Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов
Предложена модель, с помощью которой в рамках гармонического приближения учтены негармонические эффекты, связанные с тепловым колебанием решетки. Определена зависимость параметров кристаллической решетки от температуры через энергию электрон-ионной системы, которая вычислена во втором порядке теори...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99864 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов / Д.А. Закарян, В.В. Картузов, А.В. Хачатрян // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-99864 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Закарян, Д.А. Картузов, В.В. Хачатрян, А.В. 2016-05-07T18:26:49Z 2016-05-07T18:26:49Z 2016 Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов / Д.А. Закарян, В.В. Картузов, А.В. Хачатрян // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99864 539.2 Предложена модель, с помощью которой в рамках гармонического приближения учтены негармонические эффекты, связанные с тепловым колебанием решетки. Определена зависимость параметров кристаллической решетки от температуры через энергию электрон-ионной системы, которая вычислена во втором порядке теории возмущений. Запропоновано модель, за допомогою якої в рамках гармонiйного наближення врахованi негармонiйнi ефекти, пов’язанi з тепловим коливанням решiтки. Визначено залежнiсть параметрiв кристалiчної решiтки вiд температури через енергiю електрон-iонної системи, яка обчислена в другому порядку теорiї збурень. Within the harmonic approximation, a model describing the anharmonic effects related to thermal vibrations of the lattice is proposed. The dependence of the lattice parameters on the temperature through the energy of the electron-ion system, which is calculated in the second order of perturbation theory, is determined. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Матеріалознавство Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов Модель квазiгармонiйного наближення в теорiї псевдопотенцiалiв Quasiharmonic approximation model in the theory of pseudopotentials Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| spellingShingle |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов Закарян, Д.А. Картузов, В.В. Хачатрян, А.В. Матеріалознавство |
| title_short |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| title_full |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| title_fullStr |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| title_full_unstemmed |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| title_sort |
модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов |
| author |
Закарян, Д.А. Картузов, В.В. Хачатрян, А.В. |
| author_facet |
Закарян, Д.А. Картузов, В.В. Хачатрян, А.В. |
| topic |
Матеріалознавство |
| topic_facet |
Матеріалознавство |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Модель квазiгармонiйного наближення в теорiї псевдопотенцiалiв Quasiharmonic approximation model in the theory of pseudopotentials |
| description |
Предложена модель, с помощью которой в рамках гармонического приближения учтены негармонические эффекты, связанные с тепловым колебанием решетки. Определена зависимость параметров кристаллической решетки от температуры через энергию
электрон-ионной системы, которая вычислена во втором порядке теории возмущений.
Запропоновано модель, за допомогою якої в рамках гармонiйного наближення врахованi негармонiйнi ефекти, пов’язанi з тепловим коливанням решiтки. Визначено залежнiсть параметрiв кристалiчної решiтки вiд температури через енергiю електрон-iонної системи, яка обчислена в другому порядку теорiї збурень.
Within the harmonic approximation, a model describing the anharmonic effects related to thermal
vibrations of the lattice is proposed. The dependence of the lattice parameters on the temperature
through the energy of the electron-ion system, which is calculated in the second order of perturbation
theory, is determined.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/99864 |
| citation_txt |
Модель квазигармонического приближения в теории псевдопотенциалов / Д.А. Закарян, В.В. Картузов, А.В. Хачатрян // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zakarânda modelʹkvazigarmoničeskogopribliženiâvteoriipsevdopotencialov AT kartuzovvv modelʹkvazigarmoničeskogopribliženiâvteoriipsevdopotencialov AT hačatrânav modelʹkvazigarmoničeskogopribliženiâvteoriipsevdopotencialov AT zakarânda modelʹkvazigarmoniinogonabližennâvteoriípsevdopotencialiv AT kartuzovvv modelʹkvazigarmoniinogonabližennâvteoriípsevdopotencialiv AT hačatrânav modelʹkvazigarmoniinogonabližennâvteoriípsevdopotencialiv AT zakarânda quasiharmonicapproximationmodelinthetheoryofpseudopotentials AT kartuzovvv quasiharmonicapproximationmodelinthetheoryofpseudopotentials AT hačatrânav quasiharmonicapproximationmodelinthetheoryofpseudopotentials |
| first_indexed |
2025-11-24T15:43:28Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:43:28Z |
| _version_ |
1850848471775444992 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2016
МАТЕРIАЛОЗНАВСТВО
УДК 539.2 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.04.055
Д.А. Закарян, В.В. Картузов, А.В. Хачатрян
Институт проблем материаловедения им. И. Н. Францевича НАН Украины, Киев
E-mail: zakarian.d.a@gmail.com
Модель квазигармонического приближения в теории
псевдопотенциалов
(Представлено академиком НАН Украины В.В. Скороходом)
Предложена модель, с помощью которой в рамках гармонического приближения учте-
ны негармонические эффекты, связанные с тепловым колебанием решетки. Определе-
на зависимость параметров кристаллической решетки от температуры через энергию
электрон-ионной системы, которая вычислена во втором порядке теории возмущений.
Ключевые слова: энергия электрон-ионной системы, энергия тепловых колебаний, па-
раметр кристаллической решетки.
Вычисление энергии электрон-ионной системы во втором порядке теории возмущений по
псевдопотенциалу означает использование гармонического приближения. Но применение
такого приближения в динамике решетки недостаточно для вычисления некоторых физиче-
ских характеристик, которые связаны с изменением объема кристаллической решетки при
повышении температуры. В то же время известно, что вычисления колебательной части со-
ответствующих термодинамических функций с учетом ангармонизма оказываются достато-
чно сложными [1]. Эту проблему можно обойти, если сделать упрощающие предположения
о зависимости частот колебаний от температуры и объема, т. е. использовать стандартное
квазигармоническое приближение, когда учитывается зависимость параметра решетки a
от температуры T . Отметим, что модель, предложенная в [1], применима только для тех
кристаллов, у которых с достаточной точностью известны экспериментальные значения си-
ловых постоянных. В статистическом квазигармоническом приближении для определения
зависимости частот колебаний решетки от объема элементарной ячейки используют два
подхода [2–7]:
© Д.А. Закарян, В. В. Картузов, А. В. Хачатрян, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 55
1) критерии минимизации свободной энергии;
2) формализм Грюнайзена, основная идея которого состоит в определении распределе-
ния частот в спектре колебаний. Для этого часто используют теорию Дебая.
В опубликованных работах рассматриваются кристаллы с простыми структурами [2–5]
и используются полуэмпирические методы, т. е. задается вид функциональной зависимости
той или иной величины, характеризующий систему от температуры и объема, а затем с по-
мощью экспериментальных данных определяются числовые значения параметров в этих
зависимостях [6, 7].
В настоящей работе в отличие от указанных подходов представлена модель, которая
позволяет в рамках гармонического приближения выявить температурную зависимость
объема элементарной ячейки [8] без подгоночных параметров, определяемых с помощью
экспериментальных данных.
Энергия и частота тепловых колебаний. Полную энергию электрон-ионной систе-
мы кристаллического материала можно представить как сумму энергий электрон-ионной
системы при T = 0 и энергию тепловых колебаний ионов при T ̸= 0.
При вычислении энергии электрон-ионной системы кристаллов при нулевых температу-
рах используем метод псевдопотенциалов, а энергию тепловых колебаний можно учитывать
одним из приближенных методов — Дебая или Эйнштейна.
Модель Дебая лучше работает в области низких температур, а модель Эйнштейна хоро-
шо описывает теплоемкость кристаллов при комнатных и более высоких температурах [6].
Для задач, касающихся проблемы сверхпроводимости, пригоден только метод Дебая. При
вычислении коэффициента термического расширения или при исследовании температурной
зависимости механических характеристик кристаллов более удобно использовать модель
Эйнштейна, особенно если речь идет о системах со сложной структурой.
Согласно модели Эйнштейна [9] атомы в кристаллической решетке колеблются с одина-
ковой частотой, значение которой пропорционально жесткости материала. Среднее значе-
ние энергии колебания решетки определяется равенством [9]
UT =
∑
q
~ωq
exp(~ωq/kT )− 1
, (1)
ωq — частота колебаний (согласно модели Эйнштейна ωq = ω для всех q).
Для оценки тепловой части энергии необходимо вычислить частоту колебаний атомов
при данной температуре кристалла.
Оценим изменение энергии электрон-ионной системы, основываясь на расчетах колеба-
ний кристаллической решетки. Расчет колебаний решетки производят с помощью метода
Борна–Опенгеймера. При колебании решетки положения ионов меняются со временем, хо-
тя и очень медленно по сравнению с движением электронов. Поэтому можно считать, что
электронные состояния в любой момент времени совпадают с состояниями, которые реа-
лизовались бы при фиксированных положениях ионов. Иными словами, полагается, что
электроны адиабатически следуют за движением ионов.
Если обозначить отклонение m-го атома из положения равновесия через Y m, а α-ком-
поненту смещения этого атома как Y m
α (где α = x, y, z в декартовых координатах), потен-
циальную энергию атома можно разложить в ряд Тейлора по степеням этих отклонений
Φ = Φ0 +
∑
mα
Φm
α Y
m
α +
1
2
∑
Φmm1
αα1 Y
m
α Y m1
α1 + 0(Y 3). (2)
56 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
Предполагаем, что смещения малы и члены третьего и более высоких порядков по Y m
α
не учитываются. Коэффициенты разложения являются производными:
Φm
α =
(
∂Φ
∂Y m
α
)
Y m
α =0
; Φmm′
αα′ =
(
∂2Φ
∂Y m
α ∂Y m′
α′
)
Y m
α =Y m′
α′ =0
. (3)
Здесь Φ0 — потенциальная энергия кристалла, когда все атомы находятся в положениях
равновесия. Поскольку потенциальная энергия зависит от смещения в двух разных точках
кристалла, сумма содержит много перекрестных членов, связывающих эти точки. Чтобы
избавиться от перекрестных членов, смещения атомов из положения равновесия выража-
ются через обобщенные или нормальные координаты и тогда решением задачи являются
бегущие волны.
Энергию электрон-ионной системы во втором порядке теории возмущений по псевдопо-
тенциалу можно записать в виде [10]
U = U0(Ω) +
∑
q
(S(q))2US(q,Ω), (4)
где U0 — зависит от объема элементарной ячейки. В энергию U0 включены кинетическая,
обменно-корреляционная энергия и энергия свободного электронного газа, а также поправ-
ки к энергии в первом порядке теории возмущений по псевдопотенциалу. Второе слагае-
мое US (поправки второго порядка) представляет энергию зонной структуры и электроста-
тическую энергию и зависит от объема и волнового вектора q, S(q) — структурный фактор,
который имеет следующий вид:
S(q) =
1
N
∑
j
exp(−iq⃗ r⃗j) (5)
(N , rj — число и координаты ионов). Такая запись показывает, что зависимость энергии
от координат перенесена в структурный фактор.
При расчете энергии колебаний решетки удобно отсчитывать смещения ионов от их
равновесных позиций в неискаженной решетке. Положение m-го иона в j-ячейке характе-
ризуется величиной rj+ρm, где rj — расстояние j-ячейки от начала координат, ρm — распо-
ложение m-го иона в ячейке. Смещение каждого иона из положения равновесия обозначим
через δr⃗j
(m) и определим смещения ионов через их обобщенные координаты. Смещение
отдельного иона можно представить в виде
r⃗i + ρ⃗m + δr⃗i
(m); δr⃗i
(m) =
∑
Q
[a
(m)
Q eiQ⃗(r⃗i+ρ⃗m) + a
(m)∗
Q e−iQ⃗(r⃗i+ρ⃗m)]. (6)
Поскольку в колеблющейся решетке смещения являются функциями времени, величины
a
(m)
Q также зависят от времени.
Если считать смещения ионов из равновесных положений малыми по сравнению с меж-
атомными расстояниями, возможно следующее разложение структурного фактора в ряд
Фурье:
S(q) =
1
N
∑
i,m
e−iq⃗(r⃗i+ρ⃗m+δr⃗i
(m)) =
=
1
N
∑
i,m
e−iq⃗(r⃗i+ρ⃗m)
[
1− iq⃗δr⃗i
(m) − 1
2
(q⃗δr⃗i
(m))2 +
i
3!
(q⃗δr⃗i
(m))3 + . . .
]
. (7)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 57
Сумма членов данного ряда нулевого порядка по δr⃗j(m) это структурный фактор для
идеальной решетки, в этом случае (4) представляет энергию Φ0. Сумма членов первого
и второго порядка по δr⃗j(m) характеризует электрон-фононное взаимодействие. Для расче-
та колебательного спектра можно ограничиться разложением до второго порядка по δr⃗j(m).
Члены третьего и четвертого порядков малости описывают ангармоничность и фонон-фо-
нонное рассеяние.
При подстановке (6) в (7) каждому волновому вектору q0, характеризующему узел обра-
тной решетки, соответствует структурный фактор первого порядка в точках q0 ±Q:
S(1)(q0 ±Q) =
1
n
∑
(−(q0 ±Q))
{
a
(m)
Q
a
(m)∗
Q
}
exp(−iqρm). (8)
Учет колебаний решетки приводит к появлению двух сателлитов вблизи каждого вектора
обратной решетки. Так как энергия зависит от произведения S∗(q)S(q), она оказывается
квадратной по амплитудам a
(m)
Q . Полную энергию, связанную с искажениями решетки,
можно представить в виде
δU =
∑
q0
∑
Q
[((q0 +Q)aQ)
2U(q0 +Q) + ((q0 −Q)aQ)
2U(q0 −Q)− 2((q0aQ)
2U(q0)], (9)
где U(q0 ±Q) — энергия неискаженной структуры при q = q0 ±Q. В итоге получим
δU =
3n∑
i=1
3n∑
j=1
Uija
∗
i aj . (10)
Следует вычислить Uij как функцию от Q, если рассматривать только поперечные или
продольные волны, Uij отлична от нуля только при i = j. Соотношение (10) представляет
потенциальную энергию искаженной решетки.
Кинетическая энергия, возникающая за счет искажения решетки, связана с движением
ионов. Кинетическую энергию m-го иона в i-ячейке можно представить в виде
M
2
(δr̈(m))
2, (11)
где M — масса ионов, δr(m) — смещение m-го иона.
Лагранжиан системы равен разности кинетической и потенциальной энергий. Уравнение
Лагранжа относительно смещений имеет вид
M
n
äi +
∑
f
Uifaf = 0. (12)
Если искать решение (12) в виде
ai(t) = Aie
−iωt, (13)
то уравнение (12) переходит в уравнение
−M
n
ϖ2Ai +
∑
f
UifAf = 0 (14)
(n — число ионов в ячейке).
58 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
Если рассматривать волны, распространяющиеся только вдоль направления симметрии,
то можно разделить колебания на чисто продольные и чисто поперечные и из уравнения
(13) получаем
M
n
ϖ2 =
∑
i
Uii. (15)
В таком случае для частоты колебания из уравнения (15) имеем
ω =
√
2α∗
M
. (16)
Здесь α∗ — силовая постоянная, которая в модели Эйнштейна определяется через вторую
производную энергии межатомного взаимодействия по пространственной переменной
α∗ =
(
∂2U
∂r2
)
. (17)
Все полученные физические характеристики (энергия, объем, силовые постоянные, час-
тота колебаний) определены при T0 = 0. В дальнейшем необходимо вычислить энергию
электрон-ионной системы и объема элементарной ячейки при равновесном состоянии кри-
сталла при T ̸= 0. Но значение силовых постоянных для определения частоты колебаний и,
соответственно, энергии тепловых колебаний существует только для T0 = 0. Поэтому будем
использовать приближенный подход, суть которого состоит в следующем: для вычисления
энергии тепловых колебаний при T = T1 (предполагается, что значение T1 достаточно близ-
ко к T0) используем те значения частот колебаний, которые были получены при T0 < T1,
что даст возможность приближенно вычислить энергию тепловых колебаний при T1.
Зависимость объема элементарной ячейки от температуры. Добавленный член
(энергия тепловых колебаний) в (4) увеличивает полную энергию кристалла, но не изменяет
значения объема элементарной ячейки в равновесном состоянии. Для выявления зависимо-
сти объема элементарной ячейки от температуры в рамках гармонического приближения
предлагается модель, суть которой состоит в следующем:
1. На модельном образце (кристалла) представлена зависимость энергии электрон-ион-
ной системы от объема (или параметров решетки) (рис. 1). Для простоты предполагаем, что
элементарная ячейка состоит из одного атома (или молекулы). На линии 1 описывающая
зависимость энергии от объема при T0 = 0 в равновесном состоянии материала соответст-
вует точке “O” с объемом Ω = Ω0 и с энергией U0(Ω0, T0).
2. Переход к состоянию кристалла с температурой T1. На рис. 1 это отображает линия 2,
которая описывает состояние кристалла с энергией U = U(Ω0, T0)+UT , система имеет мини-
мум в точке O1 с объемом Ω = Ω0, но с энергией U1 = U0(Ω0, T0)+UT . Объем равновесного
состояния в таком случае не меняется, так как тепловая часть энергии, связанная с иска-
жением решетки, рассчитана для кристалла с объемом Ω0.
3. Чтобы учесть изменение объема, сравним полученную энергию U1 в состоянии рав-
новесия со значениями энергии U(Ω), описанной линией 1. Для этого проведем горизон-
тальную линию из точки O1 до ее пересечения с линией 1, и получим точку O2. В этой
точке фиксируем значение объема элементарной ячейки Ω1, энергия системы такая же, как
и в точке O1. Линия 3 описывает зависимости энергии электрон-ионной системы от па-
раметров (или объема) элементарной ячейки при температуре T1. На этой линии в точке
равновесия имеем U2 = U2(Ω1, T1).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 59
Рис. 1. Представление модели, описывающей зависимость объема от температуры
4. Вычисляем энергию тепловых колебаний при следующем значении температуры — T2.
С помощью формул (4)–(10) определяем силовые постоянные и, соответственно, частоты
колебаний атомов при условии, что объем ячейки Ω = Ω1. С помощью полученных новых
частот колебаний вычисляем энергию тепловых колебаний при температуре T2 и добавляем
ее к энергии электрон-ионной системы при нулевой температуре. Процедура определения
нового значения объема такая же, как и в случае при температуре T1.
Продолжая эту процедуру для соответствующих значений сетки температур, получаем
зависимость энергии электрон-ионной системы от температуры через объем элементарной
ячейки U = U(Ω(T )).
В итоге, при вычислении полной энергии в рамках гармонического приближения исполь-
зуем новые силовые постоянные и, следовательно, частоты, зависящие от объема, т. е. по-
лучаем зависимость параметров решетки (или объема) от температуры. Разработанная мо-
дель в квазигармоническом приближении позволяет в рамках гармонического приближения
вычислить параметры кристаллической решетки при температурном расширении, а далее —
соответствующие физико-механические свойства материалов.
Цитированная литература
1. Белан-Гайко Л.В., Богданов В.И., Фукс Д.Л. Расчет упругих и тепловых свойств щелочных металлов
методом псевдопотенциала // Изв. вузов. Физика. – 1979. – № 2. – С. 25–38.
2. Иванова Т.А., Маврин Б.А. Температурная зависимость теплового расширения и частотного сдвига
оптических фононов в алмазе из первых принципов // Физика твердого тела. – 2013. – 55, вып. 1. –
С. 143–146.
3. Журавлева Ю.Н., Коробельников Д.В., Олейникова М.В. Расчеты ab initio термодинамических па-
раметров оксидов лития, натрия, калия под давлением // Физика твердого тела. – 2012. – 54, вып. 7. –
С. 1427–1434.
4. Бодряков В.Ю., Повзнер А.А., Зелюкова О. Г. Влияние теплового расширения на упругие модули и
температуру Дебая парамагнитного лютеция // Физика твердого тела. – 1988. – 40, № 9. – С. 1581–
1583.
5. Жернов А.П. Влияние изотопического состава на линейный коэффициент теплового расширения
кристаллической решетки германия // Журн. эксп. и теорет. физики. – 1998. – 114, вып. 2. – С. 654–
668.
6. Жарков В.Н. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. – Москва:
Наука, 1968. – 314 с.
60 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
7. Ковалев Ю.М., Белик А.В. Определение тепловой составляющей уравнения состояния молекуляр-
ных кристаллов // Вестн. Челябинск. Гос. ун-та. Физика. – 2013. – Вып. 16, № 9. – С. 5–10.
8. Закарян Д.А., Картузов В.В., Хачатрян А.В. Ab initio вычисление коэффициентов термического
расширения боридов MeB2 (Me–Ti, Zr), LaB6 и эвтектических композитов LaB6–MeB2 // Порошк.
металлургия. – 2012. – № 5/6. – С. 65–72.
9. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – Москва: Наука, 1976. – 790 с.
10. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. – Москва: Мир, 1973. – 560 с.
References
1. Belan-Gayko L.V., Bogdanov V. I., Fuchs D. L. Izvestiya vuzov, Fizika, 1979, No 2: 25–38 (in Russian).
2. Ivanova T.A., Mavrin B.A. Solid State Phys., 2013, 55, No 1: 143–146 (in Russian).
3. Zhuravlev Yu.N., Korobelnikov D.V., Oleinikova M.V. Solid State Phys., 2012, 54, No 7: 1427–1434 (in
Russian).
4. Bodryakov V.Y., Povzner A.A., Zelyukova O.G. Solid State Phys., 1988, 40, No 9: 1581–1583 (in Russian).
5. Jernov A.P. J. Exp. Theor. Phys., 1998, 114, Iss. 2: 654–668 (in Russian).
6. Zharkov V.N. The equations of state of solids at high pressures and temperatures, Moscow: Nauka, 1968
(in Russian).
7. Kovalev Yu.M., Belik A.V. Bull. Chelyabinsk State University. Physics, 2013, 16, No 9: 5–10 (in Russian).
8. Zakaryan D., Kartuzov V., Khachatrian A. Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 2012, 51, No 5–6:
301–306.
9. Kittel Ch. Introduction to Solid State Physics, New York: Wiley, 1978.
10. Heine V., Cohen M., Weaire D. The Pseudopotential Concept, New York: Academic Press, 1970.
Поступило в редакцию 03.07.2015
Д.А. Закарян, В. В. Картузов, А.В. Хачатрян
Iнститут проблем матерiалознавства iм. I. М. Францевича НАН України, Київ
E-mail: zakarian.d.a@gmail.com
Модель квазiгармонiйного наближення в теорiї
псевдопотенцiалiв
Запропоновано модель, за допомогою якої в рамках гармонiйного наближення врахованi не-
гармонiйнi ефекти, пов’язанi з тепловим коливанням решiтки. Визначено залежнiсть па-
раметрiв кристалiчної решiтки вiд температури через енергiю електрон-iонної системи,
яка обчислена в другому порядку теорiї збурень.
Ключовi слова: енергiя електрон-iонної системи, енергiя теплових коливань, параметр кри-
сталiчної решiтки.
D.A. Zakarian, V. V. Kartuzov, A.V. Khachatrian
I.M. Frantsevich Institute for Problems of Materials Science of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: zakarian.d.a@gmail.com
Quasiharmonic approximation model in the theory of pseudopotentials
Within the harmonic approximation, a model describing the anharmonic effects related to thermal
vibrations of the lattice is proposed. The dependence of the lattice parameters on the temperature
through the energy of the electron-ion system, which is calculated in the second order of perturbation
theory, is determined.
Keywords: energy of an electron-ion system, energy of thermal vibrations of a crystal, lattice
parameter.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 61
|