Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами

С использованием известных распределений поля в фокальной области исследованы характеристики волн суммарной и разностной частоты (ВСЧ и ВРЧ) при нелинейном взаимодействии фокусированных коаксиальных пучков волн со средой. Доказано, что в фокальной области существуют сверхзвуковые нелинейные источник...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2003
Main Author:	Баранник, Е.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2003
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/995
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 3-18. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859774523649294336
author	Баранник, Е.А.
author_facet	Баранник, Е.А.
citation_txt	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 3-18. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	С использованием известных распределений поля в фокальной области исследованы характеристики волн суммарной и разностной частоты (ВСЧ и ВРЧ) при нелинейном взаимодействии фокусированных коаксиальных пучков волн со средой. Доказано, что в фокальной области существуют сверхзвуковые нелинейные источники ВРЧ. Показана их связь с предельно возможными углами рассеяния по механизму излучения Черенкова. Проведена оценка амплитуды ВРЧ и ее зависимости от угла рассеяния. Обсуждены возможности применения фокусированных пучков волн для акустической томографии параметров нелинейности биологических объектов. З використанням відомих розподілів поля у фокальній області досліджено характеристики хвиль сумарної та різницевої частоти (ХСЧ і ХРЧ) при нелінійній взаємодії фокусованих коаксіальних пучків хвиль із середовищем. Доведено, що у фокальній області існують надзвукові нелінійні джерела ХРЧ. Показано їхній зв'язок з граничними кутами розсіяння за механізмом випромінювання Черенкова. Проведено оцінку амплітуди ХРЧ та її залежності від кута розсіяння. Обговорено можливості використання сфокусованих пучків хвиль для акустичної томографії параметрів нелінійності біологічних об'єктів. The characteristics of the sum and different frequency waves (SFW and DSW) under nonlinear interaction of two collinear focused ultrasound beams with medium are studied using the known field distributions in focal region. The existence of supersonic sources of DSW in the focal region is proved. Interrelation of the supersonic sources with the critical scattering angle due to the Cherenkov emission is shown. The amplitude of DSW and its dependencies on the scattering angle is estimated. Possibilities of application of the focused beams in acoustic tomography of the nonlinearity parameters of biological objects are discussed.
first_indexed	2025-12-02T08:38:21Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 УДК 534.6.615,471:616-073.4-8:389 ЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛН ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФОКУСИРОВАННЫХ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ С БИОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Е. А. Б А РА Н Н И К Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина Получено 20.11.2003 С использованием известных распределений поля в фокальной области исследованы характеристики волн суммар- ной и разностной частоты (ВСЧ и ВРЧ) при нелинейном взаимодействии фокусированных коаксиальных пучков волн со средой. Доказано, что в фокальной области существуют сверхзвуковые нелинейные источники ВРЧ. Пока- зана их связь с предельно возможными углами рассеяния по механизму излучения Черенкова. Проведена оценка амплитуды ВРЧ и ее зависимости от угла рассеяния. Обсуждены возможности применения фокусированных пучков волн для акустической томографии параметров нелинейности биологических объектов. З використанням вiдомих розподiлiв поля у фокальнiй областi дослiджено характеристики хвиль сумарної та рi- зницевої частоти (ХСЧ i ХРЧ) при нелiнiйнiй взаємодiї фокусованих коаксiальних пучкiв хвиль iз середовищем. Доведено, що у фокальнiй областi iснують надзвуковi нелiнiйнi джерела ХРЧ. Показано їхнiй зв’язок з граничними кутами розсiяння за механiзмом випромiнювання Черенкова. Проведено оцiнку амплiтуди ХРЧ та її залежностi вiд кута розсiяння. Обговорено можливостi використання сфокусованих пучкiв хвиль для акустичної томографiї параметрiв нелiнiйностi бiологiчних об’єктiв. The characteristics of the sum and different frequency waves (SFW and DSW) under nonlinear interaction of two collinear focused ultrasound beams with medium are studied using the known field distributions in focal region. The existence of supersonic sources of DSW in the focal region is proved. Interrelation of the supersonic sources with the critical scattering angle due to the Cherenkov emission is shown. The amplitude of DSW and its dependencies on the scattering angle is estimated. Possibilities of application of the focused beams in acoustic tomography of the nonlinearity parameters of biological objects are discussed. ВВЕДЕНИЕ Нелинейные эффекты взаимодействия ультра- звука с биологическими средами являются осно- вой ряда медицинских интроскопических методов диагностики – как широко используемых на прак- тике, так и находящихся в стадии разработки [1,2]. При обсуждении нелинейных механизмов в биоло- гических средах различают кумулятивные и ло- кальные эффекты взаимодействия [2], поскольку в зависимости от конкретных биомедицинских при- ложений и те, и другие могут играть важную роль. Под кумулятивными понимают эффекты, связан- ные с накоплением результата действия нелиней- ности биологической среды (например, искажение формы плоской синусоидальной волны при ее ра- спространении в среде с однородным распределе- нием нелинейных свойств). Отклонения от неко- торого среднего уровня нелинейности, равно как и отклонение формы волн от плоских, приведут к локальным эффектам взаимодействия. С этой точки зрения большинство нелинейных локальных эффектов, не связанных с кавитацией, не прини- мались до недавнего времени во внимание. Фундаментальным для понимания всех эффек- тов взаимодействия с нелинейными средами, к которым относятся и биологические мягкие тка- ни [1 – 3], оказывается то, что волновые возмуще- ния – области сжатия и разрежения – движутся с разной фазовой скоростью [4]: cl = c0 + ( 1 + B 2A ) vx ≡ c0 + εvx, где vx – проекция колебательной скорости частиц на направление движения волны; ε – коэффици- ент нелинейности среды. Коэффициент ε и пара- метр B/2A, являющиеся для конденсированных сред эмпирическими константами, описывают ква- дратичную нелинейность в функции зависимости давления от плотности: A = ρ0 ( ∂P ∂ρ ) S,0 ≡ ρ0c 2 0, B = ρ2 0 ( ∂2P ∂ρ2 ) S,0 = ρ2 0 ( ∂c2 ∂ρ ) S,0 , где производные берутся при постоянной энтро- пии S и равновесной плотности ρ0. Для воды ε=3.5÷3.6 и, таким образом, коэффициент нели- нейности ε обусловлен не столько конвективным c© Е. А. Баранник, 2003 3 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 ускорением частиц среды, сколько ее физической нелинейностью. Потенциально изменение параметра нелинейно- сти B/A может быть использовано для локальной диагностики состояния мягких тканей, поскольку его величина для различных биологических сред и жидкостей колеблется в широком диапазоне зна- чений (от 5 до 11) [1 – 3]. Эти данные свидетель- ствуют о перспективности исследования и разра- ботки акустических методов локального опреде- ления параметров нелинейности. Наиболее много- обещающими в этом смысле представляются мето- ды ультразвуковой дифракционной томографии, предназначенные для идентификации локальных неоднородностей среды. Для реконструкции рас- пределения коэффициента нелинейности к насто- ящему времени предложено несколько схем уль- тразвуковой томографии [5 – 12], которые базиру- ются на анализе поля вторичных волн, включая комбинационные волны суммарной и разностной частот (ВСЧ и ВРЧ) Ω±=ω1±ω2, появляющихся в результате нелинейного взаимодействия при дву- хчастотном излучении ультразвука. Наиболее об- щая схема ультразвуковой томографии нелиней- ного параметра с использованием ВРЧ, частные случаи которой описаны в [6 – 11], развита в рабо- те [12]. Необходимо, однако, отметить, что методы ди- фракционной ультразвуковой томографии нели- нейных параметров на сегодняшний день не на- шли практического применения. Не в последнюю очередь это связано с недостаточной изученно- стью эффектов локального взаимодействия уль- тразвуковых волн с биологической средой, кото- рые при определенных условиях приводят, напри- мер, к сильному дифракционному рассеянию вто- ричных волн. Упомянутое обстоятельство не по- зволяет однозначно интерпретировать результаты томографического эксперимента и использовать преимущества высокой контрастности параметра нелинейности различных биологических сред не- посредственно для медицинской диагностики. На- стоящая работа посвящена анализу локальных эф- фектов возбуждения ВРЧ и ВСЧ, возникающих в результате нелинейного взаимодействия со сре- дой первичных фокусированных пучков волн с использованием приближения, развитого в рабо- тах [13 – 15]. 