К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности
В данной работе для получения устойчивого решения нелинейной обратной граничной задачи теплопроводности применяется метод регуляризации А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомый тепловой поток на границе по временной координате аппроксимируем сплайнами Шёнбе...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99258 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности / Ю.М. Мацевитый, Н.А. Сафонов, В.В. Ганчин // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 28-36. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860108277384216576 |
|---|---|
| author | Мацевитый, Ю.М. Сафонов, Н.А. Ганчин, В.В. |
| author_facet | Мацевитый, Ю.М. Сафонов, Н.А. Ганчин, В.В. |
| citation_txt | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности / Ю.М. Мацевитый, Н.А. Сафонов, В.В. Ганчин // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 28-36. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | В данной работе для получения устойчивого решения нелинейной обратной граничной задачи теплопроводности применяется метод регуляризации А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомый тепловой поток на границе по временной координате аппроксимируем сплайнами Шёнберга первой степени. Для применения метода функций влияния к нелинейной задаче теплопроводности сводим её к последовательности линейных обратных граничных задач, используя итерационный процесс. Данный итерационный процесс заканчивается при достижении наперёд заданной точности для восстановленной температуры. В статье представлено обоснование использования функций влияния для аппроксимации решения линейной краевой задачи теплопроводности. В частности, показано, что функции влияния линейно независимы на временном интервале (0, ¥) при фиксированной пространственной переменной. Этот факт используется для идентификации температуры на границе или внутри области. Проведены многочисленные вычислительные эксперименты с использованием стабилизирующих функционалов нулевого и первого порядка, а также анализ влияния величины дисперсии случайной погрешности измерения на погрешность получаемого решения. В результате вычислительного эксперимента выяснилось, что для данного класса задач регуляризация первого порядка оказалась более эффективной, чем регуляризация нулевого порядка. Также результаты вычислительного эксперимента свидетельствуют, что при увеличении количества точек, в которых задана экспериментальная температура, точность идентификации возрастает
Для отримання стійкого розв’язку нелінійної оберненої граничної задачі теплопровідності застосовується метод регуляризації А. М. Тихонова з ефективним алгоритмом регуляризуючого пошуку параметра. Шуканий тепловий потік на границі по часовій координаті апроксимуємо сплайнами Шьонберга першого ступеня. Для застосування методу функцій впливу до нелінійної задачі теплопровідності приводимо її до послідовності лінійних обернених граничних задач. Проведені численні обчислювальні експерименти з використанням стабілізуючих функціоналів нульового та першого порядку, а також аналіз впливу величини дисперсії випадкової похибки вимірювання на отриманий розв’язок. У результаті обчислювального експерименту з'ясувалося, що для даного класу задач регуляризація першого порядку виявилася більш ефективною, ніж регуляризація нульового порядку.
In this paper, to obtain a stable solution of nonlinear inverse boundary problem of heat conduction the method of Tikhonov regularization with effectiveness-tive search algorithm regularizing parameter. Seeking the heat flux at the boundary of the time coordinate splines approximate Schoenberg first ste-interest. To apply the method of influence functions for the nonlinear heat conduction problem reduces it to a sequence of linear inverse boundary value problems using the diet-iteration process. This iterative process ends when the on-perёd specified accuracy for temperature recovery. The article presents a study on the use of the influence functions for approximating the solution of a linear edge-value problem of heat conduction. In particular it is shown that the influence functions are linearly independent in the time interval (0, ) at a fixed spatial variable. This fact is used to identify the temperature at the boundary or inside the area. Conducted numerous computational experiments using functional stabilizing zero and first order, and an analysis of the impact of the variance of the random error of measurement error in the obtained solution. The results of computational experiments revealed that for the class of first-order regularization was more effective than the regularization of the zero order. Also, the results of computational experiments show that by increasing the number of points where the specified Expo experimental temperature, increases the accuracy of the identification.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 28
1,2
Ю. М. Мацевитый, академик НАН
Украины
1
Н. А. Сафонов, канд. физ.-мат. наук
1
В. В. Ганчин
1
Институт проблем машиностроения
им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
г. Харьков,
e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua
2
Харьковский национальный
университет имени В. Н. Каразина
УДК 536.24
К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ
ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Для отримання стійкого розв’язку нелінійної оберненої грани-
чної задачі теплопровідності застосовується метод регуля-
ризації А. М. Тихонова з ефективним алгоритмом регуляризу-
ючого пошуку параметра. Шуканий тепловий потік на грани-
ці по часовій координаті апроксимуємо сплайнами Шьонберга
першого ступеня. Для застосування методу функцій впливу до
нелінійної задачі теплопровідності приводимо її до послідов-
ності лінійних обернених граничних задач. Проведені численні
обчислювальні експерименти з використанням стабілізуючих
функціоналів нульового та першого порядку, а також аналіз
впливу величини дисперсії випадкової похибки вимірювання на
отриманий розв’язок. У результаті обчислювального експе-
рименту з'ясувалося, що для даного класу задач регуляризація
першого порядку виявилася більш ефективною, ніж регуляри-
зація нульового порядку.
Ключові слова: обернена гранична задача
теплопровідності, метод зважених похибок у
формі Гальоркіна, тепловий потік, принцип
суперпозиції, метод регуляризації А. М. Тихо-
нова, функціонал, стабілізатор, параметр
регуляризації, ідентифікація, апроксимація,
сплайн Шьонберга першого ступеня.
Введение
В данной статье нелинейная обратная граничная задача теплопроводности рассматривается
как задача определения устойчивого решения в заданной области и в заданном промежутке времени
по данным измерений температур в одной или нескольких его внутренних точках. Разработанные ав-
торами алгоритмы позволяют получать устойчивые решения вне зависимости от внешних парамет-
ров, хотя на точность получаемого решения влияют многие факторы. Первым и основным фактором
из них является величина дисперсии случайной погрешности измерения температуры, вторым – дис-
кретность по времени измерений температуры и количество этих измерений. К другим факторам от-
носятся: погрешность в определении места расположения температурного датчика и физические раз-
меры самого датчика; погрешность в задании теплофизических свойств материалов; уровень заглуб-
ления температурного датчика от поверхности, на которой идентифицируется искомая функция,
и т. д.
Условия корректности для некоторого операторного уравнения A(u) = F, которое устанавли-
вает причинно-следственную связь между характеристиками исследуемой системы и ее состоянием,
было введено Ж. Адамаром в работах [1, 2]. В общих чертах корректность математической постанов-
ки заключалась в том, что решение операторного уравнения существует, оно единственное, а также
непрерывно зависит от правой части операторного уравнения, т. е. решение устойчиво.
В данной работе рассматривается граничная обратная задача теплопроводности (ОЗТ), кото-
рая может быть формализована следующим образом:
A[Q(t)] = T,
где Q – искомый тепловой поток на границе; T – переменная состояния процесса, которая имеет вид
T = T(t, l) и в большинстве случаев известна из эксперимента (исходные данные); t – время; A – опе-
ратор, который связывает искомый тепловой поток Q с исходными данными T. Такая задача, как и
любая ОЗТ ввиду нарушения причинно-следственной связи, является некорректно поставленной за-
дачей по Адамару. Это влечёт за собой, как правило, неустойчивость получаемого решения, т. е. ко-
гда при небольших изменениях исходных данных получаются сильно отличающиеся решения, кото-
рые могут неоднозначно характеризовать исследуемый физический процесс, как, например, нагрева-
ние тела в определенные моменты времени, в то время как на самом деле тело охлаждается.
Ю. М. Мацевитый Н. А. Сафонов, В. В. Ганчин, 2016
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 29
При решении такой некорректной задачи необходимо либо свести ее к условно-корректной,
либо оставить некорректной, но использовать один из методов регуляризации [3–7]. В данной статье
применяется метод регуляризации А. Н. Тихонова [7] с поиском регуляризирующего параметра.
