываемых форм колебаний. Формы колебаний выбираются так, чтобы полусумма максимальной и минимальной частоты была как можно ближе к частоте автоколебаний. Для исследования динамической неустойчивости оболочки рассчитываются характеристические показатели. Численно исследуется влияние кривизны пологой оболочки и частоты автоколебаний на параметры ее динамической неустойчивости.
Для дослідження взаємодій пологої оболонки з тривимірною дозвуковою течією виводиться система сингулярних інтегральних рівнянь відносно аеродинамічних похідних перепаду тиску. Ця система рівнянь розв’язується за допомогою методу дискретних вихорів. В результаті його застосування ця система зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Для описання коливань пологої оболонки отримана система диференційних рівнянь за допомогою методу заданих форм. Для дослідження динамічної нестійкості оболонки розраховуються характеристичні показники. Чисельно досліджується вплив кривини пологої оболонки на параметри динамічної нестійкості.
The system of singular integral equations with respect to aerodynamic derivatives is derived to analyze the interaction of the vibrating plate with subcritical gas stream. The pressure and velocity potential satisfy the Bernoulli equation. The velocity potential and pressure are presented in the form of linear functions with respect to the generalized coordinates and the generalized velocity. The aerodynamic derivatives meets the Laplas equation. Discrete vortex method is used to solve the system of singular integral equations. Using this method, the system of singular equations is transformed into the large dimension system of linear algebraic equations. The system of ordinary differential equations is derived by assumed- mode method to describe the vibrations of shallow shells. The frequencies of the self- sustained oscillations are compared with the eigenfrequencies to choose the eigenmodes, which are accounted in the expansions of the displacements. The characteristic exponents are calculated to analyze the shell dynamic instability. The influence of the shallow shell curvature and frequency of self-sustained oscillations on the parameters of dynamic instability is analyzed numerically.
|
| issn |
0131-2928 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99249 |
| citation_txt |
Взаимодействие пологих оболочек с дозвуковым, трехмерным потенциальным течением газа / К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 4/2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT avramovkv vzaimodeistviepologihoboločeksdozvukovymtrehmernympotencialʹnymtečeniemgaza AT avramovkv interactionofshallowshellwithsubcriticalpotentialstream |
| first_indexed |
2025-11-27T05:38:17Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:38:17Z |
| _version_ |
1850802473054240768 |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 59
К. В. Аврамов,
д-р техн. наук
Институт проблем
машиностроения
им. А. Н. Подгорного
НАН Украины,
г. Харьков,
e-mail: kvavr@kharkov.ua
Ключові слова: сингулярні
інтегральні рівняння, динамі-
чна нестійкість, положиста
оболонка, характеристичні
показники.
УДК 539.3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
С ДОЗВУКОВЫМ, ТРЕХМЕРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ТЕЧЕНИЕМ ГАЗА
Для дослідження взаємодій пологої оболонки з тривимірною дозвуковою течі-
єю виводиться система сингулярних інтегральних рівнянь відносно аеродина-
мічних похідних перепаду тиску. Ця система рівнянь розв’язується за допомо-
гою методу дискретних вихорів. В результаті його застосування ця система
зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Для
описання коливань пологої оболонки отримана система диференційних рівнянь
за допомогою методу заданих форм. Для дослідження динамічної нестійкості
оболонки розраховуються характеристичні показники. Чисельно досліджу-
ється вплив кривини пологої оболонки на параметри динамічної нестійкості.
Введение
Аэрокосмические системы и узлы энергетических машин содержат пологие оболочки, взаи-
модействующие с дозвуковым газовым течением. Основными элементами тормозных аэрокосмиче-
ских систем и конструкций оперения ракет являются тонкие пологие оболочки, взаимодействующие
с газовым потоком. Большинство исследований посвящено анализу взаимодействия тонких пластин с
газовыми потоками. Взаимодействие газовых течений с колеблющимися пологими оболочками прак-
тически не исследовано. Подробные обзоры исследований, посвященных взаимодействию тонко-
стенных конструкций с газовыми течениями, представлены в [1–3].
В этой статье выведена система гиперсингулярных интегральных уравнений, описывающая
взаимодействие пологой оболочки с потенциальным, несжимаемым, идеальным трехмерным газовым
потоком. Такая система уравнений чрезвычайно эффективна для решения задач аэроупругости. Ис-
следована динамическая неустойчивость пологих оболочек и влияние кривизны конструкции на об-
ласти динамической неустойчивости.
1. Постановка задачи
Рассмотрим обтекание дозвуковым газовым течением цилиндрической панели c постоянной
толщиной (рис. 1). Так как оболочка тонкая, то сдвигом и инерцией вращения можно пренебречь.
Вдоль криволинейной координаты θ длина панели a, а вдоль оси y ее длина b. Радиусы кривизн коор-
динатных линий θ и y предполагаются постоянными; они равны R1 и ∞. Перемещения точек средин-
ной поверхности оболочки вдоль координатных
осей θ, y, z обозначим через u(θ, y, t), v(θ, y, t),
w(θ, y, t). Перемещения и деформации предпо-
лагаются малыми; они удовлетворяют следую-
щим соотношениям [4]:
.
θ
2;;
θ
w
;
θ
γ;ε;
θ
ε
2
2
2
2
2
0,0,
1
0,
∂∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=
y
wk
y
wkk
v
y
u
y
v
R
wu
xyyx
xyyx
(1)
Напряжения и деформации удовлетво-
ряют закону Гука. Потенциальная энергия обо-
лочки принимает следующий вид [4]:
© К. В. Аврамов, 2015
b
a
Рис. 1. Эскиз механической системы
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 60
,θγ
2
ν1ενε2εε
)ν1(2
θ
2
ν1ν2
2
θγ
2
ν1νενεεε
0 0
2
0,0,0,
2
0,
2
0,2
0 0
222
0 0
0,0,0,0,0,
1
dydEhdydkkkkkD
dydkkkkk
R
DU
a b
xyyxyx
a b
xyyxyx
a b
xyxyxyyxyyxxs
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+++
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+++
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
++++=
(2)
где h – толщина оболочки; E, ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; D – цилиндрическая жест-
кость. Кинетическую энергию оболочки представим так: ( )∫ ∫ ++=
a b
sS dydwvuhT
0 0
222 θρ
2
1
&&& , где ρs –
плотность материала оболочки.
Для вывода уравнений движений оболочки с конечным числом степеней свободы применим
метод заданных форм [5]. Движения разложим по собственным формам линейных колебаний
,),θ(;),θ(;),θ(
~
~
)(
1~
~
~
)(
1~
~
~
)(
1~ ∑∑∑
+
=
+−
+
=
+−
+
=
+− ===
www NN
Ni
i
v
Ni
NN
Ni
i
u
Ni
NN
Ni
i
w
Ni yVqvyUquyWqw (3)
где Ui, Vi, Wi – собственные формы колебаний оболочки; ],,[ )()(
1
)( w
N
ww
w
qqq K= ; ],,[ )()(
1
)( u
N
uu
w
qqq K= ;
],,[ )()(
1
)( v
N
vv
w
qqq K= ; – вектора обобщенных координат конструкции. Предположим, что изгибные ко-
лебания оболочки близки к моногармоническим [6]
.,1),ωsin(δ)ωcos(γ)()(
wjj
w
j Njtttq K=+≈ (4)
Оболочка обтекается трехмерным газовым потоком. Течение предполагается потенциальным,
идеальным и несжимаемым. На значительном удалении от оболочки поток параллелен оси x и дви-
жется с постоянной скоростью U∞. Вблизи оболочки наблюдаются возмущения в потоке. Потенциал
скоростей ϕ(x, y, z) и давления p(x, y, z, t) удовлетворяют уравнениям Лапласа
∇2ϕ = 0; ∇2p = 0. (5)
Теперь рассмотрим граничные условия, которым должны удовлетворять решения уравнений
(5). На большом удалении от оболочки компоненты возмущенной скорости потока затухают до нуля:
.0gradlim
222
=ϕ
∞→++ zyx
Перепад давления −+ ==
−=Δ 00 ),,(),,(),,( zz zyxpzyxptyxp равен нулю на гра-
нице оболочки ∂S: Δp|∂S = 0. Теперь рассмотрим условия непротекания, которые выражают равенство
скоростей поверхностей оболочки и скоростей потока, соприкасающегося с оболочкой. Если оболоч-
ка находится в состоянии покоя, то ее срединная поверхность описывается функцией z = R(x, y). Если
оболочка совершает колебания, то уравнение срединной поверхности опишем функцией
F(x, y, z, t) = z – f(x, y, t) = 0. Функцию f(x, y, t) представим в следующем виде:
f(x, y, t) = R(x, y) + w(θ, y, t). Тогда условие непроникания запишем так: 0),grad( =
∂
∂
+
t
FVF
r
, где V
r
–
вектор скорости течения на поверхности оболочки. Это граничное условие можно представить как
.
