A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity
For $N\geq 4$, we let $\Omega$ be a bounded domain of $\mathbb{R}^N$ and $\Gamma$ be a closed curve contained in $\Omega$. We study the existence of positive solutions $u \in H^1_0\left(\Omega\right)$ to the equation\begin{equation*}-\Delta u+hu=\lambda\rho^{-s_1}_\Gamma u^{2^*_{s_1}-1}+\rho^{-s_2}_...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2026
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1129 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Репозитарії
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| _version_ | 1865123540970242049 |
|---|---|
| author | Diatta, Abdourahmane Thiam, El Hadji Abdoulaye |
| author_facet | Diatta, Abdourahmane Thiam, El Hadji Abdoulaye |
| author_sort | Diatta, Abdourahmane |
| baseUrl_str | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-13T18:20:55Z |
| description | For $N\geq 4$, we let $\Omega$ be a bounded domain of $\mathbb{R}^N$ and $\Gamma$ be a closed curve contained in $\Omega$. We study the existence of positive solutions $u \in H^1_0\left(\Omega\right)$ to the equation\begin{equation*}-\Delta u+hu=\lambda\rho^{-s_1}_\Gamma u^{2^*_{s_1}-1}+\rho^{-s_2}_\Gamma u^{2^*_{s_2}-1} \quad \textrm{ in } \Omega, \tag{1}\end{equation*}where $h : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ is a continuous function, $\lambda$ is a positive real parameter, $0\leq s_2<s_1<2$, and $\rho_\Gamma$ is the distance function to $\Gamma$. In this paper, we prove the existence of mountain pass solutions for the Euler-Lagrange equation (1) depending on the local geometry of the curve and the potential $h$. We also study the existence, symmetry and decay estimates of the positive entire solutions of (1) with $\Omega=\mathbb{R}^N$ and $\Gamma$ being the real line.
Mathematical Subject Classification 2020: 35J60, 35B33, 35A15, 35R45, 35B40 |
| first_indexed | 2026-05-14T01:00:17Z |
| format | Article |
| id | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-1129 |
| institution | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-05-14T01:00:17Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| record_format | ojs |
| spelling | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-11292026-05-13T18:20:55Z A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity Diatta, Abdourahmane Thiam, El Hadji Abdoulaye два показники Гарді-Соболєва кривина розв'язок типу гірського переходу особливість на кривій two Hardy-Sobolev exponents curvature mountain pass solution curve singularity For $N\geq 4$, we let $\Omega$ be a bounded domain of $\mathbb{R}^N$ and $\Gamma$ be a closed curve contained in $\Omega$. We study the existence of positive solutions $u \in H^1_0\left(\Omega\right)$ to the equation\begin{equation*}-\Delta u+hu=\lambda\rho^{-s_1}_\Gamma u^{2^*_{s_1}-1}+\rho^{-s_2}_\Gamma u^{2^*_{s_2}-1} \quad \textrm{ in } \Omega, \tag{1}\end{equation*}where $h : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ is a continuous function, $\lambda$ is a positive real parameter, $0\leq s_2<s_1<2$, and $\rho_\Gamma$ is the distance function to $\Gamma$. In this paper, we prove the existence of mountain pass solutions for the Euler-Lagrange equation (1) depending on the local geometry of the curve and the potential $h$. We also study the existence, symmetry and decay estimates of the positive entire solutions of (1) with $\Omega=\mathbb{R}^N$ and $\Gamma$ being the real line. Mathematical Subject Classification 2020: 35J60, 35B33, 35A15, 35R45, 35B40 Для $N\geq 4$ нехай $\Omega$ є обмеженою областю в $\mathbb{R}^N$, а $\Gamma$ є замкненою кривою, що міститься в $\Omega$. Ми досліджуємо існування додатних розв'язків $u \in H^1_0\left(\Omega\right)$ рівняння\begin{equation*}-\Delta u+hu=\lambda\rho^{-s_1}\Gamma u^{2^*{s_1}-1}+\rho^{-s_2}\Gamma u^{2^*{s_2}-1} \quad \textrm{ в } \Omega, \tag{1}\end{equation*}де $h : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ є неперервною функцією, $\lambda$ є додатним дійсним параметром, $0\leq s_2<s_1<2$, а $\rho_\Gamma$ є функцією відстані до $\Gamma$. У цій роботі ми доводимо існування розв'язків типу гірського переходу (mountain pass solutions) для рівняння Ейлера-Лагранжа (1) залежно від локальної геометрії кривої та потенціалу $h$. Ми також вивчаємо існування, симетрію та оцінки спадання глобальних додатних розв'язків (1) при $\Omega=\mathbb{R}^N$, де $\Gamma$ є прямою. Mathematical Subject Classification 2020: 35J60, 35B33, 35A15, 35R45, 35B40 Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2026-05-13 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1129 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 22 No. 2 (2026); 115–157 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 22 № 2 (2026); 115–157 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 22 № 2 (2026); 115–157 1817-5805 1812-9471 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1129/jm22-0115e |
| spellingShingle | два показники Гарді-Соболєва кривина розв'язок типу гірського переходу особливість на кривій Diatta, Abdourahmane Thiam, El Hadji Abdoulaye A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_alt | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_full | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_fullStr | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_full_unstemmed | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_short | A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity |
| title_sort | nonlinear pde with two hardy–sobolev critical exponents with one-dimensional singularity |
| topic | два показники Гарді-Соболєва кривина розв'язок типу гірського переходу особливість на кривій |
| topic_facet | два показники Гарді-Соболєва кривина розв'язок типу гірського переходу особливість на кривій two Hardy-Sobolev exponents curvature mountain pass solution curve singularity |
| url | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/1129 |
| work_keys_str_mv | AT diattaabdourahmane anonlinearpdewithtwohardysobolevcriticalexponentswithonedimensionalsingularity AT thiamelhadjiabdoulaye anonlinearpdewithtwohardysobolevcriticalexponentswithonedimensionalsingularity AT diattaabdourahmane nonlinearpdewithtwohardysobolevcriticalexponentswithonedimensionalsingularity AT thiamelhadjiabdoulaye nonlinearpdewithtwohardysobolevcriticalexponentswithonedimensionalsingularity |