Регуляризирующий алгоритм решения нелинейной обратной задачи теплопроводности
Рассмотрим следующую обратную граничную задачу для нелинейного уравнения теплопро-
водности:
0,0, )(λ)(ρ)(
tdx
x
T
T
xt
T
TTc (1)
с граничными условиями
,0,0,0)(λ
tx
x
T
T (2)
0,),()(λ
tdxtQ
x
T
T (3)
и начальным условием
T(0, x) = T0(x), 0 < x < d, (4)
где T(t, x) – температура; T0(x) – начальная температура; t – время; x – пространственная координата;
(T) – коэффициент теплопроводности; с – удельная теплоёмкость; – плотность. Необходимо опре-
делить тепловой поток Q(t). В обратной задаче теплопроводности (1)–(4) в одной точке термометри-
рования x = l, которая может располагаться как внутри области, так и на границе, в определённые
моменты времени
m
hmiiht e
i
e
i
e
i
,,,1,0 , , где – конечное время процесса, m + 1 – количество
точек термометрирования по временной координате, задана температура miT e
i ,,1,0 , с погреш-
ностью, которая характеризуется случайной величиной, распределённой по нормальному закону с
нулевым математическим ожиданием и дисперсией
2
[8]
miTltTR e
i
e
i ,1,0,)],([ . (5)
Для решения нелинейной обратной задачи (1)–(5) методом функций влияния [4] проведём её
линеаризацию следующим образом:
0,0, )(λ)(ρ)( 111
tdx
x
T
T
xt
T
TTc s
s
s
ss , (6)
,0,0,0)( 1
tx
x
T
T s
s (7)
0,),()(λ 1
tdxtQ
x
T
T s
s
s , (8)
dxxTxTs 0),(),0( 0 , (9)
miTltTR e
i
e
is ,,1,0,)],([ . (10)
Здесь и везде далее в статье индекс s – номер итерации.
Регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова построения аналитического решения линейной
обратной задачи (6)–(10) сводится к минимизации функционала [7]
][)],(),([
0
2
ss
e
s QdtltTltTJ
, (11)
где s – параметр регуляризации; [Qs] – стабилизирующий функционал; Ts(t, l), T
e
(t, l) – моделируе-
мая температура и температура из теплофизического эксперимента соответственно в точке термомет-
рирования в интервале времени (0, ).
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 30
Следуя принципу суперпозиции, представим функцию Ts(t, l) в виде суммы
),(),(),(
0
,, xtWqxtTxtT
tn
k
ksksss
, (12)
где qs,k, k = 0, 1, …, nt – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Тогда краевая задача
(6)–(9) распадается на несколько краевых: задачу по определению температурного поля ),( xtT s , воз-
буждаемого начальным значением T0(x) исходной задачи
0,0, )(λ)(ρ)( 111
tdx
x
T
T
xt
T
TTc s
s
s
ss , (13)
,0,0,0)( 1
tx
x
T
T s
s (14)
0,,0)( 1
tdx
x
T
T s
s , (15)
dxxTxTs 0),(),0( 0 (16)
и nt + 1 краевых задач для тепловых полей или функций влияния Ws,k(t, x) [4]
0,0, )(λ)(ρ)(
,
1
,
11
tdx
x
W
T
xt
W
TTc
ks
s
ks
ss , (17)
,0,0,0)(λ
,
1
tx
x
W
T
ks
s (18)
0,,)(
,
1
tdx
x
W
Tλ k
ks
s , (19)
dxxW ks 0,0),0(, , (20)
с учётом того, что
tn
k
kkss qQ
0
, , (21)