1. УРАВНЕНИЕ ВЕСТЕРВЕЛЬТА И ТОМО- ГРАФИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРА По сути, вопрос о свойствах нелинейного вза- имодействия первичных ультразвуковых волн имеет для проблемы дифракционной томографии нелинейного параметра такое же значение, как за- дача формирования акустических пучков волн за- данной пространственной конфигурации для эхо- скопических методов исследования линейных па- раметров. В частности, пространственное и кон- трастное разрешение методов ультразвуковой эхо- скопии непосредственным образом зависят от ши- рины главного максимума и уровня боковых ле- пестков функции чувствительности падающих и отраженных пучков волн соответственно. По ана- логии, свойства полей ВРЧ и ВСЧ P 0 ±(~r0) опи- сываются следующим интегралом [12]: P±(~r0) = k2 ± ∫ R G±(~r0 − ~r)ε(~r)P1(~r)P ∗ 2 (~r)d~r. (1) Его величина прямо зависит от пространственной конфигурации и структуры полей падающих (пер- вичных) волн P1,2(~r) с частотами ω1 и ω2 в области рассеяния R. Здесь G±(~r)=− exp(ik±r)/(4πr) – функция Грина ВСЧ и ВРЧ; k±=Ω±/c0. Исходным для анализа схем томографии и исследования эффектов нелинейного взаимодей- ствия волн со средой является уравнение Вестер- вельта [16]: ∆P − 1 c2 ∂2P ∂t2 = −4πQ = − ε ρc4 ∂2P 2 ∂t2 . (2) В однородной по линейным характеристикам сре- де процесс восстановления нелинейных параме- тров по результатам томографического исследо- вания наиболее просто описывается в терминах плоских волн. При двухчастотном излучении уль- тразвука нелинейное рассеяние связано с форми- рованием соответствующей пространственной гар- моники источников вторичных волн (ВРЧ, ВСЧ и гармоник с кратными частотами) из волновых векторов первичных полей ~k1, ~k2 и волнового ве- ктора ~k Фурье-образа ε(~k). Для ВСЧ и ВРЧ условие синхронизма рассеяния плоских волн, вытекающее из соотношения (1), имеет вид [12] ~k1±~k2+~k=k±~es≡~k±, где ~es – единичный вектор в направлении рассеяния. Частным случаем это- го условия является известное условие синхрони- зма [4], обеспечивающее эффективность кумуля- тивного нелинейного взаимодействия волн с од- нородной по параметру ε средой. В этом случае отлична от нуля только Фурье-компонента ε(~k) с волновым вектором ~k=0: ~k1±~k2 =~k±. Поэтому в недиспергирующей среде с постоянным ε куму- лятивное рассеяние волн имеет место только при коллинеарном распространении всех первичных и вторичных пучков. 4 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 Такое жесткое условие синхронизма (аналоги- чное правилу отбора по импульсу для фононов и магнонов в твердом теле, фотонов в кванто- вой электродинамике и т. п.) в отсутствие неодно- родностей справедливо, строго говоря, лишь для идеальных плоских волн. Ограниченность в про- странстве реальных пучков и области их взаимо- действия со средой приводит, согласно принципу неопределенности, к существованию неопределен- ности в направлении волновых векторов ~k1, ~k2 и возможности рассеяния под большими углами в первую очередь ВРЧ, имеющих наибольшую дли- ну волны λ−. Впервые такое дифракционное рас- сеяние пучков плоских волн, взаимодействующих со средой локально, наблюдалось эксперименталь- но и получило объяснение в [17, 18]. Было пока- зано, что дифракция ВРЧ и рассеяние за преде- лы области взаимодействия существенны, если ха- рактерные размеры области нелинейного взаимо- действия сравнимы с λ−. В то же время, рассея- ния на большие углы не происходит, если λ− мно- го меньше размеров области взаимодействия, что отвечает переходу от локального к кумулятивно- му нелинейному взаимодействию со средой. С точ- ки зрения общего условия синхронизма эти выво- ды хорошо понятны – пространственная локали- зация взаимодействия эквивалентна расширению спектра волновых векторов нелинейного парамет- ра ε и приводит к различным возможным направ- лениям волнового вектора ~k−. Позднее в [19] с использованием численного под- хода, развитого в работах [20 –24] для решения уравнения Хохлова – Заболоцкой – Кузнецова, де- тально исследована тонкая структура поля втори- чных волн, включая гармоники первичных волн, для фокусированных пучков. Показано, что ве- личина и структура поля ВСЧ слабо зависят от отношения Ω+/Ω−. В то же время установлено, что при всех использованных значениях параме- тров моделирования процесса взаимодействия ам- плитуда поля ВРЧ слабо изменяется вдоль акусти- ческой оси и в перпендикулярной к ней плоско- сти, однако ширина пучка ВРЧ (аналогично ре- зультатам более ранних работ [13, 14]) возрастает с ростом отношения Ω+/Ω−. В отличие от [13, 14], в работе [19] детально физические причины такого пространственного распределения амплитуды по- ля ВРЧ не обсуждались. В заключение этого раздела отметим, что в работах [25 – 27] были исследованы свойства по- ля вторичных комбинационных волн при нелиней- ном взаимодействии в среде, движущейся относи- тельно излучателей первичных волн. В этом слу- чае имеет место не только доплеровское измене- ние частоты взаимодействующих со средой пучков первичных волн, но и появление комбинационных волн с частотой, отличающейся от Ω±. Это при- водит к картине биений в пространстве и време- ни суммарного поля вторичных волн. Нелинейное взаимодействие плоской звуковой волны и акусти- ческого импульса со средой обсуждалось в рабо- тах [28, 29]. 2. РАССЕЯНИЕ ВРЧ И ВСЧ ПРИ ВЗАИМО- ДЕЙСТВИИ ФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛН Анализ нелинейного взаимодействия сфериче- ски сходящихся пучков акустических волн может быть выполнен, как это сделано в [13,14], на основе уравнения для возмущений плотности [4], выпи- санного с точностью до членов второго порядка малости включительно: ∆ρ′ − 1 c20 ∂2ρ′ ∂t2 = − ε− 1 ρ0 ∆ρ′2+ + 1 c20 div [ ~v ∂ρ′ ∂t − ρ0(~v · ~∇)~v ] , (3) где ~v – колебательная скорость. Без учета нели- нейных членов (в первом приближении) уравне- ние (3) описывает в рассматриваемом случае рас- пространение невзаимодействующих соосных сфе- рически фокусированных пучков волн с часто- тами ωj и углами раскрытия волнового фронта αj<α̃j (j=1, 2). На рис. 1 дважды заштрихова- на область наложения первичных пучков волн. Отметим, что в приближении геометрической аку- стики края волновых фронтов излучаемых перви- чных волн совпадают при выполнении соотноше- ний α1 =α2 и α̃1 = α̃2. Для нахождения поля ВРЧ необходимо вычи- слить нелинейную правую часть уравнения коле- баний второго приближения, которая получается из правой части уравнения (3) после подстанов- ки ρ′ =ρ′1+ρ′2 , ~v=~v1+~v2, где ρ′j и ~vj – возмущения плотности и колебательной скорости в первичных фокусированных пучках волн. В общем случае эти величины могут быть найдены, например, с по- мощью выражения для потенциала колебательной скорости [30] Φj(~r) = − 1 2π ∫ S ~vj(~rj) exp(−ikj\|~r − ~rj\|) \|~r − ~rj\| d~Sj , (4) которое обычно называют формулой Рэлея. Здесь предполагается гармоническая зависимость от времени exp(iωjt), а интегрирование производится по поверхности излучения S, кривизна которой в Е. А. Баранник 5 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 Рис. 1. Взаимное расположение ВРЧ и полей взаимодействующих со средой первичных фокусированных ультразвуковых волн с частотами ω1 и ω2 и углами раскрытия волновых фронтов α1, α̃1 и α2, α̃2 соответственно Рис. 2. Взаимное расположение элемента излучающей поверхности с координатой ~rj , точки ~r в фокальной области пучков волн и точки наблюдения ~r0 полей ВРЧ и ВСЧ рассматриваемом случае задает фокусное расстоя- ние F , как показано на рис. 2. Непосредственно из выражения (4) при F�r, λ и с учетом интеграль- ного представления функции Бесселя J0(x) выте- кает формула Дебая для распределения потенциа- ла в фокальной области ультразвукового преобра- зователя с равномерным распределением ампли- туды v (0) 1,2 на излучающей поверхности: Φj(r, x) = −v (0) j Fe−ikjF× × α̃j ∫ αj J0(kjr sin θj) exp(−ikjx cos θj) sin θjdθj, (5) где r – радиальная координата в фокальной пло- скости, отсчитываемая от оси Ox. Упростим задачу, полагая α̃j �1 (длиннофо- кусная система). Тогда из выражения (5) сле- дует, что аксиальные составляющие скоростей ~v1,2 = ~∇Φ1,2 много больше радиальных, поскольку