Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве
У цій роботі подані найбільш перспективні методи математичного моделювання процесу поширення сейсмічних коливань у вуглепородному масиві, які використовуються при розв’язанні задач шахтної пластової сейсморозвідки. The most promising methods for mathematical modeling of seismic energy in coal-rock m...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Наукові праці УкрНДМІ НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99759 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве / Н.Я. Азаров, А.В. Анциферов // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2011. — № 9, ч. 2. — С. 496-510. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592192156237824 |
|---|---|
| author | Азаров, Н.Я. Анциферов, А.В. |
| author_facet | Азаров, Н.Я. Анциферов, А.В. |
| citation_txt | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве / Н.Я. Азаров, А.В. Анциферов // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2011. — № 9, ч. 2. — С. 496-510. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Наукові праці УкрНДМІ НАН України |
| description | У цій роботі подані найбільш перспективні методи математичного моделювання процесу поширення сейсмічних коливань у вуглепородному масиві, які використовуються при розв’язанні задач шахтної пластової сейсморозвідки.
The most promising methods for mathematical modeling of seismic energy in coal-rock mass when solving problems of in-seam seismic survey in mines are described.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:45:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
496
УДК 550.834:622.12
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ В УГЛЕПОРОДНОМ МАССИВЕ
Азаров Н. Я., Анциферов А. В.
(УкрНИМИ НАНУ, г. Донецк, Украина)
У цій роботі подані найбільш перспективні методи мате-
матичного моделювання процесу поширення сейсмічних коливань
у вуглепородному масиві, які використовуються при розв’язанні
задач шахтної пластової сейсморозвідки.
The most promising methods for mathematical modeling of
seismic energy in coal-rock mass when solving problems of in-seam
seismic survey in mines are described.
С начала развития шахтной сейсморазведки и по сей день,
она опирается на теоретический анализ волновых полей, осно-
ванный на применении методов математического моделирования.
В условиях перехода к отработке угольных пластов, имеющих
все более сложные горно-геологические условия залегания, такой
подход является чрезвычайно актуальным. В настоящее время
теоретические исследования направлены на глубокое изучение
механизмов формирования и распространения, разработку мето-
дов регистрации и анализа сейсмоакустических волновых полей.
В настоящей работе представлены наиболее перспективные ме-
тоды математического моделирования процесса распространения
сейсмических колебаний в углепородном массиве, используемые
при решении задач шахтной пластовой сейсморазведки.
При моделировании прямой задачи сейсморазведки реша-
ются уравнения движения для сейсмических волн. Они, по сути,
являются математическим выражением второго закона Ньютона
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
497
для частиц вещества в твердом теле, приведенном в движение
упругими волнами. Это - дифференциальное уравнение с част-
ными производными второго порядка для векторного смещения
u, которое испытывает частица твердой среды вследствие про-
хождения волны. Целью решения уравнения движения является
вычисление смещений частиц среды при распространении коле-
баний и получение теоретических сейсмограмм.
Описание процесса распространения сейсмических колеба-
ний в угленосной толще для широкого круга задач шахтной сей-
сморазведки может быть проведено в рамках теории упругости. В
упругой модели Гука среда описывается объемной плотностью ρ
и двумя модулями упругости для объемных и сдвиговых дефор-
маций. Через них выражаются скорости распространения про-
дольных Vp и поперечных Vs волн. Упругая модель достаточно
полно отражает неоднородности строения среды и позволяет по-
лучить все используемые в практической шахтной сейсморазвед-
ке типы волн [1].
При этом в качестве базовой модели углевмещающей толщи
можно рассматривать упругое твердое тело, состоящее из набора
изотропных слоев, соответствующих угольному пласту и вмеща-
ющим породам [1]. Возникающие в процессе возбуждения и рас-
пространения сейсмических волн напряжения не превышают
пределов упругости сред, слагающих толщу; смещения состав-
ляют сотые доли процентов от характерных размерностей моде-
ли. На основании этого с физической точки зрения такие возму-
щения рассматриваются как обратимые и малые.