),,( t
f
x
fU
z tyxfz ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
ϕ∂
∞
=
Используя свойства функции R(x, y), условие непроникания запишем в ви-
де:
t
w
x
wU
z yxRz ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
ϕ∂
∞
= ),(
. (6)
Итак, рассмотрены все граничные условия для решения уравнений (5).
2. Сингулярные интегральные уравнения
В этом разделе выводится система сингулярных интегральных уравнений, описывающая об-
текание пологих оболочек дозвуковым газовым потоком. Аналогичная система сингулярных инте-
гральных уравнений, описывающая обтекание пластинки газовым потоком, выведена в статье [7].
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 61
Давление и потенциал скоростей удовлетворяют уравнению Бернулли, которое запишем в следую-
щем виде: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
−= ∞∞ x
tzyxU
t
tzyxzyxp ),,,(),,,(ρ),,( , где ρ∞ – плотность газа. Потенциал скоро-
стей и функцию давления при колебаниях оболочки представим в виде линейной функции относи-
тельно обобщенных координат и обобщенных скоростей конструкции [7]
[ ] [ ].)(),,()(),,(;)(),,()(),,(
11
1
)1()0(
1
)1()0( ∑∑
==
+=ϕ+ϕ=ϕ
N
j
jjjj
N
j
jjjj tqzyxptqzyxpptqzyxtqzyx && (7)
Отметим, что функции ),,()0( zyxjϕ , ),,()1( zyxjϕ , ),,()0( zyxp j , ),,()1( zyxp j называются аэроди-
намическими производными; они удовлетворяют уравнению Лапласа [8]
1
)(2)(2 ,...,1;1,0;0;0 Njkp k
j
k
j ===∇=ϕ∇ . (8)
Решение уравнения (8) представим в виде потенциала двойного слоя так:
( ) ( ) ( )
,
ξξξ
1)ξ(
π4
1),,( ξ2
3
2
2
2
1ξ
)()( ∫ ∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂
∂
Δ=
R
k
j
k
j dR
zyxn
pzyxp (9)
где ξ = (ξ1, ξ2, ξ3); dRξ – элемент поверхности оболочки; nξ – нормаль к поверхности оболочки;
0
)(
0
)()( ),,(),,(
−=+=
−=Δ Rz
k
jRz
k
j
k
j zyxpzyxpp – аэродинамические производные перепада давления, дей-
ствующего на поверхность оболочки. Соотношения (7) введем в уравнения Бернулли. В результате
получим следующую систему уравнений в частных производных относительно аэродинамических
производных:
.;ω
)1(
)0(
)1()0(
)1(2
)0(
∞
∞
∞
∞ ρ
−=ϕ+
∂
ϕ∂
ρ
−=ϕ−
∂
ϕ∂ j
j
jj
j
j p
x
U
p
x
U (10)
Решение системы (10) представим так:
( ) ( )
( ) ( ) .ςςωsin),,ς(ωςωcos),,ς(
ρ
1),,(
;ςςωsin),,ς(ςωcos),,ς(ω
ωρ
1),,(
)1()0()0(
)0()1()1(
∫
∫
∞− ∞∞∞∞
∞− ∞∞∞∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=ϕ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=ϕ
x
jjj
x
jjj
dx
U
zypx
U
zyp
U
zyx
dx
U
zypx
U
zyp
U
zyx
(11)
Граничное условие непроникания относительно аэродинамических производных запишем в
виде
.;
),(
)1(
),(
)0(
j
yxRz
jj
yxRz
j W
zx
W
U
z
=
∂
ϕ∂
∂
∂
=
∂
ϕ∂
=
∞
=
(12)
Из (9), (11) и (12) получим следующую систему гиперсингулярных интегральных уравнений:
∫∫∫∫ Δ−Δ=
∂
∂
∞∞
R
Cj
R
Sj
j dRyxKpdRyxKp
x
yxW
U ;)ξ,,()ξ()ξ,,()ξ(ω
),(
ρπ4 ξ
)0(
ξ
)1(2 (13)
∫∫∫∫ Δ−Δ−=∞∞
S
Sj
S
Cjj dRyxKpdRyxKpyxWU ,)ξ,,()ξ()ξ,,()ξ(ω),(ωρπ4 ξ
)0(
ξ
)1( (14)
где
( )
η)η(ωcos
)ξ()ξ(ξ
1)ξ,,(
),(
2
3
2
2
2
1ξ
2
dx
Uzyzn
yxK
yxRz
x
C −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−η∂∂
∂
=
∞
=∞−
∫ ;
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 62
( )
η)η(ωsin
)ξ()ξ(ξ
1)ξ,,(
),(
2
3
2
2
2
1ξ
2
dx
Uzyzn
yxK
yxRz
x
S −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−η∂∂
∂
=
∞
=∞−
∫ .
