Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором
Розв'язано задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного циліндра з механічними властивостями, близькими до властивостей біотканин. При цьому вважалось, що торці циліндра перебувають в умовах повного зчеплення з вібратором, а його бічна поверхня - вільна. Розв'язок задачі побудовано...
Saved in:
| Date: | 2004 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/996 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 65-71. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859647777873592320 |
|---|---|
| author | Олійник, В.Н. |
| author_facet | Олійник, В.Н. |
| citation_txt | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 65-71. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розв'язано задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного циліндра з механічними властивостями, близькими до властивостей біотканин. При цьому вважалось, що торці циліндра перебувають в умовах повного зчеплення з вібратором, а його бічна поверхня - вільна. Розв'язок задачі побудовано у вигляді рядів Фур'є, коефіцієнти яких обчислюються з нескінченних алгебраїчних систем, породжених граничними умовами. Аналіз частотної поведінки механічного імпедансу торця циліндра дозволив оцінити ступінь впливу граничних умов на поверхні контакту на інтегральні механічні характеристики об'єкта.
Решена задача о гармонических колебаниях вязко-упругого цилиндра с механическими свойствами, близкими к свойствам биотканей. При этом считалось, что торцы цилиндра находятся в условиях полного сцепления с вибратором, а его боковая поверхность - свободна. Решение задачи построено в виде рядов Фурье, коэффициенты которых вычисляются из бесконечных алгебраических систем, порожденных граничными условиями. Анализ частотного поведения механического импеданса торца цилиндра позволил оценить степень влияния граничных условий на поверхности контакта на интегральные механические характеристики объекта.
A problem on harmonic vibrations of a visco-elastic cylinder with properties close to that of the biotissues is solved. At that the cylinder's faces were considered to be completely adhering to the vibrator, while its lateral surface is free. The solution of the problem was developed in form of the Fourier series with coefficients derived from the infinite algebraic system generated by the boundary conditions. The analysis of frequency behavior for cylinder's mechanical impedance allowed to estimate the degree of the boundary conditions influence on the object's integral characteristics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:30:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
УДК 534.26
МОДЕЛЮВАННЯ МЕХАНIЧНОЇ РЕАКЦIЇ
ЦИЛIНДРА З В’ЯЗКО-ПРУЖНОЇ БIОТКАНИНИ
ПРИ ГАРМОНIЧНОМУ НАВАНТАЖЕННI ТОРЦIВ
В УМОВАХ ПОВНОГО ЗЧЕПЛЕННЯ З ВIБРАТОРОМ
В. Н. ОЛ IЙ Н И К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 4.02.2004 � Переглянуто 5.07.2004
Розв’язано задачу про гармонiчнi коливання в’язко-пружного цилiндра з механiчними властивостями, близькими
до властивостей бiотканин. При цьому вважалось, що торцi цилiндра перебувають в умовах повного зчеплення з
вiбратором, а його бiчна поверхня – вiльна. Розв’язок задачi побудовано у виглядi рядiв Фур’є, коефiцiєнти яких
обчислюються з нескiнченних алгебраїчних систем, породжених граничними умовами. Аналiз частотної поведiнки
механiчного iмпедансу торця цилiндра дозволив оцiнити ступiнь впливу граничних умов на поверхнi контакту на
iнтегральнi механiчнi характеристики об’єкта.
Решена задача о гармонических колебаниях вязко-упругого цилиндра с механическими свойствами, близкими к
свойствам биотканей. При этом считалось, что торцы цилиндра находятся в условиях полного сцепления с ви-
братором, а его боковая поверхность – свободна. Решение задачи построено в виде рядов Фурье, коэффициенты
которых вычисляются из бесконечных алгебраических систем, порожденных граничными условиями. Анализ часто-
тного поведения механического импеданса торца цилиндра позволил оценить степень влияния граничных условий
на поверхности контакта на интегральные механические характеристики объекта.
A problem on harmonic vibrations of a visco-elastic cylinder with properties close to that of the biotissues is solved. At
that the cylinder’s faces were considered to be completely adhering to the vibrator, while its lateral surface is free. The
solution of the problem was developed in form of the Fourier series with coefficients derived from the infinite algebraic
system generated by the boundary conditions. The analysis of frequency behavior for cylinder’s mechanical impedance
allowed to estimate the degree of the boundary conditions influence on the object’s integral characteristics.
