Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі
The problem of the interaction of two collinear defects - a closure-capable crack and a slot whose edges do not contact in the bending process of a plate on an elastic Winkler base is considered in the twodimensional formulation. Crack closure is described using the contact model along a line in the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/241 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479607487234048 |
|---|---|
| author | Даляк, Тарас Маковійчук, Микола |
| author_facet | Даляк, Тарас Маковійчук, Микола |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Тарас Даляк",
"institution": "лабораторія моделювання демпфуючих систем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України"
},
{
"author": "Микола Маковійчук",
"institution": "лабораторія моделювання демпфуючих систем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України"
}
] |
| author_sort | Даляк, Тарас |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-06-26T23:06:53Z |
| description | The problem of the interaction of two collinear defects - a closure-capable crack and a slot whose edges do not contact in the bending process of a plate on an elastic Winkler base is considered in the twodimensional formulation. Crack closure is described using the contact model along a line in the facial surface of the plate. By the slot, we mean a section with stress-free surfaces, on which, in the accepted problem formulation, a negative jump of displacements in the zone of compressive stresses is allowed. The problem was solved using the method of singular integral equations and the numerical method of quadrature. The coefficients of the intensity of forces and moments in the inner and outer vertices of the crack and the slot were calculated. The distribution of the contact reaction along the crack line as well as the influence of the elastic base, the interaction of defects, and the contact of the crack edges on the stress-strain state of the plate, were studied |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2022.34-35.007 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:08:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
7
doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.007
Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та ко-
лінеарною щілиною за згину на пружній основі
Тарас Даляк 1, Микола Маковійчук 2
1 к. ф.-м. н., доцент, лабораторія моделювання демпфуючих систем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул.
Микитинецька, 3, Івано-Франківськ, 76000, e-mail: tdalyak@gmail.com
2 к. ф.-м. н., доцент, лабораторія моделювання демпфуючих систем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул.
Микитинецька, 3, Івано-Франківськ, 76000, e-mail: makoviy@ua.fm
У двовимірній постановці розглянуто задачу про взаємодію двох колінеарних дефектів – трі-
щини, здатної до закриття, та щілини, береги якої не контактують – під час згину пластини
на пружній основі Вінклера. Закриття тріщини описано з використанням моделі контакту
вздовж лінії в лицьовій поверхні пластини. Під щілиною мається на увазі розріз з вільними від
напружень поверхнями, на якому, у прийнятій постановці задачі, допускається від’ємний стри-
бок переміщень у зоні стискаючих напружень. Задачу розв’язано за допомогою методу сингуля-
рних інтегральних рівнянь та числового методу квадратур. Обчислено коефіцієнти інтенсивно-
сті зусиль та моментів у внутрішніх та зовнішніх вершинах тріщини і щілини. Досліджено
розподіл контактної реакції на лінії тріщини, а також вплив пружної основи, взаємодії дефек-
тів та контакту берегів тріщини на напружено-деформований стан пластини.
Ключові слова: пластина, пружна основа, тріщина, щілина, колінеарні
дефекти, згин, закриття тріщини.
Вступ. Розрахунок розподілу напружень у тонкостінних елементах конструкцій, що
знаходяться на пружній основі і мають різного роду дефекти чи конструктивні
розрізи, представляє значний інтерес для будівельної, машинобудівної та
нафтогазової галузей промисловості. Зазвичай такі дослідження проводились без
урахування контактної взаємодії поверхонь дефектів у зоні стискаючих напружень
[1–5]. Однак, як показують пізніші дослідження [6–10], врахування явища контакту
берегів є принциповим для уникнення фізичних суперечностей, пов’язаних з
перекриттям берегів розрізів під дією згинальних навантажень, а також для
отримання більш якісної оцінки напружено-деформованого стану в околі вершин
тріщин. Крім того, цікавими є задачі про взаємодію дефектів із заданими змішаними
крайовими умовами контакту та вільного краю на контурах розрізів [11, 12]. Мета
цієї роботи полягає у дослідженні взаємовпливу двох колінеарних дефектів –
тріщини, здатної до закриття, та щілини, береги якої не контактують – на
напружено-деформований стан пластини під час згину на пружній основі. Окремі
результати даної роботи прозвучали в доповіді [13], а аналогічні дослідження для
непідкріпленої пружною основою пластини здійснено раніше у статті [14].
1. Постановка задачі.
Розглянемо нескінченну ізотропну пластину ],[),,( 2 hhzyx R , підкріплену пру-
жною основою Вінклера і послаблену двома прямолінійними наскрізними розрізами
УДК 539.3
mailto:tdalyak@gmail.com
mailto:makoviy@ua.fm
Тарас Даляк, Микола Маковійчук
Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній
основі
8
завдовжки l2 , розташованими на відстані d2 вздовж осі абсцис (рис. 1). На одному
з дефектів допускаємо змикання берегів, яке описуємо з використанням моделі кон-
такту вздовж лінії [6–8]. Надалі такий дефект називатимемо контактною тріщиною.
На іншому ж розрізі взаємодію берегів не враховуємо і називаємо його щілиною.
Дану термінологію прийнято і обґрунтовано в роботах [11, 12, 14]. До обох берегів
дефектів прикладено самоврівноважені, рівномірно розподілені згинальні момента-
ми m = const. Дослідимо взаємодію дефектів і вплив пружної основи на напружено-
деформований стан пластини з урахуванням закриття одного з дефектів (тріщини),
спричиненого деформацією згину.
Рис. 1. Тріщина з колінеарною щілиною у пластині на пружній основі
Врахування контакту берегів на тріщині за згину порушує антисиметрію полів
напружень по товщині у всій пластині. Для врахування цього ефекту
антисиметричне по товщині поле згинних напружень в околі тріщини доповнюємо
полем напружень плоского напруженого стану, викликаного взаємодією
протилежних берегів тріщини. Таким чином, напружений стан ззовні дефектів
описуємо бігармонічним рівнянням плоского напруженого стану та рівнянням
класичної теорії згину пластини на пружній основі Вінклера:
0 , 0 kwwD , Lyx \),( 2
R
Тут – функція напружень, w – прогин пластини; ))1(3/(2 23 EhD , E і –
модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона її матеріалу; k – коефіцієнт постелі; – опе-
ратор Лапласа; L – сукупність розрізів.
Залежно від типу дефекту запишемо у локальних системах координат крайові
умови на розрізах [14]:
на тріщині задаємо умови контакту по всій довжині
,0|)]([|)]([ 11 11
xhxu yy ),](sgn[)0,()0,( 111 111
xxNhmxM yyy
0)0,( 11
xN y , ),(1 llx . (1)
на щілині приймаємо умови вільного краю
0)0,( 22
xN y , mxM y )0,( 22
, ),(2 llx ; (2)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 7-13
9
На безмежності напруження відсутні:
0 yxyx NNN ; 0 yxyx MMM ; 0
yx QQ , ),( yx . (3)
У формулах (1), (2) ][ yu – розкриття тріщини в серединній поверхні оболонки, ][ y
– розрив кута повороту нормалі; xN , xyN , yN – мембранні зусилля, xM , xyM , yM
– моменти,
*
xQ ,
*
yQ – узагальнені поперечні сили.
2. Інтегральні рівняння задачі.
Розв’язок сформульованої задачі (1)–(3) будували методом сингулярних
інтегральних рівнянь. Запишемо інтегральні подання сил та моментів на розрізах
через похідні від стрибків переміщення і кута повороту нормалі [3–5]:
l
l
y
k
n
l
l
ynny dudxKduxK
B
xN
knn
)(])[2)1(()(])[(
4
)( 1111 ,
l
l
y
k
n
l
l
ynny ddxKdxK
D
xM
knn
)(])[2)1(()(])[(
4
)( 3333 ,
knkn ;2,1, . (4)
Тут
z
zK
1
)(11 ,
)ker()(ike
2)1(2
)(
2
33 zz
zz
zK
z
dzzzz
0
22 )(kei2)(rkesgn)1(2 ;
EhB 2 ,
4/1)/( Dk , kei(...)ker(...), – функції Кельвіна.
Після підстановки інтегральних зображень (4) у крайові умови (1), (2)
отримали систему сингулярних інтегральних рівнянь задачі:
)](sgn[)(][)(][ 111 111
xxhxu yyy ,
)](sgn[)(])[2()(])[(
4
1111111 121
xdudxKduxK
B
y
l
l
y
l
l
y
mddxKdxK
D
l
l
y
l
l
y
)(])[2()(])[(
4 21 133133 , ),(1 llx .
Тарас Даляк, Микола Маковійчук
Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній
основі
10
0)(])[2()(])[(
4 12 211211
l
l
y
l
l
y dudxKduxK
B
, (5)
mddxKdxK
D
l
l
y
l
l
y
)(])[2()(])[(
4 12 233233 , ),(2 llx ;
Зауважимо, що тут myy sgn]sgn[]sgn[
21
Помилка! Джерело посилання не
знайдено..
Розв’язки системи рівнянь (5) слід ще підпорядкувати додатковим умовам на
кінцях розрізів.
0)(
l
l
y du
n
, 0)(][
l
l
y d
n
, ( 2,1n ). (6)
3. Аналіз результатів.
Числові розв’язки задачі (5), (6) отримали методом квадратур при 3.0 . Для
контактної тріщини за знайденим розв’язком та першою із формул (1) визначали її
розкриття, відтак, скориставшись поданням (4), обчислювали контактну реакцію.
Коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів у внутрішніх та зовнішніх
вершинах дефектів обчислювали за формулами:
)(][lim
4
2
22 xuxl
l
B
K yn
lx
N
n
,
)(][lim
4
)23( 222
nyn
lx
M xxl
l
D
K
n
; 2,1n .
Залежності безрозмірних значень коефіцієнтів інтенсивності зусиль та
моментів від параметра взаємного розташування дефектів dl / будували для
внутрішніх і зовнішніх вершин тріщини і щілини при фіксованих значеннях
параметра пружної основи
4/1)/( Dkll (рис. 2).
Як видно з побудованих графіків, врахування закриття тріщини зумовлює
появу ненульових NK щілини, та зменшення темпу зростання MK у ближчому до
тріщини вістрі щілини, порівняно з класичним випадком для двох щілин у пластині
на пружній основі [10]. У свою чергу, відсутність контактної взаємодії берегів
щілини ніяк не впливає на рівень інтенсивності напружень на контактній тріщині,
який залишається таким же, як і у випадку взаємодії двох тріщин, здатних до
закриття [10]. Збільшення жорсткості основи призводить до зменшення коефіцієнтів
інтенсивності зусиль та моментів для обох дефектів.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 7-13
11
Рис. 2. Коефіцієнти інтенсивності зусиль )|/(|
~
lmhKK NN та моментів )/(
~
lmKK MM
для тріщини (ліворуч) та щілини (праворуч); суцільні лінії відповідають внутрішнім вершинам дефек-
тів, а штрихові – зовнішнім.
Результати обчислення контактного зусилля для тріщини подані на рис. 3. Як
видно з рисунка, із зростанням жорсткості основи контактне зусилля послаблюється,
а також нівелюється вплив щілини на зростання величини реакції у внутрішній
вершині тріщини (при lx 1 ). Тож для досить жорсткої основи залежність
контактної взаємодії від стає незначна, зокрема, вже при 2 графіки контактної
реакції для 0 та 5.0 фактично співпадають. Також із зростанням параметра
розподіл контактної реакції вдовж тріщини стає немонотонним.
Рис. 3. Розподіл обезрозміреної контактної реакції вздовж зімкнутих берегів тріщини
Тарас Даляк, Микола Маковійчук
Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній
основі
12
У граничних випадках отримані результати збігаються з уже отриманими
раніше. Так при 0 отримуємо окремі результати для ізольованих дефектів
тріщини або щілини у пластині на пружній основі [9], а при 0 – розв’язок задачі
для тріщини з колінеарною щілиною у вільній від в’язей пластині [14][7].