Функции Kc, Ks удовлетворяют следующим соотношениям: c
s K
Ux
K
∞
−=
∂
∂ ω ;
( )
.ω
)ξ()ξ(ξ
1
),(
2
3
2
2
2
1
2
s
yxRz
c K
Uzyxznx
K
∞
=
ξ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂∂
∂
=
∂
∂ Продифференцируем уравнение (14) по
x и сложим с (13); получим следующее сингулярное интегральное уравнение:
( )∫∫ Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂∂
∂
−=
∂
∂
=
∞∞
R
j
yxRz
j dRp
zyxznx
yxW
U ξ
)1(
),(
2
3
2
2
2
1ξ
2
)ξ(
)ξ()ξ(ξ
1),(
ρπ8 . (15)
Уравнение (13) продифференцируем по x и сложим с (14); имеем следующее гиперсингуляр-
ное интегральное уравнение:
( )∫∫ Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂∂
∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
=
∞
∞∞
R
j
yxRz
j
j dRp
zyxzn
yxW
Ux
yxW
U .)ξ(
)ξ()ξ(ξ
1),(ω),(
ρπ4 ξ
)0(
),(
2
3
2
2
2
1ξ
2
2
2
2
2
2 (16)
Итак, получена система гиперсингулярных интегральных уравнений (15), (16) относительно
аэродинамических производных перепада давления, описывающая обтекание потенциальным пото-
ком тонкостенной пологой оболочки. Эту систему уравнений запишем относительно следующих без-
размерных переменных и параметров
a
Rr
b
ar
U
ap
U
app
U
ap
b
zz
b
yy
a
xx jjjj
1
21
)0(
2
)0()1(
2
)1( ;;ωχ;
ρ
;
ρ
ω;;; ===Δ=ΔΔ=Δ===
∞∞∞∞∞
. (17)
Тогда гиперсингулярные интегральные уравнения (15), (16) в безразмерных переменных и
параметрах примут вид
( )
( )∫∫
∫∫
Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂∂
∂
−=
∂
∂
Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−∂∂
∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
=
−−
=
−−
ξ
R
j
yxRz
j
R
j
yxRz
j
j
Rdp
zryrxznx
yxW
Rdp
zryrxzn
yxW
x
yxW
,)ξ(
)ξ()ξ(ξ
1),(
χπ8
;)ξ(
)ξ()ξ(ξ
1),(χ
),(
π4
ξ
)1(
),(
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1ξ
2
ξ
)0(
),(
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
(18)
где
z
r
y
r
xnnan ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ξξ
γ~cosβ~cosα~cos;1
11
ξ
– безразмерная производная по нормали к
срединной поверхности оболочки; γ~cos;β~cos;α~cos – направляющие косинусы нормали к средин-
ной поверхности оболочки; )ξ,ξ,ξ(ξ 321= ; ),( yxRz = – уравнение срединной поверхности оболочки
в безразмерных координатах; ξξ = dR
ab
Rd 1 – безразмерный бесконечно малый элемент срединной
поверхности оболочки.
