Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces
In electrostatic approximation the interaction problem of electromagnetic radiation with an ensemble of small particles near to flat surfaces (surfaces of solids, interfaces, surfaces of biological membranes, etc.) is solved. The response of electrodynamic system: a small spherical particle (nanopar...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/208 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Surface |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Surface| _version_ | 1869291312288628736 |
|---|---|
| author | Vodopianov, D. L. Grechko, L. G. Gorbyk, P. P. Lerman, L. B. Lyuschenko, M. A. |
| author_facet | Vodopianov, D. L. Grechko, L. G. Gorbyk, P. P. Lerman, L. B. Lyuschenko, M. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "D. L. Vodopianov",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "L. G. Grechko",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "P. P. Gorbyk",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "L. B. Lerman",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "M. A. Lyuschenko",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
}
] |
| author_sort | Vodopianov, D. L. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-11-27T09:40:57Z |
| description | In electrostatic approximation the interaction problem of electromagnetic radiation with an ensemble of small particles near to flat surfaces (surfaces of solids, interfaces, surfaces of biological membranes, etc.) is solved. The response of electrodynamic system: a small spherical particle (nanoparticle) – substrate in external electromagnetic field is determined. The algorithm of problem solving is elaborated in general case multipole interaction in the system. Analytical solutions to cases dipole - dipole and quadrupole - quadrupole interaction are founded. The frequency spectrums of scattering, absorption and excitations is analyzed, and gold and silver particles on gold and silver substrates correspondently are analyzed. The big number of graphics and tables is presented as an illustration of elaborated approach. |
| first_indexed | 2025-07-22T19:31:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Химия, физика и технология поверхности. 2007. Вып 13. С.48-63
48
УДК 535.3
ВЛИЯНИЕ МУЛЬТИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НА СПЕКТРЫ ПОГЛОЩЕНИЯ МАЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ
ЧАСТИЦ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Д.Л. Водопьянов, Л.Г. Гречко, П.П. Горбик,
Л.Б. Лерман, М.А. Лющенко
Институт химии поверхности им. А.А. Чуйко Национальной академии наук Украины
ул. Генерала Наумова 17, 03164, Киев-164
В электрoстатическом приближении решена задача взаимодействия электро-
магнитного излучения с ансамблем малых частиц вблизи плоской поверхности (поверх-
ности твердых тел, раздела фаз, биологических мембран и т.п.). Найден электродина-
мический отклик системы «малая сферическая частица (наночастица) – подкладка» во
внешнем электромагнитном поле. В общем случае мультипольного взаимодействия
малых частиц с подкладкой разработан эффективный алгоритм решения задачи. Для
диполь-дипольного и квадруполь-квадрупольного взаимодействий получены замкнутые
формулы, удобные для проведения практических расчетов. Проанализированы спектры
рассеяния, поглощения и экстинкции для золотой частицы на золотой подкладке и
серебряной частицы на серебряной подкладке. Приведен графический и табличный
материал, иллюстрирующий возможности разработанного подхода.
In electrostatic approximation the interaction problem of electromagnetic radiation
with an ensemble of small particles near to flat surfaces (surfaces of solids, interfaces, surfaces
of biological membranes, etc.) is solved. The response of electrodynamic system: a small
spherical particle (nanoparticle) – substrate in external electromagnetic field is determined.
The algorithm of problem solving is elaborated in general case multipole interaction in the
system. Analytical solutions to cases dipole - dipole and quadrupole - quadrupole interaction
are founded. The frequency spectrums of scattering, absorption and excitations is analyzed,
and gold and silver particles on gold and silver substrates correspondently are analyzed. The
big number of graphics and tables is presented as an illustration of elaborated approach.
Введение
Исследования процессов взаимодействия электромагнитного излучения с систе-
мой частиц, расположенных вблизи произвольных поверхностей (поверхность твердой
или жидкой фазы, биологические мембраны, границы раздела фаз и т.д.), стимулируются
возможностью создания на основе таких систем различных материалов с прогнозируе-
мыми оптическими свойствами, а также возможностью изучения их структуры оптичес-
кой спектроскопией. Отметим, что такие материалы имеют свойства, которые могут зна-
чительно отличаться от свойств материалов, использованных для формирования матрич-
но-дисперсных систем (МДС) [1, 2].
В теоретических исследованиях МДС рассматривается обычно как бесконечная
система. В данной работе принято во внимание влияние граничной поверхности МДС.
Считается, что имеется плоская поверхность, которая разделяет полупространство,
заполненное МДС, от полупространства, заполненного однородным диэлектриком. Сама
же МДС состоит из однородной диэлектрической матрицы со сферическими включени-
ями разных размеров, которые могут быть расположены произвольным образом. Биоло-
49
гическим примером рассмотренной МДС является электролитическая среда снаружи
клетки с содержащимися в ней биологически активными малыми частицами (МЧ),
например диоксида кремния. Частным случаем таких систем будет монослой сфер на
подкладке (на поверхности биологической мембраны).
Оптические свойства малых частиц (наночастиц), размер которых намного мень-
ше длины волны электромагнитного излучения (ЭМИ), с достаточной точностью могут
быть найдены в электростатическом приближении [1]. Метод решения подробно изло-
жен нами ранее в [3 – 6]. Отметим, что результаты более ранних исследований по дан-
ной тематике можно найти в статьях [7 – 12]. При этом решения задачи записываются в
виде разложений по сферическим гармоникам (мультиполям), поэтому определенный
интерес представляет оценка влияния учета высших гармоник в этих разложениях как на
поляризуемость частиц, так и на характеристики рассеяния и поглощения всей системы.
Этот подход и был использован для нахождения электростатического отклика системы
сферических частиц, расположенных вблизи поверхности с применением метода
изображений, как это показано на рис. 1.
O'i
Oj
O'j
iс
iс ¢
ri
i¢r
r rj – ri
j i¢-r r
O
M M – точка наблюдения
O – реперная точка
E0
0¢E
jO
Рис. 1. Система сферических частиц возле поверхности в электрическом поле (в нижней
полуплоскости показаны изображения).
