Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory
An important place among thermoelasticity problems is occupied by the plane elasticity problem obtained from the general three-dimensional problem after using plane stress state hypotheses for thin plates. In the two-dimensional formulation, this problem has become widespread in the study of the eff...
Збережено в:
| Видавець: | Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України |
|---|---|
| Дата: | 2021 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України
2021
|
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/jme/article/view/227514 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Репозиторії
Energy Technologies & Resource Saving| id |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-227514 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Energy Technologies & Resource Saving |
| collection |
OJS |
| language |
English Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В. П. |
| spellingShingle |
Ревенко, В. П. Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| author_facet |
Ревенко, В. П. |
| author_sort |
Ревенко, В. П. |
| title |
Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| title_short |
Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| title_full |
Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| title_fullStr |
Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| title_full_unstemmed |
Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory |
| title_sort |
analytical solution of the problem of symmetric thermally stressed state of thick plates based on the 3d elasticity theory |
| title_alt |
Аналитическое решение задачи симметричного термонапряженного состояния толстых пластин на основе трехмерной теории упругости Аналітичний розв'язок задачі симетричного термонапруженого стану товстих пластин на основі тривимірної теорії пружності |
| description |
An important place among thermoelasticity problems is occupied by the plane elasticity problem obtained from the general three-dimensional problem after using plane stress state hypotheses for thin plates. In the two-dimensional formulation, this problem has become widespread in the study of the effect of temperature loads on the stress state of thin thermosensitive plates. The article proposes a general three-dimensional solution of the static problem of thermoelasticity in a form convenient for practical application. To construct it, a particular solution of the inhomogeneous equation, the thermoelastic displacement potential, was added by us to the general solution of Lamé's equations, the latter solution having been previously found by us in terms of three harmonic functions. It is shown that the use of the proposed solution allows one to satisfy the relation between the static three-dimensional theory of thermoelasticity and boundary conditions, and also to construct a closed system of partial differential equations for the introduced two-dimensional functions without using hypotheses about the plane stress state of a plate. The thermoelastic stress state of a thick or thin plate is divided into two parts. The first part takes into account the thermal effects caused by external heating and internal heat sources, while the second one is determined by a symmetrical force load. The thermoelastic stresses are expressed in terms of deformations and known temperature. A three-dimensional thermoelastic stress-strain state representation is used and the zero boundary conditions on the outer flat surfaces of the plate are precisely satisfied. This allows us to show that the introduced two-dimensional functions will be harmonic. After integrating along the thickness of the plate along the normal to the median surface, normal and shear efforts are expressed in terms of three unknown two-dimensional functions. The three-dimensional stress state of a symmetrically loaded thermosensitive plate was simplified to the two-dimensional state. For this purpose, we used only the hypothesis that the normal stresses perpendicular to the median surface are insignificant in comparison with the longitudinal and transverse ones. Displacements and stresses in the plate are expressed in terms of two two-dimensional harmonic functions and a particular solution, which is determined by a given temperature on the surfaces of the plate. The introduced harmonic functions are determined from the boundary conditions on the side surface of the thick plate. The proposed technique allows the solution of three-dimensional boundary value problems for thick thermosensitive plates to be reduced to a two-dimensional case. |
| publisher |
Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України |
| publishDate |
2021 |
| url |
https://journals.uran.ua/jme/article/view/227514 |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp analyticalsolutionoftheproblemofsymmetricthermallystressedstateofthickplatesbasedonthe3delasticitytheory AT revenkovp analitičeskoerešeniezadačisimmetričnogotermonaprâžennogosostoâniâtolstyhplastinnaosnovetrehmernojteoriiuprugosti AT revenkovp analítičnijrozvâzokzadačísimetričnogotermonapruženogostanutovstihplastinnaosnovítrivimírnoíteoríípružností |
| first_indexed |
2024-09-01T17:37:36Z |
| last_indexed |
2024-09-01T17:37:36Z |
| _version_ |
1809016167881244672 |
| spelling |
oai:ojs.journals.uran.ua:article-2275142021-03-30T10:28:16Z Analytical Solution of the Problem of Symmetric Thermally Stressed State of Thick Plates Based on the 3D Elasticity Theory Аналитическое решение задачи симметричного термонапряженного состояния толстых пластин на основе трехмерной теории упругости Аналітичний розв'язок задачі симетричного термонапруженого стану товстих пластин на основі тривимірної теорії пружності Ревенко, В. П. An important place among thermoelasticity problems is occupied by the plane elasticity problem obtained from the general three-dimensional problem after using plane stress state hypotheses for thin plates. In the two-dimensional formulation, this problem has become widespread in the study of the effect of temperature loads on the stress state of thin thermosensitive plates. The article proposes a general three-dimensional solution of the static problem of thermoelasticity in a form convenient for practical application. To construct it, a particular solution of the inhomogeneous equation, the thermoelastic displacement potential, was added by us to the general solution of Lamé's equations, the latter solution having been previously found by us in terms of three harmonic functions. It is shown that the use of the proposed solution allows one to satisfy the relation between the static three-dimensional theory of thermoelasticity and boundary conditions, and also to construct a closed system of partial differential equations for the introduced two-dimensional functions without using hypotheses about the plane stress state of a plate. The thermoelastic stress state of a thick