Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках

В работе предложены вариационные методы решения спектральной задачи, возникающей при свободных колебаниях (плесканиях) жидкости в усеченных конических баках кругового поперечного сечения. Приближенные решения найдены в аналитическом виде методом Ритца-Трефтца по двум типам координатного базиса. Для...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Authors:	Луковский, И.А., Солодун, А.В., Тимоха, А.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/994
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 42-61. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859516879158116352
author	Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н.
author_facet	Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н.
citation_txt	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 42-61. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	В работе предложены вариационные методы решения спектральной задачи, возникающей при свободных колебаниях (плесканиях) жидкости в усеченных конических баках кругового поперечного сечения. Приближенные решения найдены в аналитическом виде методом Ритца-Трефтца по двум типам координатного базиса. Для различных конфигураций усеченных конических баков (прямых и перевернутых) по обеим вариационным схемам проведены численные эксперименты по определению частотных параметров свободных колебаний жидкости. Проведено сравнение расчетных данных между собой, а также с аналогичными результатами других авторов, полученными преимущественно для конических баков с малыми углами раствора. У роботі запропоновані варіаційні методи розв'язання спектральної задачі, яка виникає при вільних коливаннях (хлюпаннях) рідини у зрізаних конічних баках кругового поперечного перерізу. Наближені розв'язки знайдені в аналітичному вигляді методом Рітца-Трефтца за двома типами координатного базису. Для різних конфігурацій зрізаних конічних баків (прямих та перевернутих) за обома варіаційними схемами проведено чисельні експерименти з визначення частотних параметрів вільних коливань рідини. Проведено порівняння розрахункових даних між собою, а також з аналогічними результатами інших авторів, одержаними здебільшого для конічних баків з малими кутами розхилу. The paper deals with proposing the variational methods for solving the spectral boundary value problem occurring at free oscillations (sloshing) of a liquid in truncated conical tanks with circular cross-sections. The approximate solutions are obtained by the Ritz-Treftz methods with respect to the two types of a coordinate basis. Computational experiments for evaluating the natural sloshing frequencies were conducted for various shapes of truncated conical tanks (both the right and inverted ones). The numerical data are compared with the results by other authors, that were predominantly obtained for the conical tanks with small semi-apex angles.
first_indexed	2025-11-25T20:43:21Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 УДК 532.595 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В УСЕЧЕННЫХ КОНИЧЕСКИХ БАКАХ И. А. Л У КО В СК И Й, А. В. С ОЛ О Д УН, А. Н. ТИ МО Х А Институт математики НАН Украины, Киев Получено 16.07.2006 В работе предложены вариационные методы решения спектральной задачи, возникающей при свободных колебани- ях (плесканиях) жидкости в усеченных конических баках кругового поперечного сечения. Приближенные решения найдены в аналитическом виде методом Ритца –Трефтца по двум типам координатного базиса. Для различных конфигураций усеченных конических баков (прямых и перевернутых) по обеим вариационным схемам проведе- ны численные эксперименты по определению частотных параметров свободных колебаний жидкости. Проведено сравнение расчетных данных между собой, а также с аналогичными результатами других авторов, полученными преимущественно для конических баков с малыми углами раствора. У роботi запропонованi варiацiйнi методи розв’язання спектральної задачi, яка виникає при вiльних коливаннях (хлюпаннях) рiдини у зрiзаних конiчних баках кругового поперечного перерiзу. Наближенi розв’язки знайденi в аналiтичному виглядi методом Рiтца –Трефтца за двома типами координатного базису. Для рiзних конфiгурацiй зрiзаних конiчних бакiв (прямих та перевернутих) за обома варiацiйними схемами проведено чисельнi експеримен- ти з визначення частотних параметрiв вiльних коливань рiдини. Проведено порiвняння розрахункових даних мiж собою, а також з аналогiчними результатами iнших авторiв, одержаними здебiльшого для конiчних бакiв з малими кутами розхилу. The paper deals with proposing the variational methods for solving the spectral boundary value problem occurring at free oscillations (sloshing) of a liquid in truncated conical tanks with circular cross-sections. The approximate solutions are obtained by the Ritz –Treftz methods with respect to the two types of a coordinate basis. Computational experiments for evaluating the natural sloshing frequencies were conducted for various shapes of truncated conical tanks (both the right and inverted ones). The numerical data are compared with the results by other authors, that were predominantly obtained for the conical tanks with small semi-apex angles. ВВЕДЕНИЕ Баки в виде усеченного конуса часто использу- ются в технике и гражданском строительстве как самостоятельные конструкции или в качестве со- ставных частей емкостей более сложной конфигу- рации (например, в сочетании с цилиндрическими или сферическими формами). При проектировании конструкций, имеющих в своем составе значительные массы жидких гру- зов, возникает целый комплекс проблем, связан- ных с их прочностью и устойчивостью. На первый план здесь выступают задачи определения частот и форм свободных колебаний жидкости, а также сил взаимодействия между стенками баков и жид- костью. Последние играют важную роль при со- ставлении уравнений движения механической сис- темы в целом и прогнозировании на их основе ди- намического поведения конструкции при воздей- ствии на нее различных внешних возмущающих факторов (вибрационного, сейсмического происхо- ждения и пр.). Традиционно эти вопросы возника- ют в контексте развития авиационной и ракетно- космической техники. Кроме того, с ними при- ходится сталкиваться при создании танкеров для транспортировки нефтепродуктов и сжиженных газов, а также при прогнозировании прочности и устойчивости железнодорожных цистерн. По-видимому, первые исследования колебаний жидкости в конических баках были выполнены в связи с необходимостью учета гидродинамических сил взаимодействия топлива с корпусами жидко- стных ракет. Особое внимание при этом уделялось нахождению основных частот и форм свободных колебаний топлива, представляющих наибольший интерес для определения главного вектора и глав- ного момента гидродинамических сил, приложен- ных к корпусу ракеты. В последние годы исследования по динамике твердых тел с жидкостью пополнились новыми по- становками задач в связи с проектированием но- вых наземных жидкостно-наполненных механиче- ских объектов в виде водонапорных башен, состоя- щих из цилиндрических резервуаров с коническим дном (рис. 1). Эти работы направлены на обеспе- чение надежного функционирования таких систем в экстремальных условиях, в первую очередь, при сейсмических воздействиях. В общем случае не существует точных методов решения задачи о колебаниях жидкости в кони- ческих баках. Исключение составляют отдельные случаи баков в форме “перевернутого” кругового конуса с определенными значениями угла полу- раствора θ0. На первый такой случай – θ0 = 45◦, 42 c© И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха, 2006 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 а б Рис. 1. Мегалитровые водонапорные башни с коническими баками: а – бетонный бак в Бойнтон Бич, Флорида, США; б – стальной бак в Сиднее, имеющий форму бокала с коническим дном и удерживающий до 3.2 мегалитра m= 1, указал Левин [1] (здесь m обозначает чис- ло волн в окружном направлении). Позже в рабо- те [2] были приведены другие примеры, для кото- рых, как и в [1], существуют точные решения этой задачи по определению только основной частоты и формы собственных колебаний жидкости. Как оказалось, эти случаи относятся к семейству баков с углом полураствора θ0 =arctg √ m. В монографи- ях [3, 4] упомянутые решения широко использова- ны для независимого контроля численных резуль- татов при нахождении приближенными методами частот и присоединенных масс жидкости для ко- нических баков, разбитых глухими радиальными перегородками на независимые отсеки. Отметим также, что в некоторых случаях для решения задач о колебаниях жидкости в кониче- ских баках удается использовать метод разделе- ния переменных, оставаясь при этом в рамках ги- потез линейной теории. Ограничиваясь малыми значениями угла конусности, в сферической си- стеме координат соответствующие краевые задачи гидродинамики можно сформулировать при ото- ждествлении плоской невозмущенной поверхности жидкости с мало отличающейся от нее сфериче- ской поверхностью в случаях как “перевернуто- го”, так и прямого кругового конуса со сфериче- ским днищем. С помощью метода разделения пе- ременных точные решения задачи удается пред- ставить через степенные функции и присоединен- ные функции Лежандра первого и второго ро- да. Впервые это было сделано Докучаевым [5], а позже Бауером [6]. Об особенностях применения этих результатов в теории движения тел с жид- костью речь идет в работах [2 – 7]. Соответствую- щие экспериментальные данные приведены в ста- тьях Микишева и Дорожкина [8], а также Бау- эра [6]. В 1970 – 1980-ые годы исследования по тео- рии колебаний жидкости в конических баках снова активизировались в связи с рассмотрением ана- логичных задач в нелинейной постановке [9 –13]. Для развития модальных методов решения нели- нейных задач требовались качественно новые при- ближенные решения краевых задач линейной те- ории. Одно весьма обременительное требование, предъявляемое к этим решениям, связано с необ- ходимостью точного выполнения условия непере- текания ∂ϕ ∂ν = 0 на всей твердой стенке бака. Другое важное огра- ничение вытекает из представления форм колеба- ний жидкости и производных от них в аналитиче- ском виде. Решения с такими свойствами удается построить вариационными методами с использо- ванием специальных неконформных отображений, переводящих конические области в цилиндриче- ские в подходящей криволинейной системе коор- динат [9,12,14,15]. Опыт использования подобных решений при исследовании задачи о колебаниях жидкости в неусеченных конических баках под- тверждает высокую эффективность упомянутых численно-аналитических подходов [13, 15]. Ряд исследований, относящихся к линейной те- ории колебаний жидкости в конических баках, выполнен в последние годы в связи с проекти- рованием новых типов водонапорных башен (см., например, [16 – 23]). Предложенные здесь прибли- женные алгоритмы определения собственных ча- И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 O y z x q0 0 S1S r r 0 1 O y z x q 0 0 0Q S2 S r r 0 1 g Рис. 2. Гидростатическое положение жидкости в вертикальных круговых усеченных ∧- и ∨-образных конических баках стот и форм колебаний, опирающиеся, главным образом, на методы конечных и граничных эле- ментов, оказались эффективными в этом клас- се линеаризованных задач. Однако их непосред- ственное использование для решения нелинейных проблем о резонансных взаимодействиях в системе “твердое тело – жидкость” представляется пробле- матичным. В данной работе обсуждаются два численно- аналитических подхода к определению частот и форм собственных колебаний жидкости в усечен- ных конических баках, основанные на вариаци- онных формулировках соответствующих краевых задач. В качестве координатных функций в ва- риационном методе Ритца – Трефтца использую- тся частные решения полиномиального типа или гармонические функции, найденные методом ра- зделения переменных в специальной криволиней- ной системе координат. Эти алгоритмы реализова- ны в широком диапазоне геометрических параме- тров усеченных конусов (углов раствора и относи- тельных глубин заполнения жидкостью). Резуль- таты вычислительных экспериментов, приведен- ные в виде таблиц и графических зависимостей, дают полное представление о практической схо- димости предложенных методов и границах их применимости. Приближенные решения найдены в аналитическом виде, пригодном для их исполь- зования при построении малоразмерных нелиней- ных модальных систем на основе результатов ра- бот [9,12 –14,24 – 29], включая и случай усеченных конических баков, разбитых сплошными радиаль- ными перегородками на независимые отсеки. Обсуждается перспектива развития нелинейных модальных методов, а также вывод формул для расчета резонансных гидродинамических нагру- зок. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1.1. Дифференциальная и вариационная фор- мулировки Рассмотрим безвихревые волновые движения идеальной несжимаемой жидкости, частично за- полняющей покоящийся абсолютно жесткий кони- ческий бак с углом полураствора θ0. Гидроста- тическое положение жидкости под действием сил тяжести совпадает с областью Q0, изображенной на рис. 2. Вектор сил гравитации направлен вниз вдоль оси конуса. Смачиваемые боковые стенки сосуда обозначены через S1, дно (основание) ба- ка – через S2, а невозмущенная (гидростатическая) свободная поверхность жидкости – через Σ0. На- чало декартовой системы координат Oxyz разме- щено в условной вершине конуса O, причем ось Ox направлена вертикально вверх. В качестве характерного линейного размера вы- бран радиус r0 (радиус дна для ∧-образного и сво- бодной поверхности для ∨-образного конуса). Со- отношение между радиусом невозмущенной свобо- дной поверхности и основанием усеченного конуса r1/r0 становится геометрической характеристикой глубины заполнения бака. В частности, предель- ный случай r1→1 влечет за собой h→0. При фи- ксированном же r1 глубина h стремится к нулю, если θ0→π/2. Как известно, линеаризованная задача о малых свободных колебаниях жидкости имеет вид [30,31] ∆φ = 0 в Q0, ∂φ ∂ν = 0 на S, ∂φ ∂x = ∂f ∂t , ∂φ ∂t + gf = 0 на Σ0 (1) при дополнительном условии ∫ Σ0 ∂φ ∂x dS = 0, (2) где φ(x, y, z, t) – потенциал скоростей; x = f(y, z, t) – уравнение возмущенной свободной по- верхности; ~ν – орт внешней нормали к границе S=S1 ∪ S2; ~g – ускорение сил тяжести. Кроме этого, общая постановка эволюционной краевой задачи (1) предполагает подчинение ее ре- шений начальным условиям f(y, z, t0) = F0(y, z), ∂f ∂t (y, z, t0) = F1(y, z), (3) 44 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 где некоторые известные функции F0 и F1 зада- ют начальное отклонение свободной поверхности жидкости и распределение скоростей на ней в на- чальный момент времени t= t0. Путем дифферен- цирования второго соотношения по t два условия на Σ0 можно заменить одним уравнением вида ∂2φ ∂t2 + g ∂φ ∂x = 0 (4) и свести формулировку (1) к следующей краевой задаче: ∆φ = 0 в Q0, ∂2φ ∂t2 + g ∂φ ∂x = 0 на Σ0, ∂φ ∂ν = 0 на S. (5) 1.2. Задача о собственных колебаниях и соо- тветствующая ей спектральная задача Особый практический интерес представляет на- хождение собственных гармонических колебаний жидкости (стоячих волн), которые описываются в этом случае решениями задачи (1) вида φ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) exp(iσt), i2 = −1, (6) причем частота собственных колебаний σ и соо- тветствующая ей форма (мода) ψ(x, y, z) находя- тся из следующей спектральной задачи: ∆ψ = 0 в Q0, ∂ψ ∂x = κψ на Σ0, ∂ψ ∂ν = 0 на S, ∫ Σ0 ∂ψ ∂x dS = 0. (7) Здесь параметр κ – частотный параметр, который определяется соотношением κ = σ2/g. (8) Для задачи на собственные значения (7) суще- ствует бесконечная последовательность решений κn 0 < κ1 ≤ κ2 ≤ . . .≤ κn ≤ . . . , сходящаяся на бесконечности (κn → ∞, n → ∞). При этом каждому собственному значению κn со- ответствует конечное число собственных функций ψn(x, y, z) [3, 30]. Система собственных функций ψn вместе с константой образует на невозмущен- ной свободной поверхности Σ0 полную систему функций. Это свойство играет фундаментальную роль в теории колебаний жидкости. Задача на собственные значения с параметром в граничном условии (7) допускает соответствую- щую эквивалентную ей вариационную формули- ровку, связанную с функционалом K(ψ) = ∫ Q0 (∇ψ)2dQ ∫ Σ0 ψ2dS , (9) определенном на классе функций ψ ∈ W 1 2 (Q0) при дополнительном условии ∫ Σ0 ψdS = 0. В соответствии с общей схемой, изложенной в ра- ботах [3,30], вариационная задача на минимум для функционала (9) позволяет последовательно опре- делить все собственные числа и собственные функ- ции задачи (7), обладающие свойствами обобщен- ных решений в смысле интегрального соотноше- ния ∫ Q0 (∇ψn,∇η)dQ− κn ∫ Σ0 ψnηdΣ0 = 0 (10) при любой функции η ∈W 1 2 (Q). В соответствии с методикой Ритца – Трефтца для первого собственного значения κ1 и собствен- ной функции ψ1 справедливо κ1 = minF (ψ), ψ ∈ W 1 2 (Q) (11) при условии ∫ Σ0 ψ2dΣ0 = 1. Для последующих собственных значений выпол- няется κn = minF (ψ), ψ ∈W 1 2 (Q), (12) при условии ∫ Σ0 ψ2dΣ0 = 1 и дополнительных условиях ортогональности ∫ Σ0 ψψkdΣ0 = 0, k = 1, . . . , n− 1. И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 К решению вариационной задачи применим ме- тод Ритца. Систему координатных функций выбе- рем в пространстве W 1 2 (Q) при условии линейной независимости ее элементов и полноты. Прибли- женные решения ищем в виде линейной комбина- ции ψn = n ∑ k=1 akwk, wk ∈W 1 2 (Q). (13) Для определения коэффициентов ak из условия минимума функционала K(ψ) (9) получаем сис- тему Ритца n ∑ k=1 ak(αik − κβik) = 0, i, k = 1, . . . , n, (14) где αik = ∫ Q0 (∇wi,∇wk)dQ, βik = ∫ Σ0 wiwkdΣ0. (15) Приближенные значения собственных чисел κn определяем из уравнения det \|αik − κβik\| = 0, (16) которое представляет собой необходимое условие разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (14). 2. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РИТЦА– ТРЕФТЦА Использование методов, базирующихся на об- щей схеме Ритца – Трефтца, для решения спек- тральной задачи (7) предполагает представление приближенного решения ψ в виде конечной сум- мы базисных гармонических функций с неизве- стными множителями. Подстановка такого реше- ния в функционал (9) и использование необходи- мого условия экстремума сводит проблему опреде- ления минимального κ к подсчету минимального ненулевого собственного значения матричной за- дачи (A − κB)a = 0, где A и B – две неотрицательно определенные сим- метричные матрицы с элементами (15). Собствен- ные векторы матричной проблемы, используемые в качестве неизвестных множителей в исходном представлении ψ, дают приближения соответству- ющих собственных функций. Основной сложностью методов, построенных на схеме Ритца – Трефтца, является выбор эффе- ктивного функционального базиса. Полнота изве- стных наборов гармонических функций суще- ственно зависит от геометрии Q0. Как известно, универсальным полным семейством функций для любой звездной области Q0 являются лишь ча- стные решения полиномиального типа (Луковский и др. [30]). 2.1. Частные решения полиномиального типа Перейдем к цилиндрической системе координат (X, ξ, η): x = X +X0, y = ξ cos η, z = ξ sin η. (17) Сдвиг вдоль вертикальной оси X0 подобран таким образом, чтобы начало цилиндрической системы совпадало c центром невозмущенной свободной по- верхности. Представим решение задачи (7) в виде ψ(x, y, z) = ϕm(X, ξ) sinmη cosmη , m = 0, 1, 2 . . . (18) Неизвестные функции ϕm(X, ξ) определяются как решения двумерных краевых спектральных задач ∂ ∂X ( ξ ∂ϕm ∂X ) + ∂ ∂ξ ( ξ ∂ϕm ∂ξ ) − −m 2 ξ ϕm = 0 в G, ∂ϕm ∂X = κm ϕm на L0, ∂ϕm ∂ν = 0 на L, \|ϕm(X, 0)\| <∞, ∫ L0 ξ ∂ϕ0 ∂x dξ = 0, (19) сформулированных в меридиональном сечении области Q0 (обозначения приведены на рис. 3, L=L1+L2). Совокупность собственных значений исходной трехмерной задачи становится при этом двухпараметрическим множеством κmi, где ин- декс i задает номер собственного значения зада- чи (19) при фиксированном значении m. Соответ- ствующие собственные функции исходной задачи представляются в виде (18), где под ϕm следует теперь понимать собственную функцию ϕmi, со- ответствующую собственному значению κmi (i = 1, 2, . . .). 46 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Существует ряд приемов построения частных решений двумерного в области G уравнения за- дачи (19). Наиболее интересными и важными для практических целей представляются решения по- линомиального типа, полученные исходя из пред- ставления [3, 9, 12, 30] w (m) k (X, ξ) = 2(k −m)! (k +m)! RkP (m) k (µ), k ≥ m, R = √ X2 + ξ2 , µ = cos η, (20) где P (m) k (µ) – присоединенные функции Лежан- дра первого рода. Легко проверить, что выраже- ния (20) действительно имеют полиномиальную структуру относительно переменных X и ξ, при- чем каждый такой полином содержит лишь члены порядка k. Первые функции из семейства (20) имеют вид w (0) 0 = 1, w (0) 1 = X, w (0) 2 = X2 − ξ2 2 , . . . w (1) 1 = ξ, w (1) 2 = Xξ, w (1) 3 = X2ξ − ξ3 4 , . . . w (2) 2 = ξ2, w (2) 3 = X ξ2, w (2) 4 = X2 ξ2 − ξ4 6 , . . . w (3) 3 = ξ3, w (3) 4 = Xξ3, w (3) 5 = X2ξ3 − ξ5 8 , . . . Частные решения высших по m и k порядков мо- гут быть вычислены с помощью рекуррентных со- отношений ∂w (m) k ∂X = (k −m)w (m) k−1, ξ ∂w (m) k ∂ξ = k w (m) k − (k −m)Xw (m) k−1, (k −m+ 1)w (m) k+1 = = (2 k + 1)Xw (m) k − (k −m)(X2 + ξ2)w (m) k−1, (k −m+ 1)ξw (m+1) k = = 2(m+ 1) ( (X2 + ξ2)w (m) k−1 −Xw (m) k ) , весьма полезных при реализации различных при- ближенных методов. Частные решения w (m) k , будучи подставленными в формулу (18), приводят к системам гармониче- ских по совокупности переменных x, y, z полино- мам различных порядков однородности [30]. x x O q0 G G 1 1 1 r 0 0 x x O q0 h h 1r 2 2 L L L L L L 1 1 Рис. 3. Меридиональное сечение ∧- и ∨-образного конусов 2.2. Вариационный метод решения задачи (19) Приближенный метод решения спектральной задачи (19) методом Ритца – Трефтца связан с ее вариационной формулировкой с использованием функционала [3, 12, 30] Jm(ϕm) = ∫ G [ ξ ( ∂2ϕm ∂X2 + ∂2ϕm ∂ξ2 ) + + m2 ξ ϕ2 m ] dXdξ − κm ∫ L0 ξϕ2 mdξ (21) при дополнительном условии ∫ L0 ξϕmdξ = 0. Представим приближенное решение задачи (19) в виде ϕm(X, ξ) = q ∑ k=1 a (m) k w (m) k+m−1(X, ξ), (22) где a (m) k – подлежащие определению неизвестные постоянные. В классе допустимых функций (22) находятся те, которые доставляют функциона- лу (21) минимальное значение по совокупности па- раметров a (m) k . В результате на основе локального условия экстремума ∂Jm ∂a (m) k = 0, k = 1, 2, . . . , q (23) приходим к матричной спектральной проблеме det ( {α(m) ij } − κm{β(m) ij } ) = 0, (24) позволяющей определить приближенные значе- ния κmn. И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Элементы матриц {α(m) ij } и {β(m) ij } вычисляются по формулам α (m) ij = r1 ∫ 0 ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) X=0 dξ+ + 0 ∫ −h ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂ξ w (m) j+m−1 ) ξ=tg θ0X−r1 dx− −tg θ0 0 ∫ −h ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) ξ=tg θ0X−r1 dX− − 1 ∫ 0 ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) X=−h dξ, β (m) ij = r1 ∫ 0 ( ξw (m) i+m−1w (m) j+m−1 ) X=0 dξ (для прямого усеченного конуса) и α (m) ij = 1 ∫ 0 ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) X=0 dξ+ + 0 ∫ −h ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂ξ w (m) j+m−1 ) ξ=tg θ0X+1 dX− −tg θ0 0 ∫ −h ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) ξ=tg θ0X+1 dX− − r1 ∫ 0 ( ξ ∂w (m) i+m−1 ∂X w (m) j+m−1 ) X=−h dξ, β (m) ij = 1 ∫ 0 ( ξw (m) i+m−1w (m) j+m−1 ) X=0 dξ (для обратного усеченного конуса). Для каждого фиксированного значения m соот- ношение (24) – алгебраическое уравнения q-го по- рядка. Оно имеет q положительных корней κ (q) mn (n = 1, 2, . . . , q), которые являются приближения- ми к q первым собственным значениям κmn (n= 1, 2, . . . , q). С ростом q приближенные значения κ (q) mn сходятся сверху к соответствующим значени- ям κmn, т. е. κ (q) mn ≥κmn и κ (q) mn →κmn при q→∞. При этом вектор a (q) kn в проблеме (22) обеспечивает для собственной функции ϕm сходимость, вообще говоря, лишь в слабом смысле. 2.3. Сходимость (полиномиальный базис) Большинство численных экспериментов фоку- сировалось на расчете наиболее важных с пра- ктической точки зрения наименьших собственных значений κm1, m≥0. В табл. 1 проиллюстрирована типичная ско- рость сходимости метода для ∨-образных кону- сов с углами полураствора 10◦ ≤ θ0 ≤ 75◦ при 0.2 ≤ r1 ≤ 0.9. Хорошо видно, что пять-шесть зна- чащих цифр κm1 стабилизируются уже при q=14. Относительно медленная сходимость наблюдается лишь к частотному параметру κ01, т. е. для осе- симметричных форм. Более того, в последнем слу- чае вычисления теряют устойчивость при q > 17, поэтому в таблице не приведены результаты для q = 20. В то же время, для κ11, определяющего минимальную собственную частоту в системе, ме- тод гарантирует высокую точность приближения при небольшом количестве базисных функций. При тех же r1 увеличение угла полураствора (θ0 > 75◦) также приводит к замедлению сходи- мости для m 6= 1, однако и в этом случае метод гарантирует при q= 17÷20 практическую (инже- нерную) точность, т. е. до третьей – четвертой зна- чащей цифры. Аналогично, три – четыре значащие цифры при q=17÷20 гарантируются для баков с r1<0.2 и 10◦≤θ0≤75◦. Если же радиус основания r1 мал (усеченный конус близок к неусеченному), приближенные значения κm1 стремятся к расче- тным результатам, приведенным в работе [13]. По- следнее обстоятельство являлось важным контро- лем достоверности полученных данных. В табл. 2 показана сходимость метода для ∧- образных конусов при тех же значениях r1 и θ0, что и в табл. 1. Сравнительный анализ показывает, что для ∧-образных конусов предлагаемый метод менее эффективен, чем для ∨-образных, в особен- ности для осесимметричных форм. В этом случае он также численно неустойчив при q > 18. Срав- нимые по точности результаты достигаются лишь для r1≥0.5, где восемнадцать – двадцать базисных функций стабилизируют четыре – пять значащих цифр. Однако уже для r1≤0.2, q=17÷20 удается обеспечить лишь две значащие цифры, и то лишь для минимального собственного значения κ11. Замедленная сходимость метода в случае ∧- образных конусов, по-видимому, связана с нали- чием сингулярности для первых производных соб- ственных функций ψm в угловой точке между L0 и L1 (см. результаты Луковского и др. [30] для областей с тупыми угловыми точками). По- полнение частных решений полиномиального ти- па функциями, которые отражают сингулярный 48 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 1. Сходимость к минимальному собственному значению κm1 для m=0, 1, 2, 3 в зависимости от количества базисных функций q в представлении (22). Случай ∨-образного усеченного конуса с углом полураствора θ0 =30◦, r1 – радиус дна q r1 = 0.2 r1 = 0.4 r1 = 0.6 r1 = 0.8 r1 = 0.9 κ01 2 5.0324147 4.5778333 4.1523524 3.8055010 2.9613991 5 3.3947794 3.3922857 3.3848650 3.1411714 2.2003415 8 3.3856029 3.3855924 3.3818446 3.1388611 2.1974384 11 3.3856004 3.3855903 3.3818268 3.1387177 2.1972382 14 3.3855997 3.3855898 3.3818219 3.1386652 2.1971617 17 3.3855996 3.3855897 3.3818193 3.1386443 2.1971377 κ11 2 1.3436306 1.3357225 1.2999773 1.0072608 0.6073396 5 1.3044125 1.3017931 1.2541566 0.9344124 0.5425025 8 1.3043780 1.3016943 1.2540542 0.9338849 0.5422837 11 1.3043771 1.3016917 1.2539821 0.9338348 0.5422570 14 1.3043769 1.3016867 1.2539718 0.9338229 0.5422505 17 1.3043769 1.3016862 1.2539691 0.9338188 0.5422485 20 1.3043769 1.3016856 1.2539666 0.9338170 0.5422476 κ21 2 2.4437390 2.4243902 2.3866330 2.1913713 1.5720481 5 2.2635496 2.2633506 2.2550956 2.0156022 1.3619051 8 2.2631510 2.2630873 2.2550043 2.0149232 1.3609284 11 2.2631497 2.2630865 2.2549756 2.0148375 1.3608374 14 2.2631496 2.2630863 2.2549722 2.0148112 1.3608047 17 2.2631496 2.2630862 2.2549694 2.0148008 1.3607946 20 2.2631496 2.2630861 2.2549683 2.0147955 1.3607901 κ31 2 3.5331701 3.5208822 3.4590477 3.3161984 2.6974258 5 3.1815302 3.1812992 3.1795405 3.0471786 2.3290220 8 3.1802510 3.1802493 3.1790797 3.0467421 2.3270440 11 3.1802491 3.1802475 3.1790765 3.0466538 2.3268787 14 3.1802488 3.1802474 3.1790742 3.0466204 2.3268123 17 3.1802488 3.1802473 3.1790734 3.0466063 2.3267897 20 3.1802488 3.1802473 3.1790732 3.0465991 2.3267793 характер решения около угловых точек области, обычно значительно улучшает сходимость вариа- ционного метода. Примеры таких пополнений для двухмерных спектральных задач даны в [30]. Заметим, что обсуждаемый метод демонстри- ровал быструю сходимость в случае ∨-баков. Он также обеспечивал удовлетворительное при- ближение высших частотных параметров κm2 и κm3. В целом он оказался применим и для ∧- образных конических баков, однако с худшей схо- димостью. 2.4. Гармонический базис в криволинейной си- стеме координат В дополнение к изложенному выше методу Ри- тца – Трефтца решения спектральной задачи, свя- занной со свободными колебаниями жидкости в покоящемся баке в форме осесимметричного усе- ченного конуса, рассмотрим аналогичный вари- ационный метод, базирующийся на специальном выборе системы координатных функций. С этой целью введем в рассмотрение неконформное пре- И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 2. То же, что и в табл. 1, но для ∧-образного конуса, где r1 – радиус свободной поверхности q r1 = 0.2 r1 = 0.4 r1 = 0.6 r1 = 0.8 r1 = 0.9 κ01 8 70.0633660 15.1409382 6.8999855 4.5609914 2.6834108 10 50.4676244 11.1244924 6.6722662 4.5511501 2.6831172 12 39.0611122 10.1856319 6.6667035 4.5508771 2.6829323 14 32.0757185 10.0174466 6.6656782 4.5505895 2.6827960 16 27.6490413 10.0161238 6.6650577 4.5504215 2.6827514 18 25.1529873 10.0142571 6.6648859 4.5503494 2.6827297 κ11 8 16.5048540 5.6948327 3.5167816 1.6618146 0.7265554 10 13.9478118 5.6337297 3.5158610 1.6616835 0.7265070 12 13.4876669 5.6319036 3.5155474 1.6616084 0.7264894 14 12.2472418 5.6305604 3.5153648 1.6615585 0.7264843 16 11.6634971 5.6298982 3.5152693 1.6615513 0.7264820 18 11.4507240 5.6297769 3.5152366 1.6615370 0.7264795 20 11.3318330 5.6298879 3.5152144 1.6615323 0.7264782 κ21 8 45.0241081 9.7978035 5.9509250 3.7242509 1.9232343 10 28.6524963 9.0961308 5.9419126 3.7240494 1.9230186 12 25.1839423 8.9753827 5.9411071 3.7237082 1.9229498 14 24.7716568 8.9680267 5.9410017 3.7236400 1.9229302 16 21.5127262 8.9666567 5.9406514 3.7235913 1.9229128 18 19.7385831 8.9665306 5.9406028 3.7235488 1.9228994 20 17.7602337 8.9665240 5.9405887 3.7235415 1.9228951 κ31 8 139.8797503 15.6705502 8.1460780 5.6340694 3.4040347 10 83.8225384 12.9549222 8.0467491 5.6339955 3.4035682 12 64.5885322 12.2296368 8.0449158 5.6335645 3.4034604 14 53.4107617 12.0885542 8.0444586 5.6334979 3.4034106 16 53.1387321 12.0796355 8.0442340 5.6333771 3.4033602 18 38.8551864 12.0840012 8.0440279 5.6333432 3.4033355 20 36.4674908 12.0848982 8.0439880 5.6333208 3.4033283 образование в форме Луковского [9, 12, 13], свя- зывающие декартовы переменные x, y, z с новыми переменными x1, x2, x3 следующим образом: x = x1, y = x1x2 cos x3, z = x1x2 sinx3. (25) В новой системе координат Ox1x2x3 с началом в точке O переменная x3 =η – это полярный угол в плоскости Oyz. Область Q0, занятая жидкостью, принимает в системе (x1, x2, x3) форму прямого кругового ци- линдра (x0 ≤ x1 ≤ x10, 0≤ x2 ≤ x20, 0≤ x3 ≤ 2π), а область G∗ в плоскости меридионального сечения Ox1x2 (рис. 4) представляет собой прямоугольник со сторонами h=x10−x0 и x20 =tg θ0 (здесь ради- ус невозмущенной свободной поверхности равен 1 для ∨-образного конуса и r1 для ∧-образного ко- нуса). Представим ϕ(x1, x2, x3) в виде ϕ(x1, x2, x3) = ψm(x1, x2) sinmx3 cosmx3 , m = 0, 1, 2, . . . (26) и перейдем, следуя работам [9, 12], от трехмерной задачи (7) к m-параметрическому семейству спе- ктральных задач относительно ψm(x1, x2) в обла- сти G∗: p ∂2ψm ∂x2 1 + 2q ∂2ψm ∂x1∂x2 + s ∂2ψm ∂x2 2 + +d ∂ψm ∂x2 −m2cψm = 0 в G∗, (27) 50 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 s ∂ψm ∂x2 + q ∂ψm ∂x1 = 0 на L∗ 1, (28) p ∂ψm ∂x1 + q ∂ψm ∂x2 = κmpψm на L∗ 0, (29) p ∂ψm ∂x1 + q ∂ψm ∂x2 = 0 на L∗ 2, (30) \|ψm(x1, 0)\| <∞, m = 0, 1, 2, . . . , (31) x20 ∫ 0 ψ0x2dx2 = 0, (32) где G∗ = {(x1, x2) : x0 ≤ x1 ≤ x10, 0 ≤ x2 ≤ x20}; p = x2 1x2; q = −x1x 2 2; s = x2(x 2 2 + 1); d = 1+2x2 2; c=1/x2; L∗ 0, L∗ 1, L∗ 2 – части границы области G∗. Можно показать, что решения спектральной за- дачи (27) – (32) совпадают с экстремальными то- чками функционала J (ψm) = 1 ∫ L∗ 0 pψ2 mdx2 ∫ G∗ [ p ( ∂ψm ∂x1 )2 + +2q ∂ψm ∂x1 ∂ψm ∂x2 +s ( ∂ψm ∂x2 )2 + m2 x2 ψ2 m ] dx1dx2 (33) на пробных функциях, удовлетворяющих усло- вию (31). Для рассматриваемого здесь типа конических областей существуют два типа частных решений уравнения (27), представленных в пространстве параметров x1, x2 в разделенном виде: xν 1T (m) ν (x2), T̄ (m) ν (x2) x1+ν 1 , ν ≥ 0. (34) Первый из них, регулярный в вершине конуса, возникает в случае конических областей, включа- ющих свою вершину. Как показано в работе [15], функция T (m) ν определяется как решение краевой задачи с параметром ν в уравнении и в граничном условии x2 2(1 + x2 2)T ′′(m) ν + +x2(1 + 2x2 2 − 2νx2 2)T ′(m) ν + + [ ν(ν − 1)x2 2 −m2 ] T (m) ν = 0, (35) T ′(m) ν (x20) = ν x20 1 + x2 20 T (m) ν (x20) (36) Рис. 4. Исходная и трансформированная области меридионального сечения при выполнении условия ограниченности решения \|T (m) ν (0)\| < ∞. Эта задача имеет нетривиальное решение лишь для счетного числа ν = νmn > 0 (m=0, 1, 2, . . ., n=1, 2, . . .). Второе, сингулярное при x1→0, семейство част- ных решений, связанное с T̄ (m) ν , возникает лишь в случае x0 6=0, т. е. для усеченного конуса. Оно при- водит к следующей краевой задаче с параметром ν : x2 2(1 + x2 2)T̄ ′′(m)+ +x2(1 + 4x2 2 + 2νx2 2)T̄ ′(m)+ + [ (ν + 1)(ν + 2)x2 2 −m2 ] T̄ (m) = 0, (37) T̄ ′(m)(x20) + (ν + 1) x20 1 + x2 20 T̄ (m)(x20) = 0, (38) также имеющей нетривиальные решения лишь для счетного числа неотрицательных ν . Как следует из работ [13, 15], решения уравне- ний (35) и (37) тесно связаны с функциями Лежан- дра первого рода, а набор ν = νmn (m = 0, 1, . . ., n = 1, 2, . . .) является общим для обоих семейств решений (34). Действительно, проведя сначала в обоих уравнениях замену переменных µ = (1 + x2 2) −1/2, (39) а затем использовав подстановки y(µ) = µνT (µ) и y(µ)=µ−1−ν T̄ (µ), вместо соотношений (35) и (37) получим известное дифференциальное уравнение: (1 − µ2)y′′(µ) − 2µy′(µ)+ + [ ν(ν + 1) − m2 1 − µ2 ] y(µ) = 0, (40) решениями которого действительно являются присоединенные функции Лежандра первого рода y(µ)=P (m) ν (µ). И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 3. Значения νmk для нескольких значений углов полураствора θ0 θ0 = π/6 n ν0n ν1n ν2n ν3n 1 6.83539808 3.11959709 5.49282500 7.75244235 2 12.90828411 9.71206871 12.37204261 14.91804177 3 18.93644560 15.82152796 18.58301633 21.24614849 4 24.95138112 21.87016680 24.68578005 27.41663567 5 30.96063428 27.89785663 30.74738346 33.52289135 6 36.96692917 33.91577437 36.78860888 39.59590680 7 42.97148871 39.92832912 42.81818932 45.64932001 8 48.97494349 45.93761963 48.84047013 51.69015118 9 54.97765160 51.94477437 54.85786626 57.72240544 10 60.97983147 57.95045476 60.87183012 63.74854246 11 66.98162391 63.95507442 66.88328881 69.77015940 12 72.98312378 69.95890533 72.89286242 75.78833988 θ0 = π/4 1 4.40532918 2.00000000 3.63323872 5.20142706 2 8.44711262 6.33388964 8.13729380 9.87466847 3 12.46332875 10.39698483 12.25919783 14.06452673 4 16.47193967 14.42505010 16.31855929 18.16308293 5 20.47727740 18.44103192 20.35413803 22.22447977 6 24.48090964 22.45137475 24.37794511 26.26665923 7 28.48354098 26.45862229 28.39502631 30.29751029 8 32.48553497 30.46398566 32.40789182 34.32109176 9 36.48709810 34.46811614 36.41793652 38.33971851 10 40.48835640 38.47139553 40.42599923 42.35481185 11 44.48939109 42.47406256 44.43261536 46.36729454 12 48.49025692 46.47627426 48.43814300 50.37779256 θ0 = π/3 1 3.19569115 1.46798738 2.75258821 4.00000000 2 6.21952915 4.65418866 6.04042231 7.38840139 3 9.22884937 7.69054134 9.11091186 10.49837828 4 12.23380906 10.70673365 12.14521751 13.55538637 5 15.23688626 13.71595755 15.16577182 16.59087636 6 18.23898124 16.72192772 18.17952282 19.61524899 7 21.24049935 19.72611149 21.18938780 22.63307179 8 24.24164994 22.72920771 24.19681751 25.64669297 9 27.24255203 25.73159226 27.20261792 28.65745115 10 30.24327826 28.73348550 30.20727365 31.66616793 11 33.24387547 31.73502524 33.21109395 34.67337662 12 36.24437524 34.73630210 36.21428568 37.67943893 Далее, проведя аналогичные операции в одноро- дных краевых условиях (36) и (38), а также введя замену µ=cos θ, приходим в обоих случаях к урав- нению ∂P (m) ν (cos θ) ∂θ ∣ ∣ ∣ ∣ θ=θ0 = 0, (41) являющемуся общим трансцендентным уравнени- ем для определения νmn (m≥0, n≥1). В табл. 3 приведены первые 12 значений νmn (m = 0, 1, 2, 3) для нескольких углов θ0, численно совпадающих с известными в литературе [3, 5, 6, 10]. Подытоживая сказанное, получаем с точностью до постоянного множителя нетривиальные реше- ния задачи (27) – (32): 52 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 T (m) νmk (x2) = (1 + x2 2) νmk 2 P (m) νmk ( 1 √ 1 + x2 2 ) (42) и T̄ (m) νmk (x2) = (1+x2 2) −1−νmk 2 P (m) νmk ( 1 √ 1 + x2 2 ) , (43) которые будут использованы ниже. Отметим здесь также, что в работах [12, 14] приведены частные решения типа (34) при целых значениях индекса ν . Там же даны примеры их использования для построения приближенных ре- шений спектральной задачи (27) – (30) в случае не- усеченного конуса. 2.5. Вариационный метод решения спектраль- ной задачи (27) – (30) Сформулируем вариационный алгоритм Ри- тца – Трефтца решения спектральной зада- чи (27) – (30), исходя из вариационной форму- лировки задачи для квадратичного функцио- нала (33). С этой целью частные решения (34) представим в нормированном виде W (m) k (x1, x2) = N (m) k xνmk 1 T (m) νmk (x2), W̄ (m) k (x1, x2) = N̄ (m) k x−1−νmk 1 T̄ (m) νmk (x2), (44) где N (m) k и N̄ (m) k – множители, которые в дальней- шем выбираются из условия 1 = ‖W (m) k ‖2 L∗ 2 +L∗ 0 = ‖W̄ (m) k ‖2 L∗ 2 +L∗ 0 = = x20 ∫ 0 x2[(W (m) k \|x1=x10 )2+ +(W (m) k \|x1=x0 )2]dx2 = = x20 ∫ 0 x2[(W̄ (m) k \|x1=x10 )2+ +(W̄ (m) k \|x1=x0 )2]dx2. (45) Явные формулы для подсчета этих нормирующих множителей имеют вид N (m) k = 1 √ x2νmk 10 + x2νmk 0 × × 1 √ √ √ √ √ x20 ∫ 0 ( 1 + x2 2 )νmk ( P (m) νmk )2 dx2 , N̄ (m) k = 1 √ x−2−2νmk 10 + x−2−2νmk 0 × × 1 √ √ √ √ √ x20 ∫ 0 ( 1 + x2 2 )−1−νmk ( P (m) νmk )2 dx2 . (46) Заметим, что при m=0 систему частных реше- ний (45) необходимо к тому же переопределить по схеме W (0) k = W (0) k − c (0) k , W̄ (0) k = W̄ (0) k − c̄ (0) k , (47) где c (0) k = 2 x2 20 x20 ∫ 0 x2W (0) k (x10, x2)dx2; c̄ (0) k = 2 x2 20 x20 ∫ 0 x2W̄ (0) k (x10, x2)dx2, (48) чтобы условие сохранения объема (32) выполня- лось автоматически. Приближенное решение вариационной задачи будем искать в виде ψm(x1, x2) = q1 ∑ k=1 a (m) k W (m) k + q2 ∑ l=1 ā (m) l W̄ (m) l , (49) а для определения неизвестных постоянных a (m) k и ā (m) l воспользуемся необходимым условием экстре- мума функционала (33): ∂Jm ∂a (m) k = 0, k = 1, 2, . . . , q1, ∂Jm ∂ā (m) l = 0, l = 1, 2, . . . , q2, (50) приводящим к системе линейных однородных уравнений. Для определения частотных параме- И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 тров κm, как и выше, получаем матричное урав- нение det ( {α̃(m) ij } − κm{β̃(m) ij } ) = 0, i, j = 1, 2, . . . , q1 + q2. (51) Поскольку разложение (49) содержит два типа функций W (m) k и W̄ (m) k , имеем четыре типа состав- ляющих матриц {α̃(m) ij } и {β̃(m) ij }: α̃ (m) ij =   α (m) ij1 α (m) ij2 α (m) ij3 α (m) ij4   , β̃ (m) ij =   β (m) ij1 β (m) ij2 β (m) ij3 β (m) ij4   . (52) Элементы матриц {α(m) ijs } и {β(m) ijs } s=1, . . . , 4 име- ют следующий вид: α (m) ij1 = x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W (m) i ∂x2 ) x1=ht W (m) j dx2− − x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W (m) i ∂x2 ) x1=hb W (m) j dx2, α (m) ij2 = x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W (m) i ∂x2 ) x1=ht W̄ (m) j dx2− − x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W (m) i ∂x2 ) x1=hb W̄ (m) j dx2, α (m) ij3 = x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W̄ (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W̄ (m) i ∂x2 ) x1=ht W (m) j dx2− − x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W̄ (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W̄ (m) i ∂x2 ) x1=hb W (m) j dx2, α (m) ij4 = x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W̄ (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W̄ (m) i ∂x2 ) x1=ht W̄ (m) j dx2− − x20 ∫ 0 ( x2 1x2 ∂W̄ (m) i ∂x1 − −x1x 2 2 ∂W̄ (m) i ∂x2 ) x1=hb W̄ (m) j dx2, β (m) ij1 = h2 t x20 ∫ 0 x2 ( W (m) i W (m) j ) x1=ht dx2, β (m) ij2 = h2 t x20 ∫ 0 x2 ( W (m) i W̄ (m) j ) x1=ht dx2, β (m) ij3 = h2 t x20 ∫ 0 x2 ( W̄ (m) i W (m) j ) x1=ht dx2, β (m) ij4 = h2 t x20 ∫ 0 x2 ( W̄ (m) i W̄ (m) j ) x1=ht dx2. Здесь в случае ∧-образного конуса ht = r1/tg θ0; hb =1/tg θ0, а для ∨-образного – ht = 1/tg θ0; hb = r1/tg θ0. Матричная спектральная задача (51) имеет q1+q2 собственных значений, что соответствует количеству членов в разложении (49). Как обычно, для каждого фиксированного m собственные зна- чения упорядочены в порядке возрастания. 2.6. Сходимость (базис с учетом сингулярности) В табл. 4 показана типичная сходимость мето- да в случае ∨-образных конусов с углами полу- раствора 10◦ ≤ θ0 ≤ 75◦ и 0.2 ≤ r1 ≤ 0.9. Как видно из таблицы, четыре – пять значащих цифр 54 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 4. Сходимость к κm1 от q=q1 =q2 для ∨-образного конуса при θ0 =30◦ κ01 q r1 = 0.2 r1 = 0.4 r1 = 0.6 r1 = 0.8 r1 = 0.9 2 3.3856755 3.3856660 3.3820640 3.1484050 2.2248703 3 3.3856061 3.3855964 3.3819195 3.1439229 2.2117442 4 3.3856005 3.3855908 3.3818784 3.1419372 2.2061790 5 3.3855998 3.3855900 3.3818587 3.1408877 2.2032825 6 3.3855997 3.3855898 3.3818473 3.1402670 2.2015827 7 3.3855996 3.3855898 3.3818401 3.1398700 2.2005005 8 3.3855996 3.3855897 3.3818352 3.1396007 2.1997691 9 3.3855996 3.3855897 3.3818317 3.1394099 2.1992516 10 3.3855996 3.3855897 3.3818291 3.1392697 2.1988720 11 3.3855996 3.3855897 3.3818272 3.1391637 2.1985854 12 3.3855996 3.3855897 3.3818257 3.1390816 2.1983636 κ11 2 1.3043783 1.3017069 1.2543375 0.9359568 0.5448609 3 1.3043770 1.3016953 1.2541481 0.9348642 0.5434825 4 1.3043769 1.3016912 1.2540733 0.9344368 0.5429762 5 1.3043769 1.3016891 1.2540364 0.9342257 0.5427290 6 1.3043768 1.3016880 1.2540156 0.9341063 0.5425891 7 1.3043768 1.3016873 1.2540026 0.9340322 0.5425024 8 1.3043768 1.3016868 1.2539941 0.9339831 0.5424449 9 1.3043768 1.3016865 1.2539881 0.9339490 0.5424048 10 1.3043768 1.3016862 1.2539838 0.9339242 0.5423758 11 1.3043768 1.3016861 1.2539806 0.9339057 0.5423540 12 1.3043768 1.3016859 1.2539781 0.9338916 0.5423374 κ21 2 2.2631617 2.2630995 2.2551472 2.0193228 1.3712121 3 2.2631505 2.2630877 2.2550604 2.0172489 1.3662947 4 2.2631498 2.2630867 2.2550255 2.0163348 1.3642339 5 2.2631497 2.2630865 2.2550072 2.0158503 1.3631513 6 2.2631497 2.2630864 2.2549964 2.0155626 1.3625100 7 2.2631497 2.2630863 2.2549894 2.0153778 1.3620985 8 2.2631497 2.2630863 2.2549847 2.0152522 1.3618188 9 2.2631497 2.2630863 2.2549814 2.0151628 1.3616199 10 2.2631497 2.2630862 2.2549789 2.0150970 1.3614734 11 2.2631497 2.2630862 2.2549770 2.0150471 1.3613624 12 2.2631497 2.2630862 2.2549756 2.0150084 1.3612762 κ31 2 3.1802803 3.1802789 3.1791466 3.0511444 2.3469685 3 3.1802514 3.1802500 3.1791006 3.0492465 2.3383289 4 3.1802492 3.1802478 3.1790898 3.0483374 2.3343342 5 3.1802489 3.1802475 3.1790847 3.0478282 2.3321165 6 3.1802488 3.1802474 3.1790817 3.0475138 2.3307528 7 3.1802488 3.1802474 3.1790797 3.0473058 2.3298533 8 3.1802488 3.1802474 3.1790783 3.0471611 2.3292282 9 3.1802488 3.1802474 3.1790773 3.0470563 2.3287760 10 3.1802488 3.1802474 3.1790766 3.0469780 2.3284382 11 3.1802488 3.1802474 3.1790760 3.0469179 2.3281791 12 3.1802488 3.1802474 3.1790756 3.0468708 2.3279760 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 5. Сходимость к κm1 от q=q1=q2 для ∧-образного конуса при θ0=30◦ κ01 q r1 = 0.2 r1 = 0.4 r1 = 0.6 r1 = 0.8 r1 = 0.9 2 20.8298475 10.4148891 6.9344695 4.7810697 2.8688944 3 20.2923988 10.1461621 6.7546816 4.6296533 2.7489543 4 20.1518381 10.0758806 6.7075834 4.5888632 2.7159111 5 20.0971105 10.0485165 6.6892481 4.5727876 2.7025141 6 20.0706999 10.0353110 6.6803962 4.5649163 2.6958165 7 20.0560999 10.0280108 6.6755013 4.5605151 2.6920057 8 20.0472358 10.0235787 6.6725289 4.5578190 2.6896370 9 20.0414727 10.0206971 6.6705959 4.5560533 2.6880664 10 20.0375250 10.0187232 6.6692717 4.5548366 2.6869728 11 20.0347076 10.0173145 6.6683265 4.5539639 2.6861812 12 20.0326293 10.0162753 6.6676292 4.5533174 2.6855901 κ11 2 11.3353318 5.6470881 3.5286769 1.6728665 0.7324096 3 11.3157652 5.6372210 3.5212650 1.6668699 0.7292459 4 11.3087944 5.6337032 3.5185902 1.6646112 0.7280929 5 11.3055769 5.6320784 3.5173427 1.6635271 0.7275363 6 11.3038422 5.6312020 3.5166652 1.6629260 0.7272244 7 11.3028047 5.6306777 3.5162579 1.6625588 0.7270323 8 11.3021366 5.6303399 3.5159945 1.6623185 0.7269056 9 11.3016819 5.6301100 3.5158147 1.6621527 0.7268178 10 11.3013587 5.6299466 3.5156865 1.6620336 0.7267543 11 11.3011210 5.6298264 3.5155920 1.6619452 0.7267071 12 11.3009412 5.6297354 3.5155204 1.6618778 0.7266709 κ21 2 18.0391831 9.0191771 5.9776164 3.7618639 1.9527587 3 17.9821537 8.9906572 5.9581862 3.7426300 1.9381817 4 17.9601353 8.9796459 5.9506735 3.7348756 1.9322151 5 17.9495064 8.9743303 5.9470400 3.7310115 1.9291671 6 17.9436141 8.9713835 5.9450230 3.7288180 1.9274002 7 17.9400245 8.9695883 5.9437929 3.7274571 1.9262853 8 17.9376827 8.9684172 5.9429898 3.7265564 1.9255371 9 17.9360736 8.9676124 5.9424376 3.7259301 1.9250109 10 17.9349218 8.9670364 5.9420421 3.7254774 1.9246267 11 17.9340700 8.9666104 5.9417495 3.7251398 1.9243378 12 17.9334227 8.9662867 5.9415271 3.7248815 1.9241151 κ31 2 24.3612389 12.1806106 8.1156513 5.7004534 3.4738763 3 24.2542953 12.1271385 8.0798959 5.6679350 3.4415869 4 24.2103022 12.1051419 8.0651860 5.6542913 3.4273519 5 24.1882362 12.0941088 8.0578058 5.6473083 3.4198027 6 24.1756938 12.0878376 8.0536099 5.6432774 3.4153189 7 24.1679197 12.0839506 8.0510088 5.6407484 3.4124396 8 24.1627844 12.0813829 8.0492904 5.6390614 3.4104814 9 24.1592226 12.0796020 8.0480984 5.6378819 3.4090897 10 24.1566550 12.0783182 8.0472390 5.6370259 3.4080656 11 24.1547453 12.0773633 8.0465998 5.6363855 3.4072902 12 24.1532877 12.0766345 8.0461119 5.6358944 3.4066892 56 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 κm1 для 0.2 ≤ r1 ≤ 0.55 стабилизируются уже при q = q1 + q2 = 7÷10 (14÷20 базисных функ- ций), что в целом соответствует результатам § 2.3. Метод устойчиво сходится при r1 < 0.2, в том числе к κ01, чего не наблюдалось при использо- вании частных решений полиномиального типа. При этом количество стабилизируемых значащих цифр при θ0 < 30◦ и 0 < r1 ≤ 0.4 соответствует приведенным в работе [13] для неусеченных кону- сов. Оно больше при том же количестве базисных функций, если 15◦ ≤ θ0 < 30◦, но меньше, если 15◦ ≤ θ0. Гаврилюк и др. [13] связывали замедле- ние сходимости для малых углов полураствора с несоответствием асимптотического поведения ба- зиса вдоль вертикальной оси точному решению за- дачи, которое для цилиндрической полости (пре- дельное положение) должно экспоненциально за- тухать. Далее, с уменьшением глубины заполне- ния бака (0.55≤ r1≤0.9) в ∨-баках с 5◦ ≤θ0 ≤85◦, удержание 18÷24 базисных функций гарантирует лишь три – четыре значащие цифры. Аналогично, переход к “мелкой воде” за счет увеличения θ0 так- же приводит к замедлению сходимости. Впрочем, и в этом случае гарантируются три – четыре зна- чащих цифры при q=24. В табл. 5 продемонстрирована сходимость ме- тода для ∧-образных конусов при тех же значе- ниях r1 и θ0 = 30◦, что и в табл. 4. Из нее ви- дно, что метод в целом применим и в этом слу- чае, однако, как и метод §. 2.1, он менее эффе- ктивен, чем для ∨-образных конусов – здесь то же количество базисных функций дает лишь две – три значащие цифры для 0.2 ≤ r1 ≤ 0.9. В то же время, использование данного набора функций не приводит к численной неустойчивости счета при определении осесимметричных форм κ01 даже для 0.05 ≤ r1 ≤ 0.4. Минимальное собственное значе- ние κ11 для этих r1 также определяется с большей точностью. При тех же r1 увеличение угла полу- раствора для ∧-образных конусов (θ0 > 75◦) зна- чительно замедляет сходимость и количество зна- чащих цифр при q1 = q2 = 12 критически падает, особенно в пределе r1 → 1. Однако и в этом слу- чае при r1 ≈ 0.9 (что должно означать переход к “мелкой воде”) удается гарантировать две знача- щие цифры при q1 =q2 =12÷14. Таким образом можем отметить, что предла- гаемая методика имеет преимущества для ∨- образных конусов, близких к неусеченным. Наличие двух типов базисных функций позво- ляет независимо варьировать q1 и q2 в форму- ле (49) с целью получения минимального κm1 при фиксированном количестве базисных функ- ций Q=q1+q2. Численные эксперименты для фик- сированных Q ≥ 16 показали, что более точные значения κm1 достигаются при q2 > q1. Особенно наглядно это проявляется для малых глубин за- полнения. Так, для θ0 =30◦ и r1 =0.9 у ∨-образного конуса приближенное значение κ11 = 0.54233738 может быть получено при размерностях q1 = q2 = 12, Q=24 или q1 =7, q2=12, Q=19. 3. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНО- СТИ ОБОИХ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ Величины собственных значений κmn зависят от геометрических параметров бака – глубины запол- нения жидкостью h; угла полураствора полости θ0; типа конусности (∧- или ∨-образный). Установлено, что с увеличением величины угла полураствора собственные значения для ∨- образного конуса уменьшаются (рис. 5) при фи- ксированной глубине заполнения жидкости, в то время как для ∧-образного конуса (рис. 6) при увеличении θ0 они увеличиваются. Величины соб- ственных частот σm1 (m = 0, 1, 2, 3) соотносятся как σ01 > σ31 > σ21 > σ11 для ∨-образного конуса и σ31 > σ01 > σ21 > σ11 для ∧-образного конуса. Расчеты по определению собственных значений κmn, проиллюстрированные на рис. 5 и 6, пока- зывают, что при r1 → 1 (r0 = 1) собственные зна- чения стремятся к нулю как для ∨- так и для ∧- образных конусов. Значения низших собственных частотных пара- метров κ11 для ∨-образных конусов актуальны для расчета водонапорных башен. Они приведены в табл. 6. Реальную размерную величину собствен- ной частоты σmn можно получить, воспользовав- шись формулой σ2 mn = g κmn(θ0, r1/r0) r0 (53) и данными из табл. 6, где g, r0 и r1 – размерные величины. Сравнение результатов, полученных при исполь- зовании двух изучаемых базисных систем, пока- зывает, что применение для определения часто- тных параметров базиса из § 2.4 (основанного на функциях Лежандра) замедляет сходимость для κmn при малых глубинах заполнения поло- сти (0.6≤r1) для произвольных углов полураство- ра. В этом случае использование частных решений И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 Табл 6. Значения κ11 в зависимости от θ0 и r1 для ∨-образного конуса r1\θ0 10◦ 15◦ 20◦ 25◦ 30◦ 35◦ 40◦ 45◦ 0.05 1.6743 1.5862 1.4950 1.4011 1.3044 1.2052 1.1037 1.0000 0.10 1.6743 1.5862 1.4950 1.4011 1.3044 1.2052 1.1037 1.0000 0.15 1.6743 1.5862 1.4950 1.4011 1.3044 1.2052 1.1037 1.0000 0.20 1.6743 1.5862 1.4950 1.4011 1.3044 1.2051 1.1035 0.9996 0.25 1.6743 1.5862 1.4950 1.4010 1.3043 1.2049 1.1030 0.9986 0.30 1.6743 1.5862 1.4950 1.4010 1.3041 1.2043 1.1017 0.9966 0.35 1.6743 1.5862 1.4950 1.4008 1.3034 1.2027 1.0990 0.9927 0.40 1.6743 1.5862 1.4949 1.4002 1.3017 1.1994 1.0938 0.9857 0.45 1.6743 1.5862 1.4945 1.3987 1.2980 1.1930 1.0846 0.9743 0.50 1.6743 1.5860 1.4935 1.3952 1.2908 1.1816 1.0696 0.9566 0.55 1.6743 1.5856 1.4908 1.3877 1.2774 1.1625 1.0461 0.9304 0.60 1.6743 1.5842 1.4842 1.3730 1.2540 1.1320 1.0110 0.8932 0.65 1.6740 1.5799 1.4697 1.3456 1.2153 1.0856 0.9607 0.8423 0.70 1.6727 1.5683 1.4395 1.2973 1.1544 1.0181 0.8915 0.7751 0.75 1.6674 1.5391 1.3808 1.2172 1.0632 0.9242 0.8002 0.6897 0.80 1.6472 1.4709 1.2741 1.0918 0.9339 0.7994 0.6844 0.5850 0.85 1.5781 1.3251 1.0945 0.9084 0.7606 0.6416 0.5438 0.4614 0.90 1.3702 1.0471 0.8199 0.6599 0.5423 0.4521 0.3800 0.3207 0.95 0.8631 0.5955 0.4461 0.3511 0.2849 0.2356 0.1970 0.1657 r1\θ0 50◦ 55◦ 60◦ 65◦ 70◦ 75◦ 80◦ 0.05 0.8943 0.7868 0.6777 0.5671 0.4553 0.3424 0.2287 0.10 0.8943 0.7868 0.6776 0.5670 0.4551 0.3423 0.2286 0.15 0.8941 0.7865 0.6772 0.5665 0.4547 0.3419 0.2283 0.20 0.8935 0.7857 0.6763 0.5655 0.4536 0.3410 0.2276 0.25 0.8922 0.7840 0.6742 0.5634 0.4517 0.3393 0.2264 0.30 0.8894 0.7806 0.6706 0.5598 0.4484 0.3366 0.2245 0.35 0.8845 0.7750 0.6647 0.5541 0.4433 0.3325 0.2216 0.40 0.8762 0.7660 0.6556 0.5456 0.4359 0.3266 0.2174 0.45 0.8633 0.7525 0.6425 0.5335 0.4256 0.3184 0.2117 0.50 0.8442 0.7332 0.6242 0.5171 0.4117 0.3076 0.2042 0.55 0.8171 0.7067 0.5996 0.4954 0.3936 0.2935 0.1946 0.60 0.7800 0.6715 0.5676 0.4676 0.3707 0.2759 0.1826 0.65 0.7309 0.6261 0.5271 0.4330 0.3425 0.2544 0.1681 0.70 0.6681 0.5693 0.4775 0.3910 0.3086 0.2289 0.1509 0.75 0.5905 0.5007 0.4183 0.3417 0.2691 0.1992 0.1311 0.80 0.4978 0.4202 0.3499 0.2851 0.2241 0.1657 0.1089 0.85 0.3906 0.3284 0.2727 0.2218 0.1741 0.1286 0.0844 0.90 0.2704 0.2267 0.1879 0.1526 0.1197 0.0884 0.0580 0.95 0.1394 0.1167 0.0966 0.0784 0.0615 0.0454 0.0297 58 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 θ 0 =π/6 r1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 а 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 θ 0 =π/4 r1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 б 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 θ 0 =π/3 r1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 в Рис. 5. Значения κm1(r1) для ∧-образных конусов 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 θ 0 =π/6 r 1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 а 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 θ 0 =π/4 r 1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 б 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 θ 0 =π/3 r 1 κ m1 m=0 m=1 m=2 m=3 в Рис. 6. То же, что и на рис. 5, но для ∨-образных конусов И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r1 10 20 30 40 50 60 70 80 q 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 20 30 40 50 60 70 80 (a) а 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r1 10 20 30 40 50 60 70 80 q 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 20 30 40 50 60 70 80 ( )b б Рис. 7. Количество значащих цифр для κ11 в ∨-образных конусах при двадцати базисных функциях: а – метод § 2.1, б – метод § 2.4 полиномиального типа выглядит более предпочти- тельным. Для больших глубин (r1 ≤0.4) частные решения полиномиального типа малоприменимы и в ряде случаев, особенно для ∧-образной поло- сти, приводят к неустойчивому счету. Здесь выго- днее использовать второй функциональный базис, который гарантирует устойчивый счет и большую точность. Для ∨-образной конической полости в диапазоне 0.2≤ r1 ≤ 0.55 точности обоих методов сравнимы. Сопоставление численных результатов пока- зывает, что оба метода достаточно хорошо опре- деляют практически важное собственное значение κ11, определяющее минимальную собственную ча- стоту. Общее представление о точности методов для κ11 в ∨-образных конусах может быть получено из рис. 7. Здесь показаны диапазоны (r1, θ0), в кото- рых стабилизируется одинаковое количество зна- чащих цифр при использовании одинакового чис- ла базисных функций. Тестировались двадцать ба- зисных функций. Видно, что точность метода § 2.1 невысока лишь для малых θ0 и r1, т. е. при боль- шой глубине жидкости в конусе, близком к цилин- дрическому. В остальных случаях гарантируется высокая практическая точность. В то же время, малые θ0 и r1 не ухудшают сходимости метода § 2.4, однако он имеет невысокую точность при r1→1 в диапазоне θ0>45◦, т. е. для малых глубин в усеченных конусах с большими углами полура- створа. ВЫВОДЫ Рассмотрены два численно-аналитических ме- тода расчета собственных частот и форм в усе- ченных конических баках, основанные на вариа- ционном алгоритме Ритца – Трефтца. Первый из них использует в качестве базиса систему частных решений полиномиального типа. Второй метод использует неконформное преобразование обла- сти, приводящее к частичному разделению пере- менных задачи. Это позволяет построить эффе- ктивную координатную систему функций, восхо- дящую к функциям Лежандра. Анализ полученных численных результатов по- казывает, что каждый из этих подходов имеет свои границы эффективной применимости в зависимо- сти от геометрии конической полости. Первый ме- тод более эффективен при малых относительных глубинах заполнения жидкостью, а второй – при больших глубинах и малых углах раствора кони- ческой полости. Типичной для всего набора конфигураций рас- сматриваемых конических полостей является бо- лее медленная сходимость вариационных мето- дов для ∧-образных конусов по сравнению с ∨- образными. Это объясняется наличием сингуляр- ностей в производных собственных мод колебаний вдоль контактной линии свободной поверхности. Численные данные, полученные в этой статье, сопоставлены с данными для конических полостей с малым углом раствора [5,6]. Удовлетворительное согласование наблюдается лишь для малых углов конусности (θ0<15◦). Изложенные результаты предполагается использовать для развития нелинейной модаль- ной теории для случая усеченных конических баков. Луковский [12] указал пути ее обобщения для произвольных сосудов вращения, что было реализовано в работе Гаврилюка и др. [13] для неусеченного ∨-образного конуса. 60 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 42 – 61 БЛАГОДАРНОСТИ Авторы благодарят Немецкое исследователь- ское общество за финансовую поддержку (проект DFG 436UKR 113/33/00). Участие в работе А. Н. Тимохи стало возмо- жным благодаря спонсорству Центра кораблей и океанских структур при Норвежском университе- те науки и технологии (г. Трондхейм, Норвегия) и фонда Гумбольдта (Германия). Работа выполнена при частичной поддержке НИР N 0105U001108. 1. Levin O. Oscillation of a fluid in rectlinear conical container // AIAA J.– 2, N 6.– 1963.– С. 1447–1448. 2. Докучаев Л. В., Луковский И. А. Методы опреде- ления гидродинамических характеристик подви- жного сосуда с перегородками // Изв. АН СССР. МЖГ.– 1968.– N 6.– С. 205–213. 3. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединен- ных масс жидкости в подвижных полостях.– К.: Наук. думка, 1969.– 250 с. 4. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твер- дого тела с полостями, частично заполненного жидкостью.– М.: Машиностроение, 1968.– 532 с. 5. Докучаев Л. В. К решению краевой задачи о колебаниях жидкости в конических полостях // Прикл. мат. мех.– 1964.– 28, N 1.– С. 151–154. 6. Bauer H. F. Sloshing in conical tanks // Acta Mechanica.– 1982.– 43, N 3-4.– P. 185–200. 7. Abramson H. N. NASA space vehicle design cri- teria (structures).– NASA SP-8009: Propellant Slosh Loads, 1968.– 48 p. 8. Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я. Эксперименталь- ные исследования свободных колебаний жидкости в контейнерах // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, мех. машиностр.– 1961.– N 4.– С. 48–53. 9. Луковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в полостях сложной геометрии.– К.: Наук. думка, 1975.– 232 с. 10. Луковский И. А., Билык А. Н. Вынужденные не- линейные колебания жидкости в подвижных осе- симметричных конических полостях // Численно- аналитические методы исследования динамики и устойчивости многомерных систем.– К.: Ин-т ма- тем. АН УССР, 1985.– С. 12–26. 11. Bauer H. F., Eidel W. Non-linear liquid motion in conical container // Acta Mechanica.– 1988.– 73, N 1-4.– P. 11–31. 12. Луковский И. А. Введение в нелинейную дина- мику тел с полостями, частично заполненными жидкостью.– К.: Наук. думка, 1990.– 296 с. 13. Gavrilyuk I., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Linear and nonlinear sloshing in a circular conical tank // Fluid Dyn. Resch.– 2005.– 37.– P. 399–429. 14. Lukovsky I. A., Timokha A. N. Modal modeling of nonlinear fluid sloshing in tanks with non-vertical walls. Non-conformal mapping technique // Int. J. Fluid Mech. Resch.– 2002.– 29, N 2.– P. 216–242. 15. Луковский I. А. До розв’язування спектральних задач лiнiйної теорiї коливань рiдини в конiчних баках // Доп. НАН України. Сер. А.– 2002.– N 5.– P. 53–58. 16. Schiffner K. A modified boundary element method for the three-dimensional problem of fluid oscillation // Proc. Fifth Int. Conf. Boundary Elements.– Berlin: Springer-Verlag, 1983.– P. 323–335. 17. European Committie for Standatization (CEN) Eurocode 8. Design provisions of earthquake resi- stance of structures.– Brussels: Silos, Tanks and Pi- pelines, Part 4, 1998.– 56 p. 18. Dutta S., Mandal A., Dutta S.C. Soil-structure interaction in dynamic behaviour of elevated tanks with alternate frame staging configurations // J. Sound Vib.– 2004.– 277.– P. 825–853. 19. Shrimali M.K., Jangid R.S. Earthquake response of isolated elevated liquid storage steel tanks // J. Constr. Steel Resch.– 2003.– 59.– P. 1267–1288. 20. El Damatty A., Korol R. M., Tang L. M. Analyti- cal and experimental investigation of the dynamic response of liquid-filled conical tanks // Proc. World Conf. Earthquake Engng, Pap. 966, Topic 7.– New Zeland.– 2000.– P. 8. 21. Tang L. M. Dynamic behavior of liquid-filled circular and conical tanks (Master Thesis).– Hamilton, CA: McMaster University, 1999.– 180 p. 22. Dutta S., Laha M. K. Analysis of the small amplitude sloshing of a liquid in a rigid container of arbitrary shape using a low-order boundary element method // Int. J. Numer. Methods Engng.– 2000.– 47, N 9.– P. 1633–1648. 23. Morand J.-P., Ohayon R. Fluid structure interaction. Applied numerical methods.– New York: John Wiley & Sons, 1995.– 212 p. 24. Луковский И. А., Тимоxа А. Н. Вариационные ме- тоды в нелинейной динамике ограниченного объе- ма жидкости.– К.: Ин-т матем. НАНУ, 1995.– 400 с. 25. Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Multidimensional modal analysis of nonlinear sloshing in a rectangular tank with finite water depth // J. Fluid Mech.– 2000.– 407.– P. 201– 234. 26. Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Timokha A. N. Resonant three-dimensional nonlinear sloshing in a square base basin // J. Fluid Mech.– 2003.– 487.– P. 1–42. 27. Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Timokha A. N. Resonant three-dimensional nonlinear sloshing in a square base basin. Part 2. Effect of higher modes // J. Fluid Mech.– 2005.– 523.– P. 199–218. 28. Lukovsky I. A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-containing bodies // Int. Appl. Mech.– 2004.– 40, N 10.– P. 1092–1128. 29. Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Timokha A. N. Classification of three-dimensional nonlinear sloshing in a square-base tank with finite depth // J. Fluids Struct.– 2005.– 20.– P. 81–103. 30. Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости.– К.: Наук. дум- ка, 1984.– 212 с. 31. Ibrahim R. Liquid sloshing dynamics.– Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.– 948 p. И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 61
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-994
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-11-25T20:43:21Z
publishDate	2006
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. 2008-07-09T14:37:27Z 2008-07-09T14:37:27Z 2006 Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 42-61. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/994 532.595 В работе предложены вариационные методы решения спектральной задачи, возникающей при свободных колебаниях (плесканиях) жидкости в усеченных конических баках кругового поперечного сечения. Приближенные решения найдены в аналитическом виде методом Ритца-Трефтца по двум типам координатного базиса. Для различных конфигураций усеченных конических баков (прямых и перевернутых) по обеим вариационным схемам проведены численные эксперименты по определению частотных параметров свободных колебаний жидкости. Проведено сравнение расчетных данных между собой, а также с аналогичными результатами других авторов, полученными преимущественно для конических баков с малыми углами раствора. У роботі запропоновані варіаційні методи розв'язання спектральної задачі, яка виникає при вільних коливаннях (хлюпаннях) рідини у зрізаних конічних баках кругового поперечного перерізу. Наближені розв'язки знайдені в аналітичному вигляді методом Рітца-Трефтца за двома типами координатного базису. Для різних конфігурацій зрізаних конічних баків (прямих та перевернутих) за обома варіаційними схемами проведено чисельні експерименти з визначення частотних параметрів вільних коливань рідини. Проведено порівняння розрахункових даних між собою, а також з аналогічними результатами інших авторів, одержаними здебільшого для конічних баків з малими кутами розхилу. The paper deals with proposing the variational methods for solving the spectral boundary value problem occurring at free oscillations (sloshing) of a liquid in truncated conical tanks with circular cross-sections. The approximate solutions are obtained by the Ritz-Treftz methods with respect to the two types of a coordinate basis. Computational experiments for evaluating the natural sloshing frequencies were conducted for various shapes of truncated conical tanks (both the right and inverted ones). The numerical data are compared with the results by other authors, that were predominantly obtained for the conical tanks with small semi-apex angles. ru Інститут гідромеханіки НАН України Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках Natural vibrations of a liquid in truncated conical tanks Article published earlier
spellingShingle	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н.
title	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
title_alt	Natural vibrations of a liquid in truncated conical tanks
title_full	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
title_fullStr	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
title_full_unstemmed	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
title_short	Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
title_sort	собственные колебания жидкости в усеченных конических баках
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/994
work_keys_str_mv	AT lukovskiiia sobstvennyekolebaniâžidkostivusečennyhkoničeskihbakah AT solodunav sobstvennyekolebaniâžidkostivusečennyhkoničeskihbakah AT timohaan sobstvennyekolebaniâžidkostivusečennyhkoničeskihbakah AT lukovskiiia naturalvibrationsofaliquidintruncatedconicaltanks AT solodunav naturalvibrationsofaliquidintruncatedconicaltanks AT timohaan naturalvibrationsofaliquidintruncatedconicaltanks

Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках

Institution

Similar Items