Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків
The paper explores the possibilities of improving the classical Gill cipher by using systems of multi-place orthogonal quasigroup operations built on finite residue fields of simple order. The proposed approach is based on establishing a connection between orthogonal n-ary quasigroups and invertible...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Vinnytsia National Technical University
2026
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://oeipt.vntu.edu.ua/index.php/oeipt/article/view/865 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Optoelectronic Information-Power Technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Optoelectronic Information-Power Technologies| _version_ | 1868294501197414400 |
|---|---|
| author | Савчук, В.Д. |
| author_facet | Савчук, В.Д. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В.Д. Савчук",
"institution": "Вінницький національний технічний університет"
}
] |
| author_sort | Савчук, В.Д. |
| baseUrl_str | https://oeipt.vntu.edu.ua/index.php/oeipt/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-17T13:08:31Z |
| description | The paper explores the possibilities of improving the classical Gill cipher by using systems of multi-place orthogonal quasigroup operations built on finite residue fields of simple order. The proposed approach is based on establishing a connection between orthogonal n-ary quasigroups and invertible matrices, which allows the formation of new cryptographic transformations for information protection. The theoretical principles of constructing such structures, their properties and orthogonality conditions are considered. The article proves the criteria for the existence of invertible matrices whose elements belong to the residue field and are nonzero. Based on the obtained mathematical results, an algorithm for constructing systems of orthogonal linear n-ary quasigroups of arbitrary dimension is developed. The proposed algorithm ensures the uniqueness of the solution of the corresponding systems of equations, which is a necessary condition for the correct process of encrypting and decrypting messages. An example of constructing a system of five orthogonal quasigroups of arity five over a finite set of residues is given, which confirms the practical feasibility of the proposed approach. Special attention is paid to assessing the cryptographic stability of the developed method. It is shown that the number of possible key matrices increases rapidly with increasing their dimension, which significantly complicates the implementation of brute force attacks. The use of a set of matrices of different dimensions and a random order of their application additionally increases the level of system security. The results obtained can be used in the development of modern block cryptographic algorithms, data protection systems and information and communication networks.
  |
| doi_str_mv | 10.31649/1681-7893-2026-51-366-373 |
| first_indexed | 2026-06-18T01:01:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
366
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
УДК 512.548.7
В.Д. САВЧУК
ШИФРУВАННЯ ІНФОРМАЦІЇ МЕТОДОМ ГІЛА
ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ СИСТЕМ БАГАТОМІСНИХ
ОРТОГОНАЛЬНИХ КВАЗІГРУП НАД ПОЛЕМ ЛИШКІВ
Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця, Україна
Анотація. У роботі досліджено можливості вдосконалення класичного шифру Гілла
шляхом використання систем багатомісних ортогональних квазігрупових операцій,
побудованих над скінченними полями лишків простого порядку. Запропонований підхід
базується на встановленні зв’язку між ортогональними n-арними квазігрупами та
оборотними матрицями, що дозволяє формувати нові криптографічні перетворення для
захисту інформації. Розглянуто теоретичні засади побудови таких структур, їх властивості
та умови ортогональності. У статті доведено критерії існування оборотних матриць,
елементи яких належать полю лишків та є ненульовими. На основі отриманих
математичних результатів розроблено алгоритм побудови систем ортогональних лінійних
n-арних квазігруп довільної розмірності. Запропонований алгоритм забезпечує
однозначність розв’язку відповідних систем рівнянь, що є необхідною умовою коректного
процесу шифрування та дешифрування повідомлень. Наведено приклад побудови системи
п’яти ортогональних квазігруп арності п’ять над скінченною множиною лишків, що
підтверджує практичну реалізованість запропонованого підходу. Окрему увагу приділено
оцінюванню криптографічної стійкості розробленого методу. Показано, що кількість
можливих ключових матриць стрімко зростає зі збільшенням їх розмірності, що істотно
ускладнює проведення атак методом повного перебору. Використання множини матриць
різної розмірності та випадкового порядку їх застосування додатково підвищує рівень
захищеності системи. Отримані результати можуть бути використані під час розроблення
сучасних блочних криптографічних алгоритмів, систем захисту даних та інформаційно-
комунікаційних мереж.
Ключові слова: Шифр Гіла, оборотна матриця, визначник, ортогональність, лінійна
квазігрупа
Abstract. The paper explores the possibilities of improving the classical Gill cipher by using
systems of multi-place orthogonal quasigroup operations built on finite residue fields of simple
order. The proposed approach is based on establishing a connection between orthogonal n-ary
quasigroups and invertible matrices, which allows the formation of new cryptographic
transformations for information protection. The theoretical principles of constructing such
structures, their properties and orthogonality conditions are considered. The article proves the
criteria for the existence of invertible matrices whose elements belong to the residue field and
are nonzero. Based on the obtained mathematical results, an algorithm for constructing systems
of orthogonal linear n-ary quasigroups of arbitrary dimension is developed. The proposed
algorithm ensures the uniqueness of the solution of the corresponding systems of equations,
which is a necessary condition for the correct process of encrypting and decrypting messages.
An example of constructing a system of five orthogonal quasigroups of arity five over a finite set
of residues is given, which confirms the practical feasibility of the proposed approach. Special
attention is paid to assessing the cryptographic stability of the developed method. It is shown
that the number of possible key matrices increases rapidly with increasing their dimension,
which significantly complicates the implementation of brute force attacks. The use of a set of
matrices of different dimensions and a random order of their application additionally increases
the level of system security. The results obtained can be used in the development of modern
block cryptographic algorithms, data protection systems and information and communication
networks.
Keywords: Gil cipher, invertible matrix, determinant, orthogonality, linear quasigroup
DOI: 10.31649/1681-7893-2026-51-366-373
© В.Д. САВЧУК, 2026
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
367
1. ВСТУП
Метод Гілла – це метод, який був запропонований Л. Гіллом ще у 1929 році [1]. Він полягає у
множенні вектора (відкритого тексту) на (ключ) оборотну матрицю відповідної розмірності, отриманий
результат є вектор (закритий текст). Дешифрування полягає у множенні вектора (закритого тексту) на
матрицю обернену до матриці «ключ». Оскільки множення вектора (змінних) на оборотну матрицю та
система лінійних рівняннь тієї ж розмірності є еквівалентними, тому задача створення оборотних
матриць та систем лінійних рівняннь є рівносильними. В даній праці пропонується алгоритм побудови
систем лінійних ортогональних квазігруп, як побудови оборотних матриць довільної розмірності на
множині простого порядку. Оскільки у лінійних квазігруп усі коефіцієнти мають бути не нульовими
елементами поля лишків, то і матриці не будуть містити нульових елементів.
Сучасні дослідження показують, що даний підхід далеко не вичерпаний і має досить великий
інтерес у науковців. Удосконалення методу Гілла висвітлено у працях О. Гутік, О. Попадюк [2]
Ортогональність операцій має важливе прикладне значення. Цьому питанню присвячено багато
праць. Зокрема Г. Манном у праці [3] описано побудову бінарних ортогональних операій. Л. Пейджем [4]
і М. Холлом [5] було знайдено необхідні і достатні умови існування ортогональной пари для груп.
Результати дослідження ортогональних багатомісних квазігруп викладено у праці Білявської Г. та
Муллена Г. у праці [6], а також Сохацький Ф. та Фриз І. у праці [8] досліджували властивості
ортогональних багатомісних операцій та дано алгоритми їх побудови. У працях [9] та [10] продовжує
дослідження ортогоналтних операцій. Алгоритми побудови багатомісних операцій досліджували Смайл
Марковскі та Александра Мілева у праці [11]. Алгоритми побудови пари латинських ортогональних
квадратів, як еквівалента квазігруп, описано Д. Кідвелом у праці [7]. В даній праці викладені алгоритми
побудови систем ортогональних квазігрупових операцій при 2n > .
2. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ, ОПИС МЕТОДУ
Нагадаємо, що операція f , яка визначена на множині Q , називається i -оборотною, якщо для
довільних елементів 1 1 1,..., , , ,...,i i na a b a a− + із Q існує єдиний елемент Qx∈ такий, що
1 1 1( ,..., , , ,..., )i i nf a a x a a b− + = .
Операція f називається оборотною або квазігруповою, якщо вона i -оборотна для всіх 1,i n∈ .
Тоді пару (Q; )f називають квазігрупою, точніше n -арною квазігрупою.
Групові ізотопи. [8] n -арний групоїд (Q; )f називається груповим ізотопом, якщо існує група
( ; )G + та бієкції 1 1,..., ,n nα α α + із Q на G такі, що виконується рівність
1
1 1 1 1( ,..., ) ( ... )n n n nf x x x xα α α−
−= + + , для всіх 1,..., Qnx x ∈ .
Отже, n -арний групоїд (Q; )f є квазігрупою, якщо операція f оборотна.
Означення 1. [8] Нехай (Q; )f n -арний груповий ізотоп і нехай (Q; ,0)+ - група, 1,..., nα α -
унітарні підстановки, тобто 10 ... 0 0nα α= = = , та Qa∈ . Якщо 1 1 1( ,..., ) ...n n nf x x x x aα α= + + + , то
послідовність 1( , ,..., , )n aα α+ називається 0-канонічним розкладом (Q; )f , (Q; )+ - група розкладу,
1,..., nα α її коефіцієнти, a називається вільним членом.
Теорема 1. [8] Довільний елемент n -арного груповогу ізотопу однозначно визначає його
канонічний розклад.
Отже, n -арний групоїд (Q; )f є квазігрупою, якщо операція f оборотна. Зауважимо, що
унарні квазігрупові операції - це підстановки носія.
Групоїд (Q;g) називається:
• n -арним похідним бінарної групи (Q; )+ , якщо 1 1g( ,..., ) ...n nx x x x= + + ;
• груповим ізотопом, якщо він ізотопний n -арній похідній деякої бінарної групи;
• лінійним над групою, якщо він є груповим ізотопом цієї групи, причому компоненти
ізотопізму є її лінійними перетвореннями.
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
368
• цетральною квазігрупою або Т-квазігрупою, якщо він лінійний над деякою
комутативною групою.
3. ОЦІНЮВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ
Ортогональність n -арних лінійних квазігруп
Нехай Q mZ= , де m pq= , та p і q прості числа більше 2. { }m kZ b∗ = таких ( ); 1kb m = , для
всіх 1,..., ( )k mϕ= .
n -вибірка n -арних лінійних операцій, визначених на множині Q та заданих системою:
1 1 11 1 12 2 1 1
2 1 21 1 22 2 2 2
1 1 1 2 2
( ,..., ) ... ,
( ,..., ) ... ,
....................................................................,
( ,..., ) ... .
n n n
n n n
n n n n nn n n
f x x a x a x a x b
f x x a x a x a x b
f x x a x a x a x b
= + + + =
= + + + =
= + + + =
(1)
ортогональні, коли для кожної вибірки 1,..., Qnb b ∈ система (1) має єдиний розв'язок.
З іншого боку система (1) має єдиний розв'язок (система ортогональна), якщо матриця
11 1
1
...
... ... ...
...
n
n nn
a a
a a
(1)
оборотна, або іншими словами, коли визначник матриці A взаємно простий з модулем. Тобто
( )det ; 1A m = .
Оскільки система (1) та матриця (1) еквівалентні, то задачу про побудову n -вибірку n -арних
ортогональних квазігрупових операцій зводиться до побудови відповідної оборотної матриці.
Постає питання, за яких умов в mZ можна побудувати оборотну матрицю, яка складається з
елементів mZ ∗ .
Твердження 1. Нехай
11 1
1
...
... ... ...
...
n
n nn
a a
A
a a
=
(2)
n n× матриця, де ij ma Z ∗∈ , та det mA Z ∗∈ . Матриця A оборотна тоді і тільки тоді, коли для
довільних ij ma Z ∗∈ , для всіх 1,..., ni = , 1,...j n= та для 2,...,i n= кожне
( )( ) 1
1 1 i(i 1) i(i 1)det ...ii i i iia A a A a A A−
− −= − + + (3)
При умові, що ( )( )1 1 i(i 1) i(i 1)det ...i i mA a A a A Z ∗
− −− + + ∈ . Де ijA - відповідні алгебричні
доповнення, та ii mA Z ∗∈ , для всіх 2,...,i n= .
Доведення 1) Покажемо, що (3) виконується при 2n = .
Нехай
11 12
2
21 22
a a
B
a a
=
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
369
матриця розмірності 2 2× , де a ij mZ ∗∈ , та 2det mB Z ∗∈ . Тоді 2B є оборотною матрицею в mZ , тоді і
тільки тоді, коли для довільних елементів 11 12 21, , ma a a Z ∗∈ , ( ) 1
22 12 21 11deta B a a a−= + , при умові, що
12 21det mB a a Z ∗+ ∈ . Припустимо, що 12 21det mB a a Z ∗+ ∉ , тоді ( ) 1
12 21 11det mB a a a Z− ∗+ ∉ та
22 ma Z ∗∉ , а це суперечить вибору елемента 22a .
Нехай 12 21det mB a a Z ∗+ ∈ , тоді ( ) 1
22 12 21 11det ma B a a a Z− ∗= + ∈ .
2) Покажемо істинність (3) для матриць розмірності 3 3× .Нехай
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
a a a
B a a
a a a
=
,
матриця, де ij ma Z ∗∈ . З наслідку до теореми Лапласа, про розклад визначника за рядком чи стовпцем,
випливає, якщо матриця 3B оборотна, то існує принаймні один мінор розмірності 2 2× , який взаємно
простий з модулем m . Тому, не втрачаючи загальності, нехай таким мінором буде
11 12
33
21 22
a a
M
a a
=
Оскільки 33 0M ≠ , то існує 1
33M − . Очевидно, що 33 33A M= , де 33A - алгебричне доповнення
елемента 33a .
Розкладемо визначник матриці 3B за третім рядком, отримаємо:
12 13 11 13 11 12
3 31 32 33
22 23 21 23 21 22
det
a a a a a a
B a a a
a a a a a a
= − + .
Нас цікавить випадок, коли матриця 3B - оборотна, тобто 3det 0B ≠ . Звідси отримаємо:
11 13 12 13 1
33 32 31 33
21 23 22 23
a a a a
a a a A
a a a a
−
≠ −
.
Нехай
11 13 12 13 1
33 32 31 33
21 23 22 23
a a a a
a a a A
a a a a
−
= −
,
тоді
12 13 11 13 11 12
3 31 32 33
22 23 21 23 21 22
det
a a a a a a
B a a a
a a a a a a
= − + =
12 13 11 13 11 13 12 13 1
31 32 32 31 33 33
22 23 21 23 21 23 22 23
0
a a a a a a a a
a a a a A A
a a a a a a a a
−
= − + − =
,
а це суперечить тому, що матриця 3B - оборотна. І навпаки, нехай 3det 0B = , тоді
12 13 11 13 11 12
31 32 33
22 23 21 23 21 22
0
a a a a a a
a a a
a a a a a a
− + = ,
а звідси маємо
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
370
11 13 12 13 1
33 32 31 33
21 23 22 23
a a a a
a a a A
a a a a
−
= −
,
А це суперечить вибору елемента 33a .
Оскільки (3) виконується для матриць розмірності 2 2× та 3 3× , тому припустимо, що (3)
виконується для всіх 1i n= − та доведемо істинність для i n= . Розглянемо матрицю A (2). Якщо
матриця A оборотна, то det 0A ≠ та згідно наслідку до теореми Лапласа, випливає існування
принаймні одного оборотного мінора розмірності ( 1) (n 1)n − × − . Тому, не втрачаючи загальності,
нехай таким мінором буде
11 1(n 1)
( 1)1 (n 1)(n 1)
...
... ... ...
