ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 The problem of description of the hydrodynamic stage of system evolution and the corresponding calculation of the system kinetic coefficients is urgent for statistical physics. The Chapman-Enskog method is widely applied to the corresponding problem for d...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
текст 3
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/117 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Mechanics |
Репозитарії
Technical Mechanics| id |
oai:ojs2.journal-itm.dp.ua:article-117 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Technical Mechanics |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2025-11-04T12:22:19Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. |
| spellingShingle |
інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| topic_facet |
integral brackets Sonine polynomials Landau collision integral one-component system small interaction. інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. |
| format |
Article |
| author |
GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. |
| author_facet |
GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. |
| author_sort |
GOREV, V. N. |
| title |
ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_short |
ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_full |
ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_fullStr |
ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_full_unstemmed |
ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_sort |
температурні інтегральні дужки для однокомпонентної системи з малою взаємодією |
| title_alt |
TEMPERATURE INTEGRAL BRACKETS FOR A ONE-COMPONENT SYSTEM WITH SMALL INTERACTION |
| description |
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124
The problem of description of the hydrodynamic stage of system evolution and the corresponding calculation of the system kinetic coefficients is urgent for statistical physics. The Chapman-Enskog method is widely applied to the corresponding problem for different systems, and the Sonine polynomials are widely used for the calculation of approximate solutions for the system distribution function. The standard hydrodynamic theory leads to Fredholm integral equations of the first kind, for which the solutions based on Sonine polynomials are considered to be convergent. It should be stressed that analytical calculations are often restricted to the one- or two-polynomial approximations because of the cumbersomeness of such calculations and the fact that the convergence of the solutions with increasing number of polynomials is considered to be rather fast.
However, the numerical investigation of the corresponding convergence is of interest. For example, a numerical investigation of the corresponding convergence for the simple and rigid-sphere gas approximations up to as many as 150 polynomials was made by S.K. Loyalka, R.V. Tompson, and E.L. Tipton on the basis of the Boltzmann kinetic equation. However, we do not know any works where such investigations would be made for systems described by the Landau kinetic equation.
As is known, the so-called systems with small interaction are described by the Landau kinetic equation, which contains the Landau collision integral. For example, systems with Coulomb interaction are described by this mathematical apparatus. In particular, some previous investigations were devoted to a completely ionized two-component plasma, and in most cases the one- or two-polynomial approximations were used. In this paper we investigate the corresponding integral brackets for a one-component system with small interaction, but the calculation of the integral brackets is made up to the thirteen-polynomial approximation. Here we restrict ourselves only to the integral brackets necessary for the calculation of the temperature part of the first-order-in-gradients distribution function. Exact analytical results for the integral brackets under consideration are obtained. The obtained results are important for further numerical investigation of the convergence of the results for the system thermal conductivity with increasing number of polynomials in corresponding approximations. The brackets that are necessary for the calculation of the velocity part of the distribution function may be the subject matter of another paper.
REFERENCES
1. Akhiezer A .I., Peletminsky S. V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp.
2. Gorev V. N., Sokolovsky A .I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39-46.
3. Ji J.-Y., Held E. D. Analytical solution of the kinetic equation for a uniform plasma in a magnetic field. Physical Review E. 2010. V. 82. 016401.https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.016401
4. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. 668. 130522.https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522
5. Loyalka S. K., Tipton E. L., Tompson R. V. Chapman-Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials I: Simple, rigid-sphere gas. Physica A. 2007. 379. Pp. 417-435.https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.12.001
|
| publisher |
текст 3 |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/117 |
| work_keys_str_mv |
AT gorevvn temperatureintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT tytarenkovv temperatureintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT turinovan temperatureintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT voronkote temperatureintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT gorevvn temperaturnííntegralʹnídužkidlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT tytarenkovv temperaturnííntegralʹnídužkidlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT turinovan temperaturnííntegralʹnídužkidlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT voronkote temperaturnííntegralʹnídužkidlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû |
| first_indexed |
2025-09-24T17:27:27Z |
| last_indexed |
2025-11-05T02:41:40Z |
| _version_ |
1850410593112031232 |
| spelling |
oai:ojs2.journal-itm.dp.ua:article-1172025-11-04T12:22:19Z TEMPERATURE INTEGRAL BRACKETS FOR A ONE-COMPONENT SYSTEM WITH SMALL INTERACTION ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. integral brackets, Sonine polynomials, Landau collision integral, one-component system, small interaction. інтегральні дужки, поліноми Соніна, інтеграл зіткнень Ландау, однокомпонентна система, мала взаємодія. DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 The problem of description of the hydrodynamic stage of system evolution and the corresponding calculation of the system kinetic coefficients is urgent for statistical physics. The Chapman-Enskog method is widely applied to the corresponding problem for different systems, and the Sonine polynomials are widely used for the calculation of approximate solutions for the system distribution function. The standard hydrodynamic theory leads to Fredholm integral equations of the first kind, for which the solutions based on Sonine polynomials are considered to be convergent. It should be stressed that analytical calculations are often restricted to the one- or two-polynomial approximations because of the cumbersomeness of such calculations and the fact that the convergence of the solutions with increasing number of polynomials is considered to be rather fast. However, the numerical investigation of the corresponding convergence is of interest. For example, a numerical investigation of the corresponding convergence for the simple and rigid-sphere gas approximations up to as many as 150 polynomials was made by S.K. Loyalka, R.V. Tompson, and E.L. Tipton on the basis of the Boltzmann kinetic equation. However, we do not know any works where such investigations would be made for systems described by the Landau kinetic equation. As is known, the so-called systems with small interaction are described by the Landau kinetic equation, which contains the Landau collision integral. For example, systems with Coulomb interaction are described by this mathematical apparatus. In particular, some previous investigations were devoted to a completely ionized two-component plasma, and in most cases the one- or two-polynomial approximations were used. In this paper we investigate the corresponding integral brackets for a one-component system with small interaction, but the calculation of the integral brackets is made up to the thirteen-polynomial approximation. Here we restrict ourselves only to the integral brackets necessary for the calculation of the temperature part of the first-order-in-gradients distribution function. Exact analytical results for the integral brackets under consideration are obtained. The obtained results are important for further numerical investigation of the convergence of the results for the system thermal conductivity with increasing number of polynomials in corresponding approximations. The brackets that are necessary for the calculation of the velocity part of the distribution function may be the subject matter of another paper. REFERENCES 1. Akhiezer A .I., Peletminsky S. V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp. 2. Gorev V. N., Sokolovsky A .I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39-46. 3. Ji J.-Y., Held E. D. Analytical solution of the kinetic equation for a uniform plasma in a magnetic field. Physical Review E. 2010. V. 82. 016401.https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.016401 4. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. 668. 130522.https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522 5. Loyalka S. K., Tipton E. L., Tompson R. V. Chapman-Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials I: Simple, rigid-sphere gas. Physica A. 2007. 379. Pp. 417-435.https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.12.001 DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 Задача опису гідродинамічного етапу еволюції системи та відповідного розрахунку кінетичних коефіцієнтів системи є актуальною для статистичної фізики. Метод Чепмена–Енскога широко застосовується до відповідної задачі для різних систем, а поліноми Соніна широко використовуються для розрахунку наближених розв'язків для функції розподілу системи. Стандартна гідродинамічна теорія призводить до інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, для яких розв'язки, засновані на поліномах Соніна, вважаються збіжними. Слід зауважити, що часто аналітичні розрахунки обмежуються наближеннями одного або двох поліномів через громіздкість таких розрахунків та той факт, що збіжність розв'язків зі збільшенням кількості поліномів вважається досить швидкою. Однак, числове дослідження відповідної збіжності представляє інтерес. Наприклад, числове дослідження відповідної збіжності для простого газу та газу твердих сфер для наближень навіть до 150 поліномів було проведено С. К. Лоялкою, Р. В. Томпсоном та Е. Л. Тіптоном на основі кінетичного рівняння Больцмана. Однак, нам невідомі роботи, де такі дослідження проводяться для систем, що описуються кінетичним рівнянням Ландау. Як відомо, так звані системи з малою взаємодією описуються кінетичним рівнянням Ландау, яке містить інтеграл зіткнень Ландау. Наприклад, системи з кулонівською взаємодією описуються таким математичним апаратом. Зокрема, деякі попередні дослідження були присвячені повністю іонізованій двокомпонентній плазмі, і в більшості випадків використовувалися наближення одного або двох поліномів. У цій статті ми досліджуємо відповідні інтегральні дужки для однокомпонентної системи з малою взаємодією, але обчислено інтегральні дужки до наближення тринадцяти поліномів включно. В цій статті ми обмежуємося лише інтегральними дужками, необхідними для розрахунку температурної частини функції розподілу першого порядку по градієнтах. Отримано точні аналітичні результати для розглянутих інтегральних дужок. Отримані результати є важливими для подальшого числового дослідження збіжності результатів для теплопровідності системи зі збільшенням кількості поліномів у відповідних наближеннях. Дужки, необхідні для розрахунку швидкісної частини функції розподілу, можуть бути представлені в іншій статті. ПОСИЛАННЯ 1. Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp. 2. Gorev V. N., Sokolovsky A. I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39–46. 3. Ji J.-Y., Held E. D. Analytical solution of the kinetic equation for a uniform plasma in a magnetic field. Physical Review E. 2010. V. 82. 016401. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.016401 4. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. 668. 130522. https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522 5. Loyalka S. K., Tipton E. L., Tompson R. V. Chapman–Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials I: Simple, rigid-sphere gas. Physica A. 2007. 379. Pp. 417–435. https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.12.001 6. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of Integrals, Series, and Products. Eighth Edition, D. Zwillinger and V. Moll (Eds).. Elsevier Academic Press. 2015. 1184 Pp. 7. Adegoke K. A Short Proof of Knuth's Old Sum. 2024. arXiv:2412.00040 [math.GM]. https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.00040 текст 3 2025-06-24 Article Article application/pdf https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/117 Technical Mechanics; No. 2 (2025): Technical Mechanics; 124-134 Институт технической механики Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины; № 2 (2025): Technical Mechanics; 124-134 ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА; № 2 (2025): ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА; 124-134 en https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/117/48 Copyright (c) 2025 Technical Mechanics |