В дополнение к упомянутым работам в этой статье в мультипольном
приближении рассматривается отдельный шар, расположенный на подкладке. Характе-
ристики рассеяния и поглощения такой системы выражаются через поляризуемость, для
определения которой возникает необходимость в решении бесконечных систем линей-
ных алгебраических уравнений. Эти системы обладают свойством регулярности [13], как
показано в [14], и поэтому к ним применим метод редукции. Напомним, что свойство
регулярности означает, что бесконечная система имеет единственное решение, к которо-
му сходятся решения усеченных систем при увеличении числа уравнений.
Для случая мультипольного взаимодействия частицы и подкладки в работе указа-
ны разные алгоритмы построения решения усеченных систем, использующие их специ-
фические свойства. Выписаны аналитические решения для диполь-дипольного и
квадруполь-квадрупольного взаимодействий частицы с подкладкой. Получены асимпто-
тическая оценка погрешности модели диполь-дипольного взаимодействия по сравнению
с моделью квадруполь-квадрупольного взаимодействия и оценка верхней границы этой
погрешности. При этом в выражении для верхней границы удалось исключить зависи-
мость от диэлектрических характеристик элементов системы (частицы, подложки,
среды), что делает ее применимой для систем с произвольными диэлектрическими
функциями.
Для оценки влияния учета мультипольного взаимодействия проведены численные
эксперименты, которые иллюстрируются обширным графическим материалом. При этом
50
рассматривались модельные системы: золотая частица на золотой подкладке и серебря-
ная частица на серебряной подкладке. Известно, что диэлектрические функции благо-
родных металлов (золото, серебро, платина) плохо описываются моделью Друде [1].
Более точные результаты можно получить, используя экспериментальные данные для
диэлектрических функций массивного золота и серебра [15] и учитывая размерную
поправку для малых частиц, как это было сделано, например, в [16].
Шар над подкладкой. Оптические свойства
Сечения рассеяния scaC , поглощения absC и экстинкции extС ЭМИ для сфери-
ческой частицы можно вычислить, используя формулы [1],
4
2
sca 6
kC = a
p
, abs ImC k= a , ext sca absС С С= + , (1)
где 2 /k = p l – волновое число окружающего пространства; l – длина волны падающего
излучения, a – комплексная поляризуемость частицы.
Эффективности оптических характеристик scaQ , absQ (это безразмерные величи-
ны) определяются выражениями
4
2sca
sca 2 2 26
C kQ
r r
= = a
p p
, 2 2 Imabs
abs
С kQ
r r
= = a
p p
, (2)
где r – радиус частички.
Таким образом, задача состоит в определении компонент тензора поляризуемос-
ти. Для частицы, которая находится возле подкладки, поляризуемость при учете только
диполь-дипольного взаимодействия [3 – 6, 9, 10] определяется по формуле
( )3
( )( )
( 2 )( ) /(2 ) ( )( )
i a s a
m
i a s a m i a s ar d
e -e e +e
a =
e + e e +e -h e -e e -e
, (3)
где d h r= + – расстояние от центра частички до подкладки, h – кратчайшее расстояние
от шара до плоскости (рис. 2). В формуле (3) параметр mh зависит от направления век-
тора внешнего поля и принимает значение 1, если вектор перпендикулярен плоскости, и
2, если ей параллелен, se – диэлектрическая проницаемость материала подкладки
(полупространства).
Нетрудно видеть, что независимо от поляризации при d ®¥ выражение (3) с
точностью до постоянного множителя дает поляризуемость шара spha с диэлектрической
проницаемостью ie , помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью ae
3lim
2 4
sphi a
md i a ar®¥
ae -e
a = =
e + e pe
,
где spha – поляризуемость шара [1].
С учетом этого, формулу (3) можно переписать в виде
( )3 3
1
4 1 /(2 ) ( )( )/( )
sph
m
a m i a s a s ar r d
a
a = ×
pe -h e -e e -e e +e
. (4)
Таким образом, влияние подкладки определяется поправкой к единице в знамена-
теле второй дроби в (4). Для действительных значений диэлектрических функций можно
51
сразу утверждать, что поляризуемость шара над подкладкой будет больше, чем поляри-
зуемость изолированного шара (если только ( )( ) 0i a s ae - e e - e > ), причем для перпендику-
лярной поляризации увеличение будет большим, чем для параллельной. Очевидно, что
по мере удаления частицы от подкладки влияние последней будет уменьшаться. Это
утверждение подтвердили расчеты, некоторые результаты которых приведены в [5, 6] в
виде зависимостей компонент тензора поляризуемости шара (вблизи подкладки) от ae и
расстояния между ним и поверхностью для действительных значений диэлектрических
проницаемостей.
h
ei
ea
se
d
r
Рис. 2. Отдельная сферическая частица возле подкладки.
Рассмотрим комплексные диэлектрические проницаемости частицы и подкладки.
Для окружающей среды примем действительное значение диэлектрической проницае-
мости ae . В общем случае мультипольного взаимодействия для одной частицы с подк-
ладкой используются следующие выражения для компонентов тензора поляризуемости
€ma [3, 5]
3
14 ,m a mr A=a pe (для m =^ или | |), (5)
где коэффициенты 1mA находятся из бесконечных систем алгебраических линейных
уравнений (k = 1, 2, …, kjd – символ Кронеккера-Копелли)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) 11
1
!
1 2! ! 2 /
i a a s i a
kj j kk j
j i a a s i a
k k j
A
k k k j d r
¥
^+ +
=
æ öé ùì ü- - + -ï ïç ÷+ × =ê úí ýç ÷+ + + +é ùï ï ê úë ûî þ ë ûè ø
å
e e e e e ed d
e e e e e e
, (6)
для перпендикулярной (по отношению к поверхности) составляющей внешнего
электрического поля и, соответственно,
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ||1
1
!
1 21 ! 1 ! 2 /
i a a s i a
kj j kjk j
j i a a s i a
k k j
A
k k k j d r
¥
+ +
=
æ öé ùì ü- - + -ï ïç ÷+ × =ê úí ýç ÷+ + + +é ù + -ï ïê úë ûî þë ûè ø
å
e e e e e ed d
e e e e e e
, (7)
для параллельной составляющей электрического поля.
