Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот
Предлагается регулярный метод построения безызбыточной многоэлементной конфигурации антенн на двумерной решетке. Этот метод основан на использовании последовательностей специального типа – планарных разностных множеств. С их помощью строится математическая модель радиоинтерферометра, обеспечивающего...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99808 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот / Л.Е. Копилович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2012. — Т. 17, № 2. — С. 176-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859744016487153664 |
|---|---|
| author | Копилович, Л.Е. |
| author_facet | Копилович, Л.Е. |
| citation_txt | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот / Л.Е. Копилович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2012. — Т. 17, № 2. — С. 176-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Предлагается регулярный метод построения безызбыточной многоэлементной конфигурации антенн на двумерной решетке. Этот метод основан на использовании последовательностей специального типа – планарных разностных множеств. С их помощью строится математическая модель радиоинтерферометра, обеспечивающего полное покрытие центральной области в плоскости пространственных частот. Приведены удовлетворяющие этому условию безызбыточные конфигурации с числом элементов вплоть до 38.
Запропоновано регулярний метод побудови безнадлишкової багатоелементної конфiгурацiї антен на двомiрнiй решiтцi. Цей метод грунтується на використаннi послiдовностей спецiального типу – планарних рiзницевих множин. За їх допомогою будується математична модель радiоiнтерферометра, що забезпечує повне покриття центральної областi у площинi просторових частот. Наводяться безнадлишковi конфiгурацiї, котрі задовольняють цю умову, з кiлькiстю елементiв аж до 38.
A regular method for building a non-redundant multi-element 2-D array configuration is suggested. The method is based on using sequences of a special type – planar difference sets. Here, it is applied for constructing a mathematical model of a radio interferometer that ensures the complete coverage of the central domain in the frequency space. The non-redundant configurations satisfying this condition, with the numbers of elements up to 38, are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T20:29:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012176
Радиофизика и радиоастрономия. 2012, Т. 17, № 2, c. 176–181
ÀÍÒÅÍÍÛ, ÂÎËÍÎÂÎÄÍÀß
È ÊÂÀÇÈÎÏÒÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÕÍÈÊÀ
Л. Е. КОПИЛОВИЧ
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина
E-mail: kopil@ire.kharkov.ua
ÁÅÇÛÇÁÛÒÎ×ÍÛÅ ÊÎÍÔÈÃÓÐÀÖÈÈ ÀÍÒÅÍÍ
ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÉ ÀÏÅÐÒÓÐÅ ÈÍÒÅÐÔÅÐÎÌÅÒÐÀ,
ÄÀÞÙÈÅ ÏÎËÍÎÅ ÏÎÊÐÛÒÈÅ ÖÅÍÒÐÀËÜÍÛÕ ÎÁËÀÑÒÅÉ
 ÏËÎÑÊÎÑÒÈ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÎÒ
Предлагается регулярный метод построения безызбыточной многоэлементной конфигурации антенн на двумерной
решетке. Этот метод основан на использовании последовательностей специального типа – планарных разностных
множеств. С их помощью строится математическая модель радиоинтерферометра, обеспечивающего полное покры-
тие центральной области в плоскости пространственных частот. Приведены удовлетворяющие этому условию безыз-
быточные конфигурации с числом элементов вплоть до 38.
Ключевые слова: интерферометры, безызбыточные конфигурации, планарное разностное множество, ( , )u v -плоскость
УДК 520.274
© Л. Е. Копилович, 2012
1. Ââåäåíèå
В радиоастрономии для получения высокого раз-
решения используются радиоинтерферометры, эле-
менты которых образуют безызбыточную конфи-
гурацию (БК) [1]. При заданном числе элементов,
интерферометр такого типа позволяет измерять
максимальное число пространственных частот,
а также использовать методы, исключающие фа-
зовые флуктуации, вызванные неоднородностью
среды [2]. Желательно при этом разместить эле-
менты БК таким образом, чтобы обеспечить ком-
пактное (по возможности, полное) покрытие цент-
ральной области наибольшего размера в плоскости
пространственных частот (( , )u v -плоскости) [3].
При разработке математической модели мно-
гоэлементного интерферометра такого типа
с двумерной апертурой следует учитывать то об-
стоятельство, что с возрастанием числа элемен-
тов (сопровождающимся необходимостью уве-
личения размера апертуры) резко возрастает
объем вычислений. Для преодоления этого зат-
руднения в [4] был предложен итеративный ме-
тод поиска оптимальной БК элементов.
В то же время для решения этой проблемы
вполне подходит метод, основанный на использо-
вании специальных комбинатóрных конструкций –
планарных разностных множеств [5]. С помощью
этих множеств в [6] решалась задача поиска БК
с большим числом элементов на прямоугольных
решетках. Здесь мы используем такие мно-
жества для нахождения БК на квадратных и пря-
моугольных решетках (называемых также квад-
ратами и прямоугольниками Голомба [7]), обес-
печивающих полное покрытие центральных об-
ластей в ( , )u v -плоскости.
2. Ïëàíàðíûå ðàçíîñòíûå ìíîæåñòâà
Планарное разностное множество (ПРМ) с пара-
метрами ( , )V k представляет собой целочислен-
ную k-элементную последовательность
1 20 ... ,kd d d≤ < < < (1)
размещенную на линейной решетке длиной, не боль-
шей, чем V, и характеризующейся тем свойством,
что каждое целое число ,μ 0 ,V< μ < может быть
единственным образом представлено в виде
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012 177
Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие
mod ,i jd d Vμ ≡ −
т. е. ,i jd dμ = − или ( ),i jV d dμ = − − .i j>
Поскольку любая разность между элементами (1)
встречается не более чем один раз, эта последо-
вательность является безызбыточной.
В качестве примера рассмотрим последова-
тельность
{ } {0, 1, 6, 8, 18}.jd = (2)
Это ПРМ с параметрами 5,k = 21.V = Нетрудно
видеть, что 10 чисел, меньших числа 21, могут быть
представлены в виде разностей между элементами
последовательности (2), а еще 10 – как 21 минус
одна из таких разностей, и такое представление
является в каждом случае единственным.
ПРМ существуют при всех 1,k q= + где q –
простое число или степень простого числа [5];
таким образом, они существуют при
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ... .k = (3)
Важным свойством ПРМ, как и любого цикли-
ческого разностного множества (РМ), является
то, что при циклическом сдвиге (по модулю V)
всех его элементов или при их умножении
на число, взаимно-простое с V (и взятии по моду-
лю V) мы снова получим ПРМ с теми же па-
раметрами [5]. Таким образом, имея одно ПРМ,
мы можем получить целый ансамбль таких
множеств (называемых эквивалентными) и выб-
рать наилучшее из них, согласно заданному кри-
терию, при решении конкретной оптимизационной
задачи.
ПРМ с 100k < приведены в таблице цикличес-
ких ( , , )V k Λ -РМ (частным случаем которых при
1Λ = они являются) в [5]. Таблицы ПРМ для зна-
чений k вплоть до 150k = имеются также в [8].
3. Ìåòîä ïîèñêà îïòèìàëüíîé ÁÊ
íà êâàäðàòíîé ðåøåòêå
Наш подход к решению задачи состоит в том, что
эквивалентные ПРМ из ансамбля, представлен-
ные в виде (1), преобразуются в БК на квадрат-
ной решетке с помощью операции свертывания,
представляющей собой процедуру, обратную ска-
нированию квадратной решетки. Пример этой опе-
рации приведен на рис. 1, где линейная БК (2) свер-
тывается на решетку размером 5 5;× при этом
участок от 0 до 3 переходит в первую строку квад-
рата, участок от 4 до 7 – во вторую строку и т. д.
Здесь важно то, что разности (базы) между эле-
ментами БК на линии переходят в различные
базовые расстояния на квадрате. В самом деле,
если бы какая-то пара этих разностей перешла
в одинаковые базы на квадрате, то при сканирова-
нии решетки эти базы перешли бы в одинаковые
разности на линии, что противоречит условию.
Таким образом, мы избавляемся от необходи-
мости проверки на безызбыточность конфигура-
ций, получаемых на квадрате, что существенно
экономит время вычислений.
Итак, из одного ПРМ мы получаем ансамбль
эквивалентных последовательностей и по очереди
свертываем их на квадратную решетку такого раз-
мера, чтобы все элементы последовательности
уместились на ней. Одна из БК на квадрате, полу-
ченная таким путем, вместе с покрытием ею ( , )u v -
плоскости, приведена на рис. 2 (показана лишь часть
решетки, на которой разместились элементы БК).
Обозначим центральную область размера n n×
в ( , )u v -плоскости через ( )A n (ее определение
видно из рис. 2., где выделена область (5)).A
Общее число точек (баз) в ( )A n равно
2 ( 1).N n n= − Мы будем искать БК, покрываю-
щие все N точек в этой области.
Заметим, что разброс элементов БК по всей
решетке не даст удовлетворительного решения
нашей задачи. Только те БК, все элементы кото-
рых сконцентрированы в некотором внутреннем
участке решетки, могут рассматриваться как пер-
спективные в этом плане, причем чем меньше этот
участок, тем более плотным оказывается покры-
тие центральной области ( , )u v -плоскости.
Приведем пример использования предлагаемо-
го метода. Возьмем циклическое РМ с парамет-
Рис. 1. Пример свертывания линейной БК на квадрат:
а – БК на линии; б – БК, полученная на квадрате
178 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012
Л. Е. Копилович
рами 307,V = 18,k = 1Λ = из таблицы в [5] (по-
скольку 1,Λ = это – ПРМ):
{0, 1, 3, 30, 37, 50, 55, 76, 98, 117, 129, 133, 157,
}189, 199, 222, 293, 299 . (4)
Ансамбль последовательностей, эквивалентных (4),
получаем методом, описанным в предыдущем раз-
деле. В нашем случае V – простое число, поэтому
для получения полного ансамбля должны быть
произведены сдвижки последовательности (4)
на все числа от 1 до 1V − и ее умножение на все
числа от 2 до 1.V − Далее, одну за другой свер-
тываем последовательности ансамбля на решет-
ку размером ,l l× где l следует взять близким к
18k = (но не больше), и проверяем полученные
БК на полноту покрытия области ( )A n при 5.n ≥
В результате находим последовательность, кото-
рая, будучи свернута на решетку размером
16 16,× дает 18-элементную БК, размещенную
на ее внутреннем участке размером 15 12× и пол-
ностью покрывающую область (5)A (см. рис. 3).
Рис. 2. Пример БК на прямоугольной решетке (а) и покрытия ею ( , )u v -плоскости (б). ( )A n – центральная часть
( , )u v -плоскости – выделена (здесь 5,n = область покрыта не полностью)
Рис. 3. Слева – найденные БК при 18k = и 24, справа – покрытие ими ( , )u v -плоскости (выделены полностью покрытые
области A(5) и A(6))
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012 179
Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие
4. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû
С помощью описанного выше метода были об-
считаны ансамбли ПРМ с числом элементов k,
изменяющимся от 18 до 38, из ряда (3). Прово-
дился поиск БК, обеспечивающих полное покры-
тие областей ( )A n при 5n ≥ (для меньших зна-
чений n эта задача была решена в [9] поисковым
методом). Во всех рассмотренных нами случаях
наилучшие результаты были получены при свер-
тывании k-элементных последовательностей, пред-
ставляющих собой ПРМ, на квадратные решетки
с длинами стороны l, близкими к k (обычно при
1l k= − или 2).l k= − В итоге были найдены БК,
полностью покрывающие области ( )A n при
5 8.n = ÷ Эти БК размещены на внутренних квад-
ратных либо прямоугольных участках решетки
размеров .x yl l× Характеристики этих БК пере-
числены в табл. 1, а сами они, вместе с их покры-
тием ( , )u v -плоскости, приведены на рис. 3–5.
Рис. 4. Найденная 28-элементная БК (вверху) и покрытие ею ( , )u v -плоскости (внизу); область A(7) покрыта пол-
ностью
Таблица 1. Характеристики найденных БК
k 18 24 28 38
x yl l× 15 12× 19 19× 25 23× 36 36×
n 5 6 7 8
180 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012
Л. Е. Копилович
Заметим, что, как видно из рис. 3–5, БК
с 18, 24k = и 28 полностью покрывают прямоу-
гольные области несколько большего размера,
чем соответствующие области ( ).A n Видно так-
же, что почти полное покрытие (когда покрыва-
ются все точки, кроме одной) обеспечивается
этими БК для больших центральных областей
в ( , )u v -плоскости. Так, изображенные на рис. 2
18- и 24-элементные БК почти полностью покры-
вают области: первая – (6),A а вторая – (7).A
Таким образом, незначительно ослабляя требо-
вание к плотности покрытия центральной облас-
ти в ( , )u v -плоскости, можно достичь компакт-
ного покрытия области большего размера при том
же числе элементов.
5. Çàêëþ÷åíèå
Предложенный метод делает возможным прос-
тым путем получать большой ансамбль БК с
одинаковым числом элементов и выбирать ту
из них, которая обеспечит полное покрытие в
( , )u v -плоскости центральной области больше-
Рис. 5. Найденная 38-элементная БК (вверху) и покрытие ею ( , )u v -плоскости (внизу); область A(8) покрыта пол-
ностью
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 17, № 2, 2012 181
Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие
го размера. Хотя использование этого метода
не гарантирует покрытие области максималь-
ного размера, он тем не менее оказывается дос-
таточно эффективным при большом числе эле-
ментов БК и увеличении размера апертуры ин-
терферометра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Thompson A. R., Moran J. M., and Swenson G. W., Jr.
Interferometry and Synthesis in Radio Astronomy, Second
Edition. – New York: Wiley-Interscience Publication,
2000. – 692 pp.
02. Brown T. M. Reconstruction of turbulence-degraded image
using nonredundant aperture arrays // J. Opt. Soc. Am. –
1978. – Vol. 68, No. 7. – P. 883–889.
03. Keto E. The shapes of cross-correlation interferometers //
Astrophys. J. – 1997. – Vol. 475, No. 2. – P. 843–852.
04. Kogan L. Optimizing a large array configuration to minimize
the sidelobes // IEEE Trans. Antennas Propag. – 2000. –
Vol. 48, No. 7. – P. 1075–1078.
05. Baumert L. D. Cyclic Difference Sets. – New York: Springer-
Verlag, 1971. – 166 pp.
06. Kopilovich L. E. Non-redundant apertures for optical
interferometric systems: maximization of the number of
elements // J. Mod. Opt. – 1998. – Vol. 45, No. 11. –
P. 2417–2424.
07. Robinson J. P. Golomb rectangles // IEEE Trans. Inf.
Theory. – 1985. – Vol. IT-31, No. 6. – P. 781–787.
08. Kopilovich L. E. and Sodin L. G. Multielement Sys-
tem Design in Astronomy and Radio Science. – Dord-
recht, Boston, London: Kluwer Acad. Publs, 2001. –
180 pp.
09. Golay M. J. E. Point arrays having compact, non-redundant
autocorrelations // J. Opt. Soc. Am. – 1971. – Vol. 61,
No. 2. – P. 61–62.
Л. Ю. Копилович
Інститут радіофізики та електроніки ім. А. Я. Усикова
НАН України,
вул. Ак. Проскури, 12, м. Харків, 61085, Україна
БЕЗНАДЛИШКОВI КОНФIГУРАЦIЇ АНТЕН
НА ДВОМIРНIЙ АПЕРТУРI IНТЕРФЕРОМЕТРА,
ЩО ДАЮТЬ ПОВНЕ ПОКРИТТЯ ЦЕНТРАЛЬНИХ
ОБЛАСТЕЙ У ПЛОЩИНI ПРОСТОРОВИХ ЧАСТОТ
Запропоновано регулярний метод побудови безнадлишкової
багатоелементної конфiгурацiї антен на двомiрнiй решiтцi.
Цей метод грунтується на використаннi послiдовностей
спецiального типу – планарних рiзницевих множин. За їх допо-
могою будується математична модель радiоiнтерферометра,
що забезпечує повне покриття центральної областi у площинi
просторових частот. Наводяться безнадлишковi конфiгурацiї,
котрі задовольняють цю умову, з кiлькiстю елементiв аж до 38.
