Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння
Розподілені системи з дробовими похідними використовуються при математичному моделюванні процесів поширення механічних хвиль у в’язкопружних матеріалах, аномальної дифузії в неоднорідних середовищах, наприклад внутрішньоклітинного руху часток в цитоплазмі клітин, та розповсюдження забруднення у пори...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/26 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Problems of Control and Informatics |
Institution
Problems of Control and Informatics| id |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-26 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Problems of Control and Informatics |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2024-03-13T14:26:20Z |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| topic |
дробова похідна похідна Капуто похідна Рімана–Ліувілля хвильове рівняння рівняння супердифузії оптимальне керування |
| spellingShingle |
дробова похідна похідна Капуто похідна Рімана–Ліувілля хвильове рівняння рівняння супердифузії оптимальне керування Veklych, Rostyslav Semenov, Vladimir Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| topic_facet |
fractional derivative Caputo derivative Riemann–Liouville derivative wave equation superdiffusion equation optimal control дробова похідна похідна Капуто похідна Рімана–Ліувілля хвильове рівняння рівняння супердифузії оптимальне керування |
| format |
Article |
| author |
Veklych, Rostyslav Semenov, Vladimir |
| author_facet |
Veklych, Rostyslav Semenov, Vladimir |
| author_sort |
Veklych, Rostyslav |
| title |
Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_short |
Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_full |
Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_fullStr |
Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_full_unstemmed |
Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_sort |
оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_alt |
Optimal control of the initial condition for a time-fractional wave equation |
| description |
Розподілені системи з дробовими похідними використовуються при математичному моделюванні процесів поширення механічних хвиль у в’язкопружних матеріалах, аномальної дифузії в неоднорідних середовищах, наприклад внутрішньоклітинного руху часток в цитоплазмі клітин, та розповсюдження забруднення у пористих водоносних шарах ґрунту. Такий процес дифузії відбувається, зокрема, тоді, коли окремі частинки, що рухаються, можуть на тривалий час затримуватись (наприклад, в ґрунтових порах чи через часті зіткнення з іншими елементами неоднорідного середовища). Для ґрунтовно досліджених систем, поведінка яких описується гіперболічними рівняннями зі звичайними похідними цілих порядків, раніше було отримано результати існування та єдиності для розв’язку як рівняння стану системи, так і задач керування різних типів з різноманітними функціоналами якості. Доцільно також розглянути аналогічні задачі керування для згаданих рівнянь з похідними дробових порядків, спробувати довести існування та єдиність розв’язку і навести умови його оптимальності. У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння, яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівняння, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні. |
| publisher |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/26 |
| work_keys_str_mv |
AT veklychrostyslav optimalʹnekeruvannâpočatkovoûumovoûdlâdrobovogozačasomhvilʹovogorívnânnâ AT semenovvladimir optimalʹnekeruvannâpočatkovoûumovoûdlâdrobovogozačasomhvilʹovogorívnânnâ AT veklychrostyslav optimalcontroloftheinitialconditionforatimefractionalwaveequation AT semenovvladimir optimalcontroloftheinitialconditionforatimefractionalwaveequation |
| first_indexed |
2025-10-30T02:48:30Z |
| last_indexed |
2025-10-30T02:48:30Z |
| _version_ |
1847373343874875392 |
| spelling |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-262024-03-13T14:26:20Z Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння Optimal control of the initial condition for a time-fractional wave equation Veklych, Rostyslav Semenov, Vladimir fractional derivative Caputo derivative Riemann–Liouville derivative wave equation superdiffusion equation optimal control дробова похідна похідна Капуто похідна Рімана–Ліувілля хвильове рівняння рівняння супердифузії оптимальне керування Розподілені системи з дробовими похідними використовуються при математичному моделюванні процесів поширення механічних хвиль у в’язкопружних матеріалах, аномальної дифузії в неоднорідних середовищах, наприклад внутрішньоклітинного руху часток в цитоплазмі клітин, та розповсюдження забруднення у пористих водоносних шарах ґрунту. Такий процес дифузії відбувається, зокрема, тоді, коли окремі частинки, що рухаються, можуть на тривалий час затримуватись (наприклад, в ґрунтових порах чи через часті зіткнення з іншими елементами неоднорідного середовища). Для ґрунтовно досліджених систем, поведінка яких описується гіперболічними рівняннями зі звичайними похідними цілих порядків, раніше було отримано результати існування та єдиності для розв’язку як рівняння стану системи, так і задач керування різних типів з різноманітними функціоналами якості. Доцільно також розглянути аналогічні задачі керування для згаданих рівнянь з похідними дробових порядків, спробувати довести існування та єдиність розв’язку і навести умови його оптимальності. У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння, яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівняння, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні. Distributed systems with fractional derivatives are used in mathematical modelling of the propagation of mechanical waves in viscoelastic materials, the anomalous diffusion in a heterogeneous environment, for instance, an intracellular particle motion in a cellular cytoplasm, a pollution spreading in the porous aquifer. Such diffusion process is occurring, in particular, when the moving particles can be trapped for a significant time (for example, in the soil pores, or because of the frequent collisions with the other elements of the heterogeneous environment). For the thoroughly investigated systems governed by hyperbolic equations with ordinary derivatives of integer order results on existence and uniqueness of the solution of the state equation, and the solution of the state equation of numerous control problems with various cost functions were presented earlier. It makes sense to consider similar optimal control problems for the abovementioned equations with fractional derivatives, try to prove existence and uniqueness of the solution, and give optimality conditions. In this article a system with a homogeneous fractional wave (or fractional-hyperbolic, or superdiffusion) state equation with left-sided Caputo time fractional derivative of order between 1 and 2 and ordinary derivatives of integer order of spatial variables is considered. The initial conditions are given for the state function and its ordinary first derivative, and control of this first derivative of the state equation solution with the quadratic compromise cost function is considered. In this paper new additional regularity estimates for the wave state equation are established. Similar regularity estimates are established for the adjoint equation with right-sided Riemann–Liouville time fractional derivative. An existence and uniqueness theorem is proved for the optimal control problem. Necessary and sufficient optimality conditions are formulated and proved for the case with a bounded set of admissible controls, and for the case without any control constraints. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine 2023-01-05 Article Article application/pdf https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/26 10.34229/1028-0979-2022-6-3 Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; Том 67 № 6 (2022): Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; 25–42 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics; Том 67 № 6 (2022): International Scientific Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 25–42 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics"; Vol. 67 No. 6 (2022): International Scientific Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 25–42 2786-6505 2786-6491 10.34229/1028-0979-2022-6 uk https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/26/39 Copyright (c) 2022 Rostyslav Veklych, Vladimir Semenov https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |