Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку

Проведено огляд існуючих методів автоматичного виявлення розривів на цифрових зображеннях. Наведено два методи виявлення розривів поверхні, що задана функцією двох змінних. Запропоновано новий метод знаходження ліній розриву функції двох змінних (що описує поверхню), або її похідної деякого порядку....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы машиностроения
Date:	2016
Main Authors:	Литвин, О.М., Славік, О.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2016
Subjects:	Прикладная математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99259
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку / О.М. Литвин, О.В. Славік // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 37-43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860146806984278016
author	Литвин, О.М. Славік, О.В.
author_facet	Литвин, О.М. Славік, О.В.
citation_txt	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку / О.М. Литвин, О.В. Славік // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 37-43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Проведено огляд існуючих методів автоматичного виявлення розривів на цифрових зображеннях. Наведено два методи виявлення розривів поверхні, що задана функцією двох змінних. Запропоновано новий метод знаходження ліній розриву функції двох змінних (що описує поверхню), або її похідної деякого порядку. В данной работе представлены следующие методы для выявления разрывов: Робертса, Собеля, Прюитта, Шарра, Кирша, Робинсона и Кени. Обсуждаются методы выявления разрывов, представленые в работах Литвина О. Н., Першиной Ю. И. и Литвина О. Н., Нефедовой И. В. В основе этих методов лежат понятия ε-непрерывности и dε-непрерывности. Предлагается новый метод для выявления разрывов. В его основе лежит понятие dkε-непрерывности. В отличие от перечисленных выше методов, этот метод способен выявить разрывы как в самой функции, так и в некоторой ее производной. Для предложенного метода приведен алгоритм нахождения линий разрывов функции двух переменных с использованием dkε-непрерывных сплайнов. Результаты предложенной работы можно применить в задачах разведки полезных ископаемых, при обработке данных сейсмической томографии или при обработке изображений, полученных с искусственных спутников планеты. Image segmentation is the process of partitioning a digital image into multiple regions or sets of pixels. The result of image segmentation is a set of regions that collectively cover the entire image, or a set of contours extracted from the image. All of the pixels in a region are similar with respect to some characteristic or computed property, such as color, intensity, or texture. To increase results of image processing used image preprocessing methods (for example linear contrast method). After image preprocessing for image used edge detection methods. Edge detection methods can be grouped into two groups: based on gradient and based on Laplace operator. In the given work are presented the following methods to identify edges, such as the Roderts method, Sobel method, Prewitt method, Scharr method, Kirsch method, Robinson method and Canny method. Separately discussed the newest methods of detecting discontinuous that are presented in works Lytvyn O.M., Pershina Y.I. and Lytvyn O.M., Nefedova I.V. The basis of these methods are determinations of ε-continuous and dε-continuous respectively. Also in given work proposed a newest method for detecting dkε-discontinuous. The basis of this method is determination of dkε-continuous. Unlike the methods suggested above, this method detects discontinuous in the function and some of its derivatives. For the proposed method shown detailed algorithm for finding the lines of discontinuity of the function of two variables with discontinuities of the function and some of her derivatives using dkε-discontinuous splines. The results of the given work can be used in the problems of mineral exploration with seismic tomography data processing or when processing images obtained from satellites of the planet.