Для расчета эффективности поглощения absQ и эффективность рассеивания scaQ
p – поляризованного излучения, падающего на подкладку (угол падения Q ) и частицу,
следует использовать формулы
2 2
2 Im 1 sin Im 1 sabs p p
kQ r r co
r ^
é ù é ù= + Q + - Që û ë ûPa a
p
, (8)
52
4 2 2
2 2 1 sin 1 s
6sca p p
kQ r r co
r ^
é ù= + Q + - Qê úë ûP
a a
p
, (9)
где pr – коэффициент Френеля отражения излучения от поверхности [1] для p – поля-
ризованного излучения.
Приведенные формулы полностью описывают взаимодействие ЭМИ с малой час-
тицей вблизи подкладки и позволяют рассчитывать частотные зависимости оптических
характеристик для разнообразных конкретных систем. Задача сводится к решению бес-
конечных систем (6), (7). Обычно такие системы решаются методом редукции, т.е. заме-
няют системами с конечным числом уравнений. Такая замена законна только в том слу-
чае, когда система является регулярной, или, по крайней мере, квазирегулярной [13]. В
литературе применительно к данной задаче этому вопросу уделяется недостаточно вни-
мания, так как обычно, руководствуясь общими соображениями, ограничиваются рас-
смотрением только диполь-дипольного взаимодействием. Строгое обоснование такой
возможности, т.е. доказательство правомочности применения метода редукции с контро-
лируемой погрешностью, выполнено в [14].
Решение бесконечных систем
Доказанное свойство регулярности бесконечных систем обосновывает
применение метода редукции [13]. Для таких систем нахождение решений возможно с
применением схем простой или улучшенной итераций. В первом случае
последовательные приближения неизвестных коэффициентов вычисляются по формуле
( ) ( 1)
1
l
n n
kl k kj jl
j
A f a A -
=
= +å (n = 1, 2, …),
где n – номер итерации, а нулевое приближение (вход в итеративный процесс) можно
задать соотношениями
(0)
kl kA f= , (0) (0) (0) (0)
1 1 2 3, 0l l l llA f A A A= = = = =K ,
и значение l определяет число удержанных уравнений, т.е. количество учитываемых
мультиполей.
Альтернативный подход к решению системы заключается в следующем. В общем
случае для определения поляризуемости фактически необходимо иметь лишь первый
коэффициент 1A [3 – 9]. Исходя из свойств системы все другие коэффициенты в l -
польном приближении можно выразить через первый коэффициент ( )
1 1
lA A= .
Запишем систему при удержании l коэффициентов в развернутом виде (верхний
индекс l при всех неизвестных коэффициентах опускаем)
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2
1 1 2 2 3 3
(1 )
(1 ) 0
...................................................................
(1 ) 0.
l l
l l
l l l ll l
a A a A a A a A f
a A a A a A a A
a A a A a A a A
- - - - - =ì
ï- + - - - - =ï
í
ï
ï - - - - + - =î
K
K
K
(10)
Приняв 1A в качестве свободного неизвестного, из последних 1l - уравнений в (10)
получаем линейную неоднородную систему 1l - порядка
53
22 2 23 3 2 21 1
32 2 33 3 3 31 1
2 2 3 3 1 1
(1 )
(1 )
...................................................................
(1 )
l l
l l
l l ll l l
a A a A a A a A
a A a A a A a A
a A a A a A a A
- - - - =ì
ï - + - - - =ï
í
ï
ï - - - + - =î
K
K
K
. (11)
Из этой системы все неизвестные коэффициенты Aj, j = 1, 2, …, l можно выразить через
1A , например, по формулам Крамера
( )
1( )
l
j
j lA A
D
=
D
,
где определитель размерности ( ) ( )l l- ´ -1 1 матрицы системы (11) (минор ( )lM11 матрицы
системы (10) ) имеет вид
22 23 2
32 33 3( )
2 3
1
1
1
l
ll
l l ll
a a a
a a a
a a a
- - -
- - -
D =
- - -
K
K
K K K K
K
. (12)
Вспомогательные определители ( )l
jD той же размерности, в которых j -й столбец заменя-
ется столбцом свободных членов из системы (10), символически запишутся следующим
образом
22 23 21 2
32 33 31 3( )
2 3 1
1 ( )
1 ( )
( ) 1
l
ll
j
l l l ll
a a j a a
a a j a a
a a j a a
- - - -
- - - -
D =
- - - -
K K
K K
K K K K
K K
, (13)
где символ ( )j показывает, что заменен j -й столбец, а верхний индекс при символах
определителей подчеркивает, сколько уравнений удержано в бесконечной системе.
В результате для определения 1A будем иметь одно линейное уравнение
( ) ( ) ( )
2 3
11 12 13 1 1 1( ) ( ) ( )(1 )
l l l
l
ll l la a a a A f
é ùD D D
- - - - - =ê úD D Dë û
K ,
откуда при учете l – польного взаимодействия получим нужную расчетную формулу
( ) 1
1 1 ( ) ( ) ( )
2 3
11 12 13 1( ) ( ) ( )(1 )
l
l l l
l
ll l l
fA A
a a a a
= =
é ùD D D- - + + +ê úD D Dë û
K
. (14)
После нахождения коэффициента ( )
1 1
lA A= , l -поляризуемость частицы возле
поверхности вычисляется по формуле
( ) ( )l l
am mr Aa = pe 3
14 , (15)
где индекс m соответствует параллельной или перпендикулярной поляризациям.
54
Если в формуле (14) индекс l =1 , то все слагаемые в квадратных скобках нужно
принять равными нулю, и тогда получим значение коэффициента (1)
1A (и поляризуемос-
ти) для диполь-дипольного взаимодействия частицы и подкладки. В общем случае
мультипольного взаимодействия выражение в квадратных скобках в формуле (14) дает
некоторую поправку к диполь-дипольному взаимодействию. Ее подсчет предполагает
вычисление соответствующих определителей (возможно высокого порядка), и может
быть выполнен только численно.
Исходя непосредственно из системы (10) с учетом особенностей правой части,
можно получить эквивалентное представление для неизвестного ( )
1 1
lA A= и выразить
поляризуемость частицы вблизи подкладки через поляризуемость изолированного шара.
Действительно, используя формулы Крамера и раскладывая дополнительный опреде-
литель по первому столбцу (отличным от нуля будет только один элемент), находим
( ) ( )
( ) 1 11 11
1 ( () ) 2
l l
l i a
l l
i a
f B BA e - e
= =
e + eD D
, (16)
где ( )
11
lB – алгебраическое дополнение элемента 111 a- в определителе ( )lD матрицы
системы (10).
Подставляя полученное выражение (16) в формулу (15) для поляризуемости,
получим
( ) ( )
,( ) ( )
( ) ( )
l l
ml l i a
a a sphl lm m
i am m
B Br A r e - e
a = pe = pe = a
e + eD D
113 3 11
14 4
2
. (17)
Из формулы (17) видно, что влияние подкладки определяется отношением
( ) ( )l l
mB D11 , которое зависит от частоты. При 1l = из (17) следует соотношение (4) для
дипольного приближения.
Приведенные выше схемы решения бесконечной системы целесообразно
использовать при довольно больших значениях l . Для случаев 1l = (дипольное
приближение) или для 2l = (квадрупольное приближение) нетрудно получить
замкнутые аналитические выражения. Введем обозначение kj k kja c= V и будем исполь-
зовать выражения
1( )!
! !
k j
kj
k jc
k j
+ ++
= r ,
[ ]
( )( )
( 1) ( )
i a s a
k
i a a s
k
k k
e - e e - e
V =
e + + e e + e
.
Тогда в случае диполь-дипольного взаимодействия частицы с подкладкой в системе
остается лишь одно уравнение вида
(1)
1 1 11 1(1 )A с f- V = ,
из которого сразу получим решение
(1) 1
1 3
1 11
( )( )
1 ( 2 )( ) 2 ( )( )
i a s a
i a s a i a s a
fA
с
e -e e +e
= =
-V e + e e +e - r e -e e -e
,
дающее формулу (3).
В случае квадруполь-квадрупольного взаимодействия будем иметь систему
второго порядка
55
1 11 1 12 1 2 1
2 21 1 2 22 2
(1 )
(1 ) 0
c A с A f
с A с A
- V - V =ì
í-V + - V =î
,
откуда находим, что
(2) 1 2 22
1
1 11 2 22 1 2 12 21
(1 )
(1 )(1 ) )
f сA
с с с с
- V
=
- V - V - V V
,
где ведены обозначения
3
11 2с = r , 4
12 21 3с с= = r , 5
22 6с = r , (18)
1
( )( )
( 2 )( )
i a s a
i a a s
e - e e - e
V =
e + e e + e
, 2
2( )( )
(2 3 )( )
i a s a
i a a s
e - e e - e
V =
e + e e + e
. (19)
Полученные аналитические выражения были использованы для контроля прог-
раммы при численном решении систем более высокого порядка.
Оценка погрешности диполь-дипольной модели по сравнению с мультипольными
моделями
Полученные выражения позволяют оценить поправку, которую может дать учет
квадруполь-квадрупольного взаимодействия частицы с подкладкой. С этой целью рас-
смотрим выражение, которое определяет абсолютную величину относительной погреш-
ности d диполь-дипольного взаимодействия по сравнению с квадруполь-квадрупольным
взаимодействием частицы и подкладки
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A A A
A A
-
d = = -
2 1 1
1 1 1
2 2
1 1
1 . (20)
Используя приведенные выше выражения для коэффициентов (1) (2)
1 1,A A , будем иметь
(здесь и в дальнейшем учитываем, что ijc положительные действительные числа):
( ) ( )
с сс с
с с с с
V VV V
d = =
-V - V - V - V
1 2 12 211 2 12 21
1 11 2 22 1 11 2 221 1 1 1
.
Тогда с учетом того, что все kV <1 , (т.е. также для k =1 и k = 2 ) и формул (18), можно
получить следующую оценку погрешности
( ) ( )
d £ r
- r V - r V
8
3 5
1 2
9
1 2 1 6
. (21)
Эта оценка показывает, что с уменьшением r , т.е. с увеличением расстояния
частицы от плоскости, погрешность будет уменьшаться. Однако она зависит от диэлект-
рических характеристик материалов шара, подкладки и среды, а это не всегда удобно,
поскольку комплексные диэлектрические проницаемости зависят от частоты. Поэтому
для нахождения конкретного значения d необходимы дополнительные расчеты в каж-
дом конкретном случае.
Усовершенствуем неравенство (21) следующим образом. Заметим, что всегда
величины r V <3
12 1 , r V <5
16 1 , так как /£ r £0 1 2 . Поэтому, можно разложить дроби в
ряды вида
56
( ) ( )= + r V + r V + r V +
- r V
2 33 3 3
1 1 13
1
1 1 2 2 2
1 2
L ,
( ) ( )= + r V + r V + r V +
- r V
2 35 5 5
2 2 25
2
1 1 5 5 5
1 5
L .
Перемножим полученные разложения и оценим полученную сумму Q с учетом того, что
V <1 1, V <2 1 . Будет:
Q = + V r + V r + V r + V V r + £3 5 6 8
1 2 1 1 21 2 5 4 10 K + r + r + r + r +K3 5 6 81 2 5 4 10 . (22)
Тогда оценка (21) принимает вид
( )Qd £ r £ r + r + r + r + r +8 8 3 5 6 89 9 1 2 5 4 10 K (23)
и уже не зависит от диэлектрических характеристик, но с ростом удержанных
положительных членов ряда в скобках верхняя граница погрешности возрастает.
В случае расположения частицы непосредственно на поверхности подкладки, т.е.
при /r =1 2 , будем иметь предельную оценку для погрешности, так как для
произвольных значений r она будет меньше
æ öd £ + + + + +ç ÷
è ø
9 1 5 1 51
256 4 32 16 256
K .
Нетрудно видеть, что ряд в скобках мажорируется бесконечной геометрической
прогрессией, сумма которой легко находится. Действительно, имеем
+ + + + + = + × + × + × + + £ + + + + + =K K K2 3 4 2 3 4
1 5 1 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 1 11 1 1 2
4 32 16 256 2 2 8 2 16 22 2 2 2 2 2
,
тогда / ,d £ =9 128 0 0703 , т.е. погрешность не превосходит 7 %. Это подтверждают
вычисленные для разного числа удержанных слагаемых предельные значения d ,
приведенные в табл. 1.
Полученная оценка показывает, что в большинстве практических расчетов
достаточно ограничиться учетом лишь диполь-дипольного взаимодействия. При
необходимости для уточнения физической картины взаимодействия электрического
поля с системой в определенных частотных диапазонах нужно использовать оценку (21),
которая учитывает диэлектрические характеристики составляющих системы.
Таблица 1. Предельные значения относительной погрешности вычисления
поляризуемости частицы возле подкладки при учете квадрупольного
взаимодействия.
Число
удержанных
членов в ряде
Верхняя граница
относительной
погрешности d
1 0,03516
2 0,04394
3 0,04979
4 0,05164
5 0,05232
57
В общем случае учета мультиполей необходимо исходить из соотношения (14).
Тогда относительная погрешность будет определяться выражением
( ) ( ) ( )
( ) 1 12 2 13 3 1
( ) ( )
1 11
1
(1 )
l l l
l l l
l l
A a a a
A a
D + D + + D
d = - =
- D
K . (24)
Аналитическая оценка этого выражения весьма затруднительна (если вообще
реализуема), однако для конкретных систем имеется возможность численного
нахождения максимума (по частоте) правой части в равенстве (24), которая и определит
максимальное значение погрешности.
Численные результаты и их обсуждение
Из формул (1) и (2) следует, что вид спектров рассеяния и поглощения определя-
ет частотная зависимость поляризуемости. При этом максимумы спектров поглощения
определяют минимумы знаменателя в выражении (14) или в выражениях (16), (17). Если
пренебречь потерями, то соответствующие частоты будут корнями одного из уравнений
{ }( ) ( ) ( ) ( )
11 12 2 13 3 1Re (1 ) 0l l l l
l la a a aé ù- D - D + D + + D =ë ûK . (28)
( )Re[ ( )]l
m i aD e + e =2 0 . (29)
Исследование этих уравнений чрезвычайно сложное, однако можно сразу отметить, что
с ростом l , т.е. с увеличением числа учитываемых мультиполей число корней будет
возрастать, и, таким образом, в спектрах могут появляться дополнительные максимумы.
Следует отметить, что при этом в выражениях (14) и (16) могут возникать неопределен-
ности типа 0/ 0 , раскрытие которых является отдельной задачей.
С целью оценки влияния учета различного числа мультиполей на оптические
спектры был выполнен ряд расчетов, некоторые результаты которых приведены в
таблицах и на рисунках. Рассмотрим сначала золотую частицу на золотой подкладке
(окружающая среда – воздух). Для диэлектрической функции золота использованы
экспериментальные данные работы [15] (в диапазоне от 200 нм до 1900 нм) для
массивного материала, которые в расчетах аппроксимировались с помощью кубических
сплайнов. Отметим, что для сплошного золота приняты следующие значения
плазменной частоты и частоты затухания: 161,37 10pw = × Гц, 140,33 10pg = × Гц [1].
Рассматривалась частица с радиусом 20 нм, и все результаты, представленные ниже,
соответствуют перпендикулярной поляризации внешнего поля. Размерная поправка в
расчетах не учитывалась, так частица имеет достаточно большой диаметр.
Задача построения достаточно точного численного решения алгебраических
линейных систем высокого порядка с комплексными коэффициентами, зависящими от
действительного параметра (частоты) требует отдельного рассмотрения. Нами в
расчетах использовалась апробированная программа высокой точности SACG из
библиотеки IMSL Math Library для Fortran Power Station, version 4.0, предназначенная
для решения систем такого типа.
Как и следовало ожидать, расчеты показали, что скорость сходимости решений
бесконечных систем (6) и (7) зависит от текущего значения частоты (длины волны). В
качестве иллюстрации в табл. 2, 3 приведены значения решений системы (6) для некото-
рых значений длин волн при различном числе l удержанных уравнений.
58
Таблица 2. Решение бесконечной системы (6) при различном числе l удержанных
уравнений для некоторых значений длин волн (золотая частица на золотой
подкладке).
l
Длина волны l = 203 нм Длина волны l = 403 нм
( )
1
lA ( )
1Re lA ( )
1Im lA ( )
1
lA ( )
1Re lA ( )
1Im lA
1 0,8914 0,4634 0,7615 1,3363 0,9710 0,9181
2 0,8673 0,4487 0,7422 1,2976 0,8849 0,9491
3 0,8562 0,4453 0,7314 1,2552 0,8302 0,9414
4 0,8524 0,4458 0,7266 1,2249 0,8056 0,9227
5 0,8516 0,4470 0,7249 1,2084 0,7988 0,9067
6 0,8517 0,4478 0,7245 1,2015 0,7999 0,8965
7 0,8520 0,4482 0,7246 1,2000 0,8034 0,8913
8 0,8522 0,4484 0,7247 1,2008 0,8069 0,8893
Таблица 3. Решение бесконечной системы (6) при различном числе удержанных
уравнений для некоторых значений длин волн (золотая частица на золотой
подкладке).
l
Длина волны l = 497 нм Длина волны l = 629 нм
( )
1
lA ( )
1Re lA ( )
1Im lA ( )
1
lA ( )
1Re lA ( )
1Im lA
1 1,5835 0,7574 1,3907 2,1182 2,1141 0,1325
2 1,4124 0,5998 1,2787 2,5516 2,5409 0,2340
3 1,3127 0,5739 1,1806 3,1528 3,1205 0,4498
4 1,2808 0,5962 1,1336 4,0912 3,9676 0,9980
5 1,2826 0,6222 1,1216 5,7712 5,0549 2,7848
6 1,2942 0,6389 1,1255 7,3388 2,5828 6,8693
7 1,3050 0,6462 1,1338 4,2578 -1,5844 3,9521
8 1,3119 0,6473 1,1410 1,9969 -1,0192 1,7172
Из полученных данных следует, что для коротких длин волн (200 – 500 нм) схо-
димость достаточно хорошая, в то время, как в области плазмонного резонанса она ухуд-
шается, и необходим учет большего числа уравнений или специальные приемы. Расчеты
также показали, что и для длинных волн (1100 – 2000 нм) сходимость также достаточно
быстрая.
Спектры рассеяния, поглощения и экстинкции для удаленной частицы представ-
лены на рис. 3, а для частицы на поверхности (в дипольном приближении) – на рис. 4. На
рис. 5 показаны аналогичные спектры, найденные в квадрупольном приближении ( 2l = ),
а на рис. 6 приведены спектры экстинкции при учете мультиполей для значений
l = 1, 2, 3, 6.
Из представленных результатов, прежде всего, следует, что основной вклад в
экстинкцию дает поглощение (частица имеет относительно малый размер). В спектрах
присутствует один максимум поглощения, соответствующий резонансной частоте
поверхностного плазмона. При этом подкладка существенно увеличивает (по сравнению
с отдельной частицей) интенсивность поглощения на резонансной частоте со сдвигом
экстремума в сторону более длинных волн. Этот результат согласуется с результатами,
приведенными в [9]. Учет вклада мультиполей также приводит к существенному
увеличению поглощения (в несколько раз по сравнению с дипольным приближением).
59
, ,sca abs extQ Q Q
1
2
3
,нмl 200 300 400 500 600 700 ,нмl
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
200 300 400 500 600 700 , нмl
, ,sca abs extQ Q Q
1
2
3
200 300 400 500 600 700 ,нмl
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Рис. 3. Спектры золотой частицы, удален-
ной от подкладки:
1 – scaQ , 2 – absQ , 3 – extQ .
Рис. 4. Спектры золотой частицы, распо-
ложенной на золотой подкладке
(дипольное приближение):
1 – scaQ , 2 – absQ , 3 – extQ .
200 300 400 500 600 700 ,нмl
, ,sca abs extQ Q Q
1
2
3
200 300 400 500 600 700 ,нмl 200 300 400 500 600 700 ,нмl
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
extQ
1l =
2l =
3l =
,нмl
6l =
200 300 400 500 600 700 ,нмl
5
4
3
2
1
0
Рис. 5. Спектры золотой частицы, распо-
ложенной на золотой подкладке
(квадрупольное приближение):
1 – scaQ , 2 – absQ , 3 – extQ .
Рис. 6. Влияние учета мультиполей на
спектр экстинкции для золотой
частицы, расположенной на золотой
подкладке.
Расчеты также указывают на сдвиг резонансной длины волны rl в сторону более
длинных волн (красное смещение) при увеличении числа уравнений в системе. Соответ-
ствующие значения длин волн для некоторых значений l приведены в табл. 4. Отметим,
что для отдельной золотой частицы rl » 510 нм.
Как видно из этих данных, длина резонансной волны при учете восьми
мультиполей по сравнению с дипольным приближением увеличивается на 28 %.
Таблица 4. Значения резонансных длин волн для различного числа учитываемых
мультиполей (золотая частица на золотой подкладке)
60
l 1 2 3 6 8
rl , нм 521 548 563 629 669
В качестве второго примера рассматривалась серебряная сферическая частица на
серебряной подкладке. Для сплошного серебра приняты следующие значения резонанс-
ной частоты и времени релаксации: 161,46 10pw = × Гц, 140,24 10pg = × Гц [1]. Для удобства
сравнения с предыдущими результатами для радиуса серебряной частицы принято такое
же значение, как и для золотой, т.е. 20 нм. Как и для золота, в расчеты закладывалась
экспериментальная диэлектрическая функция для массивного серебра [15]. Результаты
расчетов в виде спектров рассеяния и поглощения для случая перпендикулярной поля-
ризации представлены на рис. 7 – 10. Для сравнения на рис. 7 пунктиром дополнительно
показан спектр поглощения отдельной серебряной частицы, а также спектр поглощения
частицы на подкладке для случая параллельной поляризации. На рис. 8 – 10 представле-
ны спектры, найденные в дипольном, квадрупольном и октупольном приближениях.
absQ
, нмl
Перпендикулярная
поляризация
Параллельная
поляризация
Рис. 7. Спектры поглощения отдель-
ной сферической серебряной
частицы (штриховая линия) и
серебряной частицы на сереб-
ряной подкладке для различ-
ных поляризаций (дипольное
приближение).
,нмl
,sca absQ Q
Рис. 8. Спектры рассеяния и поглоще-
ния серебряной частицы, распо-
ложенной на серебряной под-
кладке (дипольное приближе-
ние): ------- scaQ , ______ absQ .
Из этих результатов следует следующее. Также же, как и для золотой частицы на
золотой подкладке, влияние подкладки проявляется в увеличении интенсивности
61
поглощения и в сдвиге резонансной длины волны. В дипольном приближении (рис. 7, 8)
поглощение в системе «частица – подкладка» по сравнению с поглощением отдельной
частицей для перпендикулярной поляризации, увеличивается более значительно, чем для
параллельной. Так же и сдвиг резонансной длины волны более заметен для
перпендикулярной поляризации.
,нмl
,sca absQ Q
200 300 400 500 ,нмl
30
25
20
15
10
5
0
, нмl
,sca absQ Q ,sca absQ Q
200 300 400 500 ,нмl
20
15
30
25
10
5
0
Рис. 9. Спектры рассеяния и поглощения
серебряной частицы на серебря-
ной подкладке (квадрупольное
приближение):------ scaQ ____ absQ .
Рис. 10. Спектры рассеяния и поглощения
серебряной частицы на серебря-
ной подкладке (октупольное приб-
лижение):-------- scaQ ______ absQ .
Учет квадрупольного и октупольного взаимодействия частицы с подкладкой
показывает на появления нового резонанса в области более коротких длин волн (около
350 нм), который в дипольном приближении отсутствует. Этот максимум по сравнению
с квадрупольным приближением становится больше для октупольного приближения, в
то время как величина основного максимума незначительно уменьшается. По нашему
мнению появление этого максимума обусловлено наличием квадрупольного плазмона.
Действительно, для отдельной частицы l – польная поляризуемость
[ ] ,
mee
a
)1++
=
ll/
A
1
1 (
то есть, частота l – польного поверхностного плазмона определяется из условия
1Re ( ) ( 1) / 0l le w + + = . В случае зависимости Друде следует принять
2
1( ) 1
( )
p
pi
w
e w = -
w w+ g
,
откуда следует, что
( ) /( 1)l
s p l lw = w + .
Количественное существенное отличие в приведенных спектрах рассмотренных
материалов состоит в том, что эффективность поглощения и рассеяния для серебряной
частицы того же размера, что и золотой, значительно больше (в несколько раз).
62
Выводы
Для бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, решение которой
определяет поляризуемость малой частицы, расположенной над подкладкой, с учетом
обоснованной ранее возможности применения метода редукции, предложен эффектив-
ный алгоритм ее решения. Получены замкнутые аналитические формулы для учета
диполь-дипольного и квадруполь-квадрупольного взаимодействия частицы с под-
кладкой.
Показано, что при учете только дипольного приближения максимальная относи-
тельная погрешность нахождения поляризуемости по сравнению с квадрупольным приб-
лижением не превосходит 7 % и не зависит от диэлектрических характеристик системы.
Учет высших мультиполей приводит к сдвигу резонансной длины волны в сторо-
ну более длинных волн (красное смещение), и этот сдвиг может быть значительным как
для золота, так и для серебра. Это означает, что в определенных случаях учет только
диполь-дипольного взаимодействия может оказаться недостаточным и необходим учет
более высоких составляющих потенциалов (квадрупольного, октупольного и высших
типов взаимодействий). Уместно отметить, что интенсивность поглощения для системы
серебряная частица – серебряная подкладка в несколько раз выше, чем для системы зо-
лотая частица – золотая подкладка.
Таким образом, на основании разработанной общей теории взаимодействия
малых частиц с разнообразными поверхностями (в том числе биологическими) и прове-
денных расчетов можно утверждать, что такое мультипольное взаимодействие возникает
лишь в присутствии внешнего электрического поля. Это приводит к изменению электро-
динамических свойств, как частиц, так и поверхности – перераспределению зарядов,
сдвигу положения пиков и изменению интенсивности поглощения электромагнитного
излучения системой частиц на поверхности. При этом характер изменения процессов
поглощения, как частицами, так и поверхностью зависит от электродинамических пара-
метров поверхности и частиц (эффективные диэлектрические проницаемости, собствен-
ные моды колебаний, физико-химическое состояние поверхности и т.д.). Например, это
открывает возможность получения информации о физических и химических параметрах
клетки на основании анализа оптических спектров адсорбированных клетками частиц.
Работа выполнена при финансовой поддержке со стороны комплексной
программы фундаментальных исследований НАН Украины “Наноструктурные системы,
наноматериалы и нанотехнологии” (договор №37-07/Н на выполнение работ по теме
“Моделирование процессов взаимодействия электромагнитного излучения с
регулярными, стохастическими и фрактальными поверхностными наноструктурами”).
Литература
1. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света маленькими частицами. Перевод
с англ. – М: Мир, 1986. – 664 с.
2. Kreibig U., Volmer M. Optical Properties of Metal Clusters. – Springer – Verlang: Berlin,
1995. – 453 p.
3. Macroscopic dielectric response of the metallic particles embedded in host dielectric
medium / L.G. Grechko, K.W. Whites, V.N. Pustovit, V.S. Lysenko // Microelectron.
Reliability. – 2000. – V. 40. – P. 893 – 895.
4. Gogenko V.V., Grechko L.G., Whites K.W. Electrodynamics of spatial clusters of spheres:
Substrate effects // Phys. Rev. B. – 2003. – V. 68. – P.125422-1 – 125422-16.
5. Водопьянов Д.Л., Гоженко В.В., Гончарук Ю.С. Электродинамические свойства ма-
лых сферических частиц вблизи плоской поверхности // Химия, физика и технология
поверхности. – 2006. – Вып. 11-12. – С. 53 – 61.
63
6. Гоженко В.В., Гончарук Ю.С., Гречко Л.Г, Куницька Л.Ю. Поверхневі моди малих
частинок межі розділу фаз // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки.– 2006. – № 4. –
С. 416 – 425.
7. Haarmans M.T., Bedeaux D. Optical properties of thin films up to second order in the
thickness // Thin Solid Films. – 1995. – V. 258. – P. 213 – 228.
8. Haarmans M.T., Bedeaux D. The polarizability and the optical properties of lattices and
random distributions of small metal spheres on a substrate // Thin Solid Films. – 2003. –
V. 224. – P. 117 – 131.
9. Okamoto T., Yamaguchi I. Optical absorption study of the surface plasmon resonance in
gold nanoparticles immobilized onto gold substrate by self-assembly technique // J. Phys.
Chem. B. – 2003. – V. 107, № 38. – P. 10321 – 10324.
10. Yamaguchi T., Yoshida S., Kinbara A. Optical effect of the substrate on the anomalous
absortion of aggregated silver films // Thin Solid Films. – 1974. – V. 21. – P.173 – 187.
11. Thin films by regular patterns of metal nanoparticles: tailoring the optical properties by
nanodesign / W. Gotschy, K. Vonmetz, A. Leitner, F.R. Aussenegg // Appl. Phys. –
1996. – V. 63. – P. 381 – 384.
12. Substrate effects on surface – plasmon spectra in metal – island films / P. Royer,
J.P. Coudonnet, R.S. Warmack, T.L. Ferell // Phys. Rev. B. – 1987. – V. 35. – P.3753 –
3759.
13. Канторович Л.В, Крылов А.И. Приближенные методы высшего анализа. – Л.-М.:
Гостехиздат, 1949. – 695 с.
14. Вплив врахування мультипольної взаємодії на поляризовність системи кульових
частинок, розташованих біля підкладки / Д.Л. Водопۥянов, Л.Г. Гречко, Л.Б. Лерман,
Л.В. Білокриницька // Вісн. Київ. ун-ту. Сер .фіз.-мат. – 2007. – № 3. – C. 450 – 458.
15. Jonson P.B., Christy R.W. Optical Constants of the Noble Metals // Phys. Rev. B. –
1972. – V. 6, № 12. – P. 4370 – 4379.
16. Оптичні властивості малих частинок срібла в колоїдних розчинах / Л.Г. Гречко,
Г.М. Єременко, Г.В. Крилова, Л.Б. Лерман, Н.П. Смірнова, Н.Г. Шкода // Вісн. Київ.
ун-ту. Сер .фіз.-мат. – 2004. – № 4. – C. 450 – 458.
Введение
Введение
Шар над подкладкой. Оптические свойства
Шар над подкладкой. Оптические свойства
Численные результаты и их обсуждение
Выводы
Литература
|
| id | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-208 |
| institution | Surface |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-12T17:05:55Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | surfacezbircomua/52/8c0c9ad87b627f126ccbced02034ee52.pdf |
| spelling | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-2082018-11-27T09:40:57Z Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces Влияние мультипольного взаимодействия на спектры поглощения малых сферических частиц вблизи поверхности твердых тел Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces Vodopianov, D. L. Grechko, L. G. Gorbyk, P. P. Lerman, L. B. Lyuschenko, M. A. In electrostatic approximation the interaction problem of electromagnetic radiation with an ensemble of small particles near to flat surfaces (surfaces of solids, interfaces, surfaces of biological membranes, etc.) is solved. The response of electrodynamic system: a small spherical particle (nanoparticle) – substrate in external electromagnetic field is determined. The algorithm of problem solving is elaborated in general case multipole interaction in the system. Analytical solutions to cases dipole - dipole and quadrupole - quadrupole interaction are founded. The frequency spectrums of scattering, absorption and excitations is analyzed, and gold and silver particles on gold and silver substrates correspondently are analyzed. The big number of graphics and tables is presented as an illustration of elaborated approach. В электрoстатическом приближении решена задача взаимодействия электромагнитного излучения с ансамблем малых частиц вблизи плоской поверхности (поверхности твердых тел, раздела фаз, биологических мембран и т.п.). Найден электродинамический отклик системы «малая сферическая частица (наночастица) – подкладка» во внешнем электромагнитном поле. В общем случае мультипольного взаимодействия малых частиц с подкладкой разработан эффективный алгоритм решения задачи. Для диполь-дипольного и квадруполь-квадрупольного взаимодействий получены замкнутые формулы, удобные для проведения практических расчетов. Проанализированы спектры рассеяния, поглощения и экстинкции для золотой частицы на золотой подкладке и серебряной частицы на серебряной подкладке. Приведен графический и табличный материал, иллюстрирующий возможности разработанного подхода. In electrostatic approximation the interaction problem of electromagnetic radiation with an ensemble of small particles near to flat surfaces (surfaces of solids, interfaces, surfaces of biological membranes, etc.) is solved. The response of electrodynamic system: a small spherical particle (nanoparticle) – substrate in external electromagnetic field is determined. The algorithm of problem solving is elaborated in general case multipole interaction in the system. Analytical solutions to cases dipole - dipole and quadrupole - quadrupole interaction are founded. The frequency spectrums of scattering, absorption and excitations is analyzed, and gold and silver particles on gold and silver substrates correspondently are analyzed. The big number of graphics and tables is presented as an illustration of elaborated approach. Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine 2007-06-21 Article Article application/pdf https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/208 Surface; No. 13 (2007): Chemistry, Physics and Technology of Surface; 48-63 Поверхность; № 13 (2007): Химия, физика и технология поверхности; 48-63 Поверхня; № 13 (2007): Хімія, фізика та технологія поверхні; 48-63 3154-8091 3154-8083 ru https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/208/207 Авторське право (c) 2007 D.L. Vodopianov, L.G. Grechko, P.P. Gorbyk, L.B. Lerman, М.А. Lyuschenko |
| spellingShingle | Vodopianov, D. L. Grechko, L. G. Gorbyk, P. P. Lerman, L. B. Lyuschenko, M. A. Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title_alt | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces Влияние мультипольного взаимодействия на спектры поглощения малых сферических частиц вблизи поверхности твердых тел |
| title_full | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title_fullStr | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title_full_unstemmed | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title_short | Effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| title_sort | effect of multipole interaction on the absorption spectra of small spherical particles near solid surfaces |
| url | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/208 |
| work_keys_str_mv | AT vodopianovdl effectofmultipoleinteractionontheabsorptionspectraofsmallsphericalparticlesnearsolidsurfaces AT grechkolg effectofmultipoleinteractionontheabsorptionspectraofsmallsphericalparticlesnearsolidsurfaces AT gorbykpp effectofmultipoleinteractionontheabsorptionspectraofsmallsphericalparticlesnearsolidsurfaces AT lermanlb effectofmultipoleinteractionontheabsorptionspectraofsmallsphericalparticlesnearsolidsurfaces AT lyuschenkoma effectofmultipoleinteractionontheabsorptionspectraofsmallsphericalparticlesnearsolidsurfaces AT vodopianovdl vliâniemulʹtipolʹnogovzaimodejstviânaspektrypogloŝeniâmalyhsferičeskihčasticvblizipoverhnostitverdyhtel AT grechkolg vliâniemulʹtipolʹnogovzaimodejstviânaspektrypogloŝeniâmalyhsferičeskihčasticvblizipoverhnostitverdyhtel AT gorbykpp vliâniemulʹtipolʹnogovzaimodejstviânaspektrypogloŝeniâmalyhsferičeskihčasticvblizipoverhnostitverdyhtel AT lermanlb vliâniemulʹtipolʹnogovzaimodejstviânaspektrypogloŝeniâmalyhsferičeskihčasticvblizipoverhnostitverdyhtel AT lyuschenkoma vliâniemulʹtipolʹnogovzaimodejstviânaspektrypogloŝeniâmalyhsferičeskihčasticvblizipoverhnostitverdyhtel |