L. E. Kopilovich
A. Usikov Institute of Radio Physics and Electronics,
National Academy of Sciences of Ukraine,
12, Akad. Proskura St., Kharkiv, 61085, Ukraine
NON-REDUNDANT ANTENNA CONFIGURATIONS
ON A 2-D INTERFEROMETER APERTURE
COMPLETELY COVERING CENTRAL DOMAINS
IN THE FREQUENCY SPACE
A regular method for building a non-redundant multi-element
2-D array configuration is suggested. The method is based on
using sequences of a special type – planar difference sets. Here, it
is applied for constructing a mathematical model of a radio interfe-
rometer that ensures the complete coverage of the central domain in
the frequency space. The non-redundant configurations satisfying
this condition, with the numbers of elements up to 38, are presented.
Статья поступила в редакцию 18.04.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99808 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T20:29:47Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Копилович, Л.Е. 2016-05-03T10:40:16Z 2016-05-03T10:40:16Z 2012 Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот / Л.Е. Копилович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2012. — Т. 17, № 2. — С. 176-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99808 520.274 Предлагается регулярный метод построения безызбыточной многоэлементной конфигурации антенн на двумерной решетке. Этот метод основан на использовании последовательностей специального типа – планарных разностных множеств. С их помощью строится математическая модель радиоинтерферометра, обеспечивающего полное покрытие центральной области в плоскости пространственных частот. Приведены удовлетворяющие этому условию безызбыточные конфигурации с числом элементов вплоть до 38. Запропоновано регулярний метод побудови безнадлишкової багатоелементної конфiгурацiї антен на двомiрнiй решiтцi. Цей метод грунтується на використаннi послiдовностей спецiального типу – планарних рiзницевих множин. За їх допомогою будується математична модель радiоiнтерферометра, що забезпечує повне покриття центральної областi у площинi просторових частот. Наводяться безнадлишковi конфiгурацiї, котрі задовольняють цю умову, з кiлькiстю елементiв аж до 38. A regular method for building a non-redundant multi-element 2-D array configuration is suggested. The method is based on using sequences of a special type – planar difference sets. Here, it is applied for constructing a mathematical model of a radio interferometer that ensures the complete coverage of the central domain in the frequency space. The non-redundant configurations satisfying this condition, with the numbers of elements up to 38, are presented. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Антенны, волноводная и квазиоптическая техника Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот Безнадлишковi конфiгурацiї антен на двомiрнiй апертурi iнтерферометра, що дають повне покриття центральних областей у площинi просторових частот Non-Redundant Antenna Configurations on a 2-D Interferometer Aperture Completely Covering Central Domains in the Frequency Spase Article published earlier |
| spellingShingle | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот Копилович, Л.Е. Антенны, волноводная и квазиоптическая техника |
| title | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| title_alt | Безнадлишковi конфiгурацiї антен на двомiрнiй апертурi iнтерферометра, що дають повне покриття центральних областей у площинi просторових частот Non-Redundant Antenna Configurations on a 2-D Interferometer Aperture Completely Covering Central Domains in the Frequency Spase |
| title_full | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| title_fullStr | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| title_full_unstemmed | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| title_short | Безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| title_sort | безызбыточные конфигурации антенн на двумерной апертуре интерферометра, дающие полное покрытие центральных областей в плоскости пространственных частот |
| topic | Антенны, волноводная и квазиоптическая техника |
| topic_facet | Антенны, волноводная и квазиоптическая техника |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99808 |
| work_keys_str_mv | AT kopilovičle bezyzbytočnyekonfiguraciiantennnadvumernoiapertureinterferometradaûŝiepolnoepokrytiecentralʹnyhoblasteivploskostiprostranstvennyhčastot AT kopilovičle beznadliškovikonfiguraciíantennadvomirniiaperturiinterferometraŝodaûtʹpovnepokrittâcentralʹnihoblasteiuploŝiniprostorovihčastot AT kopilovičle nonredundantantennaconfigurationsona2dinterferometeraperturecompletelycoveringcentraldomainsinthefrequencyspase |