ВСТУП
На сьогоднiшнiй день iснує велика кiлькiсть до-
стовiрних експериментальних даних про величину
так званого механiчного iмпедансу поверхнi м’я-
ких бiотканин, який за означенням є нормальною
складовою реакцiї, вiднесеною до значення коли-
вальної швидкостi робочої поверхнi вiбратора. У
цьому контекстi слiд вiдзначити роботи, в яких ме-
ханiчний iмпеданс реєструвався на поверхнi тiла
пiддослiдних добровольцiв – in situ (див., напри-
клад [1 – 3]), i дослiдження на гелевих моделях-
фантомах з механiчними властивостями, макси-
мально наближеними до властивостей епiтелiю,
гладких м’язiв та iн. [4, 5].
Зрозумiло, що величина механiчного iмпедансу
безпосередньо пов’язана з механiчними констан-
тами дослiджуваного матерiалу. Тому рiзнi моди-
фiкацiї вiброметричних методик дуже широко за-
стосовуються для тестування реальних i модель-
них бiофiзичних матерiалiв (зразкiв тканин рiз-
них видiв тварин, фантомiв, штучних трансплан-
татiв) [6 – 9]. При аналiзi одержаних результатiв
дослiдники здебiльшого виходять з того, що м’якi
бiотканини при низькоамплiтудному вiбронаван-
таженнi в цiлому поводять себе як лiнiйнi в’язко-
пружнi iзотропнi чи анiзотропнi тiла. Незважаю-
чи на певну обмеженiсть такого припущення [10],
застосування лiнiйного пiдходу для задач бiофi-
зичної iмпедансометрiї в дiапазонi аудiочастот (до
10÷20 кГц) виявилось цiлком виправданим.
Однак при детальному аналiзi експерименталь-
них даних впадає в око суттєва невiдповiднiсть
мiж величиною механiчного iмпедансу, визначе-
ною вiбрацiйним методом [2,3], i даними про рiвень
послаблення звукiв серця при його реєстрацiї кiне-
матичними сенсорами рiзної ваги [10]. Важливiсть
з’ясування цiєї розбiжностi обумовлена активним
розвитком сучасних методик медичного дiагносту-
вання стану органiзму на основi контактної реє-
страцiї низькочастотних вiброакустичних полiв з
поверхнi тiла [2,11,12]. У роботах [12,13] висунуто
припущення про те, що основною причиною цiєї
невiдповiдностi може бути принципова рiзниця у
характерi граничних умов при контактi тiла лю-
дини з вiбратором i кiнематичним сенсором.
З огляду на локальний характер взаємодiї по-
верхнi тiла з сенсором та вiбратором, у статтi [14]
було запропоновано спрощену постановку зада-
чi про вiброзбудження цилiндра з бiоматерiалу в
умовах гладкого контакту з вiбратором. При цьо-
му для бiоматерiалу приймалась модель лiнiйного
c© В. Н. Олiйник, 2004 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
0
r
z
a
2h
uz=U0 ei t
ur=0
uz=-U0 ei t
ur=0
Рис. 1. Пружний цилiндр з кiнематично
навантаженими торцями
в’язко-пружного тiла.
Ця стаття є логiчним продовженням дослiджен-
ня [14]. У нiй розглядається модельна задача про
гармонiчнi коливання цилiндричного зразка з ма-
терiалу, фiзичнi параметри якого близькi до па-
раметрiв м’яких бiотканин тiла людини, в умо-
вах повного зчеплення торцiв з плоским жорстким
штампом-вiбратором. Основним нашим завданням
є моделювання вiдносної iнтегральної механiчної
реакцiї на поверхнi вiбратора й аналiз поведiн-
ки механiчного iмпедансу торця у дiапазонi, ха-
рактерному для низькочастотних бiофiзичних ви-
мiрювань.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
До торцiв кругового цилiндра довжиною 2h й
радiусом a (рис. 1) прикладено гармонiчне за ча-
сом кiнематичне навантаження U0e
iωt, колiнеарне
до його осi. Бiчна поверхня цилiндра вiльна вiд
навантажень.
Матерiал цилiндра вважаємо в’язко-пружним –
його динамiчнi деформацiї описуються рiвнянням
Ламе [15], яке для гармонiчного випадку має ви-
гляд
c2
1∗ grad div u − c2
2∗ rot rotu = ω2
u (1)
(експоненцiйний часовий множник eiωt опущено).