где k – сплайны Шёнберга первой степени, определённые на равномерной сетке
Nn
n
hniihtt t
t
tttiit , ,,1,0 ,: . (22)
Подставив в функционал (11) функции (12) и (21), получим
0
2
0
,
0
2
0
,, )()](),(),([ dttqdttTltWqltTJ
tt n
k
kkss
e
n
k
ksksss . (23)
Здесь стабилизирующий функционал представляет собой квадрат сплайн-аппроксимации теплового
потока на границе. Продифференцировав (23) по qs,j, j = 0, 1, … nt и приравняв производные к нулю,
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
,...3,2,1,,1,0,0)()(
),()(),(),(
0 0
,
0
,
0
,,
,
snjdtttq
dtltWtTltWqltT
q
J
tj
n
i
iiss
js
e
n
i
isiss
js
s
t
t
(24)
Окончательно система линейных алгебраических уравнений (24) примет следующий вид:
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 31
,,1,0,),( ),()()()(α),( ),(
0
,
00
,,
0
, tjss
e
jisjsis
n
i
is njdtltWltTtTdtttdtltWltWq
t
(25)
Введя обозначения
0
,
00
,, ),( ),()(,)()(,),(),( dtltWltTtTcdtttbdtltWltWa jss
es
jjiijjsis
s
ij , (26)
получим систему (25) в виде ,...3,2,1 ,,1,0 ,)(
0
,
snjcbaq t
s
j
n
i
ijs
s
ijis
t
или в матричной записи
(As + sB)Qs = Cs, где элементы матриц As, B и вектора Cs определены в (26). Поскольку в результате
теплофизического эксперимента температура e
iT , i = 0, 1, …, m задана в отдельные моменты време-
ни, интегралы s
jc , j = 0, 1, …, nt (26) могут быть вычислены приближённо. Для этого можно исполь-
зовать различные формулы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, Симп-
сона и др.). В случае использования формулы прямоугольников эти интегралы примут следующий
вид:
t
m
k
e
kjs
e
ks
e
k
s
j njtWtTTс ,1,0,)( )(
1
,
. (27)
На элементы матрицы As ограничение в виде количества точек измерения не распространяет-
ся, ибо получить численное решение краевых задач теплопроводности (17)–(20) и (13)–(16) можно в
любом количестве точек (моментов времени tk, k = 1, 2, …, M)
t
M
k
kjskis
s
ij njiltWltWa ,1,0,,),(),(
1
,,
. (28)
Для решения краевых задач (17)–(20) запишем производную по времени в виде разностного
отношения
t
WW
t
W l
is
l
is
l
is
,
1
,
1
, на сетке Nm
m
tmlttt t
t
tll
, ,1,,1,0 ,1 . Тогда получим
последовательность стационарных краевых задач вида
,0,
)(ρ)(
)(λσ1
)(ρ)(
)(λσ
,
11,
1
1
,
11
1
,
1
dxW
t
TTc
x
W
T
x
W
t
TTc
x
W
T
x
l
is
ss
l
is
s
l
is
ss
l
is
s
(29)
0,0)(λ
1
,
1
x
x
W
T
l
is
s , (30)
dx
x
W
T k
l
is
s
,)(λ
1
,
1 , (31)
где k = 0, 1, …, nt, – параметр метода, 0 < < 1.
Представим функцию 1
,
l
isW в виде линейной комбинации
n
p
p
l
pis
l
is CW
0
1
,,
1
, . (32)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 32
Здесь p, p = 0, 1, …, n – сплайны Шёнберга первой степени, определённые на пространственной ре-
гулярной сетке
Nn
n
d
hniihxx xxiix , ,,,1,0 ,: , l
pisC ,, , p = 0, 1, …, n, i = 0, 1, …, nt,
l = 1, 2, …, m – постоянные коэффициенты, подлежащие вычислению.