Для исследования аэроупругих колебаний преобразуем систему сингулярных интегральных
уравнений (18) к уравнениям, не зависящим от χ. Для этого введем следующую замену переменных:
.~ˆχ;ˆχ )0()0(2)0()1()1(
jjjjj ppppp Δ+Δ=ΔΔ=Δ С ее помощью систему двух сингулярных уравнений сведем к
системе трех сингулярных уравнений. Эта система уравнений записывается относительно неизвест-
ных функций )0()0()1( ~,ˆ,ˆ jjj ppp ΔΔΔ .
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 63
3. Уравнения движения оболочки и их анализ
В этом разделе выводится система обыкновенных дифференциальных уравнений, описываю-
щая движение оболочки. Она записывается относительно обобщенных координат, участвующих в
разложениях (3). Для вывода этих уравнений используется метод заданных форм [5]. Составим вир-
туальную работу перепада давления, действующего на оболочку, и трения в материале конструкции:
,δβδδ ∫∫∫∫ ξξ ⋅−⋅Δ=
RR
dRwwdRwpA & где β – коэффициент внутреннего трения в материале оболочки.
Тогда вектор обобщенных сил Q(w), соответствующий обобщенным координатам q(w), запишем так:
)()()()( δγ wwww qΒqqQ && −+= , где w
w
Ni
Njij
,...,1
,...,1}γ{γ =
== ; w
w
Ni
Njij
,...,1
,...,1}δ{δ =
== ; B = diag(β, …, β). Разложения (3) вве-
дем в кинетическую и потенциальную энергии, которые представлены выше. В результате получим
.2;2
3
1,
3
1,
∑∑
==
==
ww N
ki
kiiks
N
ki
kiik qqcUqqaT && Здесь qi; i = 1, …, 3Nw – набор обобщенных координат, в кото-
ром присутствуют все координаты из векторов q(w), q(u), q(v). Теперь уравнения движения конструкции
запишем в виде уравнений Лагранжа. Тогда в результате получим
,0
;0)(
;
)()3,3()()2,3()()1,3()()3,3(
)()3,2()()2,2()1,2()()2,2(
)()()3,1()()2,1()()1,1()()1,1(
=+++
=+++
=+++
vuwu
vuu
wvuww
qCqCqCqA
qCqCwqCqA
QqCqCqCqA
&&
&&
&&
(19)
где A(i,i), C(i,j) – матрицы соответствующих размеров.
Собственные частоты колебаний оболочки с преобладанием движений u, v значительно выше
собственных частот с преобладанием движений w. Поэтому инерционными слагаемыми в направле-
нии u, v пренебрежем: 0)()( == vu qq &&&& . Тогда второе и третье матричное уравнение системы (19) можно
записать в следующем виде:
.; )()1,3()()3,3()()2,3()()1,2()()3,2()()2,2( wvuwvu qCqCqCqCqCqC −=+−=+ (20)
Решение систем линейных алгебраических уравнений (20) представим в следующем матрич-
ном виде: q(u) = αq(w); q(v) = βq(w). Эти матричные соотношения введем в первое матричное уравнение
системы (19). В результате получим динамическую систему относительно обобщенных координат
изгибных колебаний оболочки
,δγ )()()()()()1,1( wwwww qqqqKqA &&&& +=Β++ (21)
где K = C(1,1) + C(1,2)α + C(1,3)β. Приведем динамическую систему (21) к безразмерным переменным и
параметрам. Для этого воспользуемся безразмерными параметрами (17) и введем дополнительные
безразмерные переменные τ = ωt; ϑ = q(w)/h, где ϑ – вектор безразмерных поперечных колебаний обо-
лочки. Тогда динамическая система (21) примет следующий вид:
( ) ,~χχχχ~χ~χ 1
22
1
)1,1(2 ϑ′Β−ϑ′+ϑ+Π=ϑ+ϑ′′ ZHKA (22)
где ;
τd
dϑ
=ϑ′ ;ωχ 1
1
∞
=
U
a ω1 – первая собственная частота линейных колебаний оболочки в вакууме.
