ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.03.114 The standard and widely used approach to the description of the hydrodynamic stage of the system evolution is the Chapman–Enskog method, in the framework of which the system distribution function is calculated in a perturbation theory in small gradients....
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | English |
| Veröffentlicht: |
текст 3
2025
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/145 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Technical Mechanics |
Institution
Technical Mechanics| id |
oai:ojs2.journal-itm.dp.ua:article-145 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Technical Mechanics |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2025-11-10T21:18:53Z |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. |
| spellingShingle |
інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| topic_facet |
інтегральні дужки поліноми Соніна інтеграл зіткнень Ландау однокомпонентна система мала взаємодія. integral brackets Sonine polynomials Landau collision integral one-component system small interaction. |
| format |
Article |
| author |
GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. |
| author_facet |
GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. |
| author_sort |
GOREV, V. N. |
| title |
ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_short |
ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_full |
ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_fullStr |
ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_full_unstemmed |
ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ |
| title_sort |
інтегральні дужки швидкості для однокомпонентної системи з малою взаємодією |
| title_alt |
VELOCITY INTEGRAL BRACKETS FOR A ONE-COMPONENT SYSTEM WITH SMALL INTERACTION |
| description |
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.03.114
The standard and widely used approach to the description of the hydrodynamic stage of the system evolution is the Chapman–Enskog method, in the framework of which the system distribution function is calculated in a perturbation theory in small gradients. The system kinetic coefficients are calculated on the basis of the obtained first-order-in-gradients distribution function, the temperature and velocity parts of which are the solutions of Fredholm integral equations of the first kind. In the literature it is considered that the standard approach to the solution of the corresponding integral equations is an approximate search for their solution with the help of the Galerkin method based on an artificially truncated Sonine polynomial expansion.
The so-called integral brackets are needed in order to calculate the coefficients multiplying the polynomials, and the calculation of the integral brackets is the most cumbersome stage of the kinetic coefficient calculation. In the literature it is assumed that the solution of a Fredholm equation of the first kind converges fast with increasing number of polynomials, that is why the corresponding analytical solutions are often restricted to the one- or two-polynomial approximations. However, for a number of systems the numerical investigation of the corresponding convergence is made on the basis of the corresponding numerical calculations for many-polynomial approximations. We do not know any works where the corresponding numerical investigation would be provided for a system with small interaction described by the Landau kinetic equation which contains the Landau collision integral.
In our previous paper, we calculated the so-called temperature integral brackets for a one-component system with small interaction up to the thirteen-polynomial approximation; the corresponding integral brackets are needed in order to calculate the system thermal conductivity. In this paper, we calculate the so-called velocity integral brackets for a one-component system with small interaction up to the thirteen-polynomial approximation, the corresponding integral brackets are needed in order to calculate the system viscosity. The obtained results are important for a further numerical investigation of the convergence of the solutions for the system thermal conductivity and viscosity with increasing number of polynomials. The corresponding numerical investigation with a detailed calculation of the first-order-in-gradients distribution function may be given in another paper.
REFERENCES
1. Akhiezer A. I., Peletminsky S. V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp.
2. Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Malabar: Kreiger Pub Co, 1991. 742 pp.
3. Colangeli M. From Kinetic Models to Hydrodynamics. Some Novel Results. New York: Springer, 2013. 109 pp. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6306-1
4. Gorev V. N., Sokolovsky A. I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39-46.
5. Khalil N., Garzo V. Homogeneous states in driven granular mixtures: Enskog kinetic theory versus molecular dynamics simulations. The Journal of Chemical Physics. 2014. V. 140. 164901.https://doi.org/10.1063/1.4871628
6. Gonzalez R. G., Garzo V. Kinetic Theory of binary granular suspensions at low density. Thermal diffusion segregation. In: Brenig L., Brilliantov N., Tlidi, M. (Eds.). Nonequilibrium Thermodynamics and Fluctuation Kinetics. Fundamental Theories of Physics. Cham: Springer, 2022. V. 208. Pp. 173-189. https://doi.org/10.1007/978-3-031-04458-8_9
7. Sokolovsky S. A., Sokolovsky A. I., Hrinishyn O. A. Hydrodynamic states of electron plasma of semiconductors in the generalized Chapman-Enskog method. Journal of Physics and Electronics. 2020. V. 28. No. 1. Pp. 9-16. https://doi.org/10.15421/332002
8. Tipton E. L., Tompson R. V., Loyalka S. K. Chapman-Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials II: Viscosity in a binary, rigid-sphere, gas mixture. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. Pp. 335-352. https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2008.09.002
9. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. V. 668. 130522.https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522
10. Gorev V. N., Tytarenko V. V., Turinov A. N., Voronko T. E. Temperature integral brackets for a one-component system with small interaction. Teh. Meh. 2025. No. 2. Pp. 124-134.https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 |
| publisher |
текст 3 |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/145 |
| work_keys_str_mv |
AT gorevvn velocityintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT tytarenkovv velocityintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT turinovan velocityintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT voronkote velocityintegralbracketsforaonecomponentsystemwithsmallinteraction AT gorevvn íntegralʹnídužkišvidkostídlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT tytarenkovv íntegralʹnídužkišvidkostídlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT turinovan íntegralʹnídužkišvidkostídlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû AT voronkote íntegralʹnídužkišvidkostídlâodnokomponentnoísistemizmaloûvzaêmodíêû |
| first_indexed |
2025-10-30T02:49:51Z |
| last_indexed |
2025-11-11T03:05:11Z |
| _version_ |
1851757051166851072 |
| spelling |
oai:ojs2.journal-itm.dp.ua:article-1452025-11-10T21:18:53Z VELOCITY INTEGRAL BRACKETS FOR A ONE-COMPONENT SYSTEM WITH SMALL INTERACTION ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ШВИДКОСТІ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ GOREV, V. N. TYTARENKO, V. V. TURINOV, A. N. VORONKO, T. E. інтегральні дужки, поліноми Соніна, інтеграл зіткнень Ландау, однокомпонентна система, мала взаємодія. integral brackets, Sonine polynomials, Landau collision integral, one-component system, small interaction. DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.03.114 The standard and widely used approach to the description of the hydrodynamic stage of the system evolution is the Chapman–Enskog method, in the framework of which the system distribution function is calculated in a perturbation theory in small gradients. The system kinetic coefficients are calculated on the basis of the obtained first-order-in-gradients distribution function, the temperature and velocity parts of which are the solutions of Fredholm integral equations of the first kind. In the literature it is considered that the standard approach to the solution of the corresponding integral equations is an approximate search for their solution with the help of the Galerkin method based on an artificially truncated Sonine polynomial expansion. The so-called integral brackets are needed in order to calculate the coefficients multiplying the polynomials, and the calculation of the integral brackets is the most cumbersome stage of the kinetic coefficient calculation. In the literature it is assumed that the solution of a Fredholm equation of the first kind converges fast with increasing number of polynomials, that is why the corresponding analytical solutions are often restricted to the one- or two-polynomial approximations. However, for a number of systems the numerical investigation of the corresponding convergence is made on the basis of the corresponding numerical calculations for many-polynomial approximations. We do not know any works where the corresponding numerical investigation would be provided for a system with small interaction described by the Landau kinetic equation which contains the Landau collision integral. In our previous paper, we calculated the so-called temperature integral brackets for a one-component system with small interaction up to the thirteen-polynomial approximation; the corresponding integral brackets are needed in order to calculate the system thermal conductivity. In this paper, we calculate the so-called velocity integral brackets for a one-component system with small interaction up to the thirteen-polynomial approximation, the corresponding integral brackets are needed in order to calculate the system viscosity. The obtained results are important for a further numerical investigation of the convergence of the solutions for the system thermal conductivity and viscosity with increasing number of polynomials. The corresponding numerical investigation with a detailed calculation of the first-order-in-gradients distribution function may be given in another paper. REFERENCES 1. Akhiezer A. I., Peletminsky S. V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp. 2. Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Malabar: Kreiger Pub Co, 1991. 742 pp. 3. Colangeli M. From Kinetic Models to Hydrodynamics. Some Novel Results. New York: Springer, 2013. 109 pp. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6306-1 4. Gorev V. N., Sokolovsky A. I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39-46. 5. Khalil N., Garzo V. Homogeneous states in driven granular mixtures: Enskog kinetic theory versus molecular dynamics simulations. The Journal of Chemical Physics. 