Используя метод взвешенных невязок в форме Галёркина [9] и интегрирование по частям,
представим краевую задачу (29)–(31) в виде следующей системы уравнений:
. ,...3,2,1 ,,1,0
,,0 ,ψ
)(ρ)(
ψ)σ1(ψ)(λ)σ1(
ψ
)(ρ)(
ψσψ)(λσ
0
,
11
0
,
1
0
1
,
111
0
1
,
1
snk
nqdxW
t
TTc
dx
x
W
T
dxW
t
TTc
dx
x
W
T
t
d
q
l
is
ss
dx
q
l
k
d
q
l
is
s
d
q
l
is
ss
dx
q
l
k
d
q
l
is
s
(33)
После подстановки (32) в (33) получим систему линейных алгебраических уравнений относи-
тельно неизвестных коэффициентов
. ,...3,2,1,,1,0,,1,0,ψ)σ1(ψ
)(ρ)(
ψ)(λ)σ1(ψσψ
)(ρ)(
ψψ)(λσ
0
'
,
11
0
',
1
1
0
'1
,
11
0
''
1
0
1
,,
snknqdxW
t
TTc
dx
x
W
TdxT
t
TTc
dxTC
t
dx
q
l
k
d
q
l
is
ss
d
q
l
is
s
dx
q
l
k
d
q
l
is
ss
d
qps
n
p
l
pis
Результаты решения этой системы с использованием выражений (27) и (28) позволяют вычис-
лить элементы вектора Cs и матрицы As. Что касается элементов матрицы B, то их можно определить
следующим образом.
На сетке (22) имеем
.
3
)(,
3
)(
,0,
3
2
)()(, ,
6
)()(
0
2
0
2
000
00
t
nnn
t
t
t
iiii
t
jiij
h
dttb
h
dttb
nji
h
dtttbji
h
dtttb
tt
;
Выше при построении стабилизатора [Qs] использовалась аппроксимирующая функция по-
тока (21). Приведём форму стабилизатора [Qs] с использованием ещё и производной по времени от
этой функции [3]
0
2
0
,
)(
][ dt
dt
td
qQ
tn
i
i
iss .
Тогда элементы матрицы B будут выглядеть следующим образом:
.
1
,
1
,0,
2
, ,
1
0
2
0
2
0
00
0
2
0
t
n
nn
t
t
t
i
ii
t
ji
ij
h
dt
dt
d
b
h
dt
dt
d
b
nji
h
dt
dt
d
bji
h
dt
dt
d
dt
d
b
tt
,
Вычислительный эксперимент
Рассмотрим модельную одномерную нестационарную линейную обратную задачу теплопро-
водности для пластины, теплопроводность и теплоёмкость материала которой не зависят от темпера-
туры ( = 30 Вт/(мК), с = 3,610
6
Дж/(м
3
К)). Толщина пластины d = 1 м. Начальная температура
пластины T0 = 370 K (4). Для вычисления теплового потока на границе x = d необходимо иметь зна-
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 33
чения температуры в одной или нескольких точках внутри пластины. При решении модельных (те-
стовых) задач эти данные можно получить из аналитических решений прямой задачи либо с исполь-
зованием методов конечных разностей или конечных элементов в сочетании с методом функций вли-
яния при известных граничных условиях [10]. Полученные данные из решения ПЗТ используются
для решения обратной задачи.
Для решения ПЗТ на границе тела x = d представим тепловой поток Q(t) в виде k(T – Tcp), где
коэффициент теплоотдачи k = 60 Вт/(м
2
К)
и температура среды Tcp = 270 K при тепловой изоляции
0)(λ
x
T
T на второй границе.
На рис. 1 приведены графики функций влияния Wk(t, l) для k = 0, …, 20 как решения соответ-
ствующих краевых задач (17)–(20) (индекс s опускаем в силу линейности задачи). Каждая кривая со-
ответствует значению индекса k от 0 до 20 слева направо соответственно. Приведенные кривые пред-
ставляют собой множество функций на временном интервале [0, ), линейная комбинация которых
(12) аппроксимирует функцию температуры во времени в точке термометрирования x = l. Анализируя
приведенные на рис. 1 кривые, можно заметить, что графики функций влияния Wk(t, l) для
k = 1, 2, …, nt – 1 повторяются и смещаются относительно друг друга
Wk+1(d, t) = W1(d, t – kht), k = 0, 1, …, nt – 2. (34)
Этот же факт наблюдается и при анализе численных решений краевых задач теплопроводно-
сти (17)–(20) при различных потоках i(t), k = 1, …, 19. Поэтому для вычисления функций влияния
Wk(t, l) достаточно решить только три краевые задачи (17)–(20) для k = 0, 1, nt, а остальные функции
получить при помощи операции сдвига (34).