Отримані результати досліджень дозволяють здійснювати порівняльний аналіз
напружено-деформованого стану та ефективніше оцінювати несучу здатність
тонкостінних елементів конструкцій, що розміщені на пружній основі і мають
різного типу дефекти – як здатні до закриття унаслідок згину, так і з вільними від
напружень краями.
Висновки.
Досліджено вплив взаємодії колінеарних дефектів – контактної тріщини та
щілини з вільними краями на напружено-деформований стан пластини за згину на
пружній основі Вінклера. У результаті встановлено:
1. Контакт берегів тріщини призводить до появи ненульових коефіцієнтів
інтенсивності мембранних сил щілини, та зменшення темпу зростання коефіцієнтів
інтенсивності моментів у ближній до тріщини вершині щілини, порівняно з
класичним випадком взаємодії двох щілин у пластині на пружній основі. Однак,
відсутність контакту берегів у щілині ніяк не впливає на напружено-деформований
стан на тріщині, який залишається таким же, як і у випадку взаємодії двох
контактних тріщин.
2. Із зростанням жорсткості основи контактне зусилля послаблюється, а також
зменшується вплив щілини на зростання величини реакції у вершині тріщини,
ближчої до щілини. Крім того, із збільшенням параметра жорсткості основи розподіл
контактної реакції вдовж тріщини стає немонотонним.
Література
[1] Ang D. D., Folias E. S., Williams M. L. The bending stress in a cracked plate on an elastic
foundation // ASME. J. Appl. Mech. – 1963. – V. 30, № 2. – P. 245–251.
[2] Folias E. S. On a plate supported by an elastic foundation and containing a finite crack // Int.
J. Fract. – 1970. – V. 6. P. 257–263.
[3] Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинах и оболочках. – Киев: Наук. думка, 1976. – 444 с.
[4] Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами
типа трещин. – Киев: Наук. думка, 1979. – 400 с.
[5] Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – Киев: Наук. думка,
1981. – 324 с.
[6] Шацький І. П. Згин пластини, ослабленої розрізом з контактуючими берегами // Доп.
АН УРСР. Сер. А. – 1988. – №7. – С. 49 – 51.
[7] Шацкий И. П. Взаимодействие коллинеарных разрезов с контактирующими кромками
в изгибаемой пластине // Физ.-хим. механика материалов. – 1990. – Т. 26, № 3. – С. 70–
75.
[8] Young M. J., Sun C. T. Influence of crack closure on the stress intensity factor in bending
plates – A classical plate solution // Intern. J. Fract. – 1992. – V 55. – P. 81–93.
[9] Шацький І. П., Маковійчук М. В. Контактна взаємодія берегів тріщини під час згину
пластини на пружній основі // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2003. – Т. 39, № 3. – С.
59–62.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 7-13
13
[10] Шацький І. П., Маковійчук М. В. Змикання берегів колінеарних тріщин при згині
пластини на пружній основі // Машинознавство. – 2004. – № 6. – С. 10–12.
[11] Даляк Т. М. Про взаємодію тріщин з щілинами при згині пластинки // Механіка
руйнування матеріалів і міцність конструкцій (вип. 2): В 3-х т. / Під заг. ред. Панасюка
В.В. – Львів : Каменяр, 1999. – Т. 2. – С. 269–272.
[12] Шацький І. П., Даляк Т. М. Про закриття тріщин, з’єднаних зі щілинами, в зігнутій
пластині // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2002. – Т. 38, № 1. – С. 24–30.
[13] Микола Маковійчук, Тарас Даляк. Взаємодія тріщини з колінеарною щілиною за згину
пластини на пружній основі // 6-а Міжнародна науково-технічна конференція «Теорія
та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних
конструкцій». Тези доп. – Львів, 2018. – С. 53 – 54.
[14] Шацький І. П., Даляк Т. М. Взаємодія тріщини з колінеарною щілиною за згину
пластини // Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні
науки. – 2015. – № 1. – С. 211–218.
Stress-strain state of a plate with a crack and a collinear slot in the
bending on an elastic foundation
Taras Dalyak, Mykola Makoviychuk
The problem of the interaction of two collinear defects - a closure-capable crack and a slot whose edg-
es do not contact in the bending process of a plate on an elastic Winkler base is considered in the two-
dimensional formulation. Crack closure is described using the contact model along a line in the facial
surface of the plate. By the slot, we mean a section with stress-free surfaces, on which, in the accepted
problem formulation, a negative jump of displacements in the zone of compressive stresses is allowed.
The problem was solved using the method of singular integral equations and the numerical method of
quadrature. The coefficients of the intensity of forces and moments in the inner and outer vertices of the
crack and the slot were calculated. The distribution of the contact reaction along the crack line as well
as the influence of the elastic base, the interaction of defects, and the contact of the crack edges on the
stress-strain state of the plate, were studied.
Отримано 08.06.22
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-241 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:08:58Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/6c/78c84ea33a94c30d04371de21bf9c36c.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2412023-06-26T23:06:53Z Stress-strain state of a plate with a crack and a collinear slot in the bending on an elastic foundation Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі Даляк, Тарас Маковійчук, Микола пластина, пружна основа, тріщина, щілина, колінеарні дефекти, згин, закриття тріщини The problem of the interaction of two collinear defects - a closure-capable crack and a slot whose edges do not contact in the bending process of a plate on an elastic Winkler base is considered in the twodimensional formulation. Crack closure is described using the contact model along a line in the facial surface of the plate. By the slot, we mean a section with stress-free surfaces, on which, in the accepted problem formulation, a negative jump of displacements in the zone of compressive stresses is allowed. The problem was solved using the method of singular integral equations and the numerical method of quadrature. The coefficients of the intensity of forces and moments in the inner and outer vertices of the crack and the slot were calculated. The distribution of the contact reaction along the crack line as well as the influence of the elastic base, the interaction of defects, and the contact of the crack edges on the stress-strain state of the plate, were studied У двовимірній постановці розглянуто задачу про взаємодію двох колінеарних дефектів – тріщини, здатної до закриття, та щілини, береги якої не контактують – під час згину пластини на пружній основі Вінклера. Закриття тріщини описано з використанням моделі контакту вздовж лінії в лицьовій поверхні пластини. Під щілиною мається на увазі розріз з вільними від напружень поверхнями, на якому, у прийнятій постановці задачі, допускається від’ємний стрибок переміщень у зоні стискаючих напружень. Задачу розв’язано за допомогою методу сингулярних інтегральних рівнянь та числового методу квадратур. Обчислено коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів у внутрішніх та зовнішніх вершинах тріщини і щілини. Досліджено розподіл контактної реакції на лінії тріщини, а також вплив пружної основи, взаємодії дефектів та контакту берегів тріщини на напружено-деформований стан пластини. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-06 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/241 10.15407/fmmit2022.34-35.007 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 7-13 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 7-13 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/241/218 Авторське право (c) 2023 Тарас Даляк, Микола Маковійчук |
| spellingShingle | пластина пружна основа тріщина щілина колінеарні дефекти згин закриття тріщини Даляк, Тарас Маковійчук, Микола Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title | Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title_alt | Stress-strain state of a plate with a crack and a collinear slot in the bending on an elastic foundation |
| title_full | Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title_fullStr | Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title_full_unstemmed | Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title_short | Напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| title_sort | напружено-деформований стан пластини з тріщиною та колінеарною щілиною за згину на пружній основі |
| topic | пластина пружна основа тріщина щілина колінеарні дефекти згин закриття тріщини |
| topic_facet | пластина пружна основа тріщина щілина колінеарні дефекти згин закриття тріщини |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/241 |
| work_keys_str_mv | AT dalâktaras stressstrainstateofaplatewithacrackandacollinearslotinthebendingonanelasticfoundation AT makovíjčukmikola stressstrainstateofaplatewithacrackandacollinearslotinthebendingonanelasticfoundation AT dalâktaras napruženodeformovanijstanplastiniztríŝinoûtakolínearnoûŝílinoûzazginunapružníjosnoví AT makovíjčukmikola napruženodeformovanijstanplastiniztríŝinoûtakolínearnoûŝílinoûzazginunapružníjosnoví |