first_indexed	2025-12-07T17:50:03Z
format	Article
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 37 О. М. Литвин, д-р. фіз.-мат. наук О. В. Славік Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків, e-mail: academ_mail@ukr.net УДК 519.6 ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІНІЙ РОЗРИВУ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ АБО ЇХ ПОХІДНИХ ДЕЯКОГО ПОРЯДКУ Проведено огляд існуючих методів автоматичного виявлення роз- ривів на цифрових зображеннях. Наведено два методи виявлення розривів поверхні, що задана функцією двох змінних. Запропоновано новий метод знаходження ліній розриву функції двох змінних (що описує поверхню), або її похідної деякого порядку. Ключові слова: сегментація зображен- ня, ε-неперервність, dε-неперервність, d k ε-неперервність. Вступ Сейсмічна томографія – один із найрозповсюдженіших методів розвідки корисних копалин у світі. Методи сейсморозвідки базуються на збудженні та реєстрації сейсмічних хвиль різних типів з метою вивчення будови, речовинного складу і напруженого стану земних надр. Для обробки отриманих даних – сейсмограм – використовуються сучасні методи обробки зо- бражень. Сегментація зображення – це процес поділу цифрового зображення на області або набори пік- селів. Фактично, це поділ на різні об'єкти, які мають однакову текстуру або колір. Результатом сегме- нтації є набір областей, що покривають разом все зображення і набір контурів. Всі пікселі з однієї області подібні за деякими характеристиками, такими, як колір, текстура або інтенсивність. Суміжні області відрізняються одна від одної цими характеристиками. Таким чином, на межах між областями зображення має розрив першого роду. На даний момент в методах комп’ютерної обробки зображень існує кілька методів виявлення розривів на цифрових зображеннях. Деякі з них дуже чутливі до шумів на зображеннях. Це є причи- ною виявлення хибних ліній розриву, виявлення неповної кількості ліній розривів або невиявлення їх взагалі. Крім того, існуючі методи виявляють лише розриви самої функції і не враховують розриви першої, другої і т. д. похідних, якщо вони є. Тому актуальною є розробка універсального методу, який би виявляв розриви не тільки в са- мій функції, а і у похідних деяких порядків. Аналіз літературних джерел Для поліпшення результатів роботи методів виявлення розривів зображення застосовують ме- тоди попередньої обробки зображень. До таких методів належить метод лінійного контрастування зображення [1]. В основі цього методу лежить поелементне перетворення зображення вигляду [1] y = ax + b, параметри якого a та b визначаються за допомогою такої системи [1]:      ,maxmax minmin bxay bxay де [ymin, ymax] – максимально допустимий діапазон яскравості; [xmin, xmax] – діапазон яскравості зобра- ження, тобто мінімальне та максимальне значення яскравості на зображенні. Таке перетворення до- зволяє використати весь допустимий діапазон яскравості (наприклад, інтервал [0, 255], якщо для ко- жного пікселя зображення в системі виділяється 1 байт пам’яті). Після попередньої обробки зображення обробляються методами виявлення розривів, які умо- вно можна об’єднати у дві групи: градієнтні та ті, що ґрунтуються на використанні оператора Лапла- са. Градієнтні методи виявляють розриви пошуком максимумів та мінімумів в перших похідних зо- браження. Методи, що ґрунтуються на операторі Лапласа, здійснюють пошук нульових значень лап- ласіана зображення для знаходження розривів.  О. М. Литвин, О. В. Славік, 2016 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 38 Всі методи виявлення розривів так чи інакше використовують поняття згортки ядрами відпо- відного оператора з зображенням. Нехай I – матриця зображення розміром N×M, яке аналізується, G – ядро деякого оператора, яке подане у вигляді квадратної матриці n×m (зазвичай n = 3,5,7). Тоді згорт- кою ядра з зображенням будемо вважати Hi,j = Li,jG, де Li,j – підматриця матриці I розміром n×m, відповідно до розміру матриці G. Підматриця Li,j матриці I містить в собі елементи                    2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 n j n j n i n i . Отримана матриця H має розмір (N –n + 1)×(M –n + 1). Тобто після кожного застосування такої згортки розмір вихідного зображення зменшується в залежності від розміру ядра G. В більшості методів виявлення розривів загальна схема полягає в тому, що проводиться згор- тка ядер GX та GY з зображенням. Потім за допомогою отриманих матриць HX та HY знаходиться мат- риця M, кожний елемент якої обчислюється за формулою ),(),( 22 , jiHjiHM YXji  . Далі значення Mi,j порівнюється із заздалегідь заданим пороговим значенням T. Якщо значен- ня Mi,j перевищує порогове значення T, то точка (i, j) належить лінії розриву, в протилежному випад- ку ця точка не належить жодній лінії розриву. Наведемо приклади згорток ядер деяких методів виявлення розриву. Метод Робертса належить до одного із найпростіших графічних фільтрів. Оператор Робертса (або перехресний оператор Робертса) надає просту апроксимацію величини градієнта і використовує згортку зображення з ядрами вигляду [2]                01 10 , 10 01 YX GG . Метод Собеля є одним з найбільш широко вживаних графічних операторів. При цьому в згор- тці застосовуються ядра оператора Собеля [2]:                           101 202 101 , 121 000 121 YX GG . Метод Прюітта подібний методу Собеля. Ядра оператора Прюітта, що використовується для згортки зображенням, згідно з [2] мають вигляд:                           101 101 101 , 111 000 111 YX GG . Метод Шарра схожий на методи Собеля та Прюітта, за винятком використання інших мат- риць ядер [3]                           303 10010 303 , 3103 000 3103 YX GG . Метод Кірша (або компасний метод Кірша) – це метод виявлення розривів, який знаходить максимальну величину розриву на восьми напрямах [4]. В основі оператора лежить просте ядро, яке обертається з кроком в 45 градусів в усіх восьми напрямах компаса: північ (N), північний захід (NW), захід (W), південний захід (SW), південь (S), південний схід (SE), схід (Е), північний схід (NE). На відміну від попередніх методів, величина розриву згідно з методом Кірша розраховується за допомогою знаходження максимальної величини по всіх напрямах [4] ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 39       1 1 1 1 , )( , 8...1 , max i j jmin z ji z mn IkM , де z – номер, який позначає напрям; In,m – елементи матриці зображення, 2  n  N – 1, 2  m  M – 1. Ядра згортки з зображенням для кожного напрямку компаса наведені нижче [4] . 553 503 333 , 555 303 333 , 355 305 333 , 335 305 335 , 333 305 355 , 333 303 555 , 333 503 553 , 533 503 533 )8()7( )6()5()4( )3()2()1( SES SWWNW NNEE kk kkk kkk                                                                                                              Метод Робінсона аналогічний Методу Кірша, але потребує менше обчислювальних затрат, бо оперує коефіцієнтами 0, 1 та 2. Матриці ядер згортки оператора симетричні відносно напрямку осі, яка сама містить нулі. Ядра згортки оператора Робінсона мають такий вигляд [4]: . 210 101 012 , 121 000 121 , 012 101 210 , 101 202 101 , 210 101 012 , 121 000 121 , 012 101 210 , 101 202 101 )8()7( )6()5()4( )3()2()1( SES SWWNW NNEE kk kkk kkk                                                                                                       Метод Кені є одним з найпопулярніших алгоритмів виявлення розривів. Алгоритм виявлення розривів Кені викладемо по кроках [2]. 1. Згладжування. Розмиття зображення за допомогою функції Гаусса. Оператор Кені викорис- товує фільтр, який може бути добре наближений до першої похідної гауссіани з параметром  = 1,4 і використовує згортку [5]                  24542 491294 51215125 491294 24542 G . 2. Пошук напрямку градієнта. На отриманому розмитому зображенні шукаються значення градієнта. Зазвичай для цього використовується метод Собеля. Окрім значень Mi,j, отриманих опера- тором Собеля, окремо знаходяться згортки з ядрами GX та GY з формули (6) для знаходження кута на- прямку градієнта за такою формулою [2]: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 40        ),( ),( arctan, jiG jiG X Y ji . Кут напрямку вектора градієнта округляється і може набувати таких значень: 0, 45, 90, 135. 3. Придушення не-максимумів (Non-Maxima Suppression). На цьому кроці точки, в яких дося- гаються локальні максимуми, відзначаються як границі. 4. Подвійна порогова фільтрація. Отримана множина точок ділиться на три підмножини то- чок: розриву, неоднозначності та точки, які не належать до ліній розриву. Поділ проводиться за до- помогою двох заданих значень: Tmin – порогове значення, нижче якого вважається, що точка не нале- жить лінії розриву; Tmax – порогове значення, вище якого вважається, що точка належить лінії розри- ву. Точки, які потрапляють до діапазону [Tmin, Tmax], належать області неоднозначності. 5. Гістерезис. До області точок, які належать лініям розриву, додаються точки із області неод- нозначності за умови, якщо поряд з цією точкою розташована точка із області точок розриву. В роботі [6] був запропонований метод -неперервності для виявлення розривів на зображен- нях, який виявляє на ньому всі розриви першого роду. Даний метод ґрунтується на визначенні понят- тя ε-неперервності. Якщо виконуються всі чотири нерівності в точці (xq, ys) ,),(lim),(lim,),(lim),(lim ,),(lim),(lim,),(lim),(lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                   yxfyxfyxfyxf yxfyxfyxfyxf s q s q s q s q s q s q s q s q yy xx yy xx yy xx yy xx yy xx yy xx yy xx yy xx то функцію f(x, y) будемо називати ε-неперервною в точці (xq, ys). Поняття -неперервності покладено в основу алгоритму виявлення розривів за такою схемою [6]: 1) Розбиваємо область визначення на прямокутники i,j = [xi, xi+1][yi, yi+1]. 2) Будуємо розривний апроксимаційний сплайн на заданих вузлах (xi, yj), i = 1, 2, …, n – 1, j = 1, 2, …, m – 1 такого вигляду: ,),(, ),(),( , 11 1,1 11 1 1, 1 1 1 ,1 1 1 1 1 ,, ji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i jiji yx yy yy xx xx C yy yy xx xx C yy yy xx xx C yy yy xx xx CyxpyxS                                      який на кожному елементі розбиття може мати однаковий аналітичний вигляд pi,j(x, y, C) з різними параметрами та з невідомими Ck,j, k = 1, 2, …, (m – 1)(n – 1), l = 1, 2, 3, 4. Потім знаходимо матрицю невідомих коефіцієнтів сплайна з умови       D C ji ji ji dxdyCyxpyxfCJ , , min),,(),()( 2 , . Після підстановки знайдених коефіцієнтів в сплайн отримаємо розривний сплайн, що склада- ється з функцій pi,j(x, y) i = 1, 2, …, m – 1, j = 1, 2, …, n – 1. 3) На кожному прямокутному елементі розбиття i,j, i = 1, 2, …, m – 1, j = 1, 2, …, n – 1 обчис- люємо значення ),(),(,max ,,, * , 1 1 yxpyxfJJJ jijiji yyy xxx ji jj ii      . 4) Видаляємо з розгляду ті прямокутні елементи, на яких побудований білінійний сплайн є ε- неперервним та на яких задовольняється точність наближення. Прямокутні елементи, що залишилися ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 41 r,q, r = 1, 2, …, n1, q = 1, 2, …, n2, ділимо на чотири рівні прямокутники, вводячи нові лінії всередині обраного прямокутного елемента. 5) Для отриманого набору прямокутних елементів знову будуємо апроксимаційні сплайни та перевіряємо виконання умови    ),(),(max ]1,0[ ]1,0[ yxSyxf y x , де  – задана точність наближення. Якщо ця умова виконується, то отримуємо набір відрізків прямих, які і складають лінії розриву заданої розривної функції f(x, y). Якщо вказана умова не виконується, то повертаємося до пункту 3. Робота [7] присвячена вибору оптимальних базисних функцій та вузлів в методі скінченних елементів при математичному моделюванні розподілу тепла. В ході вивчення даної проблематики автори пропонують і досліджують метод розв’язання задачі теплопровідності в кусково-однорідному середовищі, в якому істотно використовується поняття dε-неперервності наближеного розв’язку. Функція u(x, y) є d-неперервною у прямокутнику [xk–1, xk][yl–1, yl], якщо вона та її частинні похідні першого порядку y u x u     , задовольняють умову \|Jk,l(u) – Jk+1,l(u)\|  , відповідно заданому ро- збиттю області D на прямокутні елементи. В протилежному випадку функцію u(x, y) вважаємо d- розривною в указаних прямокутниках. Ці означення покладено в основу алгоритму виділення ліній в області D, у яких d- неперервність не виконується [7]. 1) Розбиваємо область D на елементи  nlmkyyyxxxyx llkkji ,1,,1,,:),( 11,   . 2) Для l = 1, k = 1, 2, …, m знаходимо прямокутник (прямокутники) [xp–1, xp+1][y0, y1], p = 1, 2, …, m – 1 в яких не виконується d-неперервність, тобто \|Jk,l(u) – Jk+1,l(u)\| > . Зафіксуємо їх. 3) Покладемо l = l + 1, повторюємо крок 2. Продовжуючи цю процедуру, покладаючи l = 3, …, n, отримаємо масив прямокутників, у яких не виконується умова d-неперервності. 4) Проводимо аналогічну процедуру, поклавши k = 1, l = 1, 2, …, n, і знаходимо прямокутники [x0, x1][yq–1, yq+1], в яких dε-неперервність не виконується. Об’єднання всіх цих прямокутників вважа- ємо множиною, якій належить лінія (лінії), в точках якої функція u(x, y) не є d-неперервною при за- даному розбитті області D на прямокутні елементи. 5) Збільшуємо m та n вдвічі та повторюємо кроки 2–4 знову. Продовжуючи цей процес розбиття області D на прямокутні елементи, можемо отримати пос- лідовність підобластей, якій належать лінії d-розривності. Постановка задачі Розглянемо математичну модель поверхні f(x, y), яка визначена на деякій прямокутній області D = [a1, b1][a2, b2]. Необхідно проаналізувати дану поверхню на наявність розривів (самої функції та деякої її по- хідної). Метод d k -неперервності для знаходження розривів функції та деякої її похідної Нехай в області D задана функція f(x, y). Розбиваємо область D на прямокутні елементи i,j = [xi, xi+1][yi, yi+1] прямими x = xk, k = 0, 1, …, m, a1 = x0 < x1 < x2 < … < xm = b1 та y = yl, l = 0, 1, …, n, a2 = y0 < y1 < y2 < … < yn = b2. Побудуємо розривний інтерполяційний сплайн вигляду .),(, ),(),( , 11 1,1 11 1 1, 1 1 1 ,1 1 1 1 1 ,, ji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i ji jj j ii i jiji yx yy yy xx xx C yy yy xx xx C yy yy xx xx C yy yy xx xx CyxpyxS                                      ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 42 Введемо у розгляд оператор d k f(x, y)        k kji ji ji ji ji k yx yxf ayxfd 0, , ),( ),( . Якщо виконуються всі чотири нерівності в точці (xi, yj) ,),(lim),(lim,),(lim),(lim ,),(lim),(lim,),(lim),(lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                   yxfdyxfdyxfdyxfd yxfdyxfdyxfdyxfd k yy xx k yy xx k yy xx k yy xx k yy xx k yy xx k yy xx k yy xx s q s q s q s q s q s q s q s q то функцію f(x, y) будемо називати d k -неперервною в точці (xi, yj). Будемо називати розривним апроксимаційним білінійним сплайном в кожному прямокутному елементі i,j сплайн з коефіцієнтами        1,11,,1, ,,, jijijiji CCCC , що знаходяться методом найменших квадратів з умови       D C ji k ji ji dxdyCyxpyxfdCJ , , min),,(),()( 2 , , де k – значення похідної, в якій шукається розрив. Алгоритм знаходження ліній розриву: 1) Будуємо розривний апроксимаційний сплайн на заданих вузлах (xi, yj), i = 1, 2, …, n – 1, j = 1, 2, …, m – 1, який на кожному елементі розбиття може мати однаковий аналітичний вигляд pi,j(x, y, C) з різними параметрами та з невідомими Ck,j, k = 1, 2, …, (m – 1)(n – 1), l = 1, 2, 3, 4 і знахо- димо матрицю невідомих коефіцієнтів сплайна. Після підстановки знайдених коефіцієнтів в сплайн отримаємо розривний сплайн, що складається з функцій pi,j(x, y) i = 1, 2, …, m – 1, j = 1, 2, …, n – 1. 2) На кожному прямокутному елементі розбиття i,j i = 1, 2, …, m – 1, j = 1, 2, …, n – 1 обчис- люємо значення ),(),(,max ,,, * , 1 1 yxpyxfdJJJ ji k jiji yyy xxx ji jj ii      . 3) Видаляємо з розгляду ті прямокутні елементи, на яких побудований білінійний сплайн є d k -непрервним та на яких задовольняється точність наближення. Прямокутні елементи, що залиши- лися, ділимо на чотири рівні прямокутники, вводячи нові лінії всередині обраного прямокутного еле- мента. 4) Для отриманого набору прямокутних елементів знову будуємо апроксимаційні сплайни. Далі перевіряємо виконання умови    ),(),(max ]1,0[ ]1,0[ yxSyxfd k y x , де  – задана точність наближення. Якщо вказана умова не виконується, то повертаємося до кроку 3. Висновки В даній роботі розглянуто питання виявлення розривів на зображеннях. Проведено огляд ме- тодів виявлення розривів на цифрових зображеннях (від найпростіших до більш складних) та методів попередньої обробки зображень (зокрема, метод лінійного контрастування зображення). В огляді бу- ли розглянуто такі методи: оператори Робертса, Собеля, Прюітта, Кірша, Робінсона, Кені та Шарра . Окремо розглянуто найновітніші методи виявлення розривів, які подані в дисертаційних ро- ботах Ю. І. Першиної та І. В. Нефьодової. Ці методи застосовано на поняттях - та d-неперервності відповідно. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 1 43 Також у даній статті було запропоновано новий метод виявлення розривів на основі поняття d k -неперервності. На відміну від запропонованих вище методів, даний метод виявляє розриви як в самій функції, так і в деякій її похідній. Для запропонованого методу наведено детальний алгоритм знаходження ліній розриву d k -розривними сплайнами. Результати запропонованої роботи можна використати, зокрема, в задачах розвідки корисних копалин, при обробці даних сейсмічної томографії або при обробці зображень, отриманих із штучних супутників планети. Література 1. Цифровая обработка изображений в информационных системах / И. С. Грузман, В. С. Киричук, В. П. Косых и др. – Новосибирск: Из-во Новосиб. техн. ун-та, 2000. – 168 с. 2. Shrivakshan, G. T. A Comparison of various Edge Detection Techniques used in Image Processing / G. T. Shrivakshan, C. Chandrasekar // Intern. J. Comp. Sci. Issues. – 2012. – Vol. 9. – P. 269–276. 3. Jähne, B. Principles of filter design / B. Jähne, H. Scharr, S. Körkel // Handbook Comp. Vision and Appl. – 1999. – P. 125–152. 4. Muthukrishnan, R. Edge Detection Techniques for Image Segmentation / R. Muthukrishnan, M. Radha. // Intern. J. Comp. Sci. & Inform. Techn. – 2011. – Vol. 3. – P. 259–267. 5. Maini, R. Study and Comparison of Various Image Edge Detection Techniques / R. Maini, H. Aggarwal // Itern. J. Image Proc. – 2009. – Vol. 3. – P. 1–12. 6. Першина, Ю. І. Теорія розривних сплайнів та її застосування в комп’ютерній томографії : Дис. … д-ра фіз.- мат. наук / Першина Юлія Ігорівна – Харків, 2015. – 385 с. 7. Нефьодова, І. В. Вибір оптимальних базисних функцій та вузлів в методі скінченних елементів (прямокутні елементи) при математичному моделюванні розподілу тепла : Дис. … канд. фіз.-мат. наук / Нефьодова Інна Віталіївна. – Харків, 2014. – 167 с. Надійшло до редакції 28.01.16
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99259
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:50:03Z
publishDate	2016
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.М. Славік, О.В. 2016-04-25T17:06:00Z 2016-04-25T17:06:00Z 2016 Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку / О.М. Литвин, О.