Теперь рассмотрим адекватность описания системой уравнений (22) критических параметров,
при которых возбуждаются автоколебания. Для этого собственные частоты форм колебаний сравни-
ваются с критической частотой автоколебаний ω*, которая получается из решения системы (22). В
разложении (3) будут выбираться только те собственные формы, которые возбуждаются при колеба-
ниях оболочки с частотой ω*. Предполагаем, что при потере устойчивости возбуждаются формы ко-
лебаний, частоты которых ближе к критической частоте автоколебаний. Формы колебаний в разло-
жении (3) выбираются так, чтобы их собственные частоты
wNNN +~~ ω,...,ω удовлетворяли следующему
условию:
wNNN +∗ << ~~ ωωω . Более того, формы колебаний желательно выбрать так, чтобы ω* было как
можно ближе к числу ( )
wNNN ++ ~~ ωω5,0 . Поэтому расчет динамической неустойчивости ведется итера-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 64
ционно. Сначала выбирается разложение (3). В результате расчета динамической неустойчивости оп-
ределяется частота ω*. Потом по частоте ω* подбираются новые собственные формы для разложения
(3), и расчет повторяется. Такой итерационный процесс должен повторяться, пока ω* не будет близка
к ( )
wNNN ++ ~~ ωω5,0 . В результате данного расчета определяются два параметра (критическая скорость
потока *
∞U и критическая частота автоколебаний и ω*).
Для оценки динамической неустойчивости рассчитываются характеристические показатели
тривиального состояния равновесия динамической системы (22). Подход к их расчету представлен в
[6].
4. Результаты численного анализа
Для численного решения системы гиперсингулярных интегральных уравнений (18) приме-
нялся модифицированный метод дискретных вихрей, который предложен в работе [7].
Рассмотрим динамику цилиндрической панели со следующими численными значениями па-
раметров:
E = 70,56⋅109 Па; ρs = 2,84⋅103 кг/м3; ν = 0,3; a = 0,27 м; b = 0,127 м; h = 0,39⋅10–3 м. (23)
Численно исследуем динамическую неустойчивость оболочки в газовом потоке. Найдем зна-
чения параметров ∗
∗
∞
∗∗ ω,,χ,χ 1 U , при которых оболочка теряет динамическую устойчивость и на-
блюдается бифуркация Хопфа. При *
11 χχ; >< ∗
∞∞ UU наблюдается устойчивое состояние равновесия,
а при *
11 χχ; <> ∗
∞∞ UU состояние равновесия неустойчиво. Итак, численные расчеты динамической
неустойчивости сводятся к нахождению величин *
1χ;∗
∞U .
Проводилось определение параметров начала динамической неустойчивости оболочек в по-
токе при значении параметров конструкции (23) и при ρ∞ = 1,43 кг/м3. Расчеты проводились для обо-
лочек со следующими значениями радиусов кривизны: 3, 4 и 5 м. Результаты расчета приведены в
табл. 1. В первом столбце указаны номера мод собственных колебаний оболочки, которые учитыва-
ются в разложении (3). Во втором – представлены радиусы кривизны конструкции; в третьем – число
степеней свободы динамической модели оболочки. В четвертом столбце показаны критические ско-
рости потока, а в пятом – частоты колебаний при начале динамической неустойчивости. В этих рас-
четах частота автоколебаний ω* лежит между собственными частотами мод, учитываемых в разложе-
нии (3). Проводилась проверка полученных результатов с помощью теории газового течения вокруг
колеблющейся пластинки Теодорсена [9]. Эта теория хорошо себя зарекомендовала в расчетах лета-
тельных аппаратов. Результаты таких расчетов представлены в шестом и седьмом столбцах таблицы.
Относительная разница критических скоростей движения газа, полученных двумя методами, рассчи-
тывалась так: ∗
∞∞
∗
∞ −=Δ UUU T )( .
Таблица 1. Значения критических параметров оболочек
Учитываемые моды R1, м Nw U∞
* ω* U∞
(T) ω(T)
10÷15 6 257,12 2571 – –
10÷16 7 252,3 2616 – –
9÷16 8 284,5 2528 313,7 2556,4
9÷17 9 284,5 2528,8 – –
10÷17
4
8 247,6 2567,7 – –
5÷13 9 275,6 2347,7 – –
5÷14 10 270,58 2329,99 – –
5÷15
5
11 259,6 2278,7 255,1 –
9÷17 9 214,6 2702,8 – –
9÷18 10 224,4 2742 – –
9÷19
3
11 224,35 2742 425,21 –
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 4/2 65
Теперь исследуем критические скорости потока, полученные
с помощью гиперсингулярных уравнений, U∞
* и по приближенной
теории Теодорсена. Анализируется зависимость кривизны конст-
рукции ε от относительной разницы критических скоростей потока
Δ. Из этой таблицы следует, что чем меньше кривизна, то есть чем
ближе оболочка к пластинки, тем ближе критические скорости, по-
лученные по двум теориям. Итак, теория Теодорсена более точна
при анализе пластин и пологих оболочек с малой кривизной. При
увеличении кривизны оболочки критические скорости, полученные
по теории Теодорсена, не точны.
Теперь рассмотрим зависимость критических скоростей потока от кривизны оболочки. В
статьях [6, 8] показано, что при увеличении жесткости пластинки критические скорости потока рас-
тут. Однако, как следует из табл. 2, для оболочек это утверждение не выполняется. При увеличении
кривизны жесткость оболочки растет. Величина критической скорости потока ведет себя нелинейно
при увеличении кривизны.
Заключение
Для выбора форм колебаний, которые учитываются в разложениях перемещений, предлагает-
ся сравнивать частоту автоколебаний с собственными частотами учитываемых форм колебаний. Фор-
мы колебаний выбираются так, чтобы полусумма максимальной и минимальной частоты была как
можно ближе к частоте автоколебаний.
В этой работе предложена система гипресингулярных интегральных уравнений относительно
аэродинамических производных перепада давлений. Эта система чрезвычайно удобна для описания
поля давлений, действующих на колеблющуюся пологую оболочку.
Численно исследованы критические скорости потоков и критические частоты автоколебаний
для пологих оболочек с разными радиусами кривизны. Результаты расчетов сравнивались с данными,
полученными по приближенной теории Теодорсена. Из результатов этого сравнения сделан вывод,
что чем меньше кривизна оболочки, то есть чем ближе оболочка к пластинке, тем ближе критические
скорости, полученные по двум теориям.
Работа выполнена при поддержке Целевой комплексной программы НАН Украины по науч-
ным космическим исследованиям на 2012–2016 гг. в рамках договора «Расчетная оценка вибраций
элементов аэрокосмических систем при силовых и аэродинамических нагружениях».
Литература
1. Friedmann, P. P. Renaissance of aeroelasticity and its future / P. P. Friedmann // J. Aircrafts. – 2002. – Vol. 36. –
P. 105–121.
2. Theoretical study of paper flutter / Y. Watanabe, K. Isogai, S. Suzuki, M. Sugihara // J. Fluids and Structures. –
2002. – Vol. 16. – P. 543–560.
3. Dowell, E. H. Modeling of fluid-structure interaction / E. H. Dowell, K. Hall // Annual Review Fluid Mechanics. –
2001. – Vol. 33. – P. 445–490.
4. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. – М.: Наука, 1972. – 432 с.
5. Аврамов, К. В. Нелинейная динамика упругих систем: В 2-х т. Т. 1. Модели, методы, явления /
К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин. – М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед.,
2010. – 704 с.
6. Avramov, K. V. Resonant many-mode periodic and chaotic self-sustained aeroelastic vibrations of cantilever plates
with geometrical nonlinearities in incompressible flow / K. V. Avramov, E. A. Strel’nikova, C. Pierre // Nonlinear
Dynamics. – 2012. – Vol. 70. – P. 1335–1354.
7. Аврамов, К. В. К аэроупругому взаимодействию пластин с трехмерным, безвихревым, идеальным газовым
потоком / К. В. Аврамов // Доп. НАН України. – 2013. – № 9. – C. 57–63.
8. Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым
течением / К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков // Прикл. гидромеханика. –
2014. – № 16. – С.3–9.
9. A modern course in aeroelasticity / E. H. Dowell, H. C. Curtiss, R. H. Scanlan, F. Sisto. – New York: Kluwer Aca-
demic Publishers, 1995. – 876 p.
Поступила в редакцию 15.04.15
Таблица 2. Данные при
разных кривизнах оболочек
ε Δ U∞
*
0,2 0,017 259,6
0,25 0,1 284,5
0,33 0,89 224,35
|