2014. V. 140. 164901.https://doi.org/10.1063/1.4871628 6. Gonzalez R. G., Garzo V. Kinetic Theory of binary granular suspensions at low density. Thermal diffusion segregation. In: Brenig L., Brilliantov N., Tlidi, M. (Eds.). Nonequilibrium Thermodynamics and Fluctuation Kinetics. Fundamental Theories of Physics. Cham: Springer, 2022. V. 208. Pp. 173-189. https://doi.org/10.1007/978-3-031-04458-8_9 7. Sokolovsky S. A., Sokolovsky A. I., Hrinishyn O. A. Hydrodynamic states of electron plasma of semiconductors in the generalized Chapman-Enskog method. Journal of Physics and Electronics. 2020. V. 28. No. 1. Pp. 9-16. https://doi.org/10.15421/332002 8. Tipton E. L., Tompson R. V., Loyalka S. K. Chapman-Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials II: Viscosity in a binary, rigid-sphere, gas mixture. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. Pp. 335-352. https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2008.09.002 9. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. V. 668. 130522.https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522 10. Gorev V. N., Tytarenko V. V., Turinov A. N., Voronko T. E. Temperature integral brackets for a one-component system with small interaction. Teh. Meh. 2025. No. 2. Pp. 124-134.https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.03.114 Стандартним та широко використовуваним в літературі підходом до опису гідродинамічного етапу еволюції системи є метод Чепмена–Енскога, в рамках якого функція розподілу системи обчислюється в теорії збурень за малими градієнтами. Кінетичні коефіцієнти системи обчислюються на основі отриманої функції розподілу першого порядку по градієнтах, температурна та швидкісна частини якої є розв'язками інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду. В літературі вважається, що стандартним підходом до розв'язання відповідних інтегральних рівнянь є наближений пошук їх розв'язку за допомогою методу Галеркіна, що базується на штучно обірваному розвиненні за поліномами Соніна. Так звані інтегральні дужки необхідні для обчислення коефіцієнтів при поліномах та обчислення інтегральних дужок є найбільш громіздким етапом обчислення кінетичних коефіцієнтів. У літературі вважається, що розв'язок рівняння Фредгольма першого роду швидко збігається зі збільшенням кількості поліномів, тому при отриманні відповідних аналітичних розв'язків дослідники часто обмежуються наближеннями одного або двох поліномів. Однак, для низки систем числове дослідження відповідної збіжності проводиться на основі відповідних числових розрахунків для наближень великої кількості поліномів. Нам невідомі роботи, де відповідне числове дослідження наведено для системи з малою взаємодією, що описується кінетичним рівнянням Ландау, яке містить інтеграл зіткнень Ландау. У нашій попередній статті ми обчислили так звані температурні інтегральні дужки для однокомпонентної системи з малою взаємодією до наближення тринадцяти поліномів включно, відповідні інтегральні дужки необхідні для розрахунку теплопровідності системи. У цій статті нами обчислено так звані швидкісні інтегральні дужки для однокомпонентної системи з малою взаємодією до наближення тринадцяти поліномів включно, відповідні інтегральні дужки необхідні для розрахунку в'язкості системи. Отримані результати є важливими для подальшого числового дослідження збіжності розв'язків для теплопровідності та в'язкості системи зі збільшенням кількості поліномів. Відповідне числове дослідження з детальним розрахунком функції розподілу першого порядку малості за градієнтами може бути наведено в іншій статті. ПОСИЛАННЯ 1. Akhiezer A. I., Peletminsky S. V. Methods of Statistical Physics. Oxford, Pergamon Press. 1981. 376 p. 2. Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Malabar, Kreiger Pub Co. 1991. 742 p. 3. Colangeli M. From Kinetic Models to Hydrodynamics. Some Novel Results. New York, Springer. 2013. 109 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6306-1 4. Gorev V. N., Sokolovsky A. I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21, No 2. Р. 39–46. 5. Khalil N., Garzo V. Homogeneous states in driven granular mixtures: Enskog kinetic theory versus molecular dynamics simulations. The Journal of Chemical Physics. 2014. V. 140, 164901 (10 pages). https://doi.org/10.1063/1.4871628 6. Gonzalez R. G., Garzo V. Kinetic Theory of Binary Granular Suspensions at Low Density. Thermal Difusion Segregation. In: Brenig L., Brilliantov N., Tlidi, M. (eds) Nonequilibrium Thermodynamics and Fluctuation Kinetics. Fundamental Theories of Physics, Springer, Cham. 2022. V. 208. P. 173–189. https://doi.org/10.1007/978-3-031-04458-8_9 7. Sokolovsky S. A., Sokolovsky A. I., Hrinishyn O. A. Hydrodynamic states of electron plasma of semiconductors in the generalized Chapman–Enskog method. Journal of Physics and Electronics. 2020. Vol. 28, No. 1. P. 9–16. https://doi.org/10.15421/332002 8. Tipton E. L., Tompson R. V., Loyalka S. K. Chapman–Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials II: Viscosity in a binary, rigid-sphere, gas mixture. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. 28. P. 335–352. https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2008.09.002 9. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. 668, 130522 (10 pages). https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522 10. Gorev V. N., Tytarenko V. V., Turinov A. N., Voronko T. E. Temperature integral brackets for a one-component system with small interaction. Technical Mechanics. 2025. No. 2. P. 124–134. https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124 текст 3 2025-10-28 Article Article application/pdf https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/145 Technical Mechanics; No. 3 (2025): Technical Mechanics; 114-122 Институт технической механики Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины; № 3 (2025): Technical Mechanics; 114-122 ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА; № 3 (2025): ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА; 114-122 en https://journal-itm.dp.ua/ojs/index.php/ITM_j1/article/view/145/58 Copyright (c) 2025 Technical Mechanics |