Относительно функций влияния Wk(t, l) сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Функции влияния Wk(t, l), k = 0, 1, …, nt, представляющие собой решения краевых
задач теплопроводности (17)–(20), линейно независимы на временном интервале (0, ) при фиксиро-
ванной пространственной переменной x.
Доказательство. Умножив дифференциальное уравнение теплопроводности (17), граничные
условия (18), (19) и начальное значение (20) для каждого k на постоянный множитель qk и затем сло-
жив полученные результаты, получим
0,0,)(λ)(ρ)( 0
1
0
11
tdx
x
Wq
T
xt
Wq
TTc
tt n
k
kk
s
n
k
kk
ss , (35)
,0,0,0)(λ 0
1
tx
x
Wq
T
tn
k
kk
s (36)
-0,0021
-0,0018
-0,0015
-0,0012
-0,0009
-0,0006
-0,0003
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 tW k
Рис. 1. Зависимости функций влияния Wk(t, l) от времени
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 34
0,,)(λ
0
0
1
tdxq
x
Wq
T k
n
k
k
n
k
kk
s
t
t
, (37)
dxxWq
tn
k
kk
0,0),0(
0
. (38)
Сумма
tn
k
kks Wq
0
, в силу принципа суперпозиции является решением краевой задачи тепло-
проводности (35)–(38), и это решение равно нулю только в том случае, когда суммарный поток
tn
k
kkq
0
равен нулю. В силу того что сплайн-базис tnk
kk t
0
)( – линейно-независимый, данный поток
равен нулю только при равенстве нулю всех коэффициентов qk, k = 0, 1, …, nt. Следовательно, систе-
ма функций влияния Wk, k = 0, 1, …, nt линейно независима.
Для того чтобы доказать следующую теорему, представим краевую задачу теплопроводности
(6)–(9) с однородным начальным условием (T0 = 0) в операторном виде P : QT, где линейный опе-
ратор P ставит в соответствие функции Q(t) (тепловой поток на границе x = d) функцию T(t, x) как
решение прямой задачи теплопроводности.
Теорема 2. Линейной комбинацией функций влияния
tn
k
kkWq
0
можно аппроксимировать ре-
шение краевой задачи (6)–(9) с любой точностью.
Доказательство. Пусть PQ = T. Тогда, исходя из (17)–(20), имеем последовательность прямых
краевых задач в виде Pk = Wk, k = 0, 1, …, nt (итерационный индекс s опущен). После умножения
последнего равенства на qk и суммирования по k, учитывая, что оператор P краевой задачи линеен,
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
1
3
2
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
3
2
1
а) б)
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
1
2
3
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
2
1
3
в) г)
Рис. 2. Идентификация температуры в точке x = 1:
1 – температура, полученная путём решения ПЗТ; 2 – температура с погрешностью 1%; 3 – идентифицирован-
ная температура; а) – m = 50, ht = 0,05, б) – m = 50, ht = 0,025, в) – m = 100, ht = 0,05, г) – m = 100, ht = 0,025
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 35
имеем
tt n
k
kk
n
k
kk WqqP
00
. Далее после вычитания TWqPQqP
tt n
k
kk
n
k
kk
00
получаем
TWqQqP
tt n
k
kk
n
k
kk
00
.
Если
tn
k
kkqQ
0
, где – обозначение нормы в энергетическом пространстве [11],
то PQqPTWq
tt n
k
kk
n
k
kk
00
, так как оператор краевой задачи (17)–(20) обладает ко-
нечной нормой.
На рис. 2, 3 представлены результаты идентификации температуры в точках x = 1 и x = 0,95
соответственно в зависимости от времени. Из них следует, что на точность идентификации более су-
щественное влияние оказывает количество точек измерения температуры m по сравнению с шагом
сетки ht при сплайн-аппроксимации потока.