при дифференцировании по радиальной коорди- нате r в подынтегральном выражении формулы Дебая появляется дополнительный малый множи- тель sin θj , а функция Бесселя нулевого порядка переходит в функцию Бесселя первого порядка от аргумента, также содержащего sin θj . Как резуль- тат, вкладом радиальных составляющих в правую часть уравнения (3) можно пренебречь. В этом же приближении между возмущениями плотности и аксиальными составляющими скоростей выпол- няется приближенное равенство ρ′j ≈ρ0c −1 0 vjx, а между операторами ~∇, ∂/∂x и ∂/∂t – равенство ~∇≈~ex∂/∂x≈−~exc −1 0 ∂/∂t. После несложных пре- образований правая часть уравнения колебаний, играющая роль источника с плотностью q=q−+q+ вторичных ВРЧ и ВСЧ, приобретает вид −4πq = −2ε ρ0 c40 ∂2 ∂t2 (v1xv2x), (6) аналогичный правой части уравнения Вестервель- та (2). В связи с этим необходимо отметить, что в дей- ствительности формулы Рэлея и Дебая справедли- вы для плоских излучателей в абсолютно жест- ком экране S′ [31], поэтому в случае фокусиро- вания волн интегрирование следует производить, строго говоря, не по вогнутой излучающей поверх- ности ультразвукового преобразователя, а по по- верхности S0 в плоскости экрана, показанной на рис. 2. Однако для длиннофокусных излучателей с малыми углами раскрытия возникающие из-за этого поправки к величине скорости имеют, оче- видно, более высокий порядок малости по углам раскрытия. Распределение амплитуды колебаний по акусти- ческой оси Ox и в фокальной плоскости фоку- сирующих систем хорошо известно (см., напри- мер, [30, 31]). Амплитуда колебаний максимальна в фокусе, резко спадает по мере удаления от него и имеет осциллирующий характер. Следователь- но, область нелинейного взаимодействия со средой 6 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 эффективно ограничивается окрестностью фоку- са, размеры которой, в свою очередь, определяю- тся длиной волны первичных волн и углами ра- скрытия волновых фронтов. Поэтому в борнов- ском приближении вдали от фокальной области поле ВРЧ можно искать в виде запаздывающего потенциала ρ′−(~r0) = ∫ q−(~r, t− \|~r0 − ~r\|/c0) \|~r0 − ~r\| d~r. (7) В общем случае зависимость аксиальной состав- ляющей колебательной скорости фокусированных волн от координат довольно сложна и описывае- тся бесконечными рядами по специальным фун- кциям [30], что затрудняет вычисление интеграла в выражении (7). Поэтому для оценки аксиальную составляющую выберем в следующем виде: vjx(r, x, t) = −v (0) j ωj c0 F× × [ (1 − cos α̃j)Λ1 ( ωj c0 r sin α̃j ) − −(1 − cosαj)Λ1 ( ωj c0 r sinαj )] × × sin ajx ajx sinωj [ t − x c0 cosαj + cos α̃j 2 ] , aj = ωj 2c0 (cosαj − cos α̃j). (8) Здесь Λ1(x) – ламбда-функция первого порядка. Нетрудно убедиться, что в пределах своей приме- нимости выражение (8) при r=0 дает правильное распределение по акустической оси, а при x=0 – в фокальной плоскости. Подставляя соотношение (8) в формулу (6) и оставляя компоненту вынуждающей силы только на частоте Ω−, находим выражение для источника ВРЧ: −4πq−=ε ( FΩ− c30 )2 ρ0 cos { Ω−t− x 2c0 − −[ω1(cosα1+cos α̃1)−ω2(cosα2+cos α̃2)] } × × ∏ j=1,2 v (0) j ωj [ (1−cos α̃j)Λ1 ( ωj c0 r sin α̃j ) − −(1−cos αj)Λ1 ( ωj c0 r sinαj )] sin ajx ajx . (9) Отсюда видно, что в выбранном приближении область взаимодействия первичных волн, по ко- торой производится интегрирование в выраже- нии (7), эффективно ограничивается функциями типа x−2 sin(a1x) sin(a2x) и Λ1(b1r)Λ1(b2r). Вдали от области взаимодействия расстояние от локального вторичного источника ВРЧ с цилин- дрическими координатами (r, ψ, x) до точки на- блюдения связано со сферическими координатами (r0, ϕ, ψ0) последней соотношением \|~r0 − ~r\| ≡ r0 − x cosϕ− r sinϕ cos(ψ − ψ0). Сферические координаты для точки наблюдения выбраны с учетом симметрии задачи, причем по- лярный угол ϕ отсчитывается от положительного направления оси Ox. Подставляя выражение (9) в интеграл (7) и полагая \|~r0−~r\|=r0 в знаменателе (но не в фазовых членах) подынтегрального выра- жения, после интегрирования по азимутальному углу ψ приходим к следующему выражению для амплитуды ВРЧ: ρ′− ρ0 = 2ε v (0) 1 v (0) 2 c20 ( FΩ− c0 )2 I1I2 r0 , I1 = ∞ ∫ −∞ x−2 cos x c0 [ ω1 cosα1 + cos α̃1 2 − −ω2 cosα2 + cos α̃2 2 − Ω− cosϕ ] × × ∏ i=1,2 sin(aix) dx, I2 = ∞ ∫ 0 rJ0 ( Ω− c0 r sinϕ ) × × ∏ i=1,2 { 1 cosαi − cos α̃i × × [ (1 − cos α̃i)Λ1 ( ωi c0 r sin α̃i ) − −(1 − cosαi)Λ1 ( ωi c0 r sinαi )] } dr. (10) Функция Бесселя появляется здесь в результа- те интегрирования по ψ (аналогично выраже- нию (5)), а отсутствие зависимости величины ρ′− от угла ψ0 указывает на инвариантность поля ВРЧ относительно вращений вокруг оси Ox. Интегралы I1 и I2 сводятся к табличным [32, с. 431, 709]. В частности, интеграл I1 отличен от нуля и равен I1 = π ω2 2c0 (cosα2 − cos α̃2) (11) Е. А. Баранник 7 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 для углов ϕ, удовлетворяющих неравенству [13] ω1 cosα1 − cos α̃1 2 − ω2 cosα2 − cos α̃2 2 > > ∣ ∣ ∣ ∣ ω1 cosα1 + cos α̃1 2 − ω2 cosα2 + cos α̃2 2 − −Ω− cosϕ ∣ ∣ ∣ ∣ , (12) (для определенности полагаем ω1>ω2). В общем случае анализ этого условия не представляет за- труднений, однако довольно громоздок. Поэтому ограничимся рассмотрением ряда принципиально важных случаев. Дифракционное рассеяние на большие углы возможно при малых частотах (больших длинах волн) ВРЧ, поэтому в предельном случае, когда Ω±∼ω1, ω2, рассеяния на большие углы быть не должно. Действительно, из неравенства (12) при Ω−→ω1 следует cos α̃1 < cosϕ < cosα1, т. е. рассеяния вне конуса, образованного краями волнового фронта первичной волны с большей ча- стотой, не происходит. Далее, пусть α1=α2 =0 и α̃1≥ α̃2, что соответ- ствует практически используемым в ультразву- ковой медицинской диагностике фокусирующим преобразователям. Тогда из условия (12) находим 0 < sin2 ϕ 2 < sin2 α̃2 2 + + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α̃2 2 ) . (13) Отсюда следует, что при α̃1= α̃2 область распро- странения ВРЧ в дальней зоне при любых зна- чениях частоты Ω− совпадает с областью распро- странения первичных волн: 0 < ϕ < α̃1 = α̃2. Отметим, что этот вывод качественно согласуе- тся с результатами расчета полей ВРЧ, основан- ного на решении параболического уравнения тео- рии дифракции и предположении о гауссовом по- перечном распределении амплитуды у первичных волн [33], а также с численными решениями [19]. Нетрудно видеть, что при α̃1>α̃2 правая часть неравенства (13) растет с уменьшением Ω− и до- стигает значения sin2(ϕ̃0/2) при Ω− = ( sin2 α̃1 2 − sin2 α̃2 2 ) × × ( sin2 ϕ̃0 2 − sin2 α̃2 2 )−1 . (14) Таким образом, в рассматриваемом случае рассея- ние имеет выраженный широкоугловой характер. Например, при sin2(ϕ̃0/2)=1/2 выражение (13) да- ет значение частоты, при котором ВРЧ распро- страняются во всю полусферу за фокальной пло- скостью, а при sin2(ϕ̃0/2)=1 – во весь телесный угол 4π. Интеграл I2 отличен от нуля, причем I2 = 2(ω1 sin α̃1/c0) −2 для углов, удовлетворяющих неравенству 0 < sinϕ < ω1 sin α̃1 − ω2 sin α̃2 Ω− . Путем несложных преобразований это условие можно представить в виде 0 < sin2 ϕ 2 < 1 2 − {[ 1 2 − sin2 α̃2 2 − − ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α̃2 2 )]2 − A2 }1/2 , A2 = ω1ω2(4Ω−)−2 [ (sin α̃1 − sin α̃2) 2+ +(cos α̃1 − cos α̃2) 2 ] . (15) Непосредственно сравнивая неравенства (13) и (15), легко убедиться, что более жесткие ограничения на угол рассеяния накладывает условие (13). Иными словами, интеграл I2 всегда отличен от нуля, когда отличен от нуля инте- грал I1. Физически этот результат отражает известное свойство длиннофокусных излучате- лей [30]: диаметр фокального пятна таких систем всегда меньше размеров окрестности фокуса вдоль акустической оси, а следовательно, лучше удовлетворяет условиям дифракции ВРЧ. Наконец, пусть α2 =0 и α̃2 =α1, т. е. в прибли- жении геометрической акустики фокусированные пучки ультразвуковых волн пересекаются лишь в одной точке среды, находящейся в фокусе систе- мы. Тогда I1 отличен от нуля, причем I1 = π 2c0 ω2(1 − cos α̃2) (16) 8 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 для углов ϕ, удовлетворяющих двойному неравен- ству sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− sin2 α̃2 2 < sin2 ϕ 2 < < sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α̃2 2 ) . (17) Условие (17) отличается от условия (13) левой ча- стью. Иными словами, в рассматриваемом случае ВРЧ не существуют в конусе с углом при вершине 2ϕ0 = 4 arcsin { sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− sin2 α̃2 2 }1/2 . (18) На рис. 1, где схематически представлены области распространения волн, область рассеяния ВРЧ отмечена радиальной штриховкой. Условие отличия от нуля интеграла I2 опреде- лятся неравенством sin α̃2 < sinϕ < ω1 sin α̃1 − ω2 sin α̃2 Ω− , (19) которое можно представить в виде sin2 α̃2 2 < sin2 ϕ 2 < 1 2 − {[ 1 2 − sin2 α̃2 2 − − ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α̃2 2 )]2 − A2 }1/2 . (20) При этом I2 = 2 1− cos α̃1 cos α̃2 − cos α̃1 ( c0 ω1 sin α̃1 )2 . (21) Таким образом, величина I2, как и ранее, всегда отлична от нуля, когда отличен от нуля интеграл I1. Подставляя соотношения (16) и (21) в фор- мулу (10), находим окончательное выражение для амплитуды рассеянного поля ВРЧ в области углов рассеяния ϕ, описываемой двойным нера- венством (17): ρ′− ρ0 = 2πε 1 r0 v (0) 1 v (0) 2 c20 ( Ω− ω1 )2 ω2F 2 c0 × × (1 − cos α̃2)(1 − cos α̃1) sin2 α̃1(cos α̃2 − cos α̃1) . (22) Строго говоря, использованные распределения амплитуд колебаний в фокальной плоскости и по акустической оси справедливы лишь для фокаль- ной области. Очевидно, этого вполне достаточ- но для оценки рассеяния ВРЧ, возникающих при взаимодействии пучков волн, пересекающихся в приближении геометрической акустики лишь в фокусе, что соответствует последнему из рассмо- тренных случаев. Для случая α1 =α2, наряду с вкладом в рассеяние ВРЧ окрестности фокуса как области максимальной амплитуды колебаний пер- вичных волн необходимо также учитывать нели- нейное взаимодействие со средой в области, уда- ленной от фокальной. Обсуждение такого взаимо- действия, а также некоторые замечания по поводу точности уравнения Вестервельта и полученных выражений для углов рассеяния и величин инте- гралов, определяющих амплитуду рассеяния, бу- дут даны ниже для дальней зоны излучения ВРЧ. С практической точки зрения, из проведенного рассмотрения вытекает принципиальная возмож- ность диагностики фокусированных пучков аку- стических волн с помощью пробного пучка волн, параметры которого (фокусное расстояние, ча- стота, углы раскрытия) известны и поддаются изменению. Возможны, в частности, биомедицин- ские приложения локальных эффектов нелинейно- го взаимодействия фокусированных пучков волн, не связанные непосредственно с ультразвуковой визуализацией и диагностикой. Например, в уль- тразвуковой хирургии важной задачей является определение местоположения фокальной области сходящихся волновых фронтов в оптически не- прозрачных средах [34]. В работе [35] предложено использовать для этого именно характерные чер- ты широкоуглового рассеяния ВРЧ, обусловленно- го локальными эффектами взаимодействия с био- логическими средами первичных мощных фоку- сированных пучков волн, которые одновременно используются непосредственно для хирургических целей. Для реализации такой возможности, рав- но как и различных схем ультразвуковой томогра- фии нелинейного параметра, необходимо провести детальное экспериментальное изучение дифракци- онного рассеяния при наложении фокусированных пучков первичных волн. 3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСТОЧНИКИ ВРЧ И ВСЧ В ФОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ Приведенные выше результаты являются след- ствием специфического вида функции плотнос- ти источников ВРЧ, которая не только убывает по мере удаления от фокуса, но и содержит, по- мимо члена, описывающего бегущую волну, про- странственно осциллирующие множители. После- днее по физическому смыслу означает, что вну- три области взаимодействия формируется гора- Е. А. Баранник 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 здо более сложная, чем в случае плоских волн [17, 18], структура зон Френеля источников ВРЧ. Ее формирует как продольное локальное пространс- твенное распределение первичных взаимодейству- ющих волн, так и поперечное. Непосредственно из выражения (9) следует, что в рассмотренном случае фокусированных пучков волн с малыми углами раскрытия отношение характерного раз- мера области взаимодействия в продольном на- правлении к характерному размеру в поперечном направлении оказывается много больше едини- цы. В частности, при α1 =α2 оно составляет по- рядка ωj sin α̃j/(ajc0)∼ctg (α̃j/2)�1. Тем не ме- нее, ограничения на угловые характеристики поля ВРЧ (13) и (15), включая полученные условия рас- сеяния на большие углы, отличаются весьма не- значительно и, как следует из выражения для A, оказываются идентичными при α̃1= α̃2. Причина такого поведения ультразвуковых пу- чков заключается в том, что, как видно из со- отношения (9), скорость вторичных нелинейных источников ВРЧ сильно зависит от геометрии пер- вичных пучков волн и может превышать звуко- вую. Это обстоятельство в совокупности со сло- жной структурой зон Френеля источников ВРЧ приводит к тому, что наряду с общими чертами, присущими дифракционному рассеянию, при на- ложении фокусированных пучков волн имеются и отличия. В частности, согласно формуле (18) в определенных случаях может отсутствовать рас- сеяние вперед (в полной аналогии с черенковским излучением). Наоборот, даже при Ω−→0 нет рас- сеяния на большие углы, если совпадают углы ра- скрытия α̃1 и α̃2 (см. условие (12)). Выбор полей первичных волн в простейшем ви- де (8) позволяет продемонстрировать общую зави- симость рассеяния ВРЧ от специфического вида функции плотности нелинейных источников в фо- кальной области и, в частности, от скорости их ра- спространения. Однако эта скорость в рамках про- веденного упрощенного рассмотрения оказывается постоянной для всех источников вторичных волн и определяется согласно выражения (9) только пре- дельными углами раскрытия пучков волн. В дей- ствительности же каждый из первичных взаимо- действующих пучков ультразвуковых волн фор- мируется за счет суммирования волновых состав- ляющих, приходящих в фокальную область под разными углами. В соответствии с этим и сверх- звуковые вторичные источники ВРЧ и ВСЧ в сре- де могут иметь различную скорость распростране- ния в зависимости от того, какими составляющими первичных волн они образованы. Тонкие детали зависимости угловых характери- стик полей вторичных волн от скорости нелиней- ных источников можно продемонстрировать, во- спользовавшись, например, интегральной форму- лой для потенциала скоростей [31] Φj(~r) = 1 2π ∫ S Φj(~rj) exp(−ikj \|~r− ~rj\|) \|~r− ~rj\|2 × ×(1 + ikj\|~r − ~rj \|) ~r − ~rj \|~r − ~rj \| d~Sj , записанной в форме Гюйгенса – Френеля для то- чек фокальной области при F�r, λ: Φj(~r) = ikj 2π ∫ S Φj(~rj) exp(−ikj \|~r − ~rj\|) \|~r − ~rj\| dSj . (23) При переходе к выражению (23) предполагается малость угла между направлением на точку в фо- кальной области и нормалью к поверхности инте- грирования, которую при малых углах раскрытия волнового фронта по-прежнему можно считать совпадающей с поверхностью излучения. Выраже- ния такого вида справедливы для ультразвуково- го фокусирующего преобразователя в абсолютно мягком экране. Очевидно, это в большей степе- ни соответствует реальным условиям биомедицин- ских приложений, чем условие абсолютно жестко- го экрана. С учетом известной связи между по- тенциалом скоростей и акустическим давлением Pj =−ρ0∂Φj/∂t, выражение (23) дает возможность сразу записать потенциал и, соответственно, аку- стическое давление в фокальной области сходящи- хся сферических волн в виде, аналогичном (5): Pj = Pj0 ωj c0 F α̃j ∫ αj J0 ( ωj c0 r sin θj ) × × sin [ ωjt− ωj c0 (F + x cos θj) ] sin θjdθj. (24) Здесь Pj0 – амплитуда давления на излучающей поверхности фокусирующего преобразователя. По физическому смыслу выражение (24) представля- ет собой сумму плоских волн, приходящих в то- чку ~r фокальной области из разных направлений в пределах углов раскрытия волнового фронта. Формула (24) для акустического давления по- зволяет непосредственно использовать при иссле- довании ВРЧ и ВСЧ уравнение Вестервельта (2), по поводу которого необходимо сделать следующее замечание. В действительности истинная правая часть уравнения для акустического давления (2) имеет существенно более сложный вид (см., напри- 10 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 мер, [12, 36]): 4πQ = ε− 1 ρ0c40 ∂2P 2 ∂t2 + 1 ρ0c40 ( ∂P ∂t )2 + + 1 2 ρ0∆~v 2 + ρ0~v∆~v. (25) В работе [36] показано, однако, что величина (25) может быть представлена в виде двух слагаемых: 4πQ = [ ∆L− 1 c20 ∂2L ∂t2 ] + ε ρ0c40 ∂2P 2 ∂t2 , одно из которых представляет собой полный да- ламбертиан от функции Лагранжа L плотности энергии акустического поля: L = ρ0~v 2 2 − P 2 2ρ0c20 . По этой причине все решения для полей волн ком- бинационных частот, даваемые уравнением Ве- стервельта, справедливы, строго говоря, с точно- стью до слагаемого, пропорционального той части функции Лагранжа, которая содержит перекре- стные произведения скоростей частиц и акустиче- ских