Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring
Let $K$ be an arbitrary commutative integral domain with identity. We study the copolynomials of $n$ variables, i.e., $K$-linear mappings from the ring of polynomials $K[x_1,\ldots,x_n]$ into $K$. We prove an existence and uniqueness theorem for a linear differential equation of infinite order which...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | English |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2025
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1093 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Institution
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| id |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-1093 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| spelling |
oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-10932025-11-11T18:57:24Z Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring Диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними у модулi кополiномiв над комутативним кiльцем Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring Gefter, S. L. Piven’, A. L. кополіном фундаментальний розв’язок згортка δ-функція диференціальний оператор нескінченного порядку задача Коші перетворення Лапласа copolynomial fundamental solution convolution δ-function differential operator of infinite order Cauchy problem Laplace transform Let $K$ be an arbitrary commutative integral domain with identity. We study the copolynomials of $n$ variables, i.e., $K$-linear mappings from the ring of polynomials $K[x_1,\ldots,x_n]$ into $K$. We prove an existence and uniqueness theorem for a linear differential equation of infinite order which can be considered as an algebraic version of the classical Malgrange-Ehrenpreis theorem for the existence of the fundamental solution of a linear differential operator with constant coefficients. We find the fundamental solutions of linear differential operators of infinite order and show that the unique solution of the corresponding inhomogeneous equation can be represented as a convolution of the fundamental solution of this operator and the right-hand side. We also prove the existence and uniqueness theorem of the Cauchy problem for some linear differential equations in the module of formal power series with copolynomial coefficients. Mathematical Subject Classification 2020: 35R50, 34A35, 13B25 Нехай $K$ є довільною комутативною областю цілісності з одиницею. Досліджуються кополіноми $n$ змінних, тобто $K$-лінійні відображення з кільця поліномів $K[x_1,\ldots,x_n]$ у кільце $K$. Доводиться теорема існування та єдиності розв'язку для лінійного диференціального рівняння нескінченного порядку, яку можна розглядати як алгебраїчну версію класичної теореми Мальгранжа-Еренпрайса існування фундаментального розв'язку лінійного диференціального оператора зi сталими коефіцієнтами. Знайдено фундаментальні розв'язки лінійних диференціальних операторів нескінченного порядку та показано, що єдиний розв'язок відповідного неоднорідного рівняння може бути поданий як згортка фундаментального розв'язку цього оператора та правої частини. Також доведено теорему існування та єдиності розв'язку задачі Коші для деяких лінійних диференціальних рівнянь у модулі формальних степеневих рядів із кополіноміальними коефіцієнтами. Mathematical Subject Classification 2020: 35R50, 34A35, 13B25 Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2025-01-16 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1093 10.15407/mag21.01.03 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 21 No. 1 (2025); 56–83 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 21 № 1 (2025); 56–83 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 21 № 1 (2025); 56–83 1817-5805 1812-9471 10.15407/mag21.01 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1093/jm21-0056e |
| institution |
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2025-11-11T18:57:24Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
кополіном фундаментальний розв’язок згортка δ-функція диференціальний оператор нескінченного порядку задача Коші перетворення Лапласа |
| spellingShingle |
кополіном фундаментальний розв’язок згортка δ-функція диференціальний оператор нескінченного порядку задача Коші перетворення Лапласа Gefter, S. L. Piven’, A. L. Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| topic_facet |
кополіном фундаментальний розв’язок згортка δ-функція диференціальний оператор нескінченного порядку задача Коші перетворення Лапласа copolynomial fundamental solution convolution δ-function differential operator of infinite order Cauchy problem Laplace transform |
| format |
Article |
| author |
Gefter, S. L. Piven’, A. L. |
| author_facet |
Gefter, S. L. Piven’, A. L. |
| author_sort |
Gefter, S. L. |
| title |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| title_short |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| title_full |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| title_fullStr |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| title_full_unstemmed |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring |
| title_sort |
partial differential equations in module of copolynomials over a commutative ring |
| title_alt |
Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring Диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними у модулi кополiномiв над комутативним кiльцем |
| description |
Let $K$ be an arbitrary commutative integral domain with identity. We study the copolynomials of $n$ variables, i.e., $K$-linear mappings from the ring of polynomials $K[x_1,\ldots,x_n]$ into $K$. We prove an existence and uniqueness theorem for a linear differential equation of infinite order which can be considered as an algebraic version of the classical Malgrange-Ehrenpreis theorem for the existence of the fundamental solution of a linear differential operator with constant coefficients. We find the fundamental solutions of linear differential operators of infinite order and show that the unique solution of the corresponding inhomogeneous equation can be represented as a convolution of the fundamental solution of this operator and the right-hand side. We also prove the existence and uniqueness theorem of the Cauchy problem for some linear differential equations in the module of formal power series with copolynomial coefficients.
Mathematical Subject Classification 2020: 35R50, 34A35, 13B25 |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1093 |
| work_keys_str_mv |
AT geftersl partialdifferentialequationsinmoduleofcopolynomialsoveracommutativering AT pivenal partialdifferentialequationsinmoduleofcopolynomialsoveracommutativering AT geftersl diferencialʹnirivnânnâzčastinnimipohidnimiumodulikopolinomivnadkomutativnimkilʹcem AT pivenal diferencialʹnirivnânnâzčastinnimipohidnimiumodulikopolinomivnadkomutativnimkilʹcem |
| first_indexed |
2025-09-27T01:57:13Z |
| last_indexed |
2025-11-12T02:42:06Z |
| _version_ |
1848550701850951680 |