Тут c1, c2 – комплекснi швидкостi поздовжнiх та
поперечних хвиль у матерiалi вiдповiдно; u – ве-
ктор амплiтуд змiщень. Уявнi частини компле-
ксних швидкостей пружних хвиль вiдображають
дисипативнi властивостi матерiалу i, взагалi кажу-
чи, можуть бути частотно залежними. Формально
c2
1 = 2
1 − ν
1 − 2ν
G∗
ρ
, c2
2 =
G∗
ρ
,
де ρ – густина матерiалу цилiндра; ν – коефiцiєнт
Пуассона; G∗ – комплексний модуль зсуву,
G∗ = G + i(G′ + ωG′′). (2)
Оскiльки задача у наведенiй постановцi має
осьову симетрiю, то в усiх спiввiдношеннях вектор
змiщень має тiльки двi компоненти – радiальну
ur i нормальну uz. З урахуванням цього граничнi
умови на бiчнiй поверхнi запишемо як вiдсутнiсть
радiальних i дотичних механiчних напружень при
r=a, |z|≤h:
1 − 2ν
2G∗
σr = (1 − ν)
∂ur
∂r
+ ν
(
ur
r
+
∂uz
∂z
)
= 0,
1
G∗
τrz =
∂ur
∂z
+
∂uz
∂r
= 0 .
(3)
Сформулюємо граничнi умови на торцях цилiн-
дра. Будемо вважати, що нормальнi змiщення тор-
ця цилiндра вiдбуваються за рахунок кiнемати-
чного навантаження з заданою амплiтудою:
uz =±U0 при z=±h, 0≤r≤a. (4)
Окрiм того, при повному зчепленнi (прилипаннi)
жорсткого штампа-вiбратора до торцiв цилiндра
приймається вiдсутнiсть радiальних змiщень на
них:
ur = 0 при z = ±h, 0 ≤ r ≤ a. (5)
Як було зазначено вище, нас цiкавить механiч-
ний iмпеданс торця цилiндра, який у даному ви-
падку визначається за формулою
Z =
Fz
iωU0
=
2π
iωU0
a
∫
0
σzrdr при z = ±h, (6)
де Fz – повна реакцiя торця цилiндра вздовж осi
z; σz – осьовi нормальнi напруження в цилiндрi,
σz =
2G∗
1 − 2ν
[
(1 − ν)
∂uz
∂z
+ ν
(
ur
r
+
∂ur
∂r
)]
.
Постановка цiєї задачi повнiстю аналогiчна до
задач, розглянутих у монографiї [15]. Це дозволяє
скористатись методиками й аналiтичними спiввiд-
ношеннями, розробленими у цiй роботi. Насамкi-
нець зауважимо, що внаслiдок симетрiї розгляну-
тої задачi вiдносно площини z=0 будемо розгля-
дати тiльки торець z=h.
66 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
2. ПРОЦЕДУРА РОЗВ’ЯЗАННЯ
Загальний розв’язок задачi для змiщень має ви-
гляд [15]:
ur
U0
= A0J1(k1r) +
∞
∑
n=1
cos ηnz×
×
[
AnI1(q1nr) + A∗
nI1(q2nr)
]
−
−
∞
∑
j=1
J1(λjr)
[
Bj
λj
p1j
ch p1jz+
+B∗
j
p2j
λj
ch p2jz
]
,
uz
U0
=
sin k1z
sin k1h
−
∞
∑
n=1
sin ηnz×
×
[
An
ηn
q1n
I0(q1nr) + A∗
n
q2n
ηn
I0(q2nr)
]
+
+
∞
∑
j=1
J0(λjr)
[
Bjsh p1jz + B∗
j sh p2jz
]
.
(7)
У спiввiдношеннях (7)
ηn =
πn
h
; kl =
ω
cl
;
λj 6= 0; J1(λja) = 0,
qln =
√
η2
n − k2
l ; plj =
√
λ2
j − k2
l , l = 1, 2;
J0, J1, I0 та I1 – вiдповiдно звичайнi й модифiко-
ванi функцiї Беселя першого роду (iндекс означає
порядок функцiї Беселя); An, An, A∗
n, Bj та B∗
j –
невiдомi коефiцiєнти рядiв Фур’є.
Оскiльки ми вивчаємо iмпеданснi властивостi
цилiндра, важливо записати формулу (6) для ви-
значення повної реакцiї торця через ряди (7). Пi-
сля iнтегрування у межах 0≤r≤a з урахуван-
ням вiдомих властивостей цилiндричних функцiй
одержуємо:
1
2G∗U0
h
πa2
Fz =
iω
2G∗
h
πa2
Z=χk1h ctg k1h+
+
2h
a
{
(χ − 1)A0J1(k1a) −
∞
∑
n=1
(−1)n×
×
[(
1 +
k2
2
2q2
1n
)
AnI0(q1na)+A∗
nI0(q2na)
]
}
.
(8)
При виводi формули (8) були врахованi тотожно-
стi
1 − ν
1 − 2ν
=
k2
2
2k2
1
def
= χ ,
ν
1 − 2ν
= χ − 1.
Цiкаво зауважити, що до виразу для Fz не увi-
йшли коефiцiєнти Bj , B∗
j . Отже, вони будуть впли-
вати на iмпеданс торця лише опосередковано, ко-
ригуючи значення коефiцiєнтiв A0 An i A∗
n.
Зазначимо, що двi з чотирьох граничних умов
визначають простi залежностi мiж вiдповiдними
невiдомими коефiцiєнтами. Так, з умови вiдсутно-
стi дотичних напружень τrz на бiчнiй поверхнi ци-
лiндра r=a, |z|≤h (друге спiввiдношення (3)) ви-
пливає рiвнiсть
An = −
(
1 −
k2
2
2η2
n
)
I1(q2na)
I1(q1na)
A∗
n, (9)
а з кiнематичної умови (4) для uz на торцi –
Bj = −
sh p2jh
sh p1jh
B∗
j . (10)
Вiдсутнiсть нормальних напружень σr на бiчнiй
поверхнi цилiндра r=a, |z|≤h породжує функцiо-
нальне рiвняння
(χ − 1)k1a
cos k1z
sin k1h
+
+A0J1(k1a)
[
χk1a
J0(k1a)
J1(k1a)
− 1
]
−
−
∞
∑
n=1
cos ηnz A∗
nI1(q2na)×
×
{
k2
2
2ηn
+ q1na
I0(q1na)
I1(q1na)
×
×
(
1 − (χ − 1)
k2
1
q2
1n
)(
1 −
k2
2
2η2
n
)
−
−q2na
I0(q2na)
I1(q2na)
}
+
+
∞
∑
j=1
B∗
j J0(λja)×
×
{(
1 +
k2
2
2p2
1j
)
sh p2jh
sh p1jh
p1ja ch p1jz−
−p2ja ch p2jz
}
= 0,
(11)
В. Н. Олiйник 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
яке пiсля алгебраїзацiї дає
A0J1(k1a)
h
a
[
χk1a
J0(k1a)
J1(k1a)
− 1
]
+
+
∞
∑
j=1
B∗
j J0(λja) sh p2jh
k2
2
2p2
1j
= −(χ − 1),
(12a)
A∗
nI1(q2na)
h
2a
{
k2
2
2ηn
+ q1na
I0(q1na)
I1(q1na)
×
×
(
1 − (χ − 1)
k2
1
q2
1n
)(
1 −
k2
2
2η2
n
)
−
−q2na
I0(q2na)
I1(q2na)
}
+
+(−1)n+1
∞
∑
j=1
B∗
j J0(λja) sh p2jh×
×
{(
1 +
k2
2
2p2
1j
)
p2
1j
p2
1j + η2
n
−
p2
2j
p2
2j + η2
n
}
=
= (−1)n+1(χ − 1)
k2
1
q2
1n
.
(12b)
При виводi формул (12a), (12b) використо-
вувались вiдомi iнтегральнi спiввiдношення для
гiперболiчних i тригонометричних функцiй [16,
стор. 212]:
h
∫
−h
ch pljzdz =
2sh pljh
plj
,
h
∫
−h
ch pljz cos ηnzdz = (−1)n 2plj
p2
lj + η2
n
sh pljh.
При жорсткому зчепленнi торця цилiндра зi
штампом вiдсутнiсть радiальних змiщень по всiй
поверхнi торця |z|=h, 0≤r≤a (умова (5)) поро-
джує функцiональне рiвняння
A0J1(k1r) −
∞
∑
n=1
(−1)nA∗
n×
×
[(
1−
k2
2
2η2
n
)
I1(q2na)
I1(q1na)
I1(q1nr)−I1(q2nr)
]
+
+
∞
∑
j=1
B∗
j J1(λjr)sh p2jh×
×
[
λj
p1j
cth p1jh−
p2j
λj
cth p2jh
]
=0.
(13)
Його алгебраїзацiю проведемо за допомогою
iнтегральних спiввiдношень, наведених у [16,
стор. 648]:
a
∫
0
J1(λjr)J1(k1r)rdr =
= −
λja
λ2
j − k2
1
J0(λja)J1(k1a) =
= −
λja
p2
1j
J0(λja)J1(k1a),
a
∫
0
J1(λjr)I1(qlnr)rdr =
= −
λja
λ2
j + q2
ln
J0(λja)I1(qlna) =
= −
λja
p2
lj + η2
n
J0(λja)I1(qlna),
l = 1, 2.
