Усереднення в математичних моделях під дією багаточастотних збурень із запізненням

• Дата: 2024
• Автори: Bihun, Yaroslav, Ukrainets, Oleh, Skutar, Ihor
• Формат: Стаття
• Мова: Ukrainian
• Опубліковано: V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine 2024
• Теми: математична модель; метод усередненння; малий параметр; резонанс; лінійне запізнення; оцінка похибки; існування і єдиність розв'язку
• Онлайн доступ: https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/211
• Назва журналу: Problems of Control and Informatics

Метод усереднення за швидкими змінними застосовано для дослідження математичних моделей природничих процесів з лінійними запізненнями під дією багаточастотних збурень. Побудовано усереднену систему за швидкими змінними, яка значно простіша точної системи рівнянь. Доведено існування і єдиність неперервно диференційовного розв’язку на скінченному часовому відрізку. Обґрунтування методу усереднення будується на оцінках осциляційних інтегралів, відповідних багаточастотній системі. Напрям досліджень багаточастотних систем запропоновано у працях А.М. Самойленка і Р.І. Петришина. Диференціальним рівнянням із запізненням аргументу і початковими, багатоточковими й інтегральними умовами, дослідженню за допомогою методу усереднення систем, які в процесі еволюції проходять через резонанс, присвячені праці Я.Й. Бігуна. Встановлено умову резонансу, яка залежить не тільки від частот, але і від запізнень у швидких змінних. Одержана оцінка методу усереднення явно залежить від малого параметра та кількості швидких змінних і запізнень у них. Асимптотика оцінки є непокращуваною при накладених у роботі умовах. Основною умовою побудови оцінки є умова виходу системи з малого околу резонансу. У роботі такою умовою є відмінність від нуля на часовому відрізку  визначника Вронського порядку  побудованого за системою  векторів частот з лінійно перетвореними аргументами,  — кількість швидких змінних і частот. Одержаний результат проілюстровано на моделі Вольтерри–Лотки під впливом одночастотного збурення з лінійно перетвореним аргументом. Асимптотика оцінки похибки методу має порядок  і характерна для двочастотної системи без запізнення. Для усередненої задачі проаналізовано біфуркації стану рівноваги, який відповідає співіснуванню двох видів. Результати роботи можна застосувати при побудові і дослідженні математичних моделей динаміки популяції за наявності багаточастотних збурень. Такі дослідження актуальні в період воєнних дій, коли на процеси у природі впливають шуми, світлові, механічні і електромагнітні збурення. Також одержаний результат заслуговує на увагу в моделях поширення епідемій, імунної відповіді організму при інфекційних захворюваннях, при дослідженні політичних і воєнних конфліктів.