Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор
We present a theory of an inertial reciprocating Brownian motor that is valid for an arbitrary particle mass as for as arbitrary frequencies of dichotomic fluctuations of potential energy. The exact solution of Klein-Kramers equation with fluctuating parabolic potentials is derived that gives analyt...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/534 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Surface |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Surface| _version_ | 1869291677396500480 |
|---|---|
| author | Korochkova, T. E. Shapochkina, I. V. Rozenbaum, V. M. |
| author_facet | Korochkova, T. E. Shapochkina, I. V. Rozenbaum, V. M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "T. E. Korochkova",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
},
{
"author": "I. V. Shapochkina",
"institution": "Білоруський державний університет"
},
{
"author": "V. M. Rozenbaum",
"institution": "Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України"
}
] |
| author_sort | Korochkova, T. E. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-11-27T09:37:09Z |
| description | We present a theory of an inertial reciprocating Brownian motor that is valid for an arbitrary particle mass as for as arbitrary frequencies of dichotomic fluctuations of potential energy. The exact solution of Klein-Kramers equation with fluctuating parabolic potentials is derived that gives analytical expressions for the amplitude of reciprocation motion as well as the mean velocity of this motion in dichotomic states. We demonstrate that inertia accounting is essentially important for deriving of accurate frequency dependencies of the main Brownian motor characteristics.   |
| first_indexed | 2025-07-22T19:33:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Поверхность. 2014. Вып. 6(21). С. 18–24 18
УДК 533.723:544.034:577.353(086.48)
ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЙ ИНЕРЦИОННЫЙ
БРОУНОВСКИЙ МОТОР
Т.Е. Корочкова1, И.В. Шапочкина2, В.М. Розенбаум1
1Институт химии поверхности им. А.А. Чуйко Национальной академии наук Украины,
ул. Генерала Наумова, 17, Киев, 03164, Украина, taiscrust@mail.ru
2Белорусский государственный университет,
пр-т Независимости, 4, Минск 220050, Белоруссия, shapoch@mail.ru
Представлена теория инерционного возвратно-поступательного броуновского мотора,
справедливая при произвольных массах частиц и частот дихотомных флуктуаций
потенциальной энергии. Получено точное решение уравнения Клейна − Крамерса с
флуктуирующими параболическими потенциалами для амплитуды возвратно-
поступательного движения и средней скорости этого движения в состояниях дихотомного
процесса. Показано, что учет инерции принципиально важен для получения корректных
частотных зависимостей основных характеристик броуновского мотора.
В настоящее время существует множество примеров наносистем, в которых
энергия химических реакций или электромагнитного взаимодействия преобразуется в
энергию направленного движения частиц вдоль границы раздела фаз [1, 2]. Теория
таких систем часто строится в рамках диффузионной динамики, учитывающей внешние
воздействия посредством дихотомных флуктуаций пространственно периодической
потенциальной энергии [3−5]. При этом используется предположение о малости
инерционных эффектов, которое хорошо обосновано для многих систем и существенно
упрощает рассматриваемую задачу. Наноразмерный механизм, направленное движение
которого возникает вследствие неравновесных флуктуаций потенциальной энергии и
описывается в рамках диффузионной динамики, принято называть броуновским
мотором.
Представляют интерес также системы, генерирующие возвратно-поступательное
движение. Примером такого движения может служить экспериментально наблюдаемое
возвратно-поступательное движение полимеров, синтезированных из бистабильных
фоточувствительных азобензолов, которое возникает в процессе оптомеханического
превращения энергии [6]. В работе [7] приведена теория безынерционного возвратно-
поступательного нанодвигателя. В данной статье представлено обобщение этой теории,
учитывающее произвольную приведенную массу частиц. Получено точное выражение
для средней скорости движения наночастицы в каждом состоянии дихотомного
процесса при флуктуирующих потенциальных энергиях параболического вида,
описывающих межчастичное взаимодействие.
В данной статье в качестве модели возвратно-поступательного мотора рассмотрим
броуновскую частицу, находящуюся в контакте с тепловым резервуаром абсолютной
температуры Т, потенциальная энергия которой флуктуирует между двумя функциями
( )U x и ( )U x , а коэффициент трения между двумя значениями и . Индексы
" " и " " здесь и далее обозначают два состояния дихотомного процесса. Пусть и
скорость перехода из состояния " " в состояние " " и из состояния " " в
состояние " " , соответственно. Плотность вероятности ( , , )x v t найти частицу в
состоянии " " или " " с координатой x и скоростью v в момент времени t
19
удовлетворяет уравнению Клейна−Крамерса [8] с дополнительными слагаемыми
( , , )x v t и ( , , )x v t , учитывающими так называемые источники и стоки
(скорости прихода и ухода частицы в одно состояние из другого):
1
( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )
( , , ) ( , , ).
Bk T
x v t v x v t v U x x v t
t x m v m v
x v t x v t
(1)
Здесь m − приведенная масса, Bk − постоянная Больцмана, а ( ) ( ) /U x dU x dx .
Условие нормировки функции распределения дает дополнительное уравнение для
( , , )x v t :
( , , ) ( , , ) 1dx dv x v t x v t
. (2)
Для компактности выкладок и дальнейшего анализа от ( , , )x v t удобно перейти
к новым, нормированным на единицу, функциям распределения ( , , )p x v t :
( , , ) ( , , ) , ( , , ) 1x v t p x v t dx dv p x v t
, (3)
которые при установившемся процессе ( ( , , ) / 0p x v t t ) удовлетворяют уравнению
1
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )Bk T
vp x v v U x p x v p x v p x v
x m v m v
. (4)
Искомой величиной является средняя скорость в состоянии " " или " "
( , )v dx dv v x v v
. (5)
Здесь через
... ... ( , )dx dv p x v
(6)
обозначена операция усреднения по " " и " " состояниям.
Будем считать, что ( )U x при x , так что плотность вероятности
найти частицу при x равна нулю ( ( , ) 0p v ). Плотность вероятности найти
частицу с бесконечной скоростью также равна нулю ( ( , ) 0p v ). С учетом этого
интегрирование уравнения (4) по v дает:
( , ) ( , ) ( , )dv v p x v dv p x v p x v
x
, (7)
так что
( , ) ( , ) ( , )
x
dv v p x v dy dv p y v p y v
. (8)
20
Интегрирование обеих частей последнего уравнения по x приводит к выражениям
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ,
x
v dx dv v p x v dx dy dv p y v p y v
dv dx x p y v p y v
. (9)
в которых использовано тождество
( , ) ( , )
x
dx dyp y v dx x p x v
. (10)
Результат (9) дает выражение для искомой средней скорости (5)
*v x x
, (11)
где * − эффективная частота переключения состояний, определяющаяся
соотношением
*
. (12)
Формула (11) имеет ясный физический смысл. Средняя скорость движения в
каждом из состояний пропорциональна эффективной частоте их переключения и
разности средних значений координаты в этих состояниях. Из этой формулы также
следует, что суммарная скорость v v по двум состояниям равна нулю, как и
должно быть для возвратно-поступательного движения.
Получим еще одно важное соотношение, связывающее среднее значение
скорости v
(или координат x
) со средним значением производной от
потенциальной энергии U
. Для этого почленно проинтегрируем уравнение (4) по
x :
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )Bk T
dx v U x p x v dx p x v p x v
m v m v
. (13)
Отсюда следует, что
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )
v
Bk T
dx v U x p x v dx dv p x v p x v
m m v
. (14)
Почленное интегрирование уравнения (13) по v и использование тождеств
( , ) 0, ( , ) ( , )
v
dx dv p x v dv dv p x v dv v p x v
v
(15)
дает:
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )dx dv v U x p x v dx dv v p x v p x v
m
(16)
21
или, с использованием операции усреднения ...
,
1
v U v v
m m
. (17)
Учитывая соотношение (5) и тождество ( / )v v
, следующее из равенства
v v , получаем окончательно:
1 1 , / ,U v x x m
. (18)
Величина , имеющая размерность времени, характеризует время релаксации
скоростей к равновесному распределению Максвелла. Соотношения (11) и (18)
являются основными результатами данной работы. В отсутствие инерции (когда m и
стремятся к нулю) эти соотношения переходят в соответствующие соотношения
безынерционного рассмотрения, полученные в [7].
Рассмотрим важный частный случай параболических потенциальных энергий
21
( ) ( )
2
U x k x a , (19)
для которого задача нахождения средних скоростей ( v ) и амплитуды возвратно-
поступательного движения ( x x
) решается точно. Наличие точного решения
связано с тем, что среднее значение U
выражается через среднее значение
координаты:
( )U k x a
, (20)
и подстановка (20) в (18) дает систему двух линейных уравнений относительно x
и
x
:
(1 )G x G x a
. (21)
Для компактности записи здесь введена безразмерная величина
( / ) 1G k . (22)
Решение системы уравнений (21) имеет вид
(1 )
1
a G a G
x
G G
, (23)
с учетом которого соотношение (11) дает следующие точные выражения для средней
скорости и амплитуды А возвратно-поступательного движения:
* 0
0, ,
1
A
v A A x x A a a
G G
. (24)
22
Анализ частотных зависимостей выражений (24) проведем для симметричного
случая , , k k , при котором выражения (24) принимают вид
12 2 2
0 0 0
1
, 1 2 / 4 / , /
2
v A A A k k m
. (25)
Амплитуда A возвратно-поступательного движения равна разности положений
минимумов 0A параболических потенциальных ям двух состояний дихотомного
процесса при малых частотах переключений этих состояний и убывает с ростом .
Средние скорости движения в каждом состоянии являются немонотонными функциями
частоты, принимая нулевые значения при 0 и и достигая максимального
значения
1
0
max
1 2
4
kA mk
v
(26)
при max 0 / 2 , где 0 − циклическая частота гармонических колебаний частицы в
потенциальных ямах. В отсутствие инерции ( 0m , 0 ) частотные зависимости
скорости становятся монотонно возрастающими функциями. Таким образом, учет
инерции дает качественно другое поведение скорости с изменением частоты,
обеспечивая правильное асимптотическое поведение при больших частотах
флуктуаций потенциальной энергии: 0v при .
Особо отметим, что полученные выражения справедливы для произвольных
значений коэффициента трения и эффективной массы и являются уникальными,
поскольку класс точных решений уравнения Клейна−Крамерса ограничен всего
несколькими примерами [8]. Это обстоятельство позволяет рассмотреть случай сильной
инерции ( 1 ), в котором 0 0max
/ 8v A , т.е. средняя скорость
пропорциональна циклической частоте колебаний частицы в параболических
потенциальных ямах и разности положений минимумов этих ям.
На рис. 1 и 2 представлены частотные зависимости амплитуды возвратно-
поступательного движения и средней скорости для различных значений безразмерного
параметра 2/mk , характеризующего отношение времени релаксации в фазовом
пространстве скоростей /m к времени скольжения в параболическом потенциале
/ k (которое определяется как /x v при учете двух равенств F kx v для силы,
действующей на частицу в параболическом потенциале). Амплитуда возвратно-
поступательного движения является монотонно убывающей функцией частоты
переключения потенциалов, высокочастотная асимптотика которой пропорциональна
1 в отсутствие инерции и 2 в отсутствие трения. Поэтому по мере увеличения
инерционного вклада (параметра ) амплитуда убывает. Средняя скорость в
состояниях дихотомного процесса является немонотонной функцией частоты с
максимумом, который уменьшается и сдвигается в область низких частот по мере
увеличения инерционного вклада.
23
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5 2
/ 0
A /A 0
= 0.3
= 0
= 1
= 5
0
0.2
0.4
0 0.5 1 1.5 2
/0
f
= 0.3
= 0
= 1
= 5
Рис. 1. Зависимость амплитуды возвратно-
поступательного движения A ,
измеряемой в единицах параметра
0A , от отношения частоты
флуктуаций параболического
потенциала к параметру
0 /k при различных
значениях инерционного
параметра 2/mk .
Рис. 2. Зависимость функции
0 02 /f v A ,
характеризующей среднюю
скорость в состояниях
дихотомного процесса, от
отношения частоты флуктуаций
параболического потенциала к
параметру 0 /k при
различных значениях
инерционного параметра
2/mk .
В данной статье изучено влияние инерционных эффектов на работу возвратно-
поступательного адиабатического броуновского мотора для произвольных масс частиц
и частот флуктуаций потенциальной энергии. Полученные выражения для
генерируемой мотором средней скорости и амплитуды являются точным решением
уравнения Клейна−Крамерса. Результаты данной статьи показывают, что учет инерции
принципиально важен для получения правильных частотных зависимостей основных
характеристик броуновского мотора, а именно, немонотонного поведения средней
скорости возвратно-поступательного движения и ее убывания при больших частотах
смены состояний дихотомного процесса, в отличие от ее монотонного возрастания в
отсутствие инерции (см. рис. 2). Это связано с тем, что в высокочастотной области
период флуктуаций потенциала становится сравнимым со временем релаксации в
фазовом пространстве скоростей, уменьшающимся до нуля при уменьшении
инерционного вклада. Кроме того, получение простых выражений, справедливых при
произвольной массе частицы, представляет большую методологическую ценность,
поскольку расширяет достаточно узкий круг известных точных решений уравнения
Клейна−Крамерса.
Литература
1. Reimann P. Brownian Motors: Noisy Transport far from Equilibrium // Phys. Rep. –
2002. – V. 361. – P. 57-265.
2. Hänggi P., Marchesoni F. Artificial Brownian motors: Controlling transport on the
nanoscale // Rev. Mod. Phys. – 2009. – V. 81. – P. 387-442.
3. Astumian R. D., Bier M. Fluctuation driven ratchets: molecular motors // Phys. Rev.
Lett. – 1994. – V. 72. – P. 1766-1769.
4. Prost J., Chawin J.-F., Peliti L., Adjari A. Asymmetric pumping of particles // Phys.
Rev. Lett. – 1994. – V. 72. – P. 2652-2655.
24
5. Chauwin J.-F., Ajdari A., Prost J. A. Mechanism without Diffusive Steps. // Europh.
Lett. – 1994. – V. 27. – P. 421-426.
6. Hugel T., Holland N. B., Cattani A., Moroder L., Seitz M., Gaub H. E. Single-
Molecule Optomechanical Cycle // Science. – 2002. – V. 296. – Р. 1103-1106.
7. Makhnovskii Yu. A., Rozenbaum V. M., Yang D.-Y., Lin S. H., Tsong T. Y.
Reciprocating nanoengine // Europ. Phys. J. B. – 2006. – V. 52. – P. 501–505.
8. Riskin H. The Fokker-Plank Equation. Methods of Solution and Applications. – Berlin:
Springer-Verlag, 1989. – 288 p.
ЗВОРОТНЬО-ПОСТУПАЛЬНИЙ ІНЕРЦІЙНИЙ БРОУНІВСЬКИЙ МОТОР
Т.Є. Корочкова1, І.В. Шапочкіна2, В.М. Розенбаум1
1 Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка Національної академії наук України,
вул. Генерала Наумова, 17, Київ, 03164, Україна, taiscrust@mail.ru
2 Білоруський державний університет,
пр-т Нєзавісімості, 4, Мінськ 220050, Білорусь, e-mail: shapoch@mail.ru
Представлено теорію інерційного зворотньо-поступального броунівського
мотора, що є справедливою при довільних масах частинок і частот дихотомних
флуктуацій потенціальної енергії. Отримано точний розв’язок рівняння Клейна-
Крамерса з флуктуючими параболічними потенціалами для амплітуди зворотно-
поступального руху і середньої швидкості цього руху в станах дихотомного процесу.
Показано, що урахування інерції є принципово важливим для отримання коректних
частотних залежностей основних характеристик броунівського мотора.
INERTIAL RECIPROCATING BROWNIAN MOTOR
T.E. Korochkova1, I.V. Shapochkina2, V.M. Rozenbaum1
1Chuiko Institute of Surface Chemistry of National Academy of Sciences of Ukraine,
17 General Naumov Str. Kyiv, 03164, Ukraine, taiscrust@mail.ru
2Belarusian State University, Prospekt Nezavisimosti 4, 220050 Minsk, Belarus, e-mail:
shapoch@mail.ru
We present a theory of an inertial reciprocating Brownian motor that is valid for an
arbitrary particle mass as for as arbitrary frequencies of dichotomic fluctuations of potential
energy. The exact solution of Klein-Kramers equation with fluctuating parabolic potentials is
derived that gives analytical expressions for the amplitude of reciprocation motion as well as
the mean velocity of this motion in dichotomic states. We demonstrate that inertia accounting
is essentially important for deriving of accurate frequency dependencies of the main
Brownian motor characteristics.
|
| id | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-534 |
| institution | Surface |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-12T17:14:11Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | surfacezbircomua/5f/efbc50b9b56ef922d3434bc19545305f.pdf |
| spelling | oai:ojs.pkp.sfu.ca:article-5342018-11-27T09:37:09Z Inertial reciprocating brownian motor Возвратно-поступательный инерционный броуновский мотор Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор Korochkova, T. E. Shapochkina, I. V. Rozenbaum, V. M. We present a theory of an inertial reciprocating Brownian motor that is valid for an arbitrary particle mass as for as arbitrary frequencies of dichotomic fluctuations of potential energy. The exact solution of Klein-Kramers equation with fluctuating parabolic potentials is derived that gives analytical expressions for the amplitude of reciprocation motion as well as the mean velocity of this motion in dichotomic states. We demonstrate that inertia accounting is essentially important for deriving of accurate frequency dependencies of the main Brownian motor characteristics.   Представлена теория инерционного возвратно-поступательного броуновского мотора, справедливая при произвольных массах частиц и частот дихотомных флуктуаций потенциальной энергии. Получено точное решение уравнения Клейна − Крамерса с флуктуирующими параболическими потенциалами для амплитуды возвратно-поступательного движения и средней скорости этого движения в состояниях дихотомного процесса. Показано, что учет инерции принципиально важен для получения корректных частотных зависимостей основных характеристик броуновского мотора Представлено теорію інерційного зворотньо-поступального броунівського мотора, що є справедливою при довільних масах частинок і частот дихотомних флуктуацій потенціальної енергії. Отримано точний розв’язок рівняння Клейна-Крамерса з флуктуючими параболічними потенціалами для амплітуди зворотно-поступального руху і середньої швидкості цього руху в станах дихотомного процесу. Показано, що урахування інерції є принципово важливим для отримання коректних частотних залежностей основних характеристик броунівського мотора. Chuiko Institute of Surface Chemistry National Academy of Sciences of Ukraine 2014-09-07 Article Article application/pdf https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/534 Surface; No. 6(21) (2014): Surface; 18-24 Поверхность; № 6(21) (2014): Поверхность; 18-24 Поверхня; № 6(21) (2014): Поверхня; 18-24 3154-8091 3154-8083 ru https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/534/534 Авторське право (c) 2014 T.E. Korochkova, I.V. Shapochkina, V.M. Rozenbaum |
| spellingShingle | Korochkova, T. E. Shapochkina, I. V. Rozenbaum, V. M. Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title | Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title_alt | Inertial reciprocating brownian motor Возвратно-поступательный инерционный броуновский мотор |
| title_full | Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title_fullStr | Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title_full_unstemmed | Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title_short | Зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| title_sort | зворотньо-поступальний інерційний броунівський мотор |
| url | https://surfacezbir.com.ua/index.php/surface/article/view/534 |
| work_keys_str_mv | AT korochkovate inertialreciprocatingbrownianmotor AT shapochkinaiv inertialreciprocatingbrownianmotor AT rozenbaumvm inertialreciprocatingbrownianmotor AT korochkovate vozvratnopostupatelʹnyjinercionnyjbrounovskijmotor AT shapochkinaiv vozvratnopostupatelʹnyjinercionnyjbrounovskijmotor AT rozenbaumvm vozvratnopostupatelʹnyjinercionnyjbrounovskijmotor AT korochkovate zvorotnʹopostupalʹnijínercíjnijbrounívsʹkijmotor AT shapochkinaiv zvorotnʹopostupalʹnijínercíjnijbrounívsʹkijmotor AT rozenbaumvm zvorotnʹopostupalʹnijínercíjnijbrounívsʹkijmotor |