Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems
Currently, there is a significant growth of interest in the practical problems of mathematically modeling the placement of geometric objects of various physical natures in given areas. When solving such problems, there is a need to build their mathematical models, which are implemented through the c...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English Russian |
| Опубліковано: |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України
2020
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/jme/article/view/206411 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Energy Technologies & Resource Saving |
Репозитарії
Energy Technologies & Resource Saving| id |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-206411 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Energy Technologies & Resource Saving |
| collection |
OJS |
| language |
English Russian |
| topic |
ellipse parabola non-intersection inclusion phi-function UDC 519.85 еліпс парабола неперетин включення Φ-функція УДК 519.85 эллипс парабола непересечение включение Φ-функция УДК 519.85 |
| spellingShingle |
ellipse parabola non-intersection inclusion phi-function UDC 519.85 еліпс парабола неперетин включення Φ-функція УДК 519.85 эллипс парабола непересечение включение Φ-функция УДК 519.85 Hil, Mykola I. Patsuk, Volodymyr M. Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| topic_facet |
ellipse parabola non-intersection inclusion phi-function UDC 519.85 еліпс парабола неперетин включення Φ-функція УДК 519.85 эллипс парабола непересечение включение Φ-функция УДК 519.85 |
| format |
Article |
| author |
Hil, Mykola I. Patsuk, Volodymyr M. |
| author_facet |
Hil, Mykola I. Patsuk, Volodymyr M. |
| author_sort |
Hil, Mykola I. |
| title |
Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| title_short |
Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| title_full |
Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| title_fullStr |
Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| title_full_unstemmed |
Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems |
| title_sort |
construction of both geometric relationships of ellipses and parabola-bounded regions in geometric placement problems |
| title_alt |
Построение геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболой, в задачах размещения геометрических объектов Побудова геометричних співвідношень еліпсів та областей, обмежених параболою, в задачах розміщення геометричних об'єктів |
| description |
Currently, there is a significant growth of interest in the practical problems of mathematically modeling the placement of geometric objects of various physical natures in given areas. When solving such problems, there is a need to build their mathematical models, which are implemented through the construction of analytical conditions for the relations of the objects being placed and placement regions. The problem of constructing conditions for the mutual non-intersection of arbitrarily oriented objects whose boundaries are formed by second-order curves is widely used in practice and, at the same time, much less studied than a similar problem for simpler objects. A fruitful and worked out method of representing such conditions is the construction of Stoyan’s Φ-functions (further referred to as phi-functions) and quasi-phi-functions. In this article, considered as geometric objects are an ellipse and a parabola-bounded region. The boundaries of the objects under study allow both implicit and parametric representations. The proposed approach to modeling the geometric relationships of ellipses and parabola-bounded regions is based on coordinate transformation, reduction of an ellipse equation to a circle equation with the use of a canonical transformation. In particular, constructed are the conditions for the inclusion of an ellipse in a parabola-bounded region, as well as the conditions for their mutual non-intersection. The conditions for the relationships between the geometric objects under study are constructed on the basis of the canonical equations of the ellipse and parabola, taking into account their placement parameters, including rotations. These conditions are presented in the form of a system of inequalities, as well as in the form of a single analytical expression. The presented conditions can be used in constructing adequate mathematical models of optimization problems of placing corresponding geometric objects for an analytical description of feasible regions. These models can be used further in the formulation of mathematical models of packing and cutting problems, expanding the range of objects and / or increasing solution accuracy and decreasing time to solution. |
| publisher |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України |
| publishDate |
2020 |
| url |
https://journals.uran.ua/jme/article/view/206411 |
| work_keys_str_mv |
AT hilmykolai constructionofbothgeometricrelationshipsofellipsesandparabolaboundedregionsingeometricplacementproblems AT patsukvolodymyrm constructionofbothgeometricrelationshipsofellipsesandparabolaboundedregionsingeometricplacementproblems AT hilmykolai postroeniegeometričeskihotnošenijéllipsovioblastejograničennyhparabolojvzadačahrazmeŝeniâgeometričeskihobʺektov AT patsukvolodymyrm postroeniegeometričeskihotnošenijéllipsovioblastejograničennyhparabolojvzadačahrazmeŝeniâgeometričeskihobʺektov AT hilmykolai pobudovageometričnihspívvídnošenʹelípsívtaoblastejobmeženihparaboloûvzadačahrozmíŝennâgeometričnihobêktív AT patsukvolodymyrm pobudovageometričnihspívvídnošenʹelípsívtaoblastejobmeženihparaboloûvzadačahrozmíŝennâgeometričnihobêktív |
| first_indexed |
2024-09-01T17:37:30Z |
| last_indexed |
2024-09-01T17:37:30Z |
| _version_ |
1809016161091715072 |
| spelling |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-2064112020-07-07T12:40:25Z Construction of both Geometric Relationships of Ellipses and Parabola-bounded Regions in Geometric Placement Problems Построение геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболой, в задачах размещения геометрических объектов Побудова геометричних співвідношень еліпсів та областей, обмежених параболою, в задачах розміщення геометричних об'єктів Hil, Mykola I. Patsuk, Volodymyr M. ellipse parabola non-intersection inclusion phi-function UDC 519.85 еліпс парабола неперетин включення Φ-функція УДК 519.85 эллипс парабола непересечение включение Φ-функция УДК 519.85 Currently, there is a significant growth of interest in the practical problems of mathematically modeling the placement of geometric objects of various physical natures in given areas. When solving such problems, there is a need to build their mathematical models, which are implemented through the construction of analytical conditions for the relations of the objects being placed and placement regions. The problem of constructing conditions for the mutual non-intersection of arbitrarily oriented objects whose boundaries are formed by second-order curves is widely used in practice and, at the same time, much less studied than a similar problem for simpler objects. A fruitful and worked out method of representing such conditions is the construction of Stoyan’s Φ-functions (further referred to as phi-functions) and quasi-phi-functions. In this article, considered as geometric objects are an ellipse and a parabola-bounded region. The boundaries of the objects under study allow both implicit and parametric representations. The proposed approach to modeling the geometric relationships of ellipses and parabola-bounded regions is based on coordinate transformation, reduction of an ellipse equation to a circle equation with the use of a canonical transformation. In particular, constructed are the conditions for the inclusion of an ellipse in a parabola-bounded region, as well as the conditions for their mutual non-intersection. The conditions for the relationships between the geometric objects under study are constructed on the basis of the canonical equations of the ellipse and parabola, taking into account their placement parameters, including rotations. These conditions are presented in the form of a system of inequalities, as well as in the form of a single analytical expression. The presented conditions can be used in constructing adequate mathematical models of optimization problems of placing corresponding geometric objects for an analytical description of feasible regions. These models can be used further in the formulation of mathematical models of packing and cutting problems, expanding the range of objects and / or increasing solution accuracy and decreasing time to solution. В настоящее время значительно возрастает интерес к практическим задачам математического моделирования размещения геометрических объектов различной физической природы в заданных областях. При решении таких задач возникает необходимость в построении их математических моделей, которые реализуются через построение аналитических условий отношений размещаемых объектов и областей размещения. Задача построения условий взаимного непересечения произвольно ориентированных объектов, границы которых образованы кривыми второго порядка, имеет широкое применение на практике и в то же время исследована значительно меньше, чем аналогичная задача для более простых объектов. Плодотворным и отработанным методом представления таких условий является построение Φ-функций и квази-Φ-функций. В настоящей статье в качестве геометрических объектов рассматриваются эллипс и область, ограниченная параболой. Границы рассматриваемых объектов допускают как неявное, так и параметрическое представление. Предлагаемый подход к моделированию геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболами, основан на преобразовании координат, приведении уравнения эллипса к уравнению круга с использованием канонического преобразования. В частности, построены условия включения эллипса в область, ограниченную параболой, а также условия их взаимного непересечения. Построение условий взаимоотношений рассматриваемых геометрических объектов осуществлено на основе канонических уравнений эллипса и параболы с учётом их параметров размещения, включая повороты. Эти условия представлены в виде системы неравенств, а также в виде единого аналитического выражения. Представленные условия могут быть использованы при построении адекватных математических моделей оптимизационных задач размещения соответствующих геометрических объектов для аналитического описания областей допустимых решений. Эти модели могут использоваться далее в формулировке математических моделей задач упаковки и раскроя, расширяя круг объектов и/или повышая точность и снижая время получения решения задачи. На цей час значно зростає інтерес до практичних задач математичного моделювання розміщення геометричних об'єктів різної фізичної природи в заданих областях. Під час розв’язання таких задач виникає необхідність в побудові їхніх математичних моделей, які реалізуються через побудову аналітичних умов відношень розміщуваних об'єктів і областей розміщення. Задача побудови умов взаємного неперетину довільно орієнтованих об'єктів, межі яких утворені кривими другого порядку, має широке застосування на практиці і водночас досліджена значно менше, ніж аналогічна задача для більш простих об'єктів. Плідним і відпрацьованим методом опису таких умов є побудова Φ-функцій і квазі-Φ-функцій. У даній статті як геометричні об'єкти розглядаються еліпс і область, обмежена параболою. Межі об'єктів, що розглядаються, допускають як неявне, так і параметричне зображення. Запропонований підхід до моделювання геометричних відношень еліпсів і областей, обмежених параболами, ґрунтується на перетворенні координат, приведенні рівняння еліпса до рівняння кола з використанням канонічного перетворення. Зокрема, побудовані умови включення еліпса в область, обмежену параболою, а також умови їх взаємного неперетину. Побудова умов взаємовідношень об'єктів, що розглядаються, здійснена на основі канонічних рівнянь еліпса і параболи з урахуванням їх параметрів розміщення, включаючи обертання. Ці умови зображені у вигляді системи нерівностей, а також у вигляді єдиного аналітичного виразу. Зображені умови можуть бути використані під час побудови адекватних математичних моделей оптимізаційних задач розміщення відповідних геометричних об'єктів для аналітичного опису областей допустимих розв’язків. Ці моделі можуть використовуватися далі в формулюванні математичних моделей практичних задач упаковки та розкрою, розширюючи коло об'єктів та/або підвищуючи точність і знижуючи час отримання розв’язання. Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України 2020-06-25 Article Article application/pdf application/pdf https://journals.uran.ua/jme/article/view/206411 Journal of Mechanical Engineering; Vol. 23 No. 2 (2020); 52-60 Проблемы машиностроения; Том 23 № 2 (2020); 52-60 Проблеми машинобудування; Том 23 № 2 (2020); 52-60 2709-2992 2709-2984 en ru https://journals.uran.ua/jme/article/view/206411/206385 https://journals.uran.ua/jme/article/view/206411/206386 Copyright (c) 2020 Mykola I. Hil, Volodymyr M. Patsuk https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0 |