Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control
In the paper, the problems of controllability and approximate controllability are studied for the control system $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$, where $u\in L^\infty(0,T)$ is a control. To this aid, it is investigated the set $\math...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1092 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Репозитарії
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| id |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-1092 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| spelling |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-10922025-12-08T18:46:02Z Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control Проблеми керованостi для рiвняння теплопровiдностi на пiвплощинi, керованого крайовою умовою Ноймана з точковим керуванням Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control Fardigola, Larissa Khalina, Kateryna рівняння теплопровідності керованість наближена керованість півплощина heat equation controllability approximate controllability half-plane In the paper, the problems of controllability and approximate controllability are studied for the control system $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$, where $u\in L^\infty(0,T)$ is a control. To this aid, it is investigated the set $\mathcal{R}_T(0)\subset L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ of its end states which are reachable from 0. It is established that a function $f\in\mathcal{R}_T(0)$ can be represented in the form $f(x)=g\big(|x|^2\big)$ a.e. in $(0,+\infty)\times\mathbb R$ where $g\in L^2(0,+\infty)$. In fact, we reduce the problem dealing with functions from $L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ to a problem dealing with functions from $L^2(0,+\infty)$. Both a necessary and sufficient condition for controllability and a sufficient condition for approximate controllability in a given time $T$ under a control $u$ bounded by a given constant are obtained in terms of solvability of a Markov power moment problem. Using the Laguerre functions (forming an orthonormal basis of $L^2(0,+\infty)$), necessary and sufficient conditions for approximate controllability and numerical solutions to the approximate controllability problem are obtained. It is also shown that there is no initial state that is null-controllable in a given time $T$. The results are illustrated by an example. Mathematical Subject Classification 2020: 93B05, 35K05, 35B30 У роботі досліджено проблеми керованості та наближеної керованості для керованої системи $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$, де $u\in L^\infty(0,T)$ є керуванням. Для цього досліджено множину $\mathcal{R}_T(0)\subset L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ її кінцевих станів, які є досяжними з 0. Установлено, що функція $f\in\mathcal{R}_T(0)$ може бути подана у вигляді $f(x)=g\big(|x|^2\big)$ м.с. в $(0,+\infty)\times\mathbb R$, де $g\in L^2(0,+\infty)$. Фактично, ми зводимо задачу для функцій з $L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ до задачі для функцій з $L^2(0,+\infty)$. Необхідну і достатню умову керованості та достатню умову наближеної керованості за заданий час $T$ за допомогою керувань $u$, обмежених заданою сталою, одержано в термінах розв'язності степеневої проблеми моментів Маркова. Застосовуючи функції Лаґерра (які утворюють ортонормований базис в $L^2(0,+\infty)$), одержано необхідні і достатні умови наближеної керованості та числові розв'язки проблеми наближеної керованості. Також показано, що не існує ненульового початкового стану системи, який був би нуль керованим за заданий час $T$. Результати проілюстровано прикладами. Mathematical Subject Classification 2020: 93B05, 35K05, 35B30 Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2025-01-16 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1092 10.15407/mag21.01.02 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 21 No. 1 (2025); 23–55 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 21 № 1 (2025); 23–55 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 21 № 1 (2025); 23–55 1817-5805 1812-9471 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1092/jm21-0023e |
| institution |
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2025-12-08T18:46:02Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
рівняння теплопровідності керованість наближена керованість півплощина |
| spellingShingle |
рівняння теплопровідності керованість наближена керованість півплощина Fardigola, Larissa Khalina, Kateryna Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| topic_facet |
рівняння теплопровідності керованість наближена керованість півплощина heat equation controllability approximate controllability half-plane |
| format |
Article |
| author |
Fardigola, Larissa Khalina, Kateryna |
| author_facet |
Fardigola, Larissa Khalina, Kateryna |
| author_sort |
Fardigola, Larissa |
| title |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| title_short |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| title_full |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| title_fullStr |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| title_full_unstemmed |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control |
| title_sort |
controllability problems for the heat equation on a half-plane controlled by the neumann boundary condition with a point-wise control |
| title_alt |
Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control Проблеми керованостi для рiвняння теплопровiдностi на пiвплощинi, керованого крайовою умовою Ноймана з точковим керуванням |
| description |
In the paper, the problems of controllability and approximate controllability are studied for the control system $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$, where $u\in L^\infty(0,T)$ is a control. To this aid, it is investigated the set $\mathcal{R}_T(0)\subset L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ of its end states which are reachable from 0. It is established that a function $f\in\mathcal{R}_T(0)$ can be represented in the form $f(x)=g\big(|x|^2\big)$ a.e. in $(0,+\infty)\times\mathbb R$ where $g\in L^2(0,+\infty)$. In fact, we reduce the problem dealing with functions from $L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ to a problem dealing with functions from $L^2(0,+\infty)$. Both a necessary and sufficient condition for controllability and a sufficient condition for approximate controllability in a given time $T$ under a control $u$ bounded by a given constant are obtained in terms of solvability of a Markov power moment problem. Using the Laguerre functions (forming an orthonormal basis of $L^2(0,+\infty)$), necessary and sufficient conditions for approximate controllability and numerical solutions to the approximate controllability problem are obtained. It is also shown that there is no initial state that is null-controllable in a given time $T$. The results are illustrated by an example.
Mathematical Subject Classification 2020: 93B05, 35K05, 35B30 |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1092 |
| work_keys_str_mv |
AT fardigolalarissa controllabilityproblemsfortheheatequationonahalfplanecontrolledbytheneumannboundaryconditionwithapointwisecontrol AT khalinakateryna controllabilityproblemsfortheheatequationonahalfplanecontrolledbytheneumannboundaryconditionwithapointwisecontrol AT fardigolalarissa problemikerovanostidlârivnânnâteploprovidnostinapivploŝinikerovanogokrajovoûumovoûnojmanaztočkovimkeruvannâm AT khalinakateryna problemikerovanostidlârivnânnâteploprovidnostinapivploŝinikerovanogokrajovoûumovoûnojmanaztočkovimkeruvannâm |
| first_indexed |
2025-09-27T01:57:13Z |
| last_indexed |
2025-12-17T12:06:06Z |
| _version_ |
1851774484265041920 |