На рис. 4 представлены результаты решения модельной обратной задачи (1)–(5) с коэффици-
ентом теплопроводности, зависящим от температуры (T) = 1 + T, при следующих исходных данных:
c = 1, Q(t) = T. Графики функций влияния Wk, k = 0, 1, …, 20 для данного случая показаны на
рис. 4 а, б. На рис. 4, а приведены зависимости функций влияния Wk(t), k = 0, 1, …, 20, полученные в
результате решения прямых задач (17)–(20) на первой итерации (s = 1), а на рис. 4, б – на последней.
На рис. 4, в, г показаны результаты идентификации температуры в точке x = 1. Из них следу-
ет, что при увеличении количества точек m, в которых задана экспериментальная температура, точ-
ность идентификации возрастает.
Выводы
К достоинствам предлагаемого подхода к решению нелинейных ОЗТ можно отнести: просто-
ту его реализации; возможность использования экспериментальной информации как от одного, так и
от нескольких датчиков; применимость для неоднородных сред; возможность одновременного
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
2
3 1
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
1
2
3
а) б)
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
1
2
3
320
330
340
350
360
370
0 2000 4000 6000 8000 10000 t
T
1
2
3
в) г)
Рис. 3. Идентификация температуры в точке x = 0,95:
1 – температура, полученная путём решения ПЗТ; 2 – температура с погрешностью 1%; 3 – идентифицирован-
ная температура; а) – m = 50, ht = 0,05, б) – m = 50, ht = 0,025, в) – m = 100, ht = 0,05, г) – m = 100, ht = 0,025
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 36
восстановления теплового потока на разных частях поверхности конструктивного элемента; слабую
чувствительность к погрешностям измерений.
Литература
1. Hadamard, J. Sur les problems aux derivees partielles et leur significations physiques / J. Hadamard // Bull. Univ.
Pricenton. – 1902. –№ 13. – P. 82–88.
2. Hadamard, J. Le problem de Couchy et les èquation aux derivees partielles lineaires hyperboliques / J. Hadamard. –
Paris: Hermann, 1932. – 542 s.
3. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клэр (мл.) – М.:
Мир, 1989. – 312 с.
4. Мацевитый, Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: В 2-х т. / Ю. М. Мацевитый. – Киев: Наук. думка,
2002–2003. Т. 1: Методология. – 408 с.; Т. 2: Приложения. – 392 с.
5. Коздоба, Л. А. Методы решения обратных задач теплопереноса / Л. А. Коздоба., П. Г. Круковский. – Киев:
Наук. думка, 1982. – 360 с.
6. Алифанов, О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин,
С. В. Румянцев. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
7. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1979. –
288 с.
8. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. –
М.: Мир, 1980. – 280 с.
9. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина / К. Флетчер. – М.: Мир, 1988. – 352 с.
10. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.
11. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин – М.: Наука, 1970. – 512 с.
Поступила в редакцию 12.01.16
-0,16
-0,12
-0,08
-0,04
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t
W k
-0,18
-0,14
-0,1
-0,06
-0,02
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t
W k
а) б)
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t
T
1
2
3
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t
T
1
2
3
в) г)
Рис. 4. Идентификация температуры в точке x = 1:
а) – функции влияния на первой итерации; б) – функции влияния на последней итерации; в) – m = 50, ht = 0,05,
г) – m = 100, ht = 0,05; 1 – температура, полученная путём решения ПЗТ; 2 – температура с погрешностью 5%;
3 – идентифицированная температура
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99258 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:35Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мацевитый, Ю.М. Сафонов, Н.А. Ганчин, В.В. 2016-04-25T17:04:05Z 2016-04-25T17:04:05Z 2016 К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности / Ю.М. Мацевитый, Н.А. Сафонов, В.В. Ганчин // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 28-36. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99258 536.24 В данной работе для получения устойчивого решения нелинейной обратной граничной задачи теплопроводности применяется метод регуляризации А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомый тепловой поток на границе по временной координате аппроксимируем сплайнами Шёнберга первой степени. Для применения метода функций влияния к нелинейной задаче теплопроводности сводим её к последовательности линейных обратных граничных задач, используя итерационный процесс. Данный итерационный процесс заканчивается при достижении наперёд заданной точности для восстановленной температуры. В статье представлено обоснование использования функций влияния для аппроксимации решения линейной краевой задачи теплопроводности. В частности, показано, что функции влияния линейно независимы на временном интервале (0, ¥) при фиксированной пространственной переменной. Этот факт используется для идентификации температуры на границе или внутри области. Проведены многочисленные вычислительные эксперименты с использованием стабилизирующих функционалов нулевого и первого порядка, а также анализ влияния величины дисперсии случайной погрешности измерения на погрешность получаемого решения. В результате вычислительного эксперимента выяснилось, что для данного класса задач регуляризация первого порядка оказалась более эффективной, чем регуляризация нулевого порядка. Также результаты вычислительного эксперимента свидетельствуют, что при увеличении количества точек, в которых задана экспериментальная температура, точность идентификации возрастает Для отримання стійкого розв’язку нелінійної оберненої граничної задачі теплопровідності застосовується метод регуляризації А. М. Тихонова з ефективним алгоритмом регуляризуючого пошуку параметра. Шуканий тепловий потік на границі по часовій координаті апроксимуємо сплайнами Шьонберга першого ступеня. Для застосування методу функцій впливу до нелінійної задачі теплопровідності приводимо її до послідовності лінійних обернених граничних задач. Проведені численні обчислювальні експерименти з використанням стабілізуючих функціоналів нульового та першого порядку, а також аналіз впливу величини дисперсії випадкової похибки вимірювання на отриманий розв’язок. У результаті обчислювального експерименту з'ясувалося, що для даного класу задач регуляризація першого порядку виявилася більш ефективною, ніж регуляризація нульового порядку. In this paper, to obtain a stable solution of nonlinear inverse boundary problem of heat conduction the method of Tikhonov regularization with effectiveness-tive search algorithm regularizing parameter. Seeking the heat flux at the boundary of the time coordinate splines approximate Schoenberg first ste-interest. To apply the method of influence functions for the nonlinear heat conduction problem reduces it to a sequence of linear inverse boundary value problems using the diet-iteration process. This iterative process ends when the on-perёd specified accuracy for temperature recovery. The article presents a study on the use of the influence functions for approximating the solution of a linear edge-value problem of heat conduction. In particular it is shown that the influence functions are linearly independent in the time interval (0, ) at a fixed spatial variable. This fact is used to identify the temperature at the boundary or inside the area. Conducted numerous computational experiments using functional stabilizing zero and first order, and an analysis of the impact of the variance of the random error of measurement error in the obtained solution. The results of computational experiments revealed that for the class of first-order regularization was more effective than the regularization of the zero order. Also, the results of computational experiments show that by increasing the number of points where the specified Expo experimental temperature, increases the accuracy of the identification. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности The solution of nonlinear inverse boundary problem of heat conduction Article published earlier |
| spellingShingle | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности Мацевитый, Ю.М. Сафонов, Н.А. Ганчин, В.В. Прикладная математика |
| title | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| title_alt | The solution of nonlinear inverse boundary problem of heat conduction |
| title_full | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| title_fullStr | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| title_full_unstemmed | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| title_short | К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| title_sort | к решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности |
| topic | Прикладная математика |
| topic_facet | Прикладная математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99258 |
| work_keys_str_mv | AT macevityiûm krešeniûnelineinyhobratnyhgraničnyhzadačteploprovodnosti AT safonovna krešeniûnelineinyhobratnyhgraničnyhzadačteploprovodnosti AT gančinvv krešeniûnelineinyhobratnyhgraničnyhzadačteploprovodnosti AT macevityiûm thesolutionofnonlinearinverseboundaryproblemofheatconduction AT safonovna thesolutionofnonlinearinverseboundaryproblemofheatconduction AT gančinvv thesolutionofnonlinearinverseboundaryproblemofheatconduction |