or thin plate is divided into two parts. The first part takes into account the thermal effects caused by external heating and internal heat sources, while the second one is determined by a symmetrical force load. The thermoelastic stresses are expressed in terms of deformations and known temperature. A three-dimensional thermoelastic stress-strain state representation is used and the zero boundary conditions on the outer flat surfaces of the plate are precisely satisfied. This allows us to show that the introduced two-dimensional functions will be harmonic. After integrating along the thickness of the plate along the normal to the median surface, normal and shear efforts are expressed in terms of three unknown two-dimensional functions. The three-dimensional stress state of a symmetrically loaded thermosensitive plate was simplified to the two-dimensional state. For this purpose, we used only the hypothesis that the normal stresses perpendicular to the median surface are insignificant in comparison with the longitudinal and transverse ones. Displacements and stresses in the plate are expressed in terms of two two-dimensional harmonic functions and a particular solution, which is determined by a given temperature on the surfaces of the plate. The introduced harmonic functions are determined from the boundary conditions on the side surface of the thick plate. The proposed technique allows the solution of three-dimensional boundary value problems for thick thermosensitive plates to be reduced to a two-dimensional case. Важное место среди задач термоупругости занимает плоская проблема теории упругости, полученная из общей трехмерной задачи, после использования гипотез плоского напряженного состояния для тонких пластин. В двухмерной постановке эта задача получила широкое распространение при исследовании влияния температурных нагрузок на напряженное состояние тонких термочувствительных пластин. В статье предложено общее трехмерное решение статической задачи термоупругости в форме, удобной для практического применения. Для его построения в ранее найденное автором общее решение уравнений Ламе через три гармонические функции добавлено частное решение неоднородного уравнения – термоупругий потенциал перемещений. Показано что использование предложенного решения позволяет удовлетворить соотношение статической трехмерной теории термоупругости и краевые условия и построить замкнутую систему уравнений в частных производных на введенные двухмерные функции без использования гипотез о плоском напряженном состоянии пластины. Термоупругое напряженное состояние толстой или тонкой пластины разделено на две части: первая учитывает тепловое воздействие, вызванное внешним нагревом и внутренними источниками тепла; вторая определяется симметричной силовой нагрузкой. Термоупругие напряжения выражены через деформации и известную температуру. Использовано представление трехмерного термоупругого напряженно-деформированного состояния и точно удовлетворены нулевые краевые условия на внешних плоских поверхностях пластины. Это позволило показать, что введенные двухмерные функции будут гармоническими. После интегрирования по толщине пластины вдоль нормали к срединной поверхности выражено нормальные и сдвигающие усилия через три неизвестные двухмерные функции. Трехмерное напряженное состояние симметрично нагруженной термочувствительной пластины упрощено к двухмерному состоянию. Для этого использовали только гипотезу, что перпендикулярные срединной поверхности нормальные напряжения незначительны по сравнению с продольными и поперечными напряжениями. Перемещение и напряжения в пластине выражено через две двухмерные гармонические функции и частное решение, которое определяется заданной температурой на поверхностях пластины. Введенные гармонические функции определяются из краевых условий на боковой поверхности толстой пластины. Предложенная методика позволяет решение трехмерных краевых задач для толстых термочувствительных пластин свести к двухмерному случаю. Важливе місце серед задач термопружності займає плоска проблема теорії пружності, яка отримана із загальної тривимірної задачі, після використання гіпотез плоского напруженого стану для тонких пластин. У двовимірній постановці ця задача набула широкого поширення під час дослідження впливу температурних навантажень на напружений стан тонких термочутливих пластин. У статті запропоновано загальний тривимірний розв'язок статичної задачі термопружності у формі, зручній для практичного застосування. Для його побудови до раніше знайденого автором загального розв'язку рівнянь Ляме через три гармонічні функції добавлено частковий розв'язок неоднорідного рівняння – термопружний потенціал переміщень. Показано що використання запропонованого розв'язку дозволяє задовольнити співвідношення статичної тривимірної теорії термопружності і крайові умови та побудувати замкнуту систему рівнянь у частинних похідних на введені двовимірні функції без використання гіпотез про плоский напружений стан пластини. Термопружний напружений стан тонкої або товстої пластини розділений на дві частини: перша враховує тепловий вплив, викликаний зовнішнім нагріванням і внутрішніми джерелами тепла; друга визначається симетричними силовими навантаженнями. Термопружні напруження виражені через деформації і відому температуру. Використано подання тривимірного термопружного напружено-деформованого стану і точно задоволено нульові крайові умови на зовнішніх плоских поверхнях пластини. Це дозволило показати, що введені двовимірні функції будуть гармонічними. Після інтегрування по товщині пластини вздовж нормалі до серединної поверхні виражено нормальні і зсувні зусилля через три невідомі двовимірні функції. Тривимірний напружений стан симетрично навантаженої термочутливої пластини спрощено до двовимірного стану. При цьому зведенні використано тільки гіпотезу, що перпендикулярні серединній поверхні нормальні напруження є незначними в порівнянні із повздовжніми та поперечними напруженнями. Переміщення і напруження в пластині виражено через дві двовимірні гармонічні функції і частковий розв'язок, який визначається заданою температурою на поверхнях пластини. Введені гармонічні функції визначаються із крайових умов на бічній поверхні товстої пластини. Запропонована методика дає змогу розв’язок тривимірних крайових задач для товстих термочутливих пластин зводити до двовимірного випадку. Інститут енергетичних машин і систем ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України 2021-03-30 Article Article application/pdf application/pdf https://journals.uran.ua/jme/article/view/227514 Journal of Mechanical Engineering; Vol. 24 No. 1 (2021); 36-41 Проблемы машиностроения; Том 24 № 1 (2021); 36-41 Проблеми машинобудування; Том 24 № 1 (2021); 36-41 2709-2992 2709-2984 en uk https://journals.uran.ua/jme/article/view/227514/227257 https://journals.uran.ua/jme/article/view/227514/227258 Copyright (c) 2021 В. П. Ревенко http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0 |