Как известно из положений теории, в рамках упругой моде-
ли Гука систему уравнений, описывающих движение частиц сре-
ды можно записать в виде:
σρ ∂
=
∂
ik
i
k
u
x
, (1)
где ρ - плотность, iu - ускорение,σ λ δ µ= + 2ik ll ik iku u -
тензор напряжения, uik - компоненты тензора смещения, λ и μ -
коэффициенты Ламе. Тогда выражение (1) можно записать в ви-
де:
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
498
2 2ll ik
i ll ik ik ik
k k k k
u uu u u
x x x x
λ µρ δ λδ µ∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂
(2)
Наиболее просто решение (2) выглядит для случая неогра-
ниченной изотропной среды. В этом случае система уравнений
может быть записана в самом простом (одномерном) виде:
( )2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2u u
t x
v v
t x
w w
t x
λ µ
ρ
µ
ρ
µ
ρ
+∂ ∂
= ∂ ∂
∂ ∂ = ∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
где через u, v, w обозначены компоненты вектора переме-
щений.
Это обычные волновые уравнения, в которых величины
2
pV λ µ
ρ
+
= и Vs
µ
ρ
= представляют собой скорости распростра-
нения возмущений. Решение системы можно рассматривать как
две независимо распространяющиеся волны. Несмотря на столь
простую модель, волновые пакеты, движущиеся с соответствую-
щими скоростями, присутствуют на любых реальных сейсмо-
граммах, в том числе полученных на угольных пластах в любых
горно-геологических условиях. Волны данной природы называют
прямыми. Их скорости могут быть реально измерены и могут
служить для последующих расчетов (что широко используется на
практике).
В ограниченной изотропной среде, в качестве которой мож-
но рассматривать как угольный, так и любой из породных пла-
стов, вопрос о разделении совокупности колебаний на волны
сдвига и волны сжатия усложняется. Наблюдается взаимодей-
ствие и трансформация волн различных типов. Среди решений
волнового уравнения для ограниченной среды важное место иг-
рают поверхностные волны, описанные Релеем и представляю-
щие собой колебания, распространяющиеся вдоль свободной
границы среды и экспоненциально затухающие при удалении от
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
499
нее. При расположении границы в z = 0 потенциал поверхност-
ной волны можно записать в виде:
( ) x yi k x k y wtze eαφ + −−= ,
где w – частота колебаний;
ki – компоненты волнового вектора;
α – коэффициент пространственного затухания.
Скорость распространения поверхностных волн зависит
только от скоростей поперечных и продольных волн в породах и
теоретически лежит в пределах от 0,874 до 0,955 от величины Vs.
Поэтому их иногда называют «замедленными» волнами.
В практике шахтной сейсморазведки особое место занимают
два типа волн. Первый – так называемые каналовые волны или,
по терминологии принятой в физике слоистых сред – нормаль-
ные. Второй тип – боковые волны. Для описания их природы
приведем некоторые соотношения.
Возбуждаемую источником колебаний реальную волну
можно считать сферической. Однако рассмотрение закона её рас-
пространения в углевмещающей толще затруднено, так как сим-
метрия волны не соответствует симметрии модели. Поэтому це-
лесообразно разложить сферическую волну на плоские, исполь-
зуя двойной интеграл Фурье. В итоге получим соотношения [2]:
( )
22
0 0
0, sin
2
x y z
iikr
i k x k y k ze ikz e d d
R
π π
ϕ θ θ ϕ
π
− ∞
+ ++≥ = = ∫ ∫ ,
( )
22
0 0
0, sin
2
x y z
iikr
i k x k y k ze ikz e d d
R
π π
ϕ θ θ ϕ
π
− ∞
+ −−≤ = = ∫ ∫ ,
где ϕθ cos sinkkx = ; ϕθ sin sinkk y = ; θ cos kkz = .
Расположение вектора k в пространстве и смысл углов θ и ϕ
показаны на рис. 1.
При выборе системы координат для решения задач шахтной
сейсморазведки ось Х декартовой системы координат целесооб-
разно направить на приемник колебаний, а оси Y и Z разместить в
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
500
плоскости напластования и перпендикулярно плоскости напла-
стования, соответственно.
Рис. 1. К описанию разложения сферической волны на плос-
кие
Рассмотрим, для начала, природу каналовых волн. При ре-
шении задачи о распространении плоских волн в слое, их сум-
марное поле в произвольной точке слоя может быть записано в
виде суммы прямой волны и волн, многократно отраженных от
границ слоя [2]:
( )
1 2 3 4
1 2 1 2 1 2
0 1 2 3 4
l likR ikR ikR ikR
l
l l l l l
e e e eVV V V VV
R R R R
ϕ
∞
=
= + + +
∑ , (3)
где ( )22
1 02lR r lh z z= + + − , ( )22
2 02lR r lh z z= + + + ,
( )22
3 02( 1)lR r l h z z= + + − − , ( )22
4 02( 1)lR r l h z z= + + − + ,
h – толщина слоя;
z0 – уровень расположения источника;
V1 и V2 – коэффициенты отражения на границах слоя.
Используя представление для функции Ханкеля первого ро-
да выражение (3) можно записать в виде:
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
501
( ) ( ) ( ) ( )1 10
0 0
1
2 1 cos cos
2 l
l
l zi l zH kr H r
h h h
ππ πϕ ξ
∞
=
= +
∑ , (4)
где ( )22 hlkl πξ −±= .
В волновой зоне можно воспользоваться асимптотическим
представлением для функции Ханкеля и записать решение (4) в
ещё более простой форме:
04
1
1 2 1 1 2 cos cos l
i i rikr
l l
l zl ze e e
h r h hk
π ξππ πϕ
ξ
∞
=
= +
∑ .
Анализ этого соотношения позволяет сделать вывод о том,
что. амплитуда каналовой волны убывает по сравнительно мед-
ленному закону ( 0.5~ rϕ − ). Скорость волны можно определить из
соотношения
( )
1
2 2
1 2l
l
w lV c h
λ
ξ
−
= = −
,
где с – скорость распространения волн в слое.
Среди различных соотношений, описывающих каналовые
волны, важное место занимает дисперсионное уравнение. В част-
ности, оно может служить для определения частотных и скорост-
ных характеристик колебаний. В простейшем случае одного слоя
для волн SH оно имеет вид:
2 cos
1 21 0ikhVV e θ− = .
Для случая волн P и SV дисперсионное соотношение услож-
няется и принимает вид:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2 0,
i h i h
ps sp sp ps pp ss sp ps ss ss
i h i h
pp pp ps sp sp ps
e V V V V V V V V V V e
V V e V V V V e
α β β α
β α β α
+ −
− − − +
− − − −
− − + + =
где 22 ξα −= k ; 22 ξχβ −= ;
pV
wk = ;
sV
w
=χ ;
fV
w
=ξ ,
fV - фазовая скорость;
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
502
pV , sV - скорости продольных и поперечных волн в слое;
i
sp
i
ps
i
ss
i
pp VVVV , , , – коэффициенты отражения разных типов
волн (при том, что они порождают также разные типы волн) на
границе под номером i.
Каналовые волны заняли прочное место инструмента шахт-
ной сейсморазведки.
Перейдем к природе боковых волн. Рассмотрев вопрос об
отражении волны от поверхности раздела сред можно показать,
что поле отраженной волны представимо в виде:
бокот р ϕϕϕ += ,
где первое слагаемое – собственно отраженная волна, а вто-
рое – боковая волна, выражение для которой можно записать в
виде:
( )
( )0 1 1
32 2
1
2
1
ik L L ik L
áî ê
in e
km n rL
ϕ + +=
−
, (5)
где 1sin sin n θ θ= ; 1m ρ ρ= ,
r, L, L1 и L0 – пояснены на рис. 2.
Рис. 2. К объяснению природы боковой волны
Боковая волна соответствует части решения, образуемого
при угле падения большем или равном углу полного внутреннего
отражения. Она распространяется вдоль границы раздела сред. Ее
фронт можно описать соотношением:
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
503
( ) ( )( )2
0 1 1 01k L L k L k nr n z z const+ + = + − + =
Как можно легко убедиться, это прямая линия. Закон убы-
вания волны можно получить из соотношения (5). В дальней зоне
rL ≈1 и закон убывания волны имеет вид: 2~áî ê rϕ − .
Боковые волны стали использоваться в шахтной сейсмораз-
ведке сравнительно недавно, но сейчас занимают ведущее место.
Если в выражении (2) справа от знака равенства опустить
первые два слагаемых, то получится известное уравнение Ламе
k
ik
k
ll
iki x
u
x
uu
∂
∂
+
∂
∂
= µλδρ 2 , (6)
записанное для изотропной однородной среды и широко приме-
нявшееся в УкрНИМИ в последние годы при проведении теоре-
тического анализа и разработке прогнозных критериев [1].
Как правило, при решении задачи о распространении сей-
смических волн в ненарушенной угленосной толще можно допу-
стить, что компоненты вектора перемещения ui зависят только от
времени, от величины проекции расстояния между сейсмоприем-
ником и источником на плоскость напластования, и от величины
проекции этого расстояния на перпендикуляр к плоскости напла-
стования. Тогда, в выбранной нами системе координат, можно
перейти к плоской задаче и решение распадается на два вида
независимо распространяющихся волн. Для P и SV волн оно за-
пишется в виде:
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
u u w u u
t x x z x z
w u w w w
t z x z x z
ρ λ µ µ
ρ λ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (7)
а для SH волн:
2 2 2
2 2 2
v v v
t x z
ρ µ
∂ ∂ ∂
= + + ∂ ∂ ∂
. (8)
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
504
Приведенное выше решение задачи о распространении сей-
смических колебаний отличается исключительной простотой ре-
ализации. Именно поэтому оно нашло широкое применение. Од-
нако два слагаемых, которые были игнорированы в выраже-
нии (2) чтобы получить известное уравнение Ламе необходимы
для адекватного учета влияния неоднородности среды на процесс
распространения сейсмических волн.
В зоне нарушения, представляющей особый интерес в зада-
чах шахтной сейсморазведки, угленосная толща не является пло-
скопараллельной средой со свойствами, не зависящими от коор-
динаты Y. Как известно [1], сместитель сброса либо надвига гео-
метрически можно представить в виде участка плоскости (в об-
щем случае – криволинейной поверхности), ограниченной двумя
дугами, образуемыми торцами крыльев угольного пласта (на
схеме, изображенной на рис. 3 точки пересечения дуг обозначены
как S1 и S2), а зона трещиноватости представляет собой «чечеви-
цеобразную» структуру, простирающуюся во все стороны от
нарушения (заштрихованная область на рис. 3).
Рис. 3. К описанию особенностей учета трехмерности раз-
рывного тектонического нарушения при моделиро-
вании процесса распространения сейсмоакустиче-
ских колебаний
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
505
Поэтому решение уравнений (2) не всегда может быть све-
дено к задаче в плоскости, перпендикулярной плоскости напла-
стования, где система колебаний может быть представлена в виде
двух независимо распространяющихся групп колебаний SH, PV и
SV. В общем случае решение уравнений (2) необходимо искать в
общем виде:
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 ,
u v w u u uu
x x y z x y z
u v w u u v u w
x x y z x x y y x z z x
u v w v v vv
y x y z x y z
ρ λ µ µ
λ µ µ µ
ρ λ µ µ
λ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
+
∂
( )
2 2 2
2 2 2
2 ,
2
u v w v u v v w
y x y z y y x y x z z y
u v w w w ww
z x y z x y z
u v w w u w v w
z x y z z z x z x y z
µ µ µ
ρ λ µ µ
λ µ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
y
(9)
С учетом напряженно-деформированного состояния горного
массива сейсмоакустическое волновое поле в углепородном мас-
сиве может быть описано системой линейных дифференциальных
уравнений [4]:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
u u w u wA B C G
t x x z z x
v v vE
t x z
w w u w uD B E G
t x x z z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (10)
где коэффициенты представляют собой функции упругих
констант, плотности, а также нормальных напряжений и дефор-
маций.
Их можно представить в следующем виде:
[ ]( , , , , , , ) (2 )(1 2 ) /xx zz xx zzA A x zλ µ ρ ε ε µ λ ε ε ρ= = + + − , (11)
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
506
1(1 ) ( )1 2( , , , , , , , , )
1 1( ) ( 2 )
2 2
zz xx
xx zz xx
xx zz zz
 A x z
λ ε σ µ µ λ
λ µ ρ ε ε σ σ
ρ ε ε λ µ ε σ
− − + + + ×
= ∆ =
× + + − − ∆
, (12)
1 ( )( )1 2( , , , , , , , , )
1 1( 2 )
2 2
xx zz
xx zz xx
zz
C C x z
µ µ λ ε ε
λ µ ρ ε ε σ σ
ρ λ µ ε σ
+ + + +
= ∆ =
− − ∆
, (13)
[ ]1( , , , , , , , , ) ( 2 )(1 )xx zz xx xxD D x zλ µ ρ ε ε σ σ λ µ ε
ρ
= ∆ = + − , (14)
1 ( )( )1 2( , , , , , , , , )
1 1( 2 )
2 2
xx zz
xx zz xx
zz
E E x z
µ µ λ ε ε
λ µ ρ ε ε σ σ
ρ λ µ ε σ
+ + + +
= ∆ =
− − ∆
, (15)
λ – модуль сжатия;
μ – модуль сдвига;
ρ – плотность горной породы;
εxx, εzz – упругие нормальные деформации горного массива;
Δσ = (σzz – σxx) – разность нормальной вертикальной и гори-
зонтальной составляющих напряжений.
Величины упругих напряжений и деформаций, соответ-
ствующих условиям подземной разработки угольных месторож-
дений, таковы, что в приведенной постановке задачи позволяют
получить изменение исходных значений µ и λ лишь на 1,5–2 %,
что не согласуется с данными экспериментальных исследований.
Функциональные зависимости коэффициентов при частных про-
изводных в (10) не учитывают такие важные факторы как пори-
стость и трещиноватость горных пород, и не описывают влияние
неупругих составляющих деформаций на параметры колебатель-
ного процесса. Изменение вида коэффициентов при учете допол-
нительных характеристик углевмещающей толщи и её состояния
достигается использованием условной замены μ и λ на μэфф и λэфф:
λλλµµµ ∆+=∆+= эффэфф ;
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
507
где Δμ и Δλ рассматриваются как дополнительные слагае-
мые, вносимые за счет учета состояния горного массива и харак-
теристик пород.
Такой подход не нов. Например, в монографии [4] на основе
анализа результатов экспериментальных исследований, прове-
денных на ряде шахт Украины и России, представлены зависимо-
сти модуля сдвига и других параметров среды от коэффициента
пористости, от величины горного давления и других параметров.
В данной работе выведен вид зависимостей «эффективных» зна-
чений констант Ламе от пористости и трещиноватости пород с
учетом влияния горного давления. Автор основывался на предпо-
ложении, что трещиноватость описывается системой хаотически
расположенных, пересекающихся эллипсоидных микротрещин,
параметры которых распределены по нормальному закону.
Представим упругие константы в виде:
( ) ( )0 01 ; 1µ λµ µ λ λ= + ∆ = + ∆ (16)
где μ0, λ0 – упругие константы горных пород без учета пори-
стости, трещиноватости, величины напряжений и неупругих де-
формаций,
Δμ, Δλ – корректирующие добавки, учитывающие влияние
вышеуказанных факторов.
Приведенные в [4] результаты исследований показали, что
Δμ и Δλ могут быть вычислены по следующим формулам:
),(),( ПfKПfK µµλλ =∆=∆ (17)
где Kλ и Кµ – коэффициенты, учитывающие форму трещин и
пор и предполагающие, что трещиноватость описывается систе-
мой хаотических расположенных пересекающихся эллипсои-
дальных микротрещин, параметры которых распределены по
нормальному закону. Они могут быть определены с учетом тео-
рии микронеоднородных трещиноватых сред из выражений:
216(1 ) 32(1 )(5 ), ,
3 (1 2 ) 15 (2 )
Ê Êλ µ
ν ν ν
π ν π ν
− − −
= =
− −
(18)
где ν – коэффициент Пуассона горной породы,
f(П) – функция, определяющая влияние концентрации тре-
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
508
щин и пор на корректирующие добавки и учитывающая влияние
горного давления на эффективные модули упругости. Она может
быть представлена в виде:
0) -П-П eef(П −= , (19)
где П – текущая трещинная пористость горной породы;
П0 – трещинная пористость горной породы при гидростати-
ческом давлении в ненарушенном состоянии.
В рамках модели Гука можно осуществлять моделирование
большинства типов колебаний, несущих информацию о строении
угленосной толщи. Но при решении целого ряда задач данный
подход имеет ограниченное применение, поскольку реальные
геологические среды являются сложным материалом, отличаю-
щимся анизотропией свойств и представляющим собой неодно-
родную слоистую и пористую двух – или даже трехфазную
структуру. Основная проблема, решение которой чрезвычайно
сложно в рамках упругой модели Гука – учет поглощения сей-
смических колебаний. Классические теории поглощения базиру-
ются на представлении толщи горных пород как о сплошной сре-
де, в которой наряду с упругим напряжениям учитываются силы
вязкости и внутреннего трения, или как о наследственной среде, в
которой напряжения в данный момент времени зависят не только
от значений деформаций, но и от состояния тела в предшествую-
щие моменты времени (механизм «механической памяти»).
В настоящее время детально разработаны несколько подхо-
дов. Это модели Кельвина-Фойгта, Максвелла, стандартного ли-
нейного тела (являющегося сочетанием двух предыдущих), оп-
тимального линейного тела. В этих моделях делается попытка
учесть силы вязкого и внутреннего трения. В моделях Больцмана
и Б.В. Дерягина учитывается механизм «механической памяти».
Как показано в работе О.К. Кондратьева [3], для учитываю-
щих силы вязкого и внутреннего трения подходов решения зада-
чи о распространении волн являются частными случаями реше-
ния общего волнового уравнения, которое для простоты в одно-
мерном случае может быть записано в виде:
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
509
2
2
0 1
k lM N
k lk l
k l
u u
x t t
µ η
+
= =
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂∑ ∑ , (20)
где μk и ηl – коэффициенты, учитывающие реологические
параметры среды.
При этом ограничиваются уравнениями с N < 3, M < 3, что-
бы при конечно-разностном подходе остаться в рамках легко реа-
лизуемой трехслойной схемы. К тому же, учет слагаемых с про-
изводными более высокого порядка требует привлечения допол-
нительных коэффициентов, для которых практически не осуще-
ствимо не только оценить численное значение, но и определить
физический смысл. Одним из таких подходов является использо-
вание волнового уравнения (20) вида
2 3 2
2 2 2
u u u u
x x t t t
µ µ ρ η∂ ∂ ∂ ∂′+ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. (21)
Это уравнение (предложенное О.К. Кондратьевым как «оп-
тимальное») может быть легко разрешимо численными метода-
ми. Система волновых уравнений для задачи в плоскости может
быть записана в виде.
