Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case)
The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymp...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0362e |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
Institution
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry| _version_ | 1859471875915120640 |
|---|---|
| author | Pastur, L. Shcherbina, M. |
| author_facet | Pastur, L. Shcherbina, M. |
| author_sort | Pastur, L. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-21T10:09:48Z |
| description | The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymptotic formula for the one-dimensional Schrödinger operator with ergodic random potential. We show that in this case the subleading term of the formula is given by a Central Limit Theorem in the spectral context, hence the term is asymptotically proportional to $L^{1/2}$, where $L$ is the length of the interval to which the Schrödinger operator is initially restricted. This has to be compared with the classical Szegö formula, where the subleading term is bounded in $L$, $L \to \infty$. We prove an analog of standard Central Limit Theorem (the convergence of the probability of the corresponding event to the Gaussian Law) as well as an analog of the almost sure Central Limit Theorem (the convergence with probability 1 of the logarithmic means of the indicator of the corresponding event to the Gaussian Law). We illustrate our general results by establishing the asymptotic formula for the entanglement entropy of free disordered fermions for non-zero temperature.
Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15. |
| first_indexed | 2026-03-12T15:49:29Z |
| format | Article |
| id | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-834 |
| institution | Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-12T15:49:29Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України |
| record_format | ojs |
| spelling | oai:jmag.ilt.kharkiv.ua:article-8342026-02-21T10:09:48Z Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Pastur, L. Shcherbina, M. random operators asymptotic trace formulas limit theorems випадковi оператори, асимптотичнi формули слiду, граничнi теореми. випадковi оператори асимптотичнi формули слiду граничнi теореми The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymptotic formula for the one-dimensional Schrödinger operator with ergodic random potential. We show that in this case the subleading term of the formula is given by a Central Limit Theorem in the spectral context, hence the term is asymptotically proportional to $L^{1/2}$, where $L$ is the length of the interval to which the Schrödinger operator is initially restricted. This has to be compared with the classical Szegö formula, where the subleading term is bounded in $L$, $L \to \infty$. We prove an analog of standard Central Limit Theorem (the convergence of the probability of the corresponding event to the Gaussian Law) as well as an analog of the almost sure Central Limit Theorem (the convergence with probability 1 of the logarithmic means of the indicator of the corresponding event to the Gaussian Law). We illustrate our general results by establishing the asymptotic formula for the entanglement entropy of free disordered fermions for non-zero temperature. Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15. Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним $L^{1/2}$, де $L$ є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за $L$, коли $L \to \infty$. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу ми надаємо асимптотичну формулу для "заплутаної" ентропiї вiльних фермiонiв при ненульовiй температурi.Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15. Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним $L^{1/2}$, де $L$ є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за $L$, коли $L \to \infty$. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу ми надаємо асимптотичну формулу для "заплутаної" ентропiї вiльних фермiонiв при ненульовiй температурi. Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України 2018-11-19 Article Article application/pdf https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0362e 10.15407/mag14.03.362 Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry; Vol. 14 No. 3 (2018): Dedicated to Volodymyr Marchenko's 95th birthday; 362-388 Журнал математической физики, анализа, геометрии; Том 14 № 3 (2018): Присвячений 95-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 362-388 Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії; Том 14 № 3 (2018): Присвячений 95-річчю від дня народження Володимира Олександровича Марченка; 362-388 1817-5805 1812-9471 en https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0362e/820 Авторське право (c) 2018 L. Pastur, M. Shcherbina |
| spellingShingle | випадковi оператори асимптотичнi формули слiду граничнi теореми Pastur, L. Shcherbina, M. Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_alt | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_full | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_fullStr | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_full_unstemmed | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_short | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_sort | szegö-type theorems for one-dimensional schrödinger operator with random potential (smooth case) |
| topic | випадковi оператори асимптотичнi формули слiду граничнi теореми |
| topic_facet | random operators asymptotic trace formulas limit theorems випадковi оператори асимптотичнi формули слiду граничнi теореми. випадковi оператори асимптотичнi формули слiду граничнi теореми |
| url | https://jmag.ilt.kharkiv.ua/index.php/jmag/article/view/jm14-0362e |
| work_keys_str_mv | AT pasturl szegotypetheoremsforonedimensionalschrodingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase AT shcherbinam szegotypetheoremsforonedimensionalschrodingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase AT pasturl szegampoumltypetheoremsforonedimensionalschrampoumldingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase AT shcherbinam szegampoumltypetheoremsforonedimensionalschrampoumldingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase |