Surface excitations of spheroid. General case
 In-process, in the electrostatic approaching, frequencies of superficial fashions (plasmons) of metallic ellipsoid of rotation are expected (spheroid ) - . It is rotined that frequencies substantially depend on the excentricity of ellipse of rotation () and integers . Numeral calculati...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/256 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Surface |
| Download file: |  |
Institution
Surface| _version_ | 1869291363038658560 |
|---|---|
| author | Gorshkov, B. N. Grechko, L. G. Grischuk, E. Yu. |
| author_facet | Gorshkov, B. N. Grechko, L. G. Grischuk, E. Yu. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "B. N. Gorshkov",
"institution": "Институт физики Национальной академии наук Украины"
},
{
"author": "L. G. Grechko",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "E. Yu. Grischuk",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
}
] |
| author_sort | Gorshkov, B. N. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-11-27T09:40:34Z |
| description |  In-process, in the electrostatic approaching, frequencies of superficial fashions (plasmons) of metallic ellipsoid of rotation are expected (spheroid ) - . It is rotined that frequencies substantially depend on the excentricity of ellipse of rotation () and integers . Numeral calculations are conducted rotined that at a change oblongness of ellipsoid  in an interval  the strong breaking up of frequencies of superficial plasmons is revealed on a number . Also found out strong influence of inductivity of environment –  and to the inductivity of spheroid on high-frequencies -  on position of the crooked dependences . In relation to the location of curves  at , curves  with diminishing (by an increase) displaced upwards (downward) accordingly. |
| first_indexed | 2025-07-22T19:31:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Химия, физика и технология поверхности. 2008. Вып. 14. С. 67 – 72
67
УДК 535.3, 535.51.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ СФЕРОИДА.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В.Н. Горшков1, Л.Г. Гречко2, Е.Ю. Грищук2
1Институт физики Национальной академии наук Украины
Проспект Науки 46, Киев-028
2Институт химии поверхности им. А.А. Чуйка Национальной академии наук Украины
ул. Генерала Наумова 17, 03164 Киев-164
В работе в электростатическом приближении рассчитаны частоты поверх-
ностных мод (плазмонов) металлического эллипсоида вращения (сфероида ) - lmw .
Показано, что частоты существенно зависят от эксцентриситета эллипса вращения
( e ) и целых чисел ( ), 1, 2, ... ; , ..., 0, ... ,l m l m l l= = - + . Проведенные численные
расчеты показали, что при изменении вытянутости эллипсоида e1=x в интервале
41 << x происходит сильное расщепление частот поверхностных плазмонов по числу
m . Также обнаружено значительное влияние диэлектрической проницаемости
окружающей среды – he и диэлектрической проницаемости сфероида на высоких
частотах – ¥e на положения кривых зависимостей ( )xwlm . По отношению к располо-
жению кривых ( )xwlm при ( )¥== ee hxx 1 , кривые ( )xwlm с уменьшением (увеличением)
x смещается вверх (вниз) соответственно.
Введение
В последние годы в диэлектрической и оптической спектроскопии поверхности
все больше и больше внимания уделяется изучению поверхностных электромагнитных
мод (поверхностные поляритоны, плазмоны, экситоны и т.д.) как на границах раздела
сред, так и в малых частицах (МЧ) и матричных дисперсных системах (МДС) [1 –2] на
их основе. Хотя основные свойства поверхностных электромагнитных мод для
пространственно ограниченных сред непосредственно следуют из решений уравнения
Максвелла и активно изучались еще А. Зоммерфельдом в начале девятнадцатого
столетия, интерес к ним возникал от случая к случаю. Лишь в самое последнее время,
главным образом под влиянием развития физики и химии поверхности и открытия в
спектроскопии поверхности Surface Enhanced Raman Scattering [4] стало ясно, что
спектроскопия поверхностных электромагнитных мод может служить мощным методом
исследования свойств поверхности и структуры МДС.
Особенностью поверхностных электромагнитных мод (ПЭМ) является условие их
возникновения: для возникновения необходимо, чтобы вещественная часть диэлектри-
ческой проницаемости одной из сред на границах раздела или малой частицы в МДС
была отрицательной (точнее ( ) 1Re -£we ). Однако в большинстве случаев при
рассмотрении процессов отражения и рассеяния света явно или не явно предполагалось,
что ( ) 0Re >we , хотя условие ( ) 0Re >we – даже в отсутствие пространственной дис-
персии ( )0=k
r
– выполняется лишь для статической диэлектрической проницаемости
)0( ®w [3]. Так, например, для металлов в приближении свободных электронов Друде
( )( )2( ) 1 p ie w w w w n= - + . Из вида зависимости ( )e w при 0n ® и всех 2pw w<
68
следует, что Re ( ) 1e w £ - (равенство соответствует возникновению поверхностного
плазмона). Для алюминия при 2 10,6pw = эВ на границе раздела алюминий-
диэлектрик (в малых металлических частицах при 3 6, 24pw w£ = эВ) возможно
возникновение поверхностных плазмонов, спектральная область существования которых
простирается от далекого ультрафиолетового до далекой ИК-области. Аналогичные
утверждения справедливы и для многих других металлов и полупроводников.
В диэлектриках EPED
rrrr
)(4 wep =+= , и поэтому, чтобы ( )weRe была отрица-
тельной, возникающая под действием внешнего поля E
r
поляризации P
r
должна быть
большей по абсолютной величине и сдвинутой на 180oпо фазе относительно поля E
r
.
Такая ситуация реализуется в диэлектриках только вблизи полос поглощения среды на
частотах 0W , если частота возбуждающего поля немного больше 0W (частота основного
перехода). Отметим, что при изучении спектра ПЭМ в МЧ и МДС на их основе была
обнаружена сильная зависимость спектральных характеристик ПЭМ от формы МЧ [3].
Традиционно спектр ПЭМ для пространственно ограниченных систем рассчиты-
вался при наличии внешнего электромагнитного поля. Для пространственно ограничен-
ных систем вычислялась ее поляризуемость и частоты ПЭМ определялись из условий
аномального возрастания поляризуемости. Другими словами решалась неоднородная
система дифференциальных уравнений для соответствующей системы [1 – 3], хотя сам
спектр поверхностных ПЭМ можно найти и из однородной системы уравнений Макс-
велла для конкретной задачи, как условие ее разрешимости [5, 6]. Именно этим методом
в данной работе и рассчитан спектр поверхностных плазмонов в сфероидальной
металлической частице. Найдены частоты поверхностных мод – )(xwlm . Численными
методами исследована зависимость этих частот от вытянутости эллипсоида e1=x (e –
эксцентриситет эллипса вращения) при разных значениях чисел l и m .
Постановка и решение задачи
В любой пространственно ограниченной среде всегда существует флуктуацион-
ное электромагнитное поле [7]. Спектр возможных возбуждений в такой системе
определяется уравнением Максвелла и соответствующим данной задаче граничным
условиям. В электростатическом приближении, для случая сфероида (рис. 1)
x y
O
z
Рис. 1. Эллипсоид вращения (сфероид).
эти уравнения и граничные условия имеют вид [8]
0,VD = ( E grad V= -
r
), (1)
( ) ( )in out
t tE E= ; in out
in n out nE Ee e= , (2)
69
где ( , , )V x y z – потенциал электрического поля в любой точке пространства ( , , )x y z , in
tE
и in
nE – тангенциальная и нормальная к поверхности, составляющие электрического поля
E
r
внутри сфероида ( )in , а out
tE и out
nE – те же составляющие E
r
вне сфероида ( )out . Ис-
ходя из симметрии задачи, ее решение будем искать в сфероидальной системе координат
( , , )x h j [9]. Декартовые ( , , )x y z связаны с этими координатами формулами [9]
,20sin)1()1(
,11cos)1()1(
,1
2
122
12
2
122
12
pjjhx
hjhx
xhx
<£--=
££---=
¥££=
fz
fy
fx
(3)
где f – фокусное расстояние большой полуоси эллипсоида вращения; соотношение (1)
в ней принимает вид:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 2
22 2 2 2 2
4 1 1 0
1 1
V V V
f
x hx h
x x h h jx h x h
ì üé ù é ù¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ï ï- + - + =í ýê ú ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶- - -ë û ë ûï ïî þ
(4)
Уравнение (4) допускает разделение переменных , ,x h j . Действительно, представляя
решение для потенциалов в виде:
( ) ( ) ( ) ( ), ,V R Sx h j x h j= F (5)
и подставляя его в формулу (4), находим уравнение для функций ( ) ( ) ( ), ,R Sx h jF .
( )
2
2
2 0d m
d
j
j
F
+ F = , (6)
( ) ( )
2
2
,21 0
1 m l
d dR m R
d d
x l x
x x x
æ öé ù
- - + =ç ÷ê ú -ë û è ø
, (7)
( ) ( )
2
2
,21 0
1 m l
d dS m S
d d
h l h
h h h
æ öé ù
- - - =ç ÷ê ú -ë û è ø
, (8)
где lm,l – параметр разделения.
Уравнения (7), (8) являются уравнениями для функции Лежандра I-го и II-го рода
[9]. Эти функции имеют особенности при: 1; ; 1x x h= ®¥ = ± .
Исходя из физических соображений конечности потенциала V и ее первых
производных в любой точке пространства следует, что ( ), 1m l l ll = + , где l и m целые
числа, причем ¥= ...,,,l 21 , а l...,,...,,lm 0-= [9]. Исходя из этих замечаний, решение
уравнения (4) во внутренней ( )in и внешней ( )out областях пространства по отношению
к поверхности эллипсоида можно записать в виде:
( ) ( )[ ]cos s inm m
in l lV P P A m B mx h j j= + , (9)
( ) ( )[ ]cos sinm m
out l lV Q P C m D mx h j j= + . (10)
С учетом граничных условий (2) и формул (9), (10) находим:
70
( )
( )
( )
( )
' 'm m
l o l o
in outm m
l o l o
P Q
P Q
x x
e e
x x
= , (11)
где штрих у полиномов Лежандра означает дифференциирование по x для конкретного
сфероида 0x x= . Уравнение (11) является основным для нахождения частот
поверхностных мод произвольного сфероида.
Рассмотрим металлический сфероид, расположенный в диэлектрической среде с
независящей от чистоты w и диэлектрической проницаемости out he e= .
Диэлектрическую функцию сфероида выбираем в друдевском виде [3].
2
2( ) , 0p
ine w e n
w¥
W
= - ® (12)
где e¥ есть ( )ine w на больших частотах ( )w®¥ , а pW - плазменная частота свободных
электронов в металле.
Подставляя (12) в (11) получаем уравнение для нахождения спектра поверхностных
плазмонов (ПП) в металлическом сфероиде в общем случае - lmw :
( )
( )
( )
( )
2 ' '
2(1 )
m m
p l o l o
m m
em l o l o
P Q
x
P Q
w x x
w x x
- = , (13)
где
2
2 p
pw
e¥
W
= , hx e
e¥
= , а emw – частоты поверхностых мод для металического сфероида.
В работе [5] рассмотрен частный случай, когда 1x = и 1, 2l = .
Численные результаты
С использованием рекуррентных соотношений для полиномов Лежандра ( )m
lP x и
( )m
lQ x [10] нами была реализована численная процедура расчета зависимостей ПП
сфероида ( )lmw x от 1
ex = (e – эксцентриситет эллипса вращения) для разных значений
чисел l и m . Результаты расчетов показаны на рис. 2 и рис. 3.
Рис. 2. Зависимость частот ПП
( )lmw вытянутого сфероида от
1 ex = для значений
1, 3 при 1l l x= = = ( 1he e¥= = ).
71
Рис. 3. Зависимость частот ПП
( )lmw вытянутого сферои-
да от 1 ex = для значений
2 при 0,1; 1; 10l x x x= = = =
.
Обсуждение результатов. Выводы
В случае 1x = , для сфероида близкого по форме к шару ( )x ®¥ из (13) можно
получить асимптотическое выражение для нахождения частот ПП ( lmw ):
2 2
2 4
0 0
1 1( )(1 ...)
2 1im p lm lm
l
l
w w a b
x x
= + + +
+
, (14)
где
2 23
(2 1) (2 3)lm
m l l
l l l
a
- -
=
+ +
,
2 2 2 4 3 2 4 23(6 6 2 2 5 10 3 )
(2 1)(2 3)(2 3)(2 5)lm
l m lm l l l m m l
l l l l l
b
+ - - + - - +
=
- + - +
(15)
Как следует из рис. 1, 2, в отличии от частот поверхностных плазмонов шара
2 2
(1 )l p
h
l
l l
ew w
e e
¥
¥
=
+ +
, частоты lmw существенно зависят от числа m (расщепление по
числу m ), причем при увеличении вытянутости сфероида ( 1)x ® , это расщепление
увеличивается. Интересным является и то, что при изменении параметра hx e
e¥
= , кривые
( )lmw x смещаются вверх (вниз) при уменьшении (увеличении) x по сравнению с
кривыми ( )lmw x при 1x = . Это тем более важно потому, что для большинства металлов
1x < (для серебра 4,5e¥ = ; золото 10e¥ = ) при 1he = (вакуум).
Полученные формулы для расчета частот lmw вытянутого элипсоида, легко
обобщаються на случай сплюснутого элипсоида простой заменой 0x на 2 1/ 2
0( 1) ( 1)i ix - = - [6].
Это следует из свойств полиномов Лежанда [10].
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке общего проекта НАН
Украины и Российского фонда фундаментальных исследований (договор №28) и научного
проекта «Моделирования процессов взаимодействия электромагнитного излучения с
регулярными, стохастическими и фрактальными поверхностными структурами» программы
НАН Украины «Наноструктурные системы, наноматериалы, нанотехнологии» (договор
№ 37/07-Н).
72
Литература
1. Theory of surface plasmons and surface-plasmon polaritons / J.M. Pitarke, V.M. Silkin,
E.V. Chulkov, P.M. Echenique // Rep. Prog. Phys. – 2007. – V. 70. – Р. 1 – 87.
2. Ангранович В.М., Миллс Д.Л. Электромагнитные волны на поверхностях и грани-
цах раздела сред. – М.: Наука, 1985. – 526 с.
3. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. – М.: Мир,
1986. – 660 с.
4. Гигантское комбинационное рассеяние. – Пер. с англ. Под ред. Р. Ченг, Т. Фурмак. –
М.: Мир, 1984. – 408 с.
5. Moussiax A., Ronveaux A., Lucas A. Surface plasmon oscilators for different geometrical
shapes // Can. J. Phys. – 1977. – V. 55. – Р. 1423.
6. Brako R., Hrncevic J., Sunjic M. International Centre for Theoretical Physics. Preprint
1C/75/8.
7. Бараш Ю.С., Гинзбург В.Л. Электромагнитные флуктуации в веществе и молекуляр-
ные (Ван-дер-ваальсовы) силы между телами // УФН. – 1975. – Т. 116, вып. 1.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Гостехиздат,
1957.
9. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. – Т. 1-2, 1958.
10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: Пер. с англ. – М.:
Наука, 1979. – 830 с.
SURFACES EXCITATIONS OF SPHEROID. GENERAL CASE
B.N. Gorshkov1, L.G. Grechko2, E.Yu. Grischuk2
1Institute of physics National academy of sciences of Ukraine
Prospect Nauky 46, 03039 Kyiv-039
2Chuiko Institute of Surface Chemistry, National Academy of Sciences of Ukraine
General Naumov Str. 17, 03164 Kyiv
In-process, in the electrostatic approaching, frequencies of superficial fashions
(plasmons) of metallic ellipsoid of rotation are expected (spheroid ) - lmw . It is rotined that
frequencies substantially depend on the excentricity of ellipse of rotation (e ) and integers
( )llmlml +-== ,...,0,...,,...;2,1, . Numeral calculations are conducted rotined that at a
change oblongness of ellipsoid e1=x in an interval 41 << x the strong breaking up of
frequencies of superficial plasmons is revealed on a number m . Also found out strong
influence of inductivity of environment – he and to the inductivity of spheroid on high-
frequencies - ¥e on position of the crooked dependences ( )xwlm . In relation to the location of
curves ( )xwlm at ( )¥== ee hxx 1 , curves ( )xwlm with diminishing (by an increase) x
displaced upwards (downward) accordingly.
|
| id | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-256 |
| institution | Surface |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-12T17:07:07Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | surfacezbircomua/09/ffea51d73123e7d7d137d2dbc4413e09.pdf |
| spelling | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-2562018-11-27T09:40:34Z Surface excitations of spheroid. General case Поверхностные возбуждения сфероида. Общий случай Surface excitations of spheroid. General case Gorshkov, B. N. Grechko, L. G. Grischuk, E. Yu. &nbsp;In-process, in the electrostatic approaching, frequencies of superficial fashions (plasmons) of metallic ellipsoid of rotation are expected (spheroid ) - . It is rotined that frequencies substantially depend on the excentricity of ellipse of rotation () and integers . Numeral calculations are conducted rotined that at a change oblongness of ellipsoid &nbsp;in an interval &nbsp;the strong breaking up of frequencies of superficial plasmons is revealed on a number . Also found out strong influence of inductivity of environment – &nbsp;and to the inductivity of spheroid on high-frequencies - &nbsp;on position of the crooked dependences . In relation to the location of curves &nbsp;at , curves &nbsp;with diminishing (by an increase)&nbsp;displaced upwards (downward) accordingly. В работе в электростатическом приближении рассчитаны частоты поверхностных мод (плазмонов) металлического эллипсоида вращения (сфероида ) - . Показано, что частоты существенно зависят от эксцентриситета&nbsp;&nbsp; эллипса вращения () и целых чисел . Проведенные численные расчеты показали, что при изменении вытянутости эллипсоида &nbsp;в интервале &nbsp;происходит сильное расщепление частот поверхностных плазмонов по числу . Также обнаружено значительное влияние диэлектрической проницаемости окружающей среды – &nbsp;и диэлектрической проницаемости сфероида на высоких частотах – &nbsp;на положения кривых зависимостей . По отношению к расположению кривых &nbsp;при , кривые &nbsp;с уменьшением (увеличением) &nbsp;смещается вверх (вниз) соответственно. &nbsp;In-process, in the electrostatic approaching, frequencies of superficial fashions (plasmons) of metallic ellipsoid of rotation are expected (spheroid ) - . It is rotined that frequencies substantially depend on the excentricity of ellipse of rotation () and integers . Numeral calculations are conducted rotined that at a change oblongness of ellipsoid &nbsp;in an interval &nbsp;the strong breaking up of frequencies of superficial plasmons is revealed on a number . Also found out strong influence of inductivity of environment – &nbsp;and to the inductivity of spheroid on high-frequencies - &nbsp;on position of the crooked dependences . In relation to the location of curves &nbsp;at , curves &nbsp;with diminishing (by an increase)&nbsp;displaced upwards (downward) accordingly. Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine 2008-07-30 Article Article application/pdf https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/256 Surface; No. 14 (2008): Chemistry, Physics and Technology of Surface; 67-72 Поверхность; № 14 (2008): Химия, физика и технология поверхности; 67-72 Поверхня; № 14 (2008): Хімія, фізика та технологія поверхні; 67-72 3154-8091 3154-8083 ru https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/256/254 Авторське право (c) 2008 B.N. Gorshkov, L.G. Grechko, E.Yu. Grischuk |
| spellingShingle | Gorshkov, B. N. Grechko, L. G. Grischuk, E. Yu. Surface excitations of spheroid. General case |
| title | Surface excitations of spheroid. General case |
| title_alt | Surface excitations of spheroid. General case Поверхностные возбуждения сфероида. Общий случай |
| title_full | Surface excitations of spheroid. General case |
| title_fullStr | Surface excitations of spheroid. General case |
| title_full_unstemmed | Surface excitations of spheroid. General case |
| title_short | Surface excitations of spheroid. General case |
| title_sort | surface excitations of spheroid. general case |
| url | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/256 |
| work_keys_str_mv | AT gorshkovbn surfaceexcitationsofspheroidgeneralcase AT grechkolg surfaceexcitationsofspheroidgeneralcase AT grischukeyu surfaceexcitationsofspheroidgeneralcase AT gorshkovbn poverhnostnyevozbuždeniâsferoidaobŝijslučaj AT grechkolg poverhnostnyevozbuždeniâsferoidaobŝijslučaj AT grischukeyu poverhnostnyevozbuždeniâsferoidaobŝijslučaj |