Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of a new direction in the theory of PDE, which they called parabolic PDE with non-smooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and S...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/85 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Problems of Control and Informatics |
Репозитарії
Problems of Control and Informatics| id |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-85 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Problems of Control and Informatics |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2024-03-12T12:12:55Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
рівняння фрактальної дифузії відхилення змінної покроковий метод |
| spellingShingle |
рівняння фрактальної дифузії відхилення змінної покроковий метод Drin, Yaroslav Drin, Iryna Drin, Svetlana Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| topic_facet |
рівняння фрактальної дифузії відхилення змінної покроковий метод fractal diffusion equation deviation variable step by step method уравнение фрактальной диффузии отклонение переменной пошаговый метод |
| format |
Article |
| author |
Drin, Yaroslav Drin, Iryna Drin, Svetlana |
| author_facet |
Drin, Yaroslav Drin, Iryna Drin, Svetlana |
| author_sort |
Drin, Yaroslav |
| title |
Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_short |
Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_full |
Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_fullStr |
Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_full_unstemmed |
Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_sort |
нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_alt |
The nonlocal problem for fractal diffusion equation Нелокальная задача для уравнения фрактальной диффузии |
| description |
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of a new direction in the theory of PDE, which they called parabolic PDE with non-smooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuil Eidelman. In the early 1970s, they constructed an example of the Cauchy problem for a modified heat equation containing, instead of the Laplace operator, PDO, which is its square root. Such a PDO has a homogeneous symbol |σ|, which is not smooth at the origin. The fundamental solution of the Cauchy problem (FSCP) for such an equation is an exact power function. For the heat equation, FSCP is an exact exponential function. The Laplace operator can be interpreted as a PDO with a smooth homogeneous symbol |σ|^2, σ ∈ Rn. A generalization of the heat equation is PPDE containing PDO with homogeneous non-smooth symbols. They have an important application in the theory of random processes, in particular, in the construction of discontinuous Markov processes with generators of integro-differential operators, which are related to PDO; in the modern theory of fractals, which has recently been rapidly developing. If the PDO symbol does not depend on spatial coordinates, then the Cauchy problem for PPDE is correctly solvable in the space of distribution-type generalized functions. In this case, the solution is written as a convolution of the FSCP with an initial generalized function. These results belong to a number of domestic and foreign mathematicians, in particular S. Eidelman and Y. Drin (who were the first to define PPDO with non-smooth symbols and began the study of the Cauchy problem for the corresponding PPDE), M. Fedoruk, A. Kochubey, V. Gorodetsky, V . Litovchenko and others. For certain new classes of PPDE, the correct solvability of the Cauchy problem in the space of Hölder functions has been proved, classical FSCP have been constructed, and exact estimates of their power-law derivatives have been obtained [1–4]. Of fundamental importance is the interpretation of PDO proposed by A. Kochubey in terms of hypersingular integrals (HSI). At the same time, the HSI symbol is constructed from the known PDO symbol and vice versa [6]. The theory of HSI, which significantly extend the class of PDO, was developed by S. Samko [7]. We extends this concept to matrix HSI [5]. Generalizations of the Cauchy problem are non-local multipoint problems with respect to the time variable and the problem with argument deviation. Here we prove the solvability of a nonlocal problem using the method of steps. We consider an evolutionary nonlinear equation with a regularized fractal fractional derivative α ∈ (0, 1] with respect to the time variable and a general elliptic operator with variable coefficients with respect to the second-order spatial variable. Such equations describe fractal properties in real processes characterized by turbulence, in hydrology, ecology, geophysics, environment pollution, economics and finance. |
| publisher |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/85 |
| work_keys_str_mv |
AT drinyaroslav thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT driniryna thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinsvetlana thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinyaroslav nelokalʹnaâzadačadlâuravneniâfraktalʹnojdiffuzii AT driniryna nelokalʹnaâzadačadlâuravneniâfraktalʹnojdiffuzii AT drinsvetlana nelokalʹnaâzadačadlâuravneniâfraktalʹnojdiffuzii AT drinyaroslav nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT driniryna nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinsvetlana nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinyaroslav nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT driniryna nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinsvetlana nonlocalproblemforfractaldiffusionequation |
| first_indexed |
2025-10-30T02:48:37Z |
| last_indexed |
2025-10-30T02:48:37Z |
| _version_ |
1847373350771359744 |
| spelling |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-852024-03-12T12:12:55Z The nonlocal problem for fractal diffusion equation Нелокальная задача для уравнения фрактальной диффузии Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії Drin, Yaroslav Drin, Iryna Drin, Svetlana рівняння фрактальної дифузії відхилення змінної покроковий метод fractal diffusion equation deviation variable step by step method уравнение фрактальной диффузии отклонение переменной пошаговый метод Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of a new direction in the theory of PDE, which they called parabolic PDE with non-smooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuil Eidelman. In the early 1970s, they constructed an example of the Cauchy problem for a modified heat equation containing, instead of the Laplace operator, PDO, which is its square root. Such a PDO has a homogeneous symbol |σ|, which is not smooth at the origin. The fundamental solution of the Cauchy problem (FSCP) for such an equation is an exact power function. For the heat equation, FSCP is an exact exponential function. The Laplace operator can be interpreted as a PDO with a smooth homogeneous symbol |σ|^2, σ ∈ Rn. A generalization of the heat equation is PPDE containing PDO with homogeneous non-smooth symbols. They have an important application in the theory of random processes, in particular, in the construction of discontinuous Markov processes with generators of integro-differential operators, which are related to PDO; in the modern theory of fractals, which has recently been rapidly developing. If the PDO symbol does not depend on spatial coordinates, then the Cauchy problem for PPDE is correctly solvable in the space of distribution-type generalized functions. In this case, the solution is written as a convolution of the FSCP with an initial generalized function. These results belong to a number of domestic and foreign mathematicians, in particular S. Eidelman and Y. Drin (who were the first to define PPDO with non-smooth symbols and began the study of the Cauchy problem for the corresponding PPDE), M. Fedoruk, A. Kochubey, V. Gorodetsky, V . Litovchenko and others. For certain new classes of PPDE, the correct solvability of the Cauchy problem in the space of Hölder functions has been proved, classical FSCP have been constructed, and exact estimates of their power-law derivatives have been obtained [1–4]. Of fundamental importance is the interpretation of PDO proposed by A. Kochubey in terms of hypersingular integrals (HSI). At the same time, the HSI symbol is constructed from the known PDO symbol and vice versa [6]. The theory of HSI, which significantly extend the class of PDO, was developed by S. Samko [7]. We extends this concept to matrix HSI [5]. Generalizations of the Cauchy problem are non-local multipoint problems with respect to the time variable and the problem with argument deviation. Here we prove the solvability of a nonlocal problem using the method of steps. We consider an evolutionary nonlinear equation with a regularized fractal fractional derivative α ∈ (0, 1] with respect to the time variable and a general elliptic operator with variable coefficients with respect to the second-order spatial variable. Such equations describe fractal properties in real processes characterized by turbulence, in hydrology, ecology, geophysics, environment pollution, economics and finance. В последние несколько десятилетий интенсивно развивается теория псевдодифференциальных операторов (ПДО) и уравнений с такими операторами (ПДД). Авторами нового направления теории ПДД, названного параболическими ПДД с негладкими однородными символами (ППДР), являются Ярослав Дринь и Самуил Эйдельман. В начале 70-х годов прошлого века они построили пример задачи Коши для модифицированного уравнения теплопроводности, содержащей вместо оператора Лапласа ПДО, являющегося его квадратным корнем. Такой ПДО имеет однородный символ |σ|, негладкий в начале координат. Фундаментальное решение задачи Коши (ФРСК) для такого уравнения является точной ступенчатой функцией. Для уравнения теплопроводности ФРСК является точной экспоненциальной функцией. Оператор Лапласа можно интерпретировать как ПДО с однородным гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Обобщением уравнения теплопроводности являются ППДР, содержащие ПДО с однородными негладкими символами. Они имеют важное применение в теории случайных процессов, в частности, при построении разрывных марковских процессов с образующими интегро-дифференциальными операторами, относящимися к ПДО, в бурно развивающейся современной теории фракталов. Если символ ПДО не зависит от пространственных координат, задача Коши для ППДР корректно разрешима в пространстве обобщенных функций типа распределений. Решение при этом записывается как свертка ФРСК с начальной обобщенной функцией. Эти результаты принадлежат ряду отечественных и зарубежных математиков, в частности С. Эйдельману и Я. Дриню (первые определили ППДО с негладкими символами и начали исследование задачи Коши для соответствующих ППДР), М. Федорюку, А. Кочубею, В. Городецкому, Литовченко и др. . Для определенных новых классов ППДР доказана корректная решительность задачи Коши в пространстве гельдеровых функций, построены классические ФРСК, получены точные оценки их производных степенного характера [1–4]. Принципиально важно предложенное А. Кочубеем толкование ПДО через гиперсингулярные интегралы (ГСИ). При этом по известному символу ПДО строится символ ГСИ и наоборот[6]. Теория ГСИ, существенно расширяющая класс ПДО, разработана С. Самком [7]. Это понятие распространено на матричных ГСИ [5]. Обобщение задачи Коши - нелокальные многоточечные по временной переменной задачи и задача с отклонением аргумента. Здесь доказана решение нелокальной задачи с использованием метода шагов. Рассматриваем эволюционное нелинейное уравнение с регуляризированной фрактальной производной дробного порядка α ∈ (0, 1] по временной переменной и эллиптический оператор с переменными коэффициентами пространственной переменной. Это уравнение описывает фрактальные свойства реальных данных, возникающих в таких прикладных областях, как турбулентность , геофизика, загрязнение среды, экономика и финансы. Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine 2023-08-03 Article Article application/pdf https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/85 10.34229/1028-0979-2022-1-5 Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; Том 67 № 1 (2022): Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; 47-55 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics; Том 67 № 1 (2022): International Scientific Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 47-55 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics"; Vol. 67 No. 1 (2022): International Scientific Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 47-55 2786-6505 2786-6491 10.34229/1028-0979-2022-1 en https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/85/163 Copyright (c) 2022 Yaroslav Drin, Iryna Drin, Svetlana Drin https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ |