To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems
On the basis of A. N. Tikhonov’s regularization theory, a method is developed for solving inverse heat conduction problems of identifying a smooth outer boundary of a two-dimensional region with a known boundary condition. For this, the smooth boundary to be identified is approximated by Schoenberg’...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English Russian |
| Опубліковано: |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України
2021
|
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/jme/article/view/227113 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Energy Technologies & Resource Saving |
Репозитарії
Energy Technologies & Resource Saving| id |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-227113 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Energy Technologies & Resource Saving |
| collection |
OJS |
| language |
English Russian |
| format |
Article |
| author |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. |
| spellingShingle |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| author_facet |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. |
| author_sort |
Мацевитый, Ю. М. |
| title |
To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| title_short |
To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| title_full |
To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| title_fullStr |
To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| title_full_unstemmed |
To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems |
| title_sort |
to the solution of geometric inverse heat conduction problems |
| title_alt |
К решению геометрических обратных задач теплопроводности До розв’язання геометричних обернених задач теплопровідності |
| description |
On the basis of A. N. Tikhonov’s regularization theory, a method is developed for solving inverse heat conduction problems of identifying a smooth outer boundary of a two-dimensional region with a known boundary condition. For this, the smooth boundary to be identified is approximated by Schoenberg’s cubic splines, as a result of which its identification is reduced to determining the unknown approximation coefficients. With known boundary and initial conditions, the body temperature will depend only on these coefficients. With the temperature expressed using the Taylor formula for two series terms and substituted into the Tikhonov functional, the problem of determining the increments of the coefficients can be reduced to solving a system of linear equations with respect to these increments. Having chosen a certain regularization parameter and a certain function describing the shape of the outer boundary as an initial approximation, one can implement an iterative process. In this process, the vector of unknown coefficients for the current iteration will be equal to the sum of the vector of coefficients in the previous iteration and the vector of the increments of these coefficients, obtained as a result of solving a system of linear equations. Having obtained a vector of coefficients as a result of a converging iterative process, it is possible to determine the root-mean-square discrepancy between the temperature obtained and the temperature measured as a result of the experiment. It remains to select the regularization parameter in such a way that this discrepancy is within the measurement error. The method itself and the ways of its implementation are the novelty of the material presented in this paper in comparison with other authors’ approaches to the solution of geometric inverse heat conduction problems. When checking the effectiveness of using the method proposed, a number of two-dimensional test problems for bodies with a known location of the outer boundary were solved. An analysis of the influence of random measurement errors on the error in identifying the outer boundary shape is carried out. |
| publisher |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України |
| publishDate |
2021 |
| url |
https://journals.uran.ua/jme/article/view/227113 |
| work_keys_str_mv |
AT macevityjûm tothesolutionofgeometricinverseheatconductionproblems AT gančinvv tothesolutionofgeometricinverseheatconductionproblems AT macevityjûm krešeniûgeometričeskihobratnyhzadačteploprovodnosti AT gančinvv krešeniûgeometričeskihobratnyhzadačteploprovodnosti AT macevityjûm dorozvâzannâgeometričnihobernenihzadačteploprovídností AT gančinvv dorozvâzannâgeometričnihobernenihzadačteploprovídností |
| first_indexed |
2024-09-01T17:37:35Z |
| last_indexed |
2024-09-01T17:37:35Z |
| _version_ |
1809016166605127680 |
| spelling |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-2271132021-03-30T10:28:16Z To the Solution of Geometric Inverse Heat Conduction Problems К решению геометрических обратных задач теплопроводности До розв’язання геометричних обернених задач теплопровідності Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. On the basis of A. N. Tikhonov’s regularization theory, a method is developed for solving inverse heat conduction problems of identifying a smooth outer boundary of a two-dimensional region with a known boundary condition. For this, the smooth boundary to be identified is approximated by Schoenberg’s cubic splines, as a result of which its identification is reduced to determining the unknown approximation coefficients. With known boundary and initial conditions, the body temperature will depend only on these coefficients. With the temperature expressed using the Taylor formula for two series terms and substituted into the Tikhonov functional, the problem of determining the increments of the coefficients can be reduced to solving a system of linear equations with respect to these increments. Having chosen a certain regularization parameter and a certain function describing the shape of the outer boundary as an initial approximation, one can implement an iterative process. In this process, the vector of unknown coefficients for the current iteration will be equal to the sum of the vector of coefficients in the previous iteration and the vector of the increments of these coefficients, obtained as a result of solving a system of linear equations. Having obtained a vector of coefficients as a result of a converging iterative process, it is possible to determine the root-mean-square discrepancy between the temperature obtained and the temperature measured as a result of the experiment. It remains to select the regularization parameter in such a way that this discrepancy is within the measurement error. The method itself and the ways of its implementation are the novelty of the material presented in this paper in comparison with other authors’ approaches to the solution of geometric inverse heat conduction problems. When checking the effectiveness of using the method proposed, a number of two-dimensional test problems for bodies with a known location of the outer boundary were solved. An analysis of the influence of random measurement errors on the error in identifying the outer boundary shape is carried out. На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации гладкой внешней границы двухмерной области при известном граничном условии. Для этого идентифицируемая гладкая граница аппроксимируется кубическими сплайнами Шёнберга, в результате чего ее идентификация сводится к определению неизвестных коэффициентов аппроксимации. При известных граничных и начальных условиях температура в теле будет зависеть только от этих коэффициентов. Выразив ее по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставив в функционал Тихонова, задачу определения приращений коэффициентов можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторую функцию, описывающую форму внешней границы, в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс. В этом процессе вектор неизвестных коэффициентов для текущей итерации будет равен сумме вектора коэффициентов на предыдущей итерации и вектора приращений данных коэффициентов, полученных в результате решения системы линейных уравнений. Получив вектор коэффициентов в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. В самой методике и путях ее реализации заключается новизна изложенного в статье материала по сравнению с подходами других авторов к решению обратных геометрических задач теплопроводности. При проверке эффективности использования предложенной методики решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известным расположением внешней границы. Проведен анализ влияния случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации формы внешней границы. На основі теорії регуляризації А. М. Тихонова розроблена методика розв'язання обернених задач теплопровідності з ідентифікації гладкої зовнішньої межі двовимірної області за відомих на ній граничних умов. Для цього гладка межа апроксимується кубічними сплайнами Шьонберга, внаслідок чого її ідентифікація зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в цій апроксимації. За відомих граничних і початкових умов температура в тілі буде залежати тільки від цих коефіцієнтів. Виразивши її за формулою Тейлора для двох членів ряду і підставивши в функціонал Тихонова, задачу визначення збільшень коефіцієнтів можна звести до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо цих збільшень. Вибравши певний параметр регуляризації і деяку функцію, яка описує форму зовнішньої межі, як початкове наближення, можна реалізувати ітераційний процес. У цьому процесі вектор невідомих коефіцієнтів для поточної ітерації буде дорівнювати сумі вектора коефіцієнтів з попередньої ітерації і вектора приростів цих коефіцієнтів, отриманих в результаті розв’язання системи лінійних рівнянь. Отримавши вектор коефіцієнтів в результаті збіжного ітераційного процесу, можна визначити середньоквадратичний відхил між одержуваною температурою і температурою, що вимірюється в результаті проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб цей відхил був у межах середньоквадратичної похибки помилки вимірювань. У самій методиці та шляхах її реалізації полягає новизна викладеного у статті матеріалу в порівнянні з підходами інших авторів до розв’язання обернених геометричних задач теплопровідності. Під час перевірки ефективності використання запропонованої методики розв’язано низку двовимірних тестових задач для тіл з відомим розташуванням зовнішньої межі. Проведено аналіз впливу випадкових похибок вимірювань на похибку ідентифікації форми зовнішньої межі. Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України 2021-03-30 Article Article application/pdf application/pdf https://journals.uran.ua/jme/article/view/227113 Journal of Mechanical Engineering; Vol. 24 No. 1 (2021); 6-12 Проблемы машиностроения; Том 24 № 1 (2021); 6-12 Проблеми машинобудування; Том 24 № 1 (2021); 6-12 2709-2992 2709-2984 en ru https://journals.uran.ua/jme/article/view/227113/227245 https://journals.uran.ua/jme/article/view/227113/227246 Copyright (c) 2021 Yurii M. Matsevytyi, Valerii V. Hanchyn http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0 |