...
nn
n
a a
M
a a
−
− − −
= ,
Тоді, nn nnA M= , де nnA - алгебричне доповнення елемента nna .
Розкладемо визначник матриці A за n -тим рядком, отримаємо:
1 1 (n 1) (n 1)det ...n n n n nn nnA a A a A a A− −= + + +
Оскільки матриця A - оборотна, то
1 1 (n 1) (n 1)... 0n n n n nn nna A a A a A− −+ + + ≠ ,
Звідси отримаємо:
( ) 1
1 1 n(n 1) n(n 1)...nn n n nna a A a A A−
− −≠ − + + .
3. АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ n -ВИБІРКИ ОРТОГОНАЛЬНИХ ЛІНІЙНИХ n -АРНИХ
КВАЗІГРУП
Як зазначалося у Розділі 2: задача про побудову n -вибірки ортогональних n -арних квазігруп,
які визначені в ( )pGF , зводиться до побудови оборотних матриць розмірності n n× , які складаються із
ненульових елементів поля.
Розглянемо ( )pGF , де p - просте число, ( )ij pa GF ∗∈ . Тоді оборотна матриця розмірності n n× ,
яка складається із ненульових елементів поля, будується за такими кроками:
Алгоритм 1.
Крок 1. Елементи ija - обираються довільним чином із ( )pGF ∗ , крім iia , де { }2,...,i n∈ ;
Крок 2. Кожен елемент iia , де { }2,...,i n∈ - обирається довільним чином із ( )pGF ∗ , при умові,
що ( ) 1
1 1 ( 1) ( 1)...ii i i i i i i iia a A a A A−
− −≠ − + + .
Приклад . Побудуємо п’ятірку ортогональних лінійних квазігруп арності п’ять, які визначені над
11Z .
Будуємо оборотну матрицю розмірності 5 5× , яка складається із ненульових елементів 11Z за
алгоритмом 1.
1. 11ija Z ∗∈ , обираємо довільним чином, крім iia , де 2,...,5i = . Нехай матриця A має
вигляд:
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
371
22
33
44
55
1 2 3 4 5
6 7 8 9
10 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 1
a
A a
a
a
=
;
2. Обираємо 22a таке, що 1
22 6 2 1a −≠ ⋅ ⋅ , 22 1a ≠ . Нехай 22 2a = ;
3. Обираємо 33a таке, що 1
33
1 3 2 3
1 10 1
6 7 2 7
a −
≠ − ⋅
. 33 3a ≠ . Нехай 33 1a = .
4. Обираємо 44a таке, що
1
44
2 3 4 1 3 4 1 2 4
4 2 7 8 5 6 7 8 6 6 2 8 4
1 1 2 10 1 2 10 1 2
a −
≠ − + ⋅
.
44 5a ≠ . Нехай 44 1a = .
5. Обираємо 55a таке, що
1
55
1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 2 3 4 5
6 7 8 9 6 2 8 9 6 2 7 9 2 7 8 9
9 10 1 8 6
10 1 2 3 10 1 2 3 10 1 1 3 1 1 2 3
4 6 1 7 4 5 1 7 4 5 6 7 5 6 1 7
a −
≠ − + − ⋅
, 55 3a ≠ .
Нехай 55 1a = .
6. Як результат, матриця A матиме вигляд
1 2 3 4 5
6 2 7 8 9
10 1 1 2 3
4 5 6 1 7
8 9 10 1 1
A
=
;
7. Виписуємо систему лінійних квазігрупових операцій, які є ортогональними за
побудовою:
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1
2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2
3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3
4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4
5 1 2 3 4 5 1 2 3
( , , , , ) 1 2 3 4 5 ;
( , , , , ) 6 2 7 8 9 ;
( , , , , ) 10 1 1 2 3 ;
( , , , , ) 4 5 6 1 7 ;
( , , , , ) 8 9 10
f x x x x x x x x x x с
f x x x x x x x x x x с
f x x x x x x x x x x с
f x x x x x x x x x x с
f x x x x x x x x
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + =
= + + 4 5 51 1 .x x с
+ + =
де 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x - відкритий текст, 1 2 3 4 5, , , ,с с с с с зашифрований текст.
4. ОЦІНЮВАННЯ КРИПТОГРАФІЧНОЇ СТІЙКОСТІ
Розглянемо довільну скінченну множину простого порядку p . Згідно алгоритму побудови
матриці розмірності n n× , 2 1n n− + елемент обираються довільним чином і на кожному місці може
проймати 1p − значення, інші 1n − елементів матриці можуть набувати 2p − значень.
Звідси отримаємо таке співвідношення:
2 1 1( 1) ( 2)n n n
nM p p− + −= − −
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
372
де nM - кількість оборотних матриць розмірності n n× на множині простого порядку p , які
складаються із не нульових елементів.
Для прикладу візьмемо англійський алфавіт (великі та малі літери, 52 елемента), цифри від 0 до 9
(10 елементів), і для того щоб отримати множину простого порядку доповнимо 21-м спеціальними
символами. Отримаємо 83p = . Нехай ми шифруємо послідовності по 8 бітів, тоді і розмірності матриць
мають бути 8 8× .
Звідси отримаємо
28 8 1 8 1 57 7
8 (83 1) (83 2) 82 81M − + −= − − = × , це досить велика кількість для взлому
методом грубої сили.
Для підвищення стійкості алгоритму доцільно використовувати не одну матрицю, а множину
матриць різної розмірності та застосовувати їх у довільному порядку, відповідно розбиваючи
інформаційну послідовність, що значно підвищить стійкість алгоритму.
ВИСНОВКИ
У роботі розроблено математичні основи модифікації шифру Гілла на базі систем багатомісних
ортогональних квазігруп, що дозволяє розширити функціональні можливості класичного матричного
криптографічного підходу та підвищити його криптографічну ефективність. Запропонована модель
забезпечує однозначність процесів шифрування та дешифрування завдяки використанню ортогональних n
операцій.
Отримано такі теоретичні та практичні результати:
1. Встановлено необхідні та достатні умови побудови оборотних матриць над скінченними полями
лишків, елементи яких не містять нульових значень. Отримані теоретичні результати створюють
математичне підґрунтя для формування широкого класу криптографічних ключів довільної
розмірності та забезпечують можливість побудови систем ортогональних квазігруп із заданими
властивостями.
2. Запропоновано універсальний алгоритм синтезу n-вибірок ортогональних лінійних n квазігруп,
який дозволяє ефективно генерувати ключові матриці для криптографічних застосувань.
Перевагою алгоритму є його масштабованість, можливість використання для різних
розмірностей матриць та адаптація до множин як простого, так і складеного порядку за
відповідних обмежень.
3. Проведена оцінка криптографічної стійкості показала, що зі збільшенням розмірності матриць
кількість можливих ключів зростає експоненціально, що значно ускладнює реалізацію атак
методом грубої сили. Додаткове використання декількох матриць різної розмірності та їх
випадкове чергування дозволяє суттєво підвищити рівень захисту інформації.
4. Практична цінність дослідження полягає у можливості застосування отриманих результатів для
розроблення перспективних блочних шифрів, засобів захисту даних у комп’ютерних мережах,
телекомунікаційних системах, інформаційних ресурсах критичної інфраструктури та
спеціалізованих програмно-апаратних комплексах криптографічного захисту інформації.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ / REFERENCES
1. L.S. Hill, “Cryptography in an algebraic alphabet”, American mathematical monthly, vol.36, NO.6, pp.
306-312, 1929. DOI: 10.1080/00029890.1929.11986963
2. O. Gutik, O. Popadiuk, Modified Hill cipher with noise and permutation, Bulletin of Lviv University.
Applied Mathematics and Computer Science Series, No. 35, 2025. DOI: 30970/vam.2025.35.13682
3. Mann H.B. The construction of orthogonal Latin squares. Ann. Math. Statist. – 1942. – 13, P – 418-423.
4. Paige L.J. A note on finite abelian groups. Bull. Amer. Math. Soc. – 1947. – 53. DOI:
https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08856-X
5. Hall M. A combinatorial problem on Abelian groups. Proc. 34 Amer. Math. Soc. – 1952. – 3.
6. Belyavskaya G., Mullen G. L. Orthogonal hypercubes and n-ary operations. Qasigroup Related Systems
13(2005), no. 1, 73-86. Посилання на PDF (math.md)
7. Keedwell D., Denes J. Latin Squares and their Applications // Second Edition – 2015. – P. 440. DOI:
10.1016/C2014-0-03412-0
https://www.math.md/files/qrs/v13-n1/v13-n1-(pp73-86).pdf
ВОЛОКОННО-ОПТИЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ІНФОРМАЦІЙНИХ
(INTERNET, INTRANET ТОЩО) ТА ЕНЕРГЕТИЧНИХ МЕРЕЖАХ
373
8. Fryz I.V., Sokhatsky F.M. Block composition algorithm for constructing orthogonal n-ary operations //
Discrete Math – 2017. – № 340. – P. 1957--1966. http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2016.11.012
9. Fryz I.V. Orthogonality and retract orthogonality of operations // Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat –
2018. – № 1(86). – P. 24-33.
10. Fryz I.V. Algorithm for the complement of orthogonal operations // Comment. Math. Univ. Carolin –
2018. – № 59,2. – P. 135-151. http://dx.doi.org/10.14712/1213-7243.2015.241
11. Markovski S., Mileva A. On construction of orthogonal d-ary operations // De L’institute masemateque.
Nouvelle serie – 2017–№ 101(115). – P. 109-119. Markovski S., Mileva A. On Construction of
Orthogonal d-ary Operations (PDF)
Дата надходження: 5.02.2026
Дата прийняття до друку після рецензування: 1.04.2026
12. Дата публікації: 18.06.2026
Ця робота ліцензується відповідно до
Creative Commons Attribution 4.0 International License
САВЧУК ВІКТОР ДМИТРОВИЧ – асистент кафедри захисту інформації, Вінницький
національний технічний університет, e-mail: savchukvd@ukr.net,
https://orcid.org/0009-0003-5885-4455
Victor SAVCHUK
INFORMATION ENCRYPTION BY THE GIL METHOD USING THE SYMBOLS OF
MULTIPLE ORTHOGONAL QUASIGROUPS OVER A FIELD OF REDUNDANCY
Vinnytsia National Technical University, Vinnytsia, Ukraine
http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2016.11.012
http://dx.doi.org/10.14712/1213-7243.2015.241
http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/publ/121/publn121p109-119.pdf
http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/publ/121/publn121p109-119.pdf
https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
https://orcid.org/0009-0003-5885-4455
В.Д. САВЧУК
© В.Д. САВЧУК, 2026
1. ВСТУП
ВИСНОВКИ
|
| id | oai:oeipt.vntu.edu.ua:article-865 |
| institution | Optoelectronic Information-Power Technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-18T01:01:21Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Vinnytsia National Technical University |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | oeiptvntueduua/f5/557177dfbdbe1b101dfe126da4d386f5.pdf |
| spelling | oai:oeipt.vntu.edu.ua:article-8652026-06-17T13:08:31Z Information encryption by the GIL method using the symbols of multiple orthogonal quasigroups over a field of redundancy Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків Савчук, В.Д. Gil cipher, invertible matrix, determinant, orthogonality, linear quasigroup Шифр Гіла, оборотна матриця, визначник, ортогональність, лінійна квазігрупа The paper explores the possibilities of improving the classical Gill cipher by using systems of multi-place orthogonal quasigroup operations built on finite residue fields of simple order. The proposed approach is based on establishing a connection between orthogonal n-ary quasigroups and invertible matrices, which allows the formation of new cryptographic transformations for information protection. The theoretical principles of constructing such structures, their properties and orthogonality conditions are considered. The article proves the criteria for the existence of invertible matrices whose elements belong to the residue field and are nonzero. Based on the obtained mathematical results, an algorithm for constructing systems of orthogonal linear n-ary quasigroups of arbitrary dimension is developed. The proposed algorithm ensures the uniqueness of the solution of the corresponding systems of equations, which is a necessary condition for the correct process of encrypting and decrypting messages. An example of constructing a system of five orthogonal quasigroups of arity five over a finite set of residues is given, which confirms the practical feasibility of the proposed approach. Special attention is paid to assessing the cryptographic stability of the developed method. It is shown that the number of possible key matrices increases rapidly with increasing their dimension, which significantly complicates the implementation of brute force attacks. The use of a set of matrices of different dimensions and a random order of their application additionally increases the level of system security. The results obtained can be used in the development of modern block cryptographic algorithms, data protection systems and information and communication networks.   У роботі досліджено можливості вдосконалення класичного шифру Гілла шляхом використання систем багатомісних ортогональних квазігрупових операцій, побудованих над скінченними полями лишків простого порядку. Запропонований підхід базується на встановленні зв’язку між ортогональними n-арними квазігрупами та оборотними матрицями, що дозволяє формувати нові криптографічні перетворення для захисту інформації. Розглянуто теоретичні засади побудови таких структур, їх властивості та умови ортогональності. У статті доведено критерії існування оборотних матриць, елементи яких належать полю лишків та є ненульовими. На основі отриманих математичних результатів розроблено алгоритм побудови систем ортогональних лінійних n-арних квазігруп довільної розмірності. Запропонований алгоритм забезпечує однозначність розв’язку відповідних систем рівнянь, що є необхідною умовою коректного процесу шифрування та дешифрування повідомлень. Наведено приклад побудови системи п’яти ортогональних квазігруп арності п’ять над скінченною множиною лишків, що підтверджує практичну реалізованість запропонованого підходу.  Окрему увагу приділено оцінюванню криптографічної стійкості розробленого методу. Показано, що кількість можливих ключових матриць стрімко зростає зі збільшенням їх розмірності, що істотно ускладнює проведення атак методом повного перебору. Використання множини матриць різної розмірності та випадкового порядку їх застосування додатково підвищує рівень захищеності системи. Отримані результати можуть бути використані під час розроблення сучасних блочних криптографічних алгоритмів, систем захисту даних та інформаційно-комунікаційних мереж. Vinnytsia National Technical University 2026-06-17 Article Article application/pdf https://oeipt.vntu.edu.ua/index.php/oeipt/article/view/865 10.31649/1681-7893-2026-51-366-373 Optoelectronic Information-Power Technologies; Vol. 51 No. 1 (2026); 366-373 Оптико-електроннi iнформацiйно-енергетичнi технологiї; Том 51 № 1 (2026); 366-373 Оптико-електроннi iнформацiйно-енергетичнi технологiї; Том 51 № 1 (2026); 366-373 2311-2662 1681-7893 10.31649/1681-7893-2026-51-1 uk https://oeipt.vntu.edu.ua/index.php/oeipt/article/view/865/808 |
| spellingShingle | Шифр Гіла оборотна матриця визначник ортогональність лінійна квазігрупа Савчук, В.Д. Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title | Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title_alt | Information encryption by the GIL method using the symbols of multiple orthogonal quasigroups over a field of redundancy |
| title_full | Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title_fullStr | Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title_full_unstemmed | Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title_short | Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| title_sort | шифрування інформації методом гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків |
| topic | Шифр Гіла оборотна матриця визначник ортогональність лінійна квазігрупа |
| topic_facet | Gil cipher invertible matrix determinant orthogonality linear quasigroup Шифр Гіла оборотна матриця визначник ортогональність лінійна квазігрупа |
| url | https://oeipt.vntu.edu.ua/index.php/oeipt/article/view/865 |
| work_keys_str_mv | AT savčukvd informationencryptionbythegilmethodusingthesymbolsofmultipleorthogonalquasigroupsoverafieldofredundancy AT savčukvd šifruvannâínformacíímetodomgílaízvikoristannâmsistembagatomísnihortogonalʹnihkvazígrupnadpolemliškív |