Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми
The mechanisms of moire occurrence during dot-to-dot printing for various forms of raster elements (circle, square, rhombus, ellipse) are considered. The algorithms for calculating the areas of common overlay of raster elements of neighboring inks of round, square and rhombic form are presented. An...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/247 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Download file: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479621807636480 |
|---|---|
| author | Пушак, А Казьмірович, Р |
| author_facet | Пушак, А Казьмірович, Р |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А Пушак",
"institution": null
},
{
"author": "Р Казьмірович",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Пушак, А |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-06-27T06:42:34Z |
| description | The mechanisms of moire occurrence during dot-to-dot printing for various forms of raster elements (circle, square, rhombus, ellipse) are considered. The algorithms for calculating the areas of common overlay of raster elements of neighboring inks of round, square and rhombic form are presented. An algorithm and methodology for calculating the areas of common overlay of raster elements of ellipsoidal form with arbitrary misalignment along the coordinate axes has been developed. The program code for calculating the areas of common overlay of ellipses using the Pascal 7.0 programming language was writtеn. The Monte Carlo method was used to calculate the area of the common overlap of two ellipses. The optimal geometric parameters for the stochastic process of the Monte Carlo method were found. The dependences of the areas of common overlay of ellipsoidal raster elements on misalignment along the x-axis for different misalignments along the y-axis were obtained |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2022.34-35.051 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
51
УДК 655.3.062.2:655.3.024
doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.051
Методи розрахунку площ накладання фарб растрових
елементів еліпсоїдної форми
А.С. Пушак1, Р.В. Казьмірович2
1к. фіз.-мат. н., доцент, Українська академія друкарства, вул. Під Голоском 19, Львів, 79020, Україна
2д. т. н., професор, Українська академія друкарства, вул. Під Голоском 19, Львів, 79020, Україна
Розглянуто механізми виникнення муару при друці «точка в точку» для різних форм растрових
елементів (коло, квадрат, ромб, еліпс). Наведено алгоритми розрахунку площ спільного
накладання растрових елементів суміжних фарб круглої, квадратної та ромбічної форм.
Розроблено алгоритм та методику розрахунку площ спільного накладання растрових
елементів еліпсоїдної форми за довільного по осях координат їх несуміщення. Програмний код
для обчислення площ спільного перетину еліпсів написано використовуючи мову програмування
Pascal 7.0. Для обчислення площі спільного перетину двох еліпсів використано метод Монте-
Карло. Знайдено оптимальні геометричні параметри для стохастичного процесу методу
Монте-Карло. Одержано залежності площ спільного накладання растрових елементів
еліпсоїдної форми від несуміщення по осі х за різних несуміщень по осі у.
Ключові слова: муар, друк «точка в точку», растрова крапка еліпсоїдної
форми, стохастичний процес, ітерація, метод Монте-Карло.
Вступ. Виникнення муару (чергування смуг світлих та темних тонів на
репродукції, відсутнього в оригіналі) в результаті накладання растрових структур
під час синтезу кольорових зображень з використанням тріадних фарб (пурпурна,
голуба, жовта) плюс контурна (чорна) є одним з ефектів, який погіршує якість
зображення. Площу растрової крапки можна отримати за різних форм її контуру.
Це може бути коло, квадрат, ромб, еліпс чи будь яка інша фігура, або випадковим
чином заповнені комірки по всьому полю (такий метод називається частотно-
модульованим раструванням, особливістю якого є відсутність появи муару).
Зменшення муару за амлітудно-модульованого растрування забезпечується
дотриманням оптимальних кутів повороту растрів для різних кольорів та
підвищенням її лініатури [1, 2, 3, 4], При цьому субрастрові комірки не
повертаються – внаслідок їх малих розмірів поворот комірок був би візуально не
розпізнаний.
Для корекції муару при амплітудно-модульованому раструванні найбільш
досконалою та перспективною технологією друку є друк «точка в точку» [1, 3], яка
на сьогодні стає все більш реальною за умови появи моделей додрукарських та
друкарських машин, в яких суміщення фарб буде здійснюватись комп’ютером та
опрацьовуватиметься автоматично з точністю до точки лініатури растру.
В роботах [5, 6, 7, 8] розглянуто алгоритми розрахунку площ спільного
накладання растрових елементів суміжних фарб круглої, квадратної, ромбічної та
еліпсоїдної форм та приведено результати їх комп’ютерного моделювання. Для
розрахунку площ було використано математичний метод визначення площ
А.С. Пушак, Р.В. Казьмірович
Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми
52
криволінійних фігур (криволінійна трапеція). Цей метод зводиться до
безпосереднього інтегрування функцій, які описують форму растрового елемента.
У випадку круглої та еліпсоїдної форм растрового елемента функція, яка описує
форму елемента має квадратичний характер. Окрім цього, для знаходження площі
спільного накладання елементів круглої та еліпсоїдної форми необхідно фігуру, яка
виникла під час накладання, розбити на елементарні фігури – криволінійні трапеції,
площі яких можна обчислити шляхом інтегрування функції, яка описує контур
фігури (рис. 1).
Рис. 1. Вигляд фігур спільного накладання растрових елементів круглої, ромбічної та еліпсоїдної
форми за їх суміщення вздовж осі х.
Однак така математична процедура для знаходження площі фігур, які
виникають при накладанні растрових елементів круглої та еліпсоїдної форми, є
доволі громісткою та рутинною. Окрім цього за різного співвідношення параметрів
растрових елементів може виникати різна і велика кількість елементарних фігур
(криволінійних трапецій), що ускладнює методику обчислення площі фігур.
Особливо ситуація ускладнюється, якщо обчислювати площу спільного накладання
двох растрових елементів еліпсоїдної форми за їх несуміщення одразу по двох осях
координат. У цьому разі математична процедура знаходження площ спільного
накладання звичайним інтегруванням функції, яка описує контур елемента, стає
дуже громісткою. Цю проблему можна вирішити використовуючи метод Монте-
Карло для знаходження площ криволінійних фігур. Хоча цей метод дає наближений
результат, однак використовуючи оптимальні параметри стохастичного процесу
можна обчислювати площі із заданою точністю.
В даній роботі використано метод Монте-Карло для знаходження площ
криволінійних фігур, які виникають при накладанні растрових елементів
еліпсоїдної форми за їх несуміщення одразу по двох осях координат.
Метою роботи було знаходження залежності площ спільного накладання
растрових елементів еліпсоїдної форми за їх несуміщення по двох осях координат.
1. Обчислення площі фігури спільного перетину двох еліпсів методом
Монте-Карло
Розглянемо криволінійну фігуру (рис. 2), яка утворена спільним перетином
двох еліпсів, центри який суміщені один відносно одного по двох осях координат х
та у. Нехай утворена фігура обмежена прямокутником шириною L і висотою H.
Ширину L зручно вибрати значенням L = а1 + а2 + с, за умови якщо а1 + а2 + х >=
2а1, в іншому випадку L = 2а1 де а1 та а2 – великі пів осі еліпсів; с – суміщення
еліпсів по осі х. Висоту H зручно вибрати як H = b1 + b2 + d за умови якщо b1 + b2 +
d >= 2b2, в іншому випадку H = 2b1 де b1 та b2 – малі пів осі еліпсів; d – суміщення
еліпсів по осі у. Такий вибір параметрів прямокутника дозволяє максимізувати
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 51-55
53
співвідношення площі прямокутника до площі одержаної фігури спільного
перетину еліпсів, що мінімізує похибку обчислення площі даної фігури (рис. 2).
S0
S
N
N0
Рис. 2. Вигляд фігур спільного накладання растрових елементів круглої, ромбічної та еліпсоїдної
форми за їх суміщення вздовж осі х.
Якщо випадковим (стохастичним) процесом вибрати 0N точок, які обмежені
прямокутником, тобто розподіл точок є однорідним, то очевидним є той факт, що
кількість точок N, які обмежені криволінійною фігурою спільного перетину еліпсів
є прямо пропорційна до площі S цієї фігури. Тобто відношення площі
прямокутника до площі фігури дорівнює відношенню кількості точок у
прямокутнику до кількості точок обмежених фігурою. Оскільки параметри
прямокутника (L, H) є задані, його площа 0S є відома, то площу криволінійної
фігури можна обчислити за формулою:
0
0
N
S S
N
(1)
Як видно з формули (1) точність визначення S буде вищою, чим більше 0N .
Таким чином використовуючи сучасну комп’ютерну техніку можна легко із
заданою точністю визначити площу криволінійної фігури.
2. Результати математичного моделювання.
Програмний код для обчислення площі спільного перетину двох еліпсів,
використовуючи метод Монте-Карло, було написано мовою Pascal 7.0, що дозволяє
інтегрувати його у спеціалізований програмований логічний мікроконтролер (ПЛК)
фірми Siemens, який аналізує суміщення двох растрових елементів та, залежно від
величини суміщення, коректує процес друку. На рисунку 3 приведено результат
роботи програмного коду у середовищі Pascal 7.0 з виведенням числових значень
параметрів еліпсів, площі їх спільного перетину та графічного представлення цих
еліпсів.
Метод Монте-Карло є простіший порівняно з іншими методами обчислення площ
криволінійних фігур, тому розмір вихідного програмного коду у 5 разів менший за
розмір програмного коду, який реалізовує обчислення площі криволінійної трапеції
методом інтегрування функцій. Оскільки метод Монте-Карло є наближений, то для
заданої точності обчислення площі необхідно вибирати велике число точок N
стохастичного процесу.
А.С. Пушак, Р.В. Казьмірович
Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми
54
Рис. 3. Вікно виведення результатів обчислення площі спільного перетину двох еліпсів у середовищі
Pascal 7.0.
В даній роботі було підібрано оптимальне число N для визначення площі
спільного перетину двох еліпсів з певною точністю. Наприклад, за N = 50000 площа
спільного перетину двох еліпсів a1 = a2 = 4, b1 = b2 = 2 відносних одиниць і
суміщення вздовж осі х – 1 відносних одиниць становить 21,10464 відносних
одиниць. Площа спільного перетину таких еліпсів обчислена точним методом
(метод інтегрування) становить 21,14318. Тут точність результату визначається
лише заокругленням до певної кількості знаків після коми. Як видно з наведених
результатів похибка обчислення площі методом Монте-Карло за N = 50000 не
перевищує 0,2 %, що є абсолютно задовільним для формування зображень при
друці «точка в точку».
0 2 4 6 8
0
5
10
15
20
25
Суміщення x вздовж осі х (від. од.)
П
л
о
щ
а
S
(
в
ід
н
.
о
д
.)
y=3,5
y=2
y=0
Рис. 4. Криві залежності площі спільного перетину растрових елементів еліпсоїдної форми
(a1 = a2 = 4, b1 = b2 = 2 відносить одиниць) від величини їх суміщення вздовж осі х за різного
суміщення вздовж осі у.
На рисунку 4 приведено криві залежності площі спільного перетину двох еліпсів
від величини суміщенні вздовж осі х за різних суміщень вздовж осі у. Отже,
використовуючи метод Монте-Карло для обчислення площ криволінійних фігур
можна легко визначити площу спільного перетину растрових елементів довільної
форми та різного суміщення вздовж осей координат.
Висновки. Розроблено алгоритм обчислення площі спільного перетину растрових
елементів еліпсоїдної форми методом Монте-Карло. Підібрано оптимальні
параметри стохастичного експерименту, що забезпечує необхідну точність
результату за найменшого числа ітерацій N стохастичного експерименту. Написано
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 51-55
55
програмний у середовищі Pascal 7.0, що дозволяє інтегрувати його у програмовані
логічні контролери, які керують процесом друку «точка в точку». За значення числа
ітерацій N = 50000 похибка обчислення площі спільного перетину двох еліпсів
становить 0,2%.
Література
1. Широков А.Д. Допечатная підготовка для типоофсета. К.: 2011. – 50 с.
2. Щёголев И. О растровом выборе. КомпьюАрт, №3, 2010.
3. Раскин А.Н., Ромейков И.В., Бирюкова Н.Д., Муратова Ю.А., Ефремова А.Н. Технология
печатных процессов. М.: Книга, 1989. – 432 с.
4. Кипханг Г. Энциклопедия по печатны средствам информации. Технология и способы
производства.- М.: МГУП, 2003. – 1280 с.
5. Казьмірович О.Р., Пушак А.С., Казьмірович Р.В. Розрахунок площ накладання фарб
растрових крапок круглої форми методом друку «точка в точку». Комп’ютерні технології
друкарства : зб. наук. праць. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2019. № 1 (41). – С. 57-64.
6. Казьмірович О.Р., Пушак А.С., Казьмірович Р.В. Розрахунок площ накладання фарб
растрових елементів квадратної форми при друці «точка в точку». Комп’ютерні технології
друкарства: зб. наук. праць. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2019. № 2 (42). – С. 81-88.
7. Казьмірович О.Р., Пушак А.С., Казьмірович Р.В. Розрахунок площ накладання фарб
растрових крапок ромбічної форми при друці «точка в точку». Комп’ютерні технології
друкарства : зб. наук. праць. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2020. № 2 (44). – С. 143-150.
8. Казьмірович О.Р., Пушак А.С., Казьмірович Р.В. Розрахунок площ накладання фарб
растрових крапок еліптичної форми при друці «точка в точку». Комп’ютерні технології
друкарства : зб. наук. праць. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2021. № 2 (46). – С. 43-54.
Methods of calculating areas of overlapping inks of ellipsoidal raster
elements
A.S. Pushak, R.V. Каzmirovych
The mechanisms of moire occurrence during dot-to-dot printing for various forms of raster elements
(circle, square, rhombus, ellipse) are considered. The algorithms for calculating the areas of common
overlay of raster elements of neighboring inks of round, square and rhombic form are presented. An
algorithm and methodology for calculating the areas of common overlay of raster elements of
ellipsoidal form with arbitrary misalignment along the coordinate axes has been developed. The
program code for calculating the areas of common overlay of ellipses using the Pascal 7.0
programming language was writtеn. The Monte Carlo method was used to calculate the area of the
common overlap of two ellipses. The optimal geometric parameters for the stochastic process of the
Monte Carlo method were found. The dependences of the areas of common overlay of ellipsoidal
raster elements on misalignment along the x-axis for different misalignments along the y-axis were
obtained.
Отримано 27.09.22.
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-247 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:11Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/71/8a96f92d88117e4c6d3305b31928e271.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2472023-06-27T06:42:34Z Methods of calculating areas of overlapping inks of ellipsoidal raster elements Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми Пушак, А Казьмірович, Р муар, друк «точка в точку», растрова крапка еліпсоїдної форми, стохастичний процес, ітерація, метод Монте-Карло. The mechanisms of moire occurrence during dot-to-dot printing for various forms of raster elements (circle, square, rhombus, ellipse) are considered. The algorithms for calculating the areas of common overlay of raster elements of neighboring inks of round, square and rhombic form are presented. An algorithm and methodology for calculating the areas of common overlay of raster elements of ellipsoidal form with arbitrary misalignment along the coordinate axes has been developed. The program code for calculating the areas of common overlay of ellipses using the Pascal 7.0 programming language was writtеn. The Monte Carlo method was used to calculate the area of the common overlap of two ellipses. The optimal geometric parameters for the stochastic process of the Monte Carlo method were found. The dependences of the areas of common overlay of ellipsoidal raster elements on misalignment along the x-axis for different misalignments along the y-axis were obtained Розглянуто механізми виникнення муару при друці «точка в точку» для різних форм растрових елементів (коло, квадрат, ромб, еліпс). Наведено алгоритми розрахунку площ спільного накладання растрових елементів суміжних фарб круглої, квадратної та ромбічної форм. Розроблено алгоритм та методику розрахунку площ спільного накладання растрових елементів еліпсоїдної форми за довільного по осях координат їх несуміщення. Програмний код для обчислення площ спільного перетину еліпсів написано використовуючи мову програмування Pascal 7.0. Для обчислення площі спільного перетину двох еліпсів використано метод МонтеКарло. Знайдено оптимальні геометричні параметри для стохастичного процесу методу Монте-Карло. Одержано залежності площ спільного накладання растрових елементів еліпсоїдної форми від несуміщення по осі х за різних несуміщень по осі у. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-15 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/247 10.15407/fmmit2022.34-35.051 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 51-55 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 51-55 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/247/224 Авторське право (c) 2023 А Пушак, Р Казьмірович (Автор) |
| spellingShingle | муар друк «точка в точку» растрова крапка еліпсоїдної форми стохастичний процес ітерація метод Монте-Карло. Пушак, А Казьмірович, Р Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title | Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title_alt | Methods of calculating areas of overlapping inks of ellipsoidal raster elements |
| title_full | Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title_fullStr | Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title_full_unstemmed | Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title_short | Методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| title_sort | методи розрахунку площ накладання фарб растрових елементів еліпсоїдної форми |
| topic | муар друк «точка в точку» растрова крапка еліпсоїдної форми стохастичний процес ітерація метод Монте-Карло. |
| topic_facet | муар друк «точка в точку» растрова крапка еліпсоїдної форми стохастичний процес ітерація метод Монте-Карло. |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/247 |
| work_keys_str_mv | AT pušaka methodsofcalculatingareasofoverlappinginksofellipsoidalrasterelements AT kazʹmírovičr methodsofcalculatingareasofoverlappinginksofellipsoidalrasterelements AT pušaka metodirozrahunkuploŝnakladannâfarbrastrovihelementívelípsoídnoíformi AT kazʹmírovičr metodirozrahunkuploŝnakladannâfarbrastrovihelementívelípsoídnoíformi |