On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices
In [18], there was proved the CLT for linear eigenvalue statistics ${Tr} \varphi(M_n)$ of sample covariance matrices of the form $M_{n}=\sum_{\alpha=1}^m {\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)}({\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)})^T$, where $({\bf y}_{\alpha}^{(1)},\,...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1012 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Репозитарії
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| id |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-1012 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| spelling |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-10122024-10-11T14:48:59Z On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja Lytova, Anna вибiрковi коварiацiйнi матрицi центральна гранична теорема лiнiйна статистика власних значень sample covariance matrices CLT linear eigenvalue statistics In [18], there was proved the CLT for linear eigenvalue statistics ${Tr} \varphi(M_n)$ of sample covariance matrices of the form $M_{n}=\sum_{\alpha=1}^m {\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)}({\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)})^T$, where $({\bf y}_{\alpha}^{(1)},\, {\bf y}_{\alpha}^{(2)})_{\alpha}$ are iid copies of ${\bf y}\in \mathbb{R}^n$ satisfying ${\bf E} {\bf y}{\bf y}^T=n^{-1} I_n$, ${\bf E} {\bf y}^2_i{\bf y}^2_j=(1+\delta_{ij}d)n^{-2}+a(1+\delta_{ij}d_1)n^{-3}+O(n^{-4})$ for some $a, d,d_1\in \mathbb{R}$. It was shown that given a smooth enough test function $\varphi$, ${\bf Var} {Tr} \varphi(M_n)=O(n)$ as $m, n\to\infty $, $m/n^2\to c>0$, and $({Tr} \varphi(M_n)-{\bf E} {Tr} \varphi(M_n))/\sqrt{n}$ converges in distribution to a Gaussian mean zero random variable with variance $V[\varphi]$ proportional to $a+d$. It was noticed that if ${\bf y}$ is uniformly distributed on the unit sphere then $a+d=0$ and $V[\varphi]$ vanishes. In this note we show that in this case ${\bf Var} {Tr}(M_n-zI_n)^{-1}=O(1)$, so that the CLT should be valid for linear eigenvalue statistics themselves without a normalising factor in front (in contrast to the Gaussian case.) Mathematical Subject Classification 2020: 60B12, 60B20, 60F05, 47A75 В [18] було доведено центральну граничну теорему (ЦГТ) для лiнiйних статистик власних значень ${Tr} \varphi(M_n)$ вибiркових коварiацiйних матриць $M_{n}=\sum_{\alpha=1}^m {\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)}({\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)})^T$, де $({\bf y}_{\alpha}^{(1)},\, {\bf y}_{\alpha}^{(2)})_{\alpha}$ є незалежними копiями вектора ${\bf y}\in \mathbb{R}^n$ , що задовольняє умови ${\bf E} {\bf y}{\bf y}^T=n^{-1} I_n$, ${\bf E} {\bf y}^2_i{\bf y}^2_j(1+\delta_{ij}d)n^{-2}+a(1+\delta_{ij}d_1)n^{-3}+O(n^{-4})$ для деяких $a, d,d_1\in \mathbb{R}$. Було показано, що для достатньо гладких тестових функцiй $\varphi$ маємо ${\bf Var} {Tr} \varphi(M_n)=O(n)$, коли $m, n\to\infty $, $m/n^2\to c>0$, крiм того $({Tr} \varphi(M_n)-{\bf E} {Tr} \varphi(M_n))/\sqrt{n}$ збiгається за розподiлом до гаусiвської випадкової величини з нульовим середнiм та дисперсiєю $V[\varphi]$ пропорцiйною $a+d$. Зокрема, якщо ${\bf y}$ рiвномiрно розподiлено на одиничнiй сферi, то $a+d=0$ i $V[\varphi]$. У цiй роботi ми показуємо, що в цьому випадку ${\bf Var} {Tr}(M_n-zI_n)^{-1}=O(1)$, так що ЦГТ має бути справедливою для самих лiнiйних статистик власних значень без нормалiзувального коефiцiєнта (на вiдмiну вiд випадку вiдповiдних гаусiвських вибiркових коварiацiйних матриць). Mathematical Subject Classification 2020: 60B12, 60B20, 60F05, 47A75 Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2023-07-31 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1012 10.15407/mag19.02.374 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 19 No. 2 (2023): Dedicated to Volodymyr Marchenko's 100th birthday; 374–395 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 19 № 2 (2023): Присвячений 100-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 374–395 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 19 № 2 (2023): Присвячений 100-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 374–395 1817-5805 1812-9471 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1012/jm19-0374e |
| institution |
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2024-10-11T14:48:59Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
вибiрковi коварiацiйнi матрицi центральна гранична теорема лiнiйна статистика власних значень |
| spellingShingle |
вибiрковi коварiацiйнi матрицi центральна гранична теорема лiнiйна статистика власних значень Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja Lytova, Anna On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| topic_facet |
вибiрковi коварiацiйнi матрицi центральна гранична теорема лiнiйна статистика власних значень sample covariance matrices CLT linear eigenvalue statistics |
| format |
Article |
| author |
Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja Lytova, Anna |
| author_facet |
Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja Lytova, Anna |
| author_sort |
Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja |
| title |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| title_short |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| title_full |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| title_fullStr |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| title_full_unstemmed |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| title_sort |
on the clt for linear eigenvalue statistics of a tensor model of sample covariance matrices |
| title_alt |
On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices |
| description |
In [18], there was proved the CLT for linear eigenvalue statistics ${Tr} \varphi(M_n)$ of sample covariance matrices of the form $M_{n}=\sum_{\alpha=1}^m {\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)}({\bf y}_{\alpha}^{(1)} \otimes {\bf y}_{\alpha}^{(2)})^T$, where $({\bf y}_{\alpha}^{(1)},\, {\bf y}_{\alpha}^{(2)})_{\alpha}$ are iid copies of ${\bf y}\in \mathbb{R}^n$ satisfying ${\bf E} {\bf y}{\bf y}^T=n^{-1} I_n$, ${\bf E} {\bf y}^2_i{\bf y}^2_j=(1+\delta_{ij}d)n^{-2}+a(1+\delta_{ij}d_1)n^{-3}+O(n^{-4})$ for some $a, d,d_1\in \mathbb{R}$. It was shown that given a smooth enough test function $\varphi$, ${\bf Var} {Tr} \varphi(M_n)=O(n)$ as $m, n\to\infty $, $m/n^2\to c>0$, and $({Tr} \varphi(M_n)-{\bf E} {Tr} \varphi(M_n))/\sqrt{n}$ converges in distribution to a Gaussian mean zero random variable with variance $V[\varphi]$ proportional to $a+d$. It was noticed that if ${\bf y}$ is uniformly distributed on the unit sphere then $a+d=0$ and $V[\varphi]$ vanishes. In this note we show that in this case ${\bf Var} {Tr}(M_n-zI_n)^{-1}=O(1)$, so that the CLT should be valid for linear eigenvalue statistics themselves without a normalising factor in front (in contrast to the Gaussian case.)
Mathematical Subject Classification 2020: 60B12, 60B20, 60F05, 47A75 |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1012 |
| work_keys_str_mv |
AT dembczakkołodziejczykalicja onthecltforlineareigenvaluestatisticsofatensormodelofsamplecovariancematrices AT lytovaanna onthecltforlineareigenvaluestatisticsofatensormodelofsamplecovariancematrices |
| first_indexed |
2025-09-26T01:40:36Z |
| last_indexed |
2025-09-26T01:40:36Z |
| _version_ |
1850836703033425920 |