Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением
Исследуется распространение волн на основе обобщенного гиперболического уравнения
 с учетом диссипации, описывающего распространение волн с конечной скоростью. Анализируется распространение гармонических волн и начально-краевая задача о распространении импульса от входа на конечном интервале...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99861 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860117183388975104 |
|---|---|
| author | Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. |
| author_facet | Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. |
| citation_txt | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Исследуется распространение волн на основе обобщенного гиперболического уравнения
с учетом диссипации, описывающего распространение волн с конечной скоростью. Анализируется распространение гармонических волн и начально-краевая задача о распространении импульса от входа на конечном интервале с полным поглощением на выходе на основе преобразования Лапласа и численного обращения.
Дослiджується поширення хвиль на основi узагальненого гiперболiчного рiвняння з дисипацiєю, яке описує поширення хвиль зi скiнченою швидкiстю. Аналiзується поширення гармонiчних хвиль та початково-крайова задача про поширення iмпульсу вiд входу на скiнченному iнтервалi з повним поглиненням на виходi на основi перетворення Лапласа i чисельного
обернення.
The wave propagation is investigated on the basis of a generalized hyperbolic equation with dissipation
describing the wave propagation with finite velocity. The propagation of harmonic waves and the
initial boundary-value problem of a propagation of the pulse from the input on a finite interval with
full absorption are analyzed on the basis of the Laplace transformation and a numerical inverse transformation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:37:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2016
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.946 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.04.035
Академик НАН Украины Ю.Г. Кривонос1, И. Т. Селезов2
1Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев
2Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
E-mail: selezov@yandex.ru
Моделирование распространения сигнала в реальных
системах с конечным интервалом и поглощением
Исследуется распространение волн на основе обобщенного гиперболического уравнения
с учетом диссипации, описывающего распространение волн с конечной скоростью. Ана-
лизируется распространение гармонических волн и начально-краевая задача о распро-
странении импульса от входа на конечном интервале с полным поглощением на выходе
на основе преобразования Лапласа и численного обращения.
Ключевые слова: распространение волн, конечный интервал, поглощение, преобразо-
вания Лапласа.
В реальных системах конечной длины сигнал от входа распространяется вдоль системы,
приходит в конечную область интервала, где может отражаться или поглощаться частично
или полностью в зависимости от задания стратегии функционирования системы. В данном
сообщении рассматривается случай полного поглощения.
Необходимо отметить, что передача сигналов с полным поглощением на выходе на осно-
ве телеграфного уравнения представляет интерес как в компьютерных устройствах при
обработке сигналов [1], так и в биологических, включая мозговую, при передаче сигна-
лов синапсами [2]. Некоторые частные задачи для телеграфного уравнения исследованы
аналитически, а в последние годы компьютерным моделированием [3, 4]. Так, решение за-
дачи в полубесконечной области без учета диссипативного члена получено в [5]. Телегра-
фное уравнение как частный случай общего гиперболического уравнения анализировалось
также в работе [6] с применением функций Римана. Сингулярное вырождение уравнения
и построение обобщенных решений исследовалось в [7].
В реальных системах любое возмущение распространяется с конечной скоростью [8–15].
© Ю.Г. Кривонос, И. Т. Селезов, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 35
Максвелл проводил исследования по теории газов на основе кинетической теории га-
зов и показал, что волны в газах тоже распространяются с конечной скоростью (1867)
в отличие от традиционной теории, предсказывающей бесконечную скорость распростра-
нения, т. е. обобщил параболическую модель в гиперболическую. Начиная от Максвелла,
Каттанео (1948) было записано транспортное уравнение, дополненное членом с временной
релаксацией η1, и в результате это привело к обобщению параболического уравнения в ги-
перболическое телеграфное уравнение.
Рассмотрим уравнение для функции T (x, y, t), описывающей состояние системы при его
резком изменении (неравновесная термодинамика, движение частиц в среде, седиментация
и др.):
∇2T − 1
c21
∂2T
∂t2
− 1
k1
∂T
∂t
= 0, (1)
где c1 –скорость распространения возмущения, которая определяется как c1 =
√
k1/η1; η1 —
параметр релаксации; k1 — коэффициент диффузии; x и y — пространственные координа-
ты; t — время; ∇2 – лапласиан. Это гиперболическое уравнение с диссипацией. Вклад ги-
перболического и параболического операторов определяется решением уравнения (1). При
мгновенном включении сигнала его передача в начальный момент времени описывается
гиперболическим оператором. А потом проявляются диффузионные эффекты.
Все последующие обобщения параболических моделей основаны на таком обобщенном
транспортном уравнении. В результате было предложено много моделей, обобщающих па-
раболические.
В данном сообщении в связи с вышеуказанным рассматривается распространение гар-
монических волн на основе обобщенного уравнения, а также начально-краевая задача на
конечном интервале, когда на входе задан импульс, а на выходе имеет место полное по-
глощение.
В дальнейшем, принимая в качестве исходных характерных величин η1 (с) и k1 (м2/с),
получаем
x∗ =
x√
η1k1
, t∗ =
t
η1
, T ∗ =
T
T0
, c∗1 = 1, k∗1 = 1. (2)
Уравнение (1) в одномерном случае с учетом (2) принимает вид
∂2T ∗
∂x∗2
− ∂2T ∗
∂t∗2
− ∂T ∗
∂t∗
= 0. (3)
В дальнейшем звездочки опускаем.
Гармонические волны. Для исследования распространения свободных гармонических
волн на основе (3) задаем возмущения в виде бегущих волн
T (x, t) = ei(kx−ωt), (4)
где k = 2π/λ — волновое число; λ — длина волны; λ∗ = λ/
√
η1k1; ω = kcp — круговая
частота; cp — фазовая скорость; c∗p = cp
√
η1/k1.
36 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
После подстановки (4) в (3) получаем условие разрешимости в виде дисперсионного
уравнения и записываем (4) так:
eik(x−(Re cp)t)ek(Im cp)t. (5)
Величины Re cp и Im cp находятся из дисперсионного уравнения в явном виде
Re cp =
√
1− 1
4
(
λ
2π
)2
, Im cp = −1
2
λ
2π
(6)
и второй множитель в (6) равен exp(−t/4).
Из (5) и (6) видно, что предельный переход λ → 0 соответствует выходу на характери-
стику Re cp = 1, а с увеличением длины волны λ вклад гиперболичности убывает.
Начально-краевая задача. Исследуем распространение волн от мгновенно включае-
мого источника на конечном интервале. При мгновенном включении сигнала его передача
в начальный момент времени описывается гиперболическим оператором. А потом прояв-
ляются диффузионные эффекты.
Начально-краевая задача для функции T (x, t) на основе уравнения (3) формулируется
в виде
∂2T
∂x2
− ∂2T
∂t2
− ∂T
∂t
= 0, x ∈ (0, l1), t ∈ (0, T1) (7)
с граничными условиями
T (x, t)|x=0 = H(t), T (x, t)|x=l1 = H
(
t− l1
c1
)
, (8)
где H(t) — функция Хевисайда, и начальными условиями
T (x, t)|t=0 = 0, Tt(x, t)|t=0 = 0. (9)
Для решения задачи (7)–(9) применяем преобразование Лапласа
TL(x, p) =
∞∫
0
T (x, t)e−ptdt. (10)
В пространстве изображений получаем из (7)–(10)
d2TL
dx2
− p(p+ 1)TL = 0, (11)
TL(x, p)|x=0 =
1
p
, TL(x, p)|x=l1 =
1
p
e−pl1/c1 . (12)
Решение уравнения (11) записывается в виде
TL(x, p) = C1e
λx + C2e
−λx, (13)
где
λ =
√
p(p+ 1), (14)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 37
Рис. 1
Рис. 2
а произвольные постоянные C1 и C2 определяются из граничных условий (12)
C1 = −1
p
e−λl1 − e−pl1/c1
eλl1 − e−λl1
, C2 =
1
p
eλl1 − e−pl1/c1
eλl1 − e−λl1
. (15)
Таким образом, соотношения (13) и (15) представляют точное решение в пространстве
изображений задачи (7)–(9) на конечном интервале x ∈ (0, l1), который соответствует входу
в систему при x = 0 и дальнейшему распространению волн до конца интервала x = l1, где
имеет место полное поглощение волн. На входе при x = 0 задается функция Хевисайда.
На выходе при x = l1 задается условие полного поглощения, так что волны обратно не
распространяются. Для другой входной функции решение может быть получено с помощью
интеграла Дюамеля.
Необходимо отметить, что в реальном цилиндрическом нервном волокне имеет место
геометрическая дисперсия волн. Здесь рассматривается уравнение, описывающее одномер-
ную систему, в которой не учитывается дисперсия волн. Это линейная гиперболическая
38 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
диссипативная система, которая может применяться и для распространения нервного во-
збуждения.
Ясно, что в начальный момент времени, когда λ → 0, проявляется гиперболичность,
т. е. распространение сигнала с конечной скоростью. При увеличении λ резко возраста-
ет влияние диссипативности и сигнал плохо распространяется в конечную точку. Синапс
(в мозге) сильно диссипируется из-за нарушения миелиновой (диэлектрической) внешней
оболочки и потенциал реального нервного возбуждения в конечную точку (нейрон) при-
ходит сильно искаженный или вообще не приходит. Это приводит к заболеваниям типа
рассеянного склероза — Альцгеймера, Паркинсона [2].
На основе точного решения, полученного в пространстве изображений Лапласа, постро-
ено численное решение методом Дурбина. Эволюция возмущения в пространстве и времени
показана на рис. 1. Распространение импульса в момент времени t∗ = 0,05 исследовано
методом Эйлера и показано на рис. 2.
Авторы выражают благодарность А.Н. Химичу и Д.В. Баранову за проведенные расчеты.
Цитированная литература
1. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. – Москва: Наука, 1983. – 403 с.
2. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Волновые задачи биогидродинамики и биофизики. – Киев: Наук. думка,
2013. – 308 с.
3. McCartin B. J. Characteristic based schemes for the hyperbolic heat conduction equations // Appl. Math.
Sci. – 2009. – 3, No 42. – P. 2055. – 2083.
4. Vabishchevich P.N. Splitting schemes for hyperbolic heat conduction equation // BIT Number Math. –
2013. – DOI 10.1007/s10543–013–0423–7.
5. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. – Москва: ГИФМЛ,
1960. – 208 с.
6. Курант Р. Уравнения с частными производными. – Москва: Мир. – 1964. – 830 с.
7. Кривонос Ю.Г., Селезов И.Т. О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его
вырождение // Доп. НАН України. – 2014. – № 9. – С. 40–43.
8. Maxwell J. C. A dynamical theory of the electromagnetic field // Phil. Trans. Roy. Soc. – 1865. – 155. –
P. 459–512.
9. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans. Roy. Soc. – 1867. – 157. – P. 49–88.
10. Cattaneo C. Sulla conduzione del calore // Atti Seminario Mat. Fis. Univ. Modena. – 1948. – 3. – P. 83–124.
11. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de l’equation de la chaleur // C. R. Hebd. Séanc. Acad.
Sci. – 1958. – 246, No 22. – P. 3154 3155; La veritable equation de la chaleur. – 1958. – 247, No 23. –
P. 2103 2105.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Теоретическая физика. Том 2. – Москва: ГИФМЛ, 1960. –
400 с.
13. Luikov A.V. Application of irreversible thermodynamics methods to investigation of heat and mass trans-
fer // Int. J. Heat Mass Transfer. – 1966. – 9. – P. 139–152.
14. Селезов И.Т. Концепция гиперболичности в теории управляемых динамических систем // Киберне-
тика и вычисл. техника. – Киев: Наук. думка, 1969. – Вып. 1. – С. 131–137.
15. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Математические методы в задачах распространения и дифракции
волн. – Киев: Наук. думка, 2012. – 232 с.
References
1. Wiener N. Cybernetics or control and communication in the animal and the machine, Cambrifge: Massachus.
Institute of Techonogy, 1961.
2. Selezov I. T., Kryvonos Yu.G. Wave problems of biohydrodynamics and biophysics, Kiev: Nauk. Dumka,
2013 (in Russian).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 39
3. Mc Cartin B. J. Appl. Math. Sci., 2009, 3, No 42: 2055–2083.
4. Vabishchevich P.N. BIT Number Math., 2013. DOI 10.1007/s10 543–013–0423–7.
5. Doetsch G. Anleitung zum praktischen gebrauch der Laplace-Transformation, und der Z-transformation,
München: R. Oldenbourg, 1956.
6. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. V. 2. New York-London: Interscience, 1962.
7. Kryvonos Yu.G., Selezov I. T. Dop. NAN of Ukraine. 2014, No 9: 40–43 (in Russian).
8. Maxwell J. C. A dynamical theory of the electromagnetic field, Phil. Trans. Roy. Soc.,1865, 155: 459–512.
9. Maxwell J. C. Philos. Trans. Roy. Soc., London,1867, 157: 49–88.
10. Cattaneo C. Atti Seminario Mat. Fis. Univ. Modena, 1948, 3: 83–124.
11. Vernotte P. C.R. Hebd. Séanc. Acad. Sci., 1958, 246, No 22: 3154–3155; La veritable equation de la chaleur,
1958, 247: No 23: 2103–2105.
12. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields of a Course of Theoretical Physics. V. 2:
Pergamon Press, 1971.
13. Luikov A.V. Int. J. Heat Mass Transfer., 1966, 9: 139–152.
14. Selezov I. T. Cybernetics and Computat. Eng. Kiev: Nauk. Dumka, 1969, Iss. 1: 31–137 (in Russian).
15. Selezov I. T., Krivonos Yu.G. Mathematical methods in problems of propagation and diffraction of waves,
Kiev: Nauk. Dumka, 2012 (in Russian).
Поступило в редакцию 08.10.2015
Академiк НАН України Ю.Г. Кривонос1, I. Т. Селезов2
1Iнститут кiбернетики iм. В. М. Глушкова НАН України, Київ
2Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
E-mail: selezov@yandex.ru
Моделювання поширення сигналу в реальних системах з скiнченим
iнтервалом та поглинанням
Дослiджується поширення хвиль на основi узагальненого гiперболiчного рiвняння з дисипа-
цiєю, яке описує поширення хвиль зi скiнченою швидкiстю. Аналiзується поширення гармо-
нiчних хвиль та початково-крайова задача про поширення iмпульсу вiд входу на скiнченно-
му iнтервалi з повним поглиненням на виходi на основi перетворення Лапласа i чисельного
обернення.
Ключовi слова: поширення хвиль, скiнченний iнтервал, поглинання, перетворення Лапласа.
Academician of the NAS of Ukraine Yu.G. Kryvonos1, I. T. Selezov2
1V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kiev
2Institute of Hydromechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: selezov@yandex.ru
Modeling of the signal propagation in real systems with finite interval
and absorption
The wave propagation is investigated on the basis of a generalized hyperbolic equation with dissipati-
on describing the wave propagation with finite velocity. The propagation of harmonic waves and the
initial boundary-value problem of a propagation of the pulse from the input on a finite interval with
full absorption are analyzed on the basis of the Laplace transformation and a numerical inverse
transformation.
Кеуwords: wave propagation, finite interval, absorption, Laplace transform.
40 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99861 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:37:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. 2016-05-07T18:25:57Z 2016-05-07T18:25:57Z 2016 Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99861 517.946 Исследуется распространение волн на основе обобщенного гиперболического уравнения
 с учетом диссипации, описывающего распространение волн с конечной скоростью. Анализируется распространение гармонических волн и начально-краевая задача о распространении импульса от входа на конечном интервале с полным поглощением на выходе на основе преобразования Лапласа и численного обращения. Дослiджується поширення хвиль на основi узагальненого гiперболiчного рiвняння з дисипацiєю, яке описує поширення хвиль зi скiнченою швидкiстю. Аналiзується поширення гармонiчних хвиль та початково-крайова задача про поширення iмпульсу вiд входу на скiнченному iнтервалi з повним поглиненням на виходi на основi перетворення Лапласа i чисельного
 обернення. The wave propagation is investigated on the basis of a generalized hyperbolic equation with dissipation
 describing the wave propagation with finite velocity. The propagation of harmonic waves and the
 initial boundary-value problem of a propagation of the pulse from the input on a finite interval with
 full absorption are analyzed on the basis of the Laplace transformation and a numerical inverse transformation. Авторы выражают благодарность А. Н. Химичу и Д. В. Баранову за проведенные расчеты. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением Моделювання поширення сигналу в реальних системах з скiнченим iнтервалом та поглинанням Modeling of the signal propagation in real systems with finite interval and absorption Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. Інформатика та кібернетика |
| title | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| title_alt | Моделювання поширення сигналу в реальних системах з скiнченим iнтервалом та поглинанням Modeling of the signal propagation in real systems with finite interval and absorption |
| title_full | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| title_fullStr | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| title_full_unstemmed | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| title_short | Моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| title_sort | моделирование распространения сигнала в реальных системах с конечным интервалом и поглощением |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99861 |
| work_keys_str_mv | AT krivonosûg modelirovanierasprostraneniâsignalavrealʹnyhsistemahskonečnymintervalomipogloŝeniem AT selezovit modelirovanierasprostraneniâsignalavrealʹnyhsistemahskonečnymintervalomipogloŝeniem AT krivonosûg modelûvannâpoširennâsignaluvrealʹnihsistemahzskinčenimintervalomtapoglinannâm AT selezovit modelûvannâpoširennâsignaluvrealʹnihsistemahzskinčenimintervalomtapoglinannâm AT krivonosûg modelingofthesignalpropagationinrealsystemswithfiniteintervalandabsorption AT selezovit modelingofthesignalpropagationinrealsystemswithfiniteintervalandabsorption |