давлений первичных волн. В то же время, в рассматриваемом случае малых углов раскрытия волновых фронтов непосредственное вычисление правой части с нужной степенью точности приво- дит либо к уравнению для возмущений плотности с правой частью вида (6), либо к уравнению Ве- стервельта. Это связано с тем, что для идеальных плоских волн лагранжиан тождественно равен ну- лю. В то же время, из выражений для потенциа- ла скоростей и вытекающих из него интеграль- ных формул для акустического давления и коле- бательной скорости первичных волн вдали от фо- кальной области следует, что скорости направле- ны вдоль радиус-векторов, проведенных из центра излучающей поверхности, поскольку волны стано- вятся сферически расходящимися. Следователь- но, в дальней зоне излучения фокусированных пу- чков волн, где справедливо использованное ранее приближение запаздывающего потенциала (7), со- ответствующий перекрестный член функции Ла- гранжа с хорошей степенью точности обращается в ноль ввиду выполнения для сферически расходя- щихся волн равенства Pj≡−ρ0c0vj . Таким обра- зом, в дальней зоне излучения первичных аку- стических волн решение уравнения (2) с правой частью (25) также может быть сведено к реше- нию уравнения Вестервельта. Вклад нелинейного взаимодействия первичных волн со средой в этой области имеет, очевидно, кумулятивный характер и потому здесь не рассматривается. Отметим, на- конец, что при конечной апертуре взаимодейству- ющих со средой волн такого рода добавочными членами в решении всегда можно пренебречь для решений, записываемых в области, где отсутству- ет (либо пренебрежимо мала) хотя бы одна из пер- вичных волн. Подчеркнем, что эти выводы никак не связаны с предположением о малости углов ра- скрытия волновых фронтов ультразвуковых пу- чков волн. Подставляя выражение (24) в правую часть уравнения Вестервельта, приходим к следующему выражению для источников ВРЧ и ВСЧ: Q±(r, x; t) = ± ε 4π P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 ± ω1ω2 c20 × × α̃1 ∫ α1 α̃2 ∫ α2 J0 ( ω1 c0 r sin θ1 ) J0 ( ω2 c0 r sin θ2 ) × × cos Ω± ( t − x c± ) sin θ1 sin θ2dθ1dθ2, (26) c± = c0Ω±(ω1 cos θ1 ± ω2 cos θ2) −1. (27) Представляя решение в виде запаздывающего по- тенциала, аналогичного формуле (7), и проводя в (26) интегрирование по координате x и угловой переменной, отражающей цилиндрическую симме- трию задачи, получаем выражение для амплитуды полей комбинационных частот: P±(r0, ϕ; t)=πε 1 r0 P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 ± ω1ω2 c20 × × α̃1 ∫ α1 α̃2 ∫ α2 δ( Ω± c± − Ω± c0 cosϕ) ∞ ∫ 0 J0 ( ω1 c0 r sin θ1 ) × ×J0 ( ω2 c0 r sin θ2 ) J0 ( Ω± c0 r sinϕ ) rdr× × sin θ1 sin θ2dθ1dθ2. (28) Здесь δ-функция появляется в результате интегри- рования по координате x и предельного перехода F ′ ∫ −F ′ cos Ω±x c± dx = 2 sin { F ′ ( Ω± c± − Ω± c0 cosϕ )} Ω± c± − Ω± c0 cosϕ → → 2πδ ( Ω± c± − Ω± c0 cosϕ ) , предполагающего выполнение неравенства F ′�λ± [38]. Е. А. Баранник 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 Дельтаобразная особенность в соотношении (28) устанавливает связь между направлением рассе- яния волн комбинационных частот и скоростью источников этих волн. Из выражения (27) следу- ет, в частности, что при наложении коаксиаль- ных сферически фокусированных первичных пу- чков волн ВРЧ могут рассеиваться на большие углы, независимо от того, насколько сильно фо- кальная область ограничивает нелинейное взаимо- действие. На эту возможность впервые было ука- зано в [14]. Она связана с черенковским излуче- нием в результате появления в фокальной области сверхзвуковых нелинейных источников ВРЧ. По физическому смыслу этот эффект близок к изве- стному эффекту конуса Маха, ограничивающему в сверхзвуковом потоке область, в которой сосре- доточены звуковые волны от точечного источни- ка возмущений. Нетрудно убедиться, что c−>c0 для источников ВРЧ, образовавшихся в среде в ре- зультате локального нелинейного взаимодействия с ней составляющих первичных волн с углами θ1 и θ2, удовлетворяющими неравенству ( 1 − Ω− ω1 ) sin2 θ2 2 < sin2 θ1 2 ≤ ≤ Ω− 2ω1 + ( 1 − Ω− ω1 ) sin2 θ2 2 . (29) Знак равенства в правой части (29) соответствует источникам, скорость которых c−→±∞. Если же Ω− 2ω1 + ( 1 − Ω− ω1 ) sin2 θ2 2 < sin2 θ1 2 ≤ ≤ Ω− ω1 + ( 1 − Ω− ω1 ) sin2 θ2 2 , (30) то c<−c0 – такие источники движутся в направле- нии, противоположном направлению распростра- нения первичных волн. Из соотношения (28) сле- дует, что связь между направлением распростра- нения вторичных ВРЧ и ВСЧ и скоростью нели- нейных источников c± дается известной формулой черенковского конуса [37] либо конуса Маха: cosϕ = c0 c± , (31) которая обеспечивает в выражении (28) отличие от нуля интеграла, содержащего δ-функцию. Лег- ко видеть, что нелинейные источники ВРЧ (30) могут приводить к рассеянию назад, поскольку в этом случае ϕ>π/2 (см. соотношение (31)). Аналогичным образом формула черенковского конуса (31) вместе с формулой (27) позволяет уста- новить, что максимальные углы раскрытия ВРЧ и ВСЧ описываются выражениями ϕ̃0− = 2 arcsin { sin2 α2 2 + + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α2 2 )} , (32) ϕ̃0+ = 2 arcsin { sin2 α2 2 + + ω1 Ω+ ( sin2 α̃1 2 − sin2 α2 2 )} . (33) Поэтому диаграмма направленности ВСЧ не мо- жет быть шире диаграммы первичных взаимо- действующих волн, несмотря на наличие сверх- звуковых источников. Что касается диаграммы ВРЧ, она будет тем шире, чем меньше Ω−. Та- ким образом, корректный учет нелинейного вза- имодействия различных волновых составляющих первичных волн указывает на еще больший интер- вал разрешенных углов рассеяния для ВРЧ, чем предсказывают оценочные формулы (13) и (17). В заключение отметим, что в дальней зоне излу- чения, где первичные волны становятся сфери- чески расходящимися, скорость возникающих не- линейных источников ВРЧ c−≡c0. Следователь- но, область, где скорость нелинейных источников среды может быть существенно больше скорости звука, эффективно ограничена некоторой величи- ной F ′∼aj<F , поэтому при Ω−≤c0/F ′ необходи- мо учитывать еще и дифракцию при рассеянии ВРЧ. В этом случае соотношение (31) описыва- ет не направление распространения ВРЧ, возбу- ждаемой такими источниками, а направление, соо- тветствующее главному максимуму рассеяния, как это следует из выражения до предельного пере- хода к δ-функции. Иными словами, при интегри- ровании величины Q±(r, x; t) по x в выражении для запаздывающего потенциала дельтаобразная особенность, приводящая к большим углам рассе- яния ВРЧ по черенковскому механизму, формиру- ется только при достаточно протяженной фокаль- ной области. Для плоских же волн, распростра- няющихся в одном направлении, скорость исто- чников вторичных волн совпадает со скоростью звука. Поэтому черенковского рассеяния на боль- шие углы нет, несмотря на достаточную протяжен- ность области нелинейного взаимодействия. Рассе- яние на большие углы появляется лишь при лока- лизации области взаимодействия плоских перви- чных волн со средой и носит исключительно ди- фракционный характер. 12 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 4. УГЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЕЙ ВРЧ И ВСЧ Проводя в неравенстве (29) интегрирование по одному из углов, например θ2, получаем выра- жение для амплитуды акустического давления в ВРЧ и ВСЧ: P±(r0, ϕ) = πε 1 r0 P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 ± ω1 c0 × × αmax ∫ αmin I±(θ1) sin θ1dθ1, (34) I±(θ1)= ∞ ∫ 0 J0 ( ω1r c0 sin θ1 ) × ×J0 ( r c0 { ω2 2−(∓ω1 cos θ1±Ω± cosϕ)2 }1/2 ) × ×J0 ( Ω±r c0 sinϕ ) rdr. (35) Вообще говоря, пределы интегрирования αmin и αmax по угловой переменной θ1 в выражении (34) не совпадают с α1 и α̃1 и зависят от угла ϕ. Иными словами, лишь часть нелинейных источников, со- зданных волнами с разными углами θ1, излучает ВРЧ в заданный интервал углов ϕ. Действитель- но, δ-функция попадает в область интегрирования по θ2 , если корень аргумента δ-функции удовле- творяет неравенству α2<θ (0) 2 (θ1)<α̃2, которое для ВРЧ можно представить в виде β1<θ1<β̃1, при- чем β1 = arccos[cosα2 + Ω−ω −1 1 (cosϕ− cosα2)], β̃1 = arccos[cos α̃2 + Ω−ω −1 1 (cosϕ− cos α̃2)]. Отсюда следуют выражения для пределов инте- грирования по угловой переменной θ1: αmin = max{α1, β1}, αmax = min{α̃1, β̃1}, определяющих амплитуду волн (34). В частности, амплитуда акустического давле- ния ВРЧ строго равна нулю при выполнении нера- венства β̃1<α1, которому удовлетворяют углы [15] sin2 ϕ 2 < sin2 ϕ0− 2 = = sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α1 2 − sin2 α̃2 2 ) , (36) а также при β1 >α̃1, когда sin2 ϕ 2 > sin2 ϕ̃0− 2 = = sin2 α2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 − sin2 α2 2 ) . (37) Выражение (36) описывает минимальный угол рассеяния, который существует, если sin2 α̃2 2 < ω1 ω2 sin2 α1 2 . Отсюда при α̃2 =α1 имеем ϕ0−= α̃2 (сравните с формулой (18)). Выражение (37) аналогично выражению (32) и показывает, что при α̃1>α2 ди- аграмма волн разностной частоты тем шире, чем меньше Ω−, причем рассеяние в принципе возмож- но вплоть до углов ϕ=π. Далее, нижний предел интегрирования равен α1, а верхний – β̃1 для углов рассеяния sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α1 2 −sin2 α̃2 2 ) <sin2 ϕ 2 < < sin2 α2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α1 2 −sin2 α2 2 ) . (38) Соответственно, при sin2 α2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α1 2 −sin2 α2 2 ) <sin2 ϕ 2 < < sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 −sin2 α̃2 2 ) (39) нижний и верхний пределы интегрирования равны β1 и β̃1. Наконец, αmin =β1 и αmax= α̃1 для углов sin2 α̃2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 −sin2 α̃2 2 ) <sin2 ϕ 2 < < sin2 α2 2 + ω1 Ω− ( sin2 α̃1 2 −sin2 α2 2 ) . (40) В выражениях (38) – (40) при определенном со- отношении между углами раскрытия волновых фронтов, а именно, при β̃1>α̃1 и β1<α1 интегри- рование от β1 до β̃1 в выражении (34), соответству- ющее интервалу углов (39), может заменяться ин- тегрированием от α1 до α̃1. Интервалы углов, соо- тветствующие (38) – (40), находятся в этом случае находятся аналогично условию (39). Для ВСЧ соответствующая δ-функция попада- ет в область интегрирования по θ2, если в неравен- стве β1<θ1<β̃1 под величинами β1 и β̃1 понимать Е. А. Баранник 13 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 выражения β1 = arccos[cos α̃2 + Ω+ω −1 1 (cosϕ− cos α̃2)], β̃1 = arccos[cosα2 + Ω+ω −1 1 (cosϕ− cosα2)], которые аналогичны полученным для ВРЧ. По этой причине, например, предельный угол рассе- яния ВСЧ описывается выражением, которое мо- жет быть получено из (37) с помощью простой за- мены Ω−→Ω+: sin2 ϕ 2 > sin2 ϕ̃0+ 2 = = sin2 α2 2 + ω1 Ω+ ( sin2 α̃1 2 − sin2 α2 2 ) . (41) Отсюда следует (см. комментарий к форму- ле (33)), что диаграмма направленности ВСЧ не может быть шире диаграммы первичных ультра- звуковых волн. Аналогичным образом могут быть получены и различные интервалы для углов ϕ, со- ответствующие разным пределам интегрирования по угловой переменной θ1 в выражении (34). 5. АМПЛИТУДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ ВРЧ К настоящему времени синхронное рассеяние ВРЧ при кумулятивном нелинейном взаимодей- ствии параллельных пучков плоских волн со сре- дой широко используется для практических це- лей гидроакустики в так называемых параметри- ческих антеннах (см., например, [33]). Сравнивая выражение (22) с величиной вторичного поля, во- зникающего в результате взаимодействия плоских волн [4, 17, 18], нетрудно убедиться, что рассеяние ВРЧ на большие углы в случае фокусированных пучков волн также может наблюдаться экспери- ментально при соответствующих значениях вели- чин, входящих в правую часть (22). При этом оста- ется открытым вопрос о зависимости амплитуды поля ВРЧ и ВСЧ от угла рассеяния ϕ, поскольку оценочная формула (22) предсказывает независи- мость поля ВРЧ от ϕ в пределах области распро- странения этих волн. Выше было показано, что условия, получаемые при интегрировании в фокальной плоскости, ока- зываются, как правило, менее жесткими, чем при интегрировании вдоль оси излучения. В рассма- триваемом случае интегрирование вдоль оси излу- чения x приводит к некоторым ограничивающим условиям для угловых переменных θ2 и θ1. Исходя из этого, интегрирование по радиальной координа- те r производится до интегрирования по θ1. Прежде всего, введем обозначения для коэф- фициентов, показывающих зависимость функций Бесселя от радиальной координаты: a±= Ω± c0 sinϕ, b±= ω2 c0 { 1−(∓ω1 cos θ1±Ω± cosϕ)2ω−2 2 }1/2 , c= ω1 c0 sin θ1. (42) Несложно убедиться, что в случае ВРЧ для всех интервалов изменения угла рассеяния (36) – (40) выполняется неравенство c>a−. Иными словами, даже минимальное значение параметра c на ка- ждом из интервалов интегрирования по θ1 ока- зывается больше максимальной величины a− со- ответствующего интервала углов рассеяния. В частности, при α2 =0 и α1 = α̃2 минимальное зна- чение параметра c для интервала углов (39) есть c = ω1 c0 sinαmin = ω1 c0 sinβ1 = = 2Ω− c0 sin ϕ 2 √ ω1 Ω− − sin2 ϕ 2 > Ω− c0 sinϕ = a−. Для интервала углов (38) аналогичное неравен- ство вытекает непосредственно из правой части двойного неравенства (38), которое при α2 =0 и α1 = α̃2 может быть приведено к виду Ω− c0 sinϕ < < √ ω2 1 c20 sin2 α̃2 − 2Ω−ω1 c20 ( ω1 Ω− − 1 ) (1 − cos α̃2) < < ω1 c0 sin α̃2 = c. Далее несложно показать, что положительная разность величин c и a− всегда больше b−, по- скольку из неравенства c−a−>b− после несло- жных преобразований получаем sin2 θ1 − ϕ 2 > 0, что верно всегда. Заметим также, что интеграл I−(θ1) по переменной r является табличным [32, с. 708] и условие его сходимости имеет вид c > a− + b−. (43) В связи с этим необходимо отметить, что выра- жение (24) для величины акустического давле- ния в первичных волнах, получающееся из форму- лы Гюйгенса – Френеля, равно как и из формулы 14 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 Рэлея, справедливо только для фокальной обла- сти. В то же время, интегрирование по радиальной координате в соотношении (35) продолжается до бесконечности. В силу этого, при условии выпол- нения неравенства (43) интеграл I−(θ1), строго говоря, оказывается равным нулю из-за слабо- го убывания на бесконечности осциллирующих функций Бесселя. Указанная трудность не возни- кает при проведенном ранее упрощенном рассмо- трении, поскольку ламбда-функции первого по- рядка в формуле (8), являющиеся результатом ин- тегрирования по угловым переменным, убывают на бесконечности быстрее и обеспечивают ненуле- вое значение интеграла I2 в соотношении (10). Кроме того, из вида табличного интегра- ла [32, с. 708] следует, что появления минималь- ного дополнительного обрезания подынтеграль- ной функции (например, в виде дополнительно- го безразмерного степенного множителя (F/r)2−ρ, 0<ρ<2) вполне достаточно для сходимости инте- грала к отличному от нуля значению. Введение та- кого обрезания вполне оправдано, поскольку фор- мулы Рэлея и Гюйгенса – Френеля свидетельству- ют о более быстром убывании полей, чем в фор- мулах (24) и (26). В этом случае выражение (35) приобретает вид I−(θ1)=F 2−ρ ∞ ∫ 0 J0(cr)J0(b−r)J0(a−r)r ρ−1dr. (44) В частности, для всех 0<ρ<2 имеем I−(θ1) = 2ρ−1F 2−ρΓ(ρ/2) Γ(1 − ρ/2) ( c0 ω1 sin θ1 )ρ × ×F4 ( ρ 2 , ρ 2 ; 1, 1; x, y ) , где x = Ω2 − sin2 ϕ ω2 1 sin2 θ1 ; y = (ω1 − Ω−)2 − (ω1 cos θ1 − Ω− cosϕ)2 ω2 1 sin2 θ1 ; F4(α, β; γ, γ′; x, y) – гипергеометрическая функция двух переменных четвертого рода; Γ(x) – гамма- функция. Провести интегрирование по угловой перемен- ной с гипергеометрической функцией и выделить в явном виде зависимость от угла рассеяния в об- щем случае не представляется возможным. По- нятно, однако, что при выборе степенной функ- ции в качестве обрезающей область интегрирова- ния, вклад фокальной области в наибольшей сте- пени учитывается при малых ρ. При этом в пре- дельном случае ρ→0 на нижнем пределе появля- ется логарифмическая расходимость, приводящая к бесконечным значениям для амплитуды рассея- ния, поскольку Γ(ρ/2)→∞. Тем не менее, оценить угловую зависимость в явном виде можно, если воспользоваться другим близким к (44) интегра- лом [32, с. 709] I−(θ1) = F 2−ρ× × ∞ ∫ 0 r−1J0(a−r)Jρ/2(b−r)Jρ/2(cr)dr = = F 2 − ρ bρ/2Γ(ρ/2) 2cρ/2Γ(ρ/2 + 1)Γ(1) , (45) условие сходимости которого при ρ>0 также сво- дится к неравенству (43). В интеграле (45) часть степенной зависимости перенесена на функции Бесселя в соответствии с известным представле- нием этих функций в виде ряда [38]: Jν(x) = ∞ ∑ k=0 (−1)k k!(ν + k)! ( x 2 )ν+2k . Интеграл (45) также расходится при ρ→0, одна- ко при конечных ρ�1 указывает на очень сла- бую зависимость величины I−(θ1) от углов θ1 и ϕ. В этом приближении выражение для амплиту- ды акустического давления рассеянного поля ВРЧ имеет очень простой вид: P−(r0, ϕ) = πεΓ ( ρ 2 ) 1 r0 P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 − ω1 2c0 × ×(cosαmin − cosαmax). (46) В соответствии с выражением (46) в интервале углов (38) акустическое давление ВРЧ будет P−(r0, ϕ) = πεΓ ( ρ 2 ) 1 r0 P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 − ω1 2c0 × × [ ω2 ω1 (cosα1−cos α̃2)− Ω− ω1 (cosϕ−cos α1) ] . (47) Указанный интервал углов соответствует области возрастания амплитуды рассеянных ВРЧ от нуле- вого значения в интервале углов (36) до некото- рого максимального значения, соответствующего интервалу (39), для которого находим P−(r0, ϕ) = πεΓ ( ρ 2 ) 1 r0 P10P20 ρ0c40 F 2Ω2 − ω2 2c0 × ×(cosα2 − cos α̃2). (48) Е. А. Баранник 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 Рис. 3. Угловая зависимость нормированной на максимальное значение амплитуды акустического давления рассеянных ВРЧ при α1=α2=0 и различных углах максимального раскрытия волновых фронтов первичных волн (штриховыми показаны углы π/12 и π/8): 1 – α̃1 = α̃2=π/12, 2 – α̃1 =π/8, α2=π/12 Несложно видеть, что этот результат хорошо со- гласуется с выражением (16) при α2 =0, не зависит от угла ϕ и соответствует максимальной величине рассеянных волн. По мере дальнейшего роста угла рассеяния в ин- тервале углов (40) амплитуда ВРЧ убывает по за- кону P−(r0, ϕ; t)=πεΓ ( ρ 2 ) 1 r0 P10P20 ρ0c 4 0 F 2Ω2 − ω1 2c0 × × [ ω2 ω1 (cosα2−cos α̃1)+ Ω− ω1 (cosϕ−cos α̃1) ] (49) и достигает нуля для углов ϕ, определяемых нера- венством (37). Понятно, что выражения (46) и (47) не учитывают дополнительного уширения области распространения ВРЧ, связанного с ограниченно- стью фокальной области в продольном направле- нии и приводящем к дополнительному дифракци- онному рассеянию, о котором речь шла выше. На рис. 3 представлена угловая зависимость нормированной на максимальное значение ампли- туды рассеяния ВРЧ для частного случая углов раскрытия первичных взаимодействующих со сре- дой волн, который соответствует ультразвуковым фокусирующим преобразователям, используемым на практике для медицинской диагностики и ви- зуализации. Как видно из рисунка, благодаря че- ренковскому излучению нелинейных источников среды значительное раскрытие волнового фронта ВРЧ (тем большее, чем меньше Ω−) имеет место даже при полном совпадении в приближении гео- метрической акустики первичных взаимодейству- ющих пучков волн со средой, однако при меньшей амплитуде излучения. Общие выражения для амплитуды акустическо- го давления ВСЧ могут быть получены аналогич- но формулам (44) – (49), однако с точки зрения ультразвуковой диагностики нелинейного пара- метра мягких тканей эти величины не представля- ют большого интереса. Как показано выше, угло- вые характеристики и амплитуда ВСЧ испытыва- ют очень незначительное влияние как дифракци- онных эффектов, так и эффекта черенковского рассеяния. Как отмечалось в работе [12], развитые к на- стоящему времени методы ультразвуковой томо- графии, позволяющие реконструировать распре- деление неоднородностей плотности и сжимаемо- сти исследуемой ткани, основаны на использова- нии многочастотного ультразвукового облучения некоторой области внутри ткани. Поэтому они мо- гут эффективно сочетаться с методами, использу- ющими нелинейное взаимодействие волн тех же частот для восстановления неоднородностей не- линейного параметра тканей. Возможны различ- ные практические схемы сбора эксперименталь- ных данных для решения общей обратной зада- чи нелинейного рассеяния. В связи с этим в [12] указывалось, что соотношения синхронизма сви- детельствуют о большой информационной избыто- чности полного волнового томографического эк- сперимента по нелинейному рассеянию, поскольку одна и та же Фурье-компонента нелинейного пара- метра ε(~k) может быть восстановлена по измере- нию нелинейного рассеяния с использованием раз- 16 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 личных комбинаций волновых векторов ~k1 и ~k2, взаимодействующих со средой возмущений в виде плоских волн. В то же время, из соотношений синхронизма следует, что точность определения неоднородно- стей нелинейного параметра ε(~r) с помощью ВСЧ или гармоник первичных падающих волн связа- на с неопределенностью волновых векторов пада- ющих волн, которая обусловлена ограниченностью апертуры излучения реальных пучков и дифра- кционным искривлением плоских волновых фрон- тов. Очевидно, что такой неопределенностью для мелкомасштабных неоднородностей, характеризу- ющихся преимущественно большими волновыми векторами ~k, можно пренебречь. Для относитель- но крупномасштабных неоднородностей (малые ~k) выгодно использовать длинноволновые ВРЧ, однако пренебрегать при этом неопределенностью векторов ~k1 и ~k2 уже нельзя, поскольку она мо- жет быть сравнима с разностью ~k1−~k2. Как пока- зано в настоящем разделе, фокусирование перви- чных волн оставляет фактически неизменными ха- рактеристики рассеяния ВСЧ и способность опре- делять с их помощью коротковолновые компонен- ты Фурье-образа нелинейного параметра. В то же время, для коаксиальных пучков волн появляется существенно большая неопределенность волново- го вектора ~k−, что уменьшает точность определе- ния длинноволновых компонент неоднородностей нелинейного параметра. Это связано как с некото- рым ограничением области взаимодействия перви- чных волн окрестностью фокальной области, так и с возникновением рассеяния по механизму черен- ковского излучения. Тем не менее, применение слабого фокусиро- вания первичных волн может оказаться целесо- образным, благодаря упомянутой избыточности данных полного томографического эксперимента по реконструкции пространственного распределе- ния неоднородностей. Чтобы достичь этого, при реализации томографического метода достаточно исключить из схемы облучения исследуемого би- ологического объекта соосное и софокусное рас- пространения первичных волн. Кроме того, рас- смотренные в настоящем разделе локальные эф- фекты нелинейного рассеяния волн средой отно- сятся только к непрерывному режиму излучения волн. В заключение отметим, что в работах [39, 40] предложен и экспериментально реализован способ корректировки томографических данных, заклю- чающийся в измерении рассеянного поля в модель- ной среде с однородным полем нелинейного пара- метра при заданных характеристиках ультразву- ковых преобразователей и формируемых ими па- дающих первичных волн с последующим нормиро- ванием получаемых томографических изображе- ний реальных объектов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное рассмотрение показывает, что воз- можность рассеяния ВРЧ на большие углы при нелинейном взаимодействии со средой фокуси- рованных ультразвуковых волн связана не толь- ко с локальностью взаимодействия в фокальной плоскости, приводящей к дифракции ВРЧ, но и с наличием сверхзвуковых нелинейных источни- ков ВРЧ, распространяющихся вдоль акустиче- ской оси взаимодействующих фокусированных пу- чков волн. Это обстоятельство вместе с нетриви- альной структурой зон Френеля источников ВРЧ приводит к тому, что наряду с общими чертами, присущими дифракционному рассеянию, при на- ложении фокусированных пучков волн имеются и отличия: например, в определенных случаях мо- жет отсутствовать рассеяние вперед, как при че- ренковском излучении. Проведенная оценка зависимости амплитуды акустического давления ВРЧ от угла рассеяния показывает, что, в отличие от ВСЧ, значительное раскрытие волнового фронта ВРЧ (тем большее, чем меньше разностная частота) может иметь ме- сто даже при полном совпадении (в приближении геометрической акустики) первичных взаимодей- ствующих пучков волн. На основании проведен- ного исследования доказано, что фокусирование первичных пучков в случае соосного распростра- нения волн одновременно приводит к большей не- определенности параметров ВРЧ и, соответствен- но, меньшей точности определения в томографи- ческом эксперименте длинноволновых компонент неоднородностей нелинейного параметра исследу- емой области. В то же время, известная избыто- чность полных данных томографического экспе- римента по реконструкции параметров нелинейно- сти среды при многочастотном облучении позво- ляет использовать для этих целей фокусирован- ные первичные пучки ультразвуковых волн. 1. Применение ультразвука в медицине: Физические основы / Под ред. К. Хилла.– М.: Мир, 1989.– 568 с. 2. Duck F. A. Nonlinear acoustic in diagnostic ultrasound // Ultrasound Med. Biol.– 2002.– 28, N 1.– P. 1–18. Е. А. Баранник 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 3 – 18 3. Duck F. A. Physical properties of tissue: A comprehensive reference book.– London: Academic Press, 1990. 4. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.– М.: Наука, 1975.– 228 с. 5. Tsian T. Non-linear acoustic parameter and its appli- cation in ultrasonic imaging // Appl. Acoust.– 1987.– 6, N 3.– P. 1–7. 6. Ichida N., Sato T., Linzer M. Imaging the nonlinear ultrasonic parameter // Ultrason. Imaging.– 1983.– 9, N 2.– P. 295–299. 7. Ichida N., Takuso S., Miwa H., Murakami K. Real- time nonlinear parameter tomography using impulsi- ve pumping waves // IEEE Trans. Son. Ultrason.– 1984.– 31, N 3.– P. 635–641. 8. Nakagava Y. Ultrasonic nonlinear parameter CT by nonlinear interaction // Trans. IECE.– 1988.– J69, N 8.– P. 1215–1222. 9. Nakagava Y., Aou W., Cai A. et al. Imaging the acoustic nonlinearity parameter with sound waves // Trans. IECE.– 1988.– E71, N 8.– P. 799–808. 10. Zhang D., Gong X. F., Ye S. G. Acoustic nonlinearity parameter tomography for biological specimens via measurement of the second harmonics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 8.– P. 2397–2402. 11. Zhang D., Gong X. F. Experimental investigation of acoustic nonlinearity parameter tomography for excised pathological biological tissues // Ultrasound Med. Biol.– 1999.– 25, N 2.– P. 593–599. 12. Буров В. А., Гуринович И. Е., Руденко О. В., Та- гунов Е. Я. Реконструкция пространственного ра- спределения параметра нелинейности и скорости звука в акустической нелинейной томографии // Акуст. ж.– 1994.– 40, N 6.– С. 922–929. 13. Баранник Е. А., Кадников О. Г., Папакица В. В. О рассеянии звука звуком при наложении фокусиро- ванных пучков волн // Акуст. ж.– 1986.– 32, N 4.– С. 513–517. 14. Баранник Е. А., Кадников О. Г. О нелинейных источниках в области наложения сходящихся сфе- рических волн // Акуст. ж.– 1987.– 33, N 2.– С. 353–354. 15. Баранник Е. А. Акустическая томография нели- нейного параметра и нелинейное взаимодействие волн // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту Сер. фiзична “Ядра, частинки, поля”.– 2000.– N 481, вип. 2(10).– С. 53–58. 16. Westervelt P. J. Parametric acoustic array // J. Acoust. Soc. Amer.– 1963.– 35, N 2.– P. 535–537. 17. Зверев В. А., Калачев А. И. Измерение рассея- ния звука звуком при наложении параллельных пучков // Акуст. ж.– 1968.– 14, N 2.– С. 214–220. 18. Зверев В. А., Калачев А. И. Излучение звука из области пересечения двух звуковых пучков // Акуст. ж.– 1969.– 15, N 3.– С. 369–376. 19. Naze Tjotta J., Tjotta S. Effects of focusing on the nonlinear interaction between two collinear fini- te amplitude sound beams // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, N 3.– P. 1017–1027. 20. Aanonsen S. I., Barkve T., Naze Tjotta J., Tjotta S. Distortion and harmonic generation in the nearfi- eld of a finite amplitude sound beam // J. Acoust. Soc. Amer.– 1984.– 75, N 4.– P. 749–768. 21. Hamilton M. F., Naze Tjotta J., Tjotta S. Nonlinear effects in the farfield of a directive sound source // J. Acoust. Soc. Amer.– 1985.– 78, N 1.– P. 202–216. 22. Baker A. C., Anastasiadis K., Humphrey V. F. The nonlinear pressure field of a plane circular piston: Theory and experiment // J. Acoust. Soc. Amer.– 1988.– 84, N 7.– P. 1483–1487. 23. Naze Tjotta J., Tjotta S., Vefring E. H. Propagati- on and interaction of two collinear finite amplitude sound beams // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 88, N 2.– P. 2859–2870. 24. Hart T. S., Hamilton M. F. Nonlinear effects in focused sound beams // J. Acoust. Soc. Amer.– 1988.– 84, N 4.– P. 1488–1496. 25. Колмаков И. А. Изменение частот акустических комбинационных волн в движущихся средах // Акуст. ж.– 1995.– 41, N 2.– С. 341–343. 26. Антонов Н. Н., Колмаков И. А., Самарцев В. В., Шкаликов В. А. Акустическое черенковское излу- чение и его использование в голографических методах при исследовании движущихся сред // ПМТФ.– 1989.– N 6.– С. 29–34. 27. Колмаков И. А., Антонов Н. Н. Эффект усиления черенковских волн течением среды // Письма в ЖТФ.– 1989.– 15, N 2.– С. 91–93. 28. Наугольных К. А., Рыбак С. А. Взаимодействие плоской волны с акустическим импульсом // Акуст. ж.– 1989.– 35, N 1.– С. 101–103. 29. Абаимов С. Г., Рыбак С. А. Рассеяние плоской вол- ны на звуковом импульсе // Акуст. ж.– 1996.– 42, N 2.– С. 262–263. 30. Каневский И. Н. Фокусирование звуковых и уль- тразвуковых волн.– М.: Наука, 1977.– 326 с. 31. Кайно Г. Акустические волны. Устройства, визу- ализация и аналоговая обработка сигналов.– М.: Мир, 1990.– 656 с. 32. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы инте- гралов, сумм, рядов и произведений.– М.: Наука, 1971.– 1108 с. 33. Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И. Нелинейная гидроакустика.– Л.: Судостроение, 1981.– 264 с. 34. Гаврилов Л. Р., Цирульников Е. М. Фокусирован- ный ультразвук в биологии и медицине.– Л.: Нау- ка, 1980.– 179 с. 35. Баранник Е. А., Залюбовский И. И., Кадни- ков О. Г., Кобизской В. И. Способ ультразвуко- вого воздействия на объект в оптически непрозра- чной среде // Авт. свид. СССР N 1300379.– За- рег. 01.12.1986.– Бюл. N 12, 1987. 36. Naze Tjotta J., Tjotta S. Interection of sound waves. Part I. Basic equations and plane waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 1987.– 82, N 4.– P. 1425–1428. 37. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.– М.: Наука, 1982.– 624 с. 38. Арфкен Г. Математические методы в физике.– М.: Атомиздат, 1970.– 712 с. 39. Zhang J., Dunn F. A small volume thermodynamic system for B/A measurement // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, N 1.– P. 73–79. 40. Zhang J., Dunn F. In vivo B/A determination in a mammalian organ // J. Acoust. Soc. Amer.– 1987.– 81, N 6.– P. 1635–1637. 18 Е. А. Баранник
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-995
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-12-02T08:38:21Z
publishDate	2003
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Баранник, Е.А. 2008-07-09T14:38:07Z 2008-07-09T14:38:07Z 2003 Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 3-18. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/995 534.6.615,471:616-073.4-8:389 С использованием известных распределений поля в фокальной области исследованы характеристики волн суммарной и разностной частоты (ВСЧ и ВРЧ) при нелинейном взаимодействии фокусированных коаксиальных пучков волн со средой. Доказано, что в фокальной области существуют сверхзвуковые нелинейные источники ВРЧ. Показана их связь с предельно возможными углами рассеяния по механизму излучения Черенкова. Проведена оценка амплитуды ВРЧ и ее зависимости от угла рассеяния. Обсуждены возможности применения фокусированных пучков волн для акустической томографии параметров нелинейности биологических объектов. З використанням відомих розподілів поля у фокальній області досліджено характеристики хвиль сумарної та різницевої частоти (ХСЧ і ХРЧ) при нелінійній взаємодії фокусованих коаксіальних пучків хвиль із середовищем. Доведено, що у фокальній області існують надзвукові нелінійні джерела ХРЧ. Показано їхній зв'язок з граничними кутами розсіяння за механізмом випромінювання Черенкова. Проведено оцінку амплітуди ХРЧ та її залежності від кута розсіяння. Обговорено можливості використання сфокусованих пучків хвиль для акустичної томографії параметрів нелінійності біологічних об'єктів. The characteristics of the sum and different frequency waves (SFW and DSW) under nonlinear interaction of two collinear focused ultrasound beams with medium are studied using the known field distributions in focal region. The existence of supersonic sources of DSW in the focal region is proved. Interrelation of the supersonic sources with the critical scattering angle due to the Cherenkov emission is shown. The amplitude of DSW and its dependencies on the scattering angle is estimated. Possibilities of application of the focused beams in acoustic tomography of the nonlinearity parameters of biological objects are discussed. ru Інститут гідромеханіки НАН України Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами Local effects of wave excitation at nonlinear interaction of the focused ultrasonic beams with biological objects Article published earlier
spellingShingle	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами Баранник, Е.А.
title	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
title_alt	Local effects of wave excitation at nonlinear interaction of the focused ultrasonic beams with biological objects
title_full	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
title_fullStr	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
title_full_unstemmed	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
title_short	Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
title_sort	локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/995
work_keys_str_mv	AT barannikea lokalʹnyeéffektyvozbuždeniâvolnprinelineinomvzaimodeistviifokusirovannyhulʹtrazvukovyhpučkovsbiologičeskimiobʺektami AT barannikea localeffectsofwaveexcitationatnonlinearinteractionofthefocusedultrasonicbeamswithbiologicalobjects

Локальные эффекты возбуждения волн при нелинейном взаимодействии фокусированных ультразвуковых пучков с биологическими объектами

Institution

Similar Items