В. Славік // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 37-43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99259 519.6 Проведено огляд існуючих методів автоматичного виявлення розривів на цифрових зображеннях. Наведено два методи виявлення розривів поверхні, що задана функцією двох змінних. Запропоновано новий метод знаходження ліній розриву функції двох змінних (що описує поверхню), або її похідної деякого порядку. В данной работе представлены следующие методы для выявления разрывов: Робертса, Собеля, Прюитта, Шарра, Кирша, Робинсона и Кени. Обсуждаются методы выявления разрывов, представленые в работах Литвина О. Н., Першиной Ю. И. и Литвина О. Н., Нефедовой И. В. В основе этих методов лежат понятия ε-непрерывности и dε-непрерывности. Предлагается новый метод для выявления разрывов. В его основе лежит понятие dkε-непрерывности. В отличие от перечисленных выше методов, этот метод способен выявить разрывы как в самой функции, так и в некоторой ее производной. Для предложенного метода приведен алгоритм нахождения линий разрывов функции двух переменных с использованием dkε-непрерывных сплайнов. Результаты предложенной работы можно применить в задачах разведки полезных ископаемых, при обработке данных сейсмической томографии или при обработке изображений, полученных с искусственных спутников планеты. Image segmentation is the process of partitioning a digital image into multiple regions or sets of pixels. The result of image segmentation is a set of regions that collectively cover the entire image, or a set of contours extracted from the image. All of the pixels in a region are similar with respect to some characteristic or computed property, such as color, intensity, or texture. To increase results of image processing used image preprocessing methods (for example linear contrast method). After image preprocessing for image used edge detection methods. Edge detection methods can be grouped into two groups: based on gradient and based on Laplace operator. In the given work are presented the following methods to identify edges, such as the Roderts method, Sobel method, Prewitt method, Scharr method, Kirsch method, Robinson method and Canny method. Separately discussed the newest methods of detecting discontinuous that are presented in works Lytvyn O.M., Pershina Y.I. and Lytvyn O.M., Nefedova I.V. The basis of these methods are determinations of ε-continuous and dε-continuous respectively. Also in given work proposed a newest method for detecting dkε-discontinuous. The basis of this method is determination of dkε-continuous. Unlike the methods suggested above, this method detects discontinuous in the function and some of its derivatives. For the proposed method shown detailed algorithm for finding the lines of discontinuity of the function of two variables with discontinuities of the function and some of her derivatives using dkε-discontinuous splines. The results of the given work can be used in the problems of mineral exploration with seismic tomography data processing or when processing images obtained from satellites of the planet. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку Research of lines of discontinuity of functions of two variables or their derivatives Article published earlier
spellingShingle	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку Литвин, О.М. Славік, О.В. Прикладная математика
title	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
title_alt	Research of lines of discontinuity of functions of two variables or their derivatives
title_full	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
title_fullStr	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
title_full_unstemmed	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
title_short	Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
title_sort	дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку
topic	Прикладная математика
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99259
work_keys_str_mv	AT litvinom doslídžennâlíníirozrivufunkcíidvohzmínnihaboíhpohídnihdeâkogoporâdku AT slavíkov doslídžennâlíníirozrivufunkcíidvohzmínnihaboíhpohídnihdeâkogoporâdku AT litvinom researchoflinesofdiscontinuityoffunctionsoftwovariablesortheirderivatives AT slavíkov researchoflinesofdiscontinuityoffunctionsoftwovariablesortheirderivatives

Дослідження ліній розриву функцій двох змінних або їх похідних деякого порядку

Institution

Similar Items