2 2 2 2
2 2
2
3 3 3
2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2
2
2
(2 ) ( )
(2 ) ( ) ;
(2 ) ( )
(2 ) ( ) ;
u u u w u
t t x x z z
u w u
x t x z t z t
w w w u w
t t x x z z
w u w
x t x z t z t
t t
ρ η µ λ µ λ µ
µ λ µ λ µ
ρ η µ λ µ λ µ
µ λ µ λ µ
ν νρ η
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′ ′+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′ ′+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ =
∂ ∂
2 2 3 3
2 2 2 2 ;
x z x t z t
ν ν ν νµ µ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′+ + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(22)
где ρ – плотность породы;
u, v и w – компоненты смещений по x, y и z соответственно;
λ и μ – коэффициенты Ламе;
µλ ′′, – реологические параметры среды, характеризующие
процессы диссипации упругой энергии;
η – коэффициент, учитывающий вязкость среды.
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 9 (частина II), 2011
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 9 (part II), 2011
510
Коэффициенты λ′ и µ′ представляют собой трудно опреде-
ляемые величины. В ИПКОН РАН проводились исследования по
методам их оценки [4] применительно к породам угленосных от-
ложений. Были предложены различные алгоритмы, однако на
наш взгляд, проблема точного определения данных величин да-
лека от решения.
Интегральные изменения модулей упругости среды под
влиянием различных факторов, в том числе в зонах влияния ано-
малий, исследованы в гораздо большей степени, чем свойства ве-
личин λ′ и µ′ . В частности, их можно оценить эксперименталь-
но, измерив скорости распространения реальных волн сдвига и
сжатия в породах и использовав известные соотношения, связы-
вающие их с модулями упругости. Применяемый в УкрНИМИ
НАНУ подход основан на подборе µ′ и η′ таким образом, чтобы
при заданном τ эффективные модули упругости в пределах за-
данной погрешности соответствовали эмпирически полученным.
СПИСОК ССЫЛОК
1. Анциферов А.В. Теория и практика шахтной сейсморазведки.
– Донецк: ООО “Алан”, 2002. – 312 с.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – 2-е изд. – М.:
Наука, 1973. – 343 с.
3. Кондратьев О.К. Сейсмические волны в поглощающих сре-
дах. – М.:Недра, 1986, 176 с.
4. Захаров В.Н. Сейсмоакустическое прогнозирование и контроль
состояния и свойств горных пород при разработке угольных
месторождений. – М.: ФГУП ННЦ ГП – ИГД им. А.А. Скочинского,
2002. – 172 с.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99759 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1996-885X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:45:36Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Азаров, Н.Я. Анциферов, А.В. 2016-05-02T15:59:52Z 2016-05-02T15:59:52Z 2011 Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве / Н.Я. Азаров, А.В. Анциферов // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2011. — № 9, ч. 2. — С. 496-510. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1996-885X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99759 550.834:622.12 У цій роботі подані найбільш перспективні методи математичного моделювання процесу поширення сейсмічних коливань у вуглепородному масиві, які використовуються при розв’язанні задач шахтної пластової сейсморозвідки. The most promising methods for mathematical modeling of seismic energy in coal-rock mass when solving problems of in-seam seismic survey in mines are described. ru Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України Наукові праці УкрНДМІ НАН України Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве Article published earlier |
| spellingShingle | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве Азаров, Н.Я. Анциферов, А.В. |
| title | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| title_full | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| title_fullStr | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| title_full_unstemmed | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| title_short | Методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| title_sort | методы математического моделирования процесса распространения сейсмических колебаний в углепородном массиве |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99759 |
| work_keys_str_mv | AT azarovnâ metodymatematičeskogomodelirovaniâprocessarasprostraneniâseismičeskihkolebaniivugleporodnommassive AT anciferovav metodymatematičeskogomodelirovaniâprocessarasprostraneniâseismičeskihkolebaniivugleporodnommassive |