(14)
Додатково зазначимо, що повна на вiдрiзку
0≤r≤a система функцiй {J1(λjr) | j ≥ 1} є орто-
гональною на ньому з нормою
a
∫
0
J2
1 (λjr)rdr =
a2
2
J2
0 (λja).
Остаточно з урахуванням залежностей (9) одер-
жуємо пiдсистему алгебраїчних рiвнянь, яка до-
повнює спiввiдношення (12a) i (12b):
1
a
λj
p2
1j
A0J1(k1a)+
1
a
∞
∑
n=1
(−1)n+1A∗
nI1(q2na)×
×λj
[(
1−
k2
2
2η2
n
)
1
p2
1j + η2
n
−
1
p2
2j + η2
n
]
−
−
1
2
B∗
nJ0(λja)sh p2jh×
×
[
λj
p1j
cth p1jh−
p2j
λj
cth p2jh
]
=0,
j = 1, 2, . . .
(15)
Проведенi викладки показують, що при повно-
му зчепленнi торця зi штампом неможливо побу-
дувати процедуру розв’язку, яка б дозволила одер-
жати явнi аналiтичнi вирази для коефiцiєнтiв ря-
дiв Фур’є. При цьому нескiнченну систему лiнiй-
них алгебраїчних рiвнянь (12a), (12b), (15) вiд-
носно невизначених коефiцiєнтiв рядiв Фур’є A0,
68 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
f (Hz)
0 100 200 300 400
Im
Z
(N
s/
m
)
-0.25
0
0.25
0.5
rz(h)=0
ur(h)=0l.f. asympt.
f (Hz)
0 100 200 300 400
R
e
Z
(N
s/
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
rz(h)=0
ur(h)=0
а б
Рис. 2. Частотнi залежностi iмпедансу в’язко-пружного цилiндра при кiнематичному навантаженнi торцiв:
неперервна – повне зчеплення, штрихова – гладкий контакт, штрих-пунктирна – низькочастотна асимптотика [14]
A∗
n, B∗
j слiд розглядати як сукупнiсть базових ана-
лiтичних спiввiдношень для обчислення шуканих
фiзичних величин, якi визначають напружено-
деформований стан цилiндра [15].
3. ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛIЗ
Питання про вибiр геометричних i фiзичних
параметрiв моделi було детально розглянуто у
статтi [14]. Обрахунки проводились для цилiн-
дра з розмiрами 2a=11.8 мм, h=6.5 мм, оскiль-
ки цi значення дiаметра i товщини досить типо-
вi для реальних iмпедансометричних, фоно- i ре-
спiросонографiчних систем. Вважалось, що мате-
рiал цилiндра має такi фiзичнi характеристики:
ρ=1100 кг/м3, Re c1 =1500 м/с, Re c2 =1.51 м/с.
Це вiдповiдає G≈2.5 кПа, ν≈0.4999, що характер-
но для консолiдованих м’яких бiотканин [6, 7, 14].
Зауважимо, що оскiльки хвильовi розмiри до-
слiджуваного об’єкта значно меншi за довжи-
ну поздовжньої хвилi, то припустимо покласти
Im c1 =0 (на довгих хвилях дисипацiєю можна
знехтувати). Дисипативнi ж властивостi попере-
чної хвилi визначаються значеннями компонент
модуля зсуву, якi входять до формули (2). Як i
у [14], при розрахунках вважалось, що G′=250 Па,
G′′=0.25 Па·с. Взагалi кажучи, коефiцiєнт Пуас-
сона для дисипативного середовища також є ком-
плексною величиною, проте у нашому випадку йо-
го уявна частина принаймнi на вiсiм порядкiв мен-
ша за дiйсну [5]. Принагiдно зауважимо, що ре-
альна модель затухання у м’яких бiотканинах тi-
ла людини може бути значно складнiшою, нiж за-
пропонована нами. Це питання потребує окремого
розгляду iз залученням реологiчних гiпотез про
механiзми формування механiчних властивостей
м’язових, жирових та епiтелiальних тканин люди-
ни [17].
Розрахунковий частотний дiапазон вiд 0 до
400 Гц був обраний на пiдставi результатiв вiбро-
метричних експериментiв [2, 3] – саме на цих ча-
стотах вдавалося надiйно фiксувати величину ди-
намiчної реакцiї поверхнi тiла людини при рiзних
умовах закрiплення сенсорiв i вiбраторiв. Якщо го-
ворити у термiнах хвильових розмiрiв, це вiдповi-
дає |k2a|≤9.5 (нагадаємо, що |k1a|�1).
