The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions
We solve the extended Leibniz rule $T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag+Af\cdot Tg$ for operators $T$ and $A$ in the space of rapidly decreasing functions in both cases of complex and real-valued functions. We find that $Tf$ may be a linear combination of logarithmic derivatives of $f$ and its complex conjugate...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0336e |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Institution
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| _version_ | 1859471876091281408 |
|---|---|
| author | König, Hermann Milman, Vitali |
| author_facet | König, Hermann Milman, Vitali |
| author_sort | König, Hermann |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-21T10:09:48Z |
| description | We solve the extended Leibniz rule $T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag+Af\cdot Tg$ for operators $T$ and $A$ in the space of rapidly decreasing functions in both cases of complex and real-valued functions. We find that $Tf$ may be a linear combination of logarithmic derivatives of $f$ and its complex conjugate $\overline{f}$ with smooth coefficients up to some finite orders $m$ and $n$ respectively and $Af=f^{m}\cdot \overline{f}$ $^{n} $. In other cases $Tf$ and $Af$ may include separately the real and the imaginary part of $f$. In some way the equation yields a joint characterization of the derivative and the Fourier transform of $f$. We discuss conditions when $T$ is the derivative and $A$ is the identity. We also consider differentiable solutions of related functional equations reminiscent of those for the sine and cosine functions.
Mathematics Subject Classification: 39B42, 47A62, 26A24. |
| first_indexed | 2026-03-12T15:49:30Z |
| format | Article |
| id | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-833 |
| institution | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-12T15:49:30Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| record_format | ojs |
| spelling | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-8332026-02-21T10:09:48Z The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions König, Hermann Milman, Vitali rapidly decreasing functions extended Leibniz rule Fourier transform швидко спаднi функцi], узагальнене правило Лейбниця, перетворення Фур'є. швидко спаднi функцiї узагальнене правило Лейбниця перетворення Фур'є We solve the extended Leibniz rule $T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag+Af\cdot Tg$ for operators $T$ and $A$ in the space of rapidly decreasing functions in both cases of complex and real-valued functions. We find that $Tf$ may be a linear combination of logarithmic derivatives of $f$ and its complex conjugate $\overline{f}$ with smooth coefficients up to some finite orders $m$ and $n$ respectively and $Af=f^{m}\cdot \overline{f}$ $^{n} $. In other cases $Tf$ and $Af$ may include separately the real and the imaginary part of $f$. In some way the equation yields a joint characterization of the derivative and the Fourier transform of $f$. We discuss conditions when $T$ is the derivative and $A$ is the identity. We also consider differentiable solutions of related functional equations reminiscent of those for the sine and cosine functions. Mathematics Subject Classification: 39B42, 47A62, 26A24. Ми розв'язуємо узагальнене правило Лейбниця \[ T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag + Af \cdot Tg \] для операторів $T$ та $A$ у просторі швидко спадних функцій, як у випадку комплекснозначних функцій, так і у випадку дійснозначних ф ункцій. Ми встановлюємо, що $T$ може бути лінійною комбінацією логарифмічних похідних $f$ та її комплексного спряження $\overline{f }$ до порядків $m$ і $n$ відповідно з гладкими коефіцієнтами та $Af=f^{m}\cdot \overline{f}{}^{n} $. В інших випадках $Tf$ та $Af$ м ожуть містити окремо дійсну та уявну частину $f$. У деякому сенсі з цього рівняння випливає сукупна характерізація похідних та перет ворення Фур'є $f$. Ми обговорюємо умови, за яких $T$ є похідною, а $A$ є тотожністю. Ми також розглядаємо диференційовні розв'язки функціональних рівня нь, які нагадують рівняння для синуса та косинуса.Mathematics Subject Classification: 39B42, 47A62, 26A24. Ми розв'язуємо узагальнене правило Лейбниця $T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag+Af\cdot Tg$ для операторів $T$ та $A$ у просторі швидко спадних функцій, як у випадку комплекснозначних функцій, так і у випадку дійснозначних функцій. Ми встановлюємо, що $T$ може бути лінійною комбінацією логарифмічних похідних $f$ та її комплексного спряження $\overline{f }$ до порядків $m$ і $n$ відповідно з гладкими коефіцієнтами та $Af=f^{m}\cdot \overline{f}{}^{n} $. В інших випадках $Tf$ та $Af$ можуть містити окремо дійсну та уявну частину $f$. У деякому сенсі з цього рівняння випливає сукупна характерізація похідних та перетворення Фур'є $f$. Ми обговорюємо умови, за яких $T$ є похідною, а $A$ є тотожністю. Ми також розглядаємо диференційовні розв'язки функціональних рівнянь, які нагадують рівняння для синуса та косинуса. Mathematics Subject Classification: 39B42, 47A62, 26A24. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2018-11-11 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0336e 10.15407/mag14.03.336 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 14 No. 3 (2018): Dedicated to Volodymyr Marchenko's 95th birthday; 336-361 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 14 № 3 (2018): Присвячений 95-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 336-361 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 14 № 3 (2018): Присвячений 95-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 336-361 1817-5805 1812-9471 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0336e/819 Авторське право (c) 2018 Hermann König, Vitali Milman |
| spellingShingle | швидко спаднi функцiї узагальнене правило Лейбниця перетворення Фур'є König, Hermann Milman, Vitali The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions |
| title | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions |
| title_alt | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions |
| title_full | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions |
| title_fullStr | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions |
| title_full_unstemmed | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions |
| title_short | The Extended Leibniz Rule and Related
Equations in the Space of Rapidly
Decreasing Functions |
| title_sort | extended leibniz rule and related
equations in the space of rapidly
decreasing functions |
| topic | швидко спаднi функцiї узагальнене правило Лейбниця перетворення Фур'є |
| topic_facet | rapidly decreasing functions extended Leibniz rule Fourier transform швидко спаднi функцi] узагальнене правило Лейбниця перетворення Фур'є. швидко спаднi функцiї узагальнене правило Лейбниця перетворення Фур'є |
| url | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0336e |
| work_keys_str_mv | AT konighermann theextendedleibnizruleandrelatedequationsinthespaceofrapidlydecreasingfunctions AT milmanvitali theextendedleibnizruleandrelatedequationsinthespaceofrapidlydecreasingfunctions AT konighermann extendedleibnizruleandrelatedequationsinthespaceofrapidlydecreasingfunctions AT milmanvitali extendedleibnizruleandrelatedequationsinthespaceofrapidlydecreasingfunctions |