При чисельному аналiзi нескiнченна систе-
ма (12a), (12b), (15) розв’язувалась методом про-
стої редукцiї. Оскiльки шуканою була iнтеграль-
на величина – механiчний iмпеданс торця, засто-
сування методiв покращення збiжностi за допо-
могою видiлення особливостi на ребрi вважалось
недоцiльним. Контроль за достовiрнiстю одержа-
них результатiв здiйснювався за допомогою пере-
вiрки якостi виконання граничних умов для ра-
дiальних напружень σr (3) i радiальних змiщень
ur (5). Встановлено, що для прийнятих фiзичних i
геометричних параметрiв системи вже при ураху-
ваннi 10 членiв у кожному з рядiв, якi формують
загальнi розв’язки (7), умова вiдсутностi радiаль-
них змiщень на торцi цилiндра виконувалась з то-
чнiстю до 10 % вiд ur/U0 при 0≤r≤0.9a. Як i слiд
було очiкувати, збiжнiсть умови по напруженням
на бiчнiй поверхнi виявилась помiтно гiршою. Тут
для досягнення похибки, не бiльшої за 20 % вiд
σr/(2G) (при одиничнiй амплiтудi змiщення U0) у
В. Н. Олiйник 69
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
вiдрiзках рядiв вiдносно A∗
n i B∗
j доводилось утри-
мувати понад 100 членiв.
Таким чином, можна зробити висновок про не-
можливiсть побудови ефективного алгоритму ви-
значення полiв напружень у в’язко-пружному ци-
лiндрi без застосування процедури видiлення осо-
бливостi на ребрi цилiндра. Проте вже при утри-
маннi в рядах вiд 5 до 10 членiв спостерiгається
стабiлiзацiя розрахункових значень Z у межах
кiлькох десятих вiдсотка.
На рис. 2 показанi частотнi залежностi уявної та
дiйсної частин iмпедансу в’язко-пружного цилiн-
дра при кiнематичному навантаженнi торцiв. Тут
же штриховими лiнiями показанi данi, розрахова-
нi для випадку гладкого контакту. З графiкiв ви-
дно, що i при повному зчепленнi, i при гладкому
контактi поперечнi моди коливань вiдiграють зна-
чну роль у формуваннi динамiчної реакцiї торця
цилiндра. При цьому в обох випадках вплив по-
перечних мод робить систему бiльш “жорсткою”,
знижуючи ефективне значення приєднаної маси
на частотах вище поздовжнього резонансу [14].
При аналiзi отриманої залежностi iмпедансу Z у
дiапазонi f ≤400 Гц доцiльно видiлити три часто-
тнi зони. Перша з них лежить нижче першого по-
здовжнього резонансу цилiндра (вiд 0 до 100 Гц).
Тут iмпеданси для випадкiв жорсткого зчеплен-
ня i гладкого контакту вiдрiзняються мало. При
цьому для обох типiв граничних умов ImZ має
характер пружностi, а ReZ монотонно зростає за
квадратичним законом. Можна припустити, що на
цих частотах у системi домiнує поздовжня мода
i тип умов на торцях мало впливає на формува-
ння динамiчної реакцiї цилiндра. Справедливiсть
цiєї гiпотези пiдтверджується тим, що у вказано-
му дiапазонi обидвi залежностi на рис. 2, а пра-
ктично спiвпадають з низькочастотною асимпто-
тикою для ImZ [14] (штрих-пунктирна крива).
На частотах вiд 100 до 300 Гц (друга зона) низь-
кочастотна асимптотика перестає працювати. Тут
спостерiгається досить сильна порiзанiсть кривих
для Z в обох розглянутих випадках, спричинена
наявнiстю резонансiв нижчих згинальних мод, якi
iнтенсивно збуджуються в околi торця цилiндра.
Природно, що вiдповiднi резонанснi частоти вiд-
чутно залежать вiд типу закрiплення торцiв, а хiд
iмпедансних залежностей досить сильно вiдрiзняє-
ться. Проте видно, що ImZ пiсля першого поздов-
жнього резонансу завжди приймає характер маси
(можливо, за виключенням цилiндрiв з h/r�1,
для яких можуть iснувати вузькi зони переходу
ImZ до пружностi). Поведiнка ReZ в означено-
му дiапазонi також стає суттєво немонотонною.
У третiй зонi (f >300 Гц) роль в’язкостi матерiа-
лу цилiндра зростає настiльки, що згинальнi резо-
нанси все бiльше згладжуються, а iмпеданснi кри-
вi стають монотонними. Щодо ImZ, обидвi зале-
жностi досить близькi. Можна стверджувати, що
iснує тенденцiя до незначного збiльшення приєд-
наної маси для цилiндра при жорсткому зчеплен-
нi торця з вiбратором. Втiм цей ефект виражений
досить слабо. Натомiсть тут спостерiгається зна-
чне (в середньому у пiвтора рази) зростання ReZ.
Очевидно воно зумовлене демпфуванням згиналь-
них коливань, якi при жорсткому зчепленнi збу-
джуються в околi торця z→±h бiльш iнтенсивно,
нiж при гладкому контактi.
Слiд зазначити, що експериментальнi значення
активної частини iмпедансу поверхнi тiла люди-
ни суттєво перевищують усi розрахунковi оцiнки,
одержанi для в’язко-пружного цилiндра. Ця розбi-
жнiсть може бути пояснена наявнiстю двох механi-
змiв формування втрат. По-перше, при проведен-
нi експериментiв на тiлi людини або на гелевому
фантомi [3, 4] значну роль має вiдiгравати збуд-
ження хвиль, якi поширюються вiд краю вiбра-
тора на нескiнченнiсть (втрати на випромiнення).
По-друге, в експериментах могла бути не забезпе-
чена умова гладкостi контакту вiбратора з поверх-
нею об’єкта. Як наслiдок, результати вимiрювань
спотворюються за рахунок зовнiшнього тертя у зо-
нi контакту. Про справедливiсть такого припущен-
ня говорить зокрема те, що експериментальна ча-
стотна залежнiсть ReZ має незначний нахил до
осi абсцис, а його значення iстотно вiдрiзняються
вiд нуля навiть на дуже низьких частотах (як вi-
домо, величина зовнiшнього тертя не повинна за-
лежати вiд частоти коливань [17]).
ВИСНОВКИ
Проведено чисельно-аналiтичне розв’язання за-
дачi про коливання в’язко-пружного цилiндра з
м’якої бiотканини при повному зчепленнi його тор-
цiв з абсолютно жорстким штампом-вiбратором.
Проаналiзовано збiжнiсть чисельного алгоритму
при застосуваннi методу простої редукцiї.
Встановлено, що бiльш iнтенсивне збудження
згинальних мод в околi торця, у порiвняннi з ви-
падком гладкого контакту, призводить до значно-
го зростання активної частини його механiчного
iмпедансу. Крiм того, спостерiгається тенденцiя до
незначного пiдвищення еквiвалентної маси (на ча-
стотах вище першого поздовжнього резонансу).
Проведений аналiз дає надiю на можливiсть аде-
кватного пояснення особливостей формування iм-
педансних властивостей поверхнi тiла людини на
70 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 65 – 71
аудiочастотах у рамках лiнiйної динамiчної теорiї
пружностi з урахуванням втрат механiчної енергiї
у матерiалi.
1. Oestreicher H. L. Field and impedance of an ocsillati-
ng sphere in a viscoelastic medium with an applicati-
on to biophysics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1951.–
23, N 6.– P. 707–714.
2. Verburg J., van Vollenhoven E. Phonocardiography:
physical and technical aspects and clinical uses //
Non invasive physiological measurements.– London:
Academic press, 1979.– P. 213–259.
3. Тиманин Е. М. Модель формирования импедан-
сных свойств мягких биологических тканей // Ме-
тоды вибрационной диагностики реологических
характеристик мягких материалов и биологиче-
ских тканей.– Горький: ИПФ АН СССР, 1989.–
С. 75–91.
4. Еремин Е. В., Тиманин Е. М. Интерпретация ме-
ханического импеданса слоя, измеренного с по-
мощью твердого круглого штампа // Акуст. ж.–
2000.– 46, N 4.– С. 490–495.
5. Zhang X., Royston T. J., Mansy H. A., Sandler R. H.
Radiation impedance of a finite circular piston on
a viscoelastic half-space with application to medical
acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 109, N 2.–
P. 795–802.
6. Лебедева Л. П. Измерение динамического ком-
плексного модуля сдвига тканей животных //
Акуст. ж.– 1965.– 11, N 2.– С. 197–200.
7. Greenleaf J. F., Fatemi M., Insana M. Selected
methods for imaging elastic properties of biological
tissues // Ann. Rev. Biomed. Engng.– 2003.– 5.–
P. 57–78.
8. Gennisson J.-L., Catheline S., Chaffäı S., Fi-
nk M. Transient elastography in anisotropic medi-
um: Application to the measurement of slow and
fast shear wave speeds in muscles // J. Acoust. Soc.
Amer.– 2003.– 114, N 1.– P. 536–540.
9. Titze I. R., Klemuk S.A., Gray S. Methodology for
rheological testing of engineering biomaterials at low
audio frequencies // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.–
115, N 1.– P. 392–401.
10. Vermarien H., van Vollenhoven E. The recording of
heart vibrations: a problem of vibration measurement
on soft tissue // Med. & Biol. Eng. & Comput.–
1984.– 22.– P. 168–178.
11. Pasterkamp H., Kraman S. S., Wodicka G. R. Respi-
ratory sounds. Advances beyond the stetoscope //
J. Respir. Crit. Care Med.– 1997.– 156.– P. 974–987.
12. Олiйник В. Н. Рацiональне проектування п’єзоа-
кселерометрiв для вимiрювань на пiддатливих по-
верхнях // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 3.– С. 54–65.
13. Куценко А. Г., Олийнык В. Н., Улитко А. Ф. Пе-
ремещения точек поверхности упругого полупро-
странства, вызванные мгновенным приложением
осесимметричной нагрузки // Акуст. вiсн.– 1999.–
2, N 2.– С. 57–68.
14. Олiйник В. Н. Моделювання контактної взаємодiї
обмеженої дiлянки поверхнi тiла людини з вiбра-
тором // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 2.– С. 58–67.
15. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: На-
ук. думка, 1981.– 284 с.
16. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегра-
лов, сумм, рядов и произведений.– М.: Физматгиз,
1971.– 1108 с.
17. Рейнер М. Реология.– М.: Наука, 1965.– 224 с.
В. Н. Олiйник 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-996 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:30:12Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Олійник, В.Н. 2008-07-09T14:39:07Z 2008-07-09T14:39:07Z 2004 Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 65-71. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/996 534.26 Розв'язано задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного циліндра з механічними властивостями, близькими до властивостей біотканин. При цьому вважалось, що торці циліндра перебувають в умовах повного зчеплення з вібратором, а його бічна поверхня - вільна. Розв'язок задачі побудовано у вигляді рядів Фур'є, коефіцієнти яких обчислюються з нескінченних алгебраїчних систем, породжених граничними умовами. Аналіз частотної поведінки механічного імпедансу торця циліндра дозволив оцінити ступінь впливу граничних умов на поверхні контакту на інтегральні механічні характеристики об'єкта. Решена задача о гармонических колебаниях вязко-упругого цилиндра с механическими свойствами, близкими к свойствам биотканей. При этом считалось, что торцы цилиндра находятся в условиях полного сцепления с вибратором, а его боковая поверхность - свободна. Решение задачи построено в виде рядов Фурье, коэффициенты которых вычисляются из бесконечных алгебраических систем, порожденных граничными условиями. Анализ частотного поведения механического импеданса торца цилиндра позволил оценить степень влияния граничных условий на поверхности контакта на интегральные механические характеристики объекта. A problem on harmonic vibrations of a visco-elastic cylinder with properties close to that of the biotissues is solved. At that the cylinder's faces were considered to be completely adhering to the vibrator, while its lateral surface is free. The solution of the problem was developed in form of the Fourier series with coefficients derived from the infinite algebraic system generated by the boundary conditions. The analysis of frequency behavior for cylinder's mechanical impedance allowed to estimate the degree of the boundary conditions influence on the object's integral characteristics. uk Інститут гідромеханіки НАН України Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором Modeling of mechanical reaction for a cylinder of viscoelastic biotissue at harmonic excitation under the conditions of complete adhesion with a vibrator Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором Олійник, В.Н. |
| title | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| title_alt | Modeling of mechanical reaction for a cylinder of viscoelastic biotissue at harmonic excitation under the conditions of complete adhesion with a vibrator |
| title_full | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| title_fullStr | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| title_full_unstemmed | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| title_short | Моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| title_sort | моделювання механічної реакції циліндра з в'язко-пружної біотканини при гармонічному навантаженні торців в умовах повного зчеплення з вібратором |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/996 |
| work_keys_str_mv | AT olíinikvn modelûvannâmehaníčnoíreakcíícilíndrazvâzkopružnoíbíotkaniniprigarmoníčnomunavantažennítorcívvumovahpovnogozčeplennâzvíbratorom AT olíinikvn modelingofmechanicalreactionforacylinderofviscoelasticbiotissueatharmonicexcitationundertheconditionsofcompleteadhesionwithavibrator |