Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми

In the process of drying capillary-porous materials, the movable surface of the phase transition, which separates the dried and wet zones in the body, depends on the properties of the material and the temperature due to external influence of the drying agent, is a function of coordinates and time. W...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Гайвась, Богдана, Торський, Адріан, Дмитрук, Вероніка
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Schlagworte:	капілярно-пористе тіло квазігомогенне наближення триетапний тепловий режим інтегральне перетворення фазові переходи циліндричні функції.
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/249
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479624230895616
author	Гайвась, Богдана Торський, Адріан Дмитрук, Вероніка
author_facet	Гайвась, Богдана Торський, Адріан Дмитрук, Вероніка
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Богдана Гайвась", "institution": null }, { "author": "Адріан Торський", "institution": null }, { "author": "Вероніка Дмитрук", "institution": null } ]
author_sort	Гайвась, Богдана
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2023-06-27T06:54:07Z
description	In the process of drying capillary-porous materials, the movable surface of the phase transition, which separates the dried and wet zones in the body, depends on the properties of the material and the temperature due to external influence of the drying agent, is a function of coordinates and time. We assume that the above properties of the material are functions of porosity, density and heat capacity of body components.
doi_str_mv	10.15407/fmmit2022.34-35.065
first_indexed	2026-06-09T01:09:14Z
format	Article
fulltext	65 doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.065 Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми Богдана Гайвась1, Адріан Торський2, Вероніка Дмитрук3 1 д. т. н., с. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: haj@cmm.lviv.ua. 2 к. т. н., с. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дудаєва, 15, Львів, 79005; Національний університет «Львівська політехніка», вул. С.Бандери, 12e-mail: adrian@cmm.lviv.ua 3 к. т. н., Національний університет «Львівська політехніка», вул. С.Бандери, 12, e-mail: dmytruk15@gmail.com В процесі сушіння капілярно-пористих матеріалів рухома поверхня фазового переходу, яка розділяє осушену і вологу зони в тілі, суттєво залежить від властивостей матеріалу і температури, яка зумовлена зовнішнім впливом сушильного агента, і є функцією координат та часу, а переміщення границь є наслідком фазових переходів. Вважаємо, що приведені властивості матеріалу є функціями пористості, густин та теплоємностей компонент тіла. Ключові слова: капілярно-пористе тіло, квазігомогенне наближення, триетапний тепловий режим, інтегральне перетворення, фазові переходи, циліндричні функції. Вступ. Метою даного дослідження є побудова математичної моделі процесу осушення капілярно-пористого бруса кругового поперечного перерізу радіуса R ( ),0 Rr  під дією конвективно-теплового нестаціонарного потоку сушильного агента. 1. Постановка задачі Вважаємо, що початкова температура циліндра не залежить від його довжини, а змінюється тільки в його поперечному перерізі. Враховуючи симетрію граничних умов даної задачі, обмежимось розглядом плоскої задачі теплопровідності. Введемо полярну систему координат  ,r , полярна вісь якої напрямлена по осі циліндра. Припускаємо, що режим сушильного агента трьохетапний, нестаціонарний і включає нагрів, витримку і охолодження. Процес теплопереносу в пористому круглому брусі описується рівнянням:         2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 2 1 , 2 1 0 .v v a a s s T d T dT C C C T r r r T d rdr                             (1) Тут  - час; r - радіус біжучої точки  0 ;r R  2 1 - коефіцієнт розпаду частинок. Рівняння (1) з використанням диференціального оператора Бесселя: УДК 539.374 mailto:haj@cmm.lviv.ua mailto:adrian@cmm.lviv.ua mailto:dmytruk15@gmail.com Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 66       2 2 2 2 2 2 2 1 d T dT B T r r r T d rdr              для приведеної об’ємної теплоємності c та усередненої теплопровідності  в квазігомогенному наближенні, яке можна застосовувати в задачах сушіння деревини при допустимих градієнтах температури, має вигляд [1]:  2 2 , T T a B T r      , 2 2 1 c     , ,O  (2) де   2 ( ) 1v v a a s s a C C C            - приведений коефіцієнт температуропро- відності. Побудуємо розв’язок рівняння (2) за таких крайових умов:    rgrT 0,  ,  Rr ,0 ; (3)  0lim 0,r r T r       1 1 11 11 .r R aT T r           (4) Тут aT - температура сушильного агента; 2 відповідає за розмноження частинок пароповітряної суміші (приведений коефіцієнт розпаду) в пористому матеріалі при дії сушильного агента; індексами sav ,, позначено компоненти пари, повітря та скелету відповідно; sav CCC ,,, , sav  ,, - пористість, тепломність, густина пари, повітря, скелету;  - приведений коефіцієнт теплопровідності; 1 1 11 11,  - коефіцієнти теплопровідності та теплообміну на зовнішній бічній поверхні циліндра. Приймаємо температуру сушильного агента  aT  такою:   max 0 0 1 1 max 1 2 max 3 1 2 max 1 2 3 3 2 3 2 , 0 , . a T T T T T T T T T                                  . (5) Розкладемо дану функцію в тригонометричний ряд Фур’є за косинусами:   0 31 cosa n n n T            , 2 3 n n    . 3 31 2 1 2 0 max 0 1 3 2 2 2 2 2 2 2 T T T                             ,    max 0 2 2 2max 1 2 14 2 3 1 2 cos 1 (sin sin )n n n n n n T T T                     ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 65-76 67                               2 2 3 2 2 2 4 23 1max 2 22 23 213max 3 sincos1 1 sin 2            nn n n n nTT n TT . Нехай  rpT ,* є зображенням температури  rT , за Лапласом:       0 , , * , .pL T r T r e d T p r            Тоді у відповідність задачі (1)-(4) отримаємо наступну крайову задачу відносно функції  rpT ,* :     2 22 2 2 , 2 2 2 1d T dT B T T g r r drdr r                       , (6)    ,0,lim 0      rpTr r r    1 1 1 1 1 1 r R a d T T p dr           . (7)      2 2 2 2 2 2, , , 1g r a r g r a p p i i            . Зафіксуємо вітку   1/2 1 2Re Re 0a p          . Побудуємо функцію Коші для рівняння (6), що задовольняє однорідні граничні умови. Фундаментальна функція  , ,p r   , що задовольняє відповідне рівнянню (6) однорідне рівняння та відповідні (7) однорідні умови, є функцією Коші. Розв’язок рівняння (6), що задовольняє відповідні (7 ) однорідні умови, має вигляд:      * 2 1 0 , , , R T p r p r g d        , де   ,, rp  є фундаментальна функція крайової задачі (6)-(7) з такими властивостями: 1.   ,, rp  задовольняє відповідне рівнянню (6) однорідне рівняння і наступні крайові умови[1]:   ,0lim 0      r r r .01 1 1 1 11        Rr dr d  При цьому    0 0, , , , 0r rp r p r           . 2.      2 1 0 0/ , , / , , .r rd dr p r d dr p r              Приймемо         1 , 2 , 2 , 0 , , , 0 A I r R p r A I r B K r r R                         , Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 68 де    , ,,I r K r     - модифіковані функції Бесселя першого та другого роду. 1 1 , Re , 2 ia        яке запишемо у вигляді    2 2 2 2 ,ip e           .,2 1  abddp Повертаючись до оригіналу, отримаємо       0 0 2 2 1 0 , ( , , ) , 2 iR p i a T r p r e dp g d i                     де 2a - вагова функція [1]:. Особливими точками функції Коші  , ,p r  є точки галуження 2 0p    і точка p   . Позначимо      11 1 1 ;11 11 11, , , r R d X R b C r b C r b dr              , ,1 11 i idI R dK Ri sh b dr dr                            11 121 1 11 , , ,11 ,11 ;i i sh b I R i sh b K R X R i X R                           ,12 1 1 1 ;11 11 11 11 1 , , i r R dK Rd X R b D r b sh b dr dr                            1 1 11 ,ish b K R            1 1 1 12 11 , 11 , ,11i i d sh b sh b K R K R X R dr                      , (8)       ,11 1 1 ,11 11 11 , , i i dI R X R I R dr                   ,12 1 1 ,11 11 11 , i i dK R X R K R dr             . Якщо перейти до функцій Бесселя дійсного аргумента    , ,, , ,J R b N R b     , то      11 1 1 1 2 ;11 11 11 , 11 1, 1, , , ,X R b J R b R J R b R                    1 ;b a       12 1 1 1 2 ;11 11 11 , 11 1, 1, , , .X R b N R b R N R b R                    Визначимо функції: ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 65-76 69  11 , ;11 ,U R b       11 12 ;11 ;11, ,X R b i X R b           ,11 1 1 ,11 11 11 , i i dI R X R I R dr                  1 1 1 2 11 11 , 11 1, 1, , ;I R b R I R b R                  1 ;a         112 12 , ;11 ,11 ,U R shb X R b             1 1 12 11 11 , ,11 ,r R d K r X R b dr                    1 1 1 2 11 11 , 11 1, 1K R R K R R                  . (9) Задовольняючи умови (7), отримаємо алгебраїчну систему рівнянь для визначення коефіцієнтів 1 2 2, , :A A B      2 1 , 2 , 0,A A I B K             2 1 , 2 , 2 1 1 A A I B K             . Враховуючи тотожність             , 12 ,,,,      KIKI знаходимо    ,, 2 12    KAA   ., 2 2    IB  (10) Задовольняючи крайову умову для ,Rr  отримуємо:    11 12 2 , ;11 2 , ;11 0,A U R B U R       (11)       1 , ,112 2 2 ,11 , ,11 ,R A K U R                          1* 11 , ,11 , ,11 ,2 11 , ,11 ,R U R K U R                                 12 12 , ,11 , ,112 , 211 11 , ,11 , ,11 , U R U R I B U R U R                        2 , 1 2 , . B K A A I                   12 12 , ,11 , ,112 , 211 11 , ,11 , ,11 , U R U R I B U R U R                        2 , 1 2 , . B K A A I         Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 70 Тоді функція   ,, rp внаслідок симетрії відносно діагоналі r має вигляд             12 , , ;11 11 1 , ;11 , , ;11 , , 0 , , . , , , 0 I r R r R p r U R b I R r r R                                      (12) Корені  2 2 n np      трансцендентного рівняння  11 , ;11 , 0U R b    є простими полюсами  , ,p r   . Розглянемо трансцендентне рівняння:    1 1 1 2 11 11 , 11 1, 1, , 0,I R b RI R b R                  де      2 2 2 2 1,ip e b a             і утворюють дискретний спектр   1 . .n n b   Позначимо      1 1 1* , ;11 , ;11, , , , .R r b sh b R r b             Тут  1 , ;11 , ,R r b    - власна функція задачі, що задовольняє рівнянню (2) та однорідним граничним умовам. Використаємо її для побудови розв’язку задачі, що задовольняє неоднорідній умові на зовнішній границі циліндра, тобто відображає вплив дії сушильного агента. Оригінал фундаментальної функції             2 2 2 1 1 , ;11 , ;11 2 2 11 12 0 ;11 ;11 2 , , , , , , t d t r e R r b R b X X                                   2 2 0 , , ; t e V r V d             (13)         2 2 2 11 12 ;11 ;11 2 . , ,X R X R              За узагальненою теоремою розвинення           2 2 2 1 1 , , n t n n n n V b r V b t r e V b r              , де   2 1nV b r квадрат норми власної функції, nb -корені функції  11 , ;11 ,U R b   .    1 1 , ;11 , ;11, , 2 ii R i e R                           1 11 12 ;11 ;11 ;11, , , , , , , .V r R r X R D r X R C r                    (14)    ., 2 , 11;, 1 11;, 1* rReriRi i         ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 65-76 71 Тут      ,,, 1 11; rRrV  - власна (cпектральна) функція задачі (6),   - спектральна густина Повертаючись в рівності (13) до оригіналу, отримаємо розв’язок  ,odnT t r однорідної параболічної задачі Коші (2)-(3):       2 1 2 0 , , , R odnT t r t r g a d                   2 2 2 1 2 0 0 , , , . R t e V r g V d d a                    (15) Із (15) при 0t  отримуємо інтегральне зображення:               ddVgrVrg R     12 00 ,, . (16) Із рівності (16) випливає, що функція   ,,rt , визначена формулою (13), є дельта-подібною по t послідовністю при  0t . Інтегральне зображення (16) визначає пряме        2 1 0 , ; R H g r g r V r r dr g           (17) і обернене          1 0 ,H g r g V r d g r                (18) інтегральне перетворення Конторовича – Лебедєва на проміжку  0, .R Враховуючи теорему про основну тотожність інтегрального перетворення [1] диференціального оператора B ,        .~ 2 22      Rg sh grgBaH  (20) Тому на основі співвідношення (17) випливає:        2 2 2 1 2 0 , , . R a sh H a B g r g r V r r dr T R                   (21) З властивостей власної функції   ,rV випливає, що     RrrV dr rdV             , , 1 11 1 11 =0,     .0,22    rVBa З виразу (21) , враховуючи при цьому (19), одержимо Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 72      2 2 2 1 0 , R H a B g r a B g r V r r dr                           2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 1 , R d g dg r r r g r g r V r r dr drdr                       2 2 1 0, , Ra r g r V r g r V r             Тоді із (21) отримаємо:      , 1 11 RV gR           bRCbRXbRDbRX gR ,,,, 12 11; 11 11;1 11             RarrR T R bsh bRCbRDbRDbRCg 122 ,,,,       . (22) Рівняння теплопровідності та крайові умови матимуть вигляд:          2 2 1 1 0 11 110; , , .r R aR T d T T g T r T dr                       Внаслідок тотожності (21) отримаємо        2 2 02 ; ,aR T sh b T T T g               . (23) Розв’язком задачі Коші (23) є функція          dtt bsh egeT n n n t                  2 1 02 0 cos~, ~ 2222        . (24) Застосуємо до   , ~ T інтегральний оператор  1H (18), отримаємо розв’язок задачі (24)                2 2 2 1 0 0 0 , ) , , t R t T t r e V r V d g d d                                   2 2 2 0 0 , t t a sh b e T V r d d                   . (25) З виразів (17), (18) та теореми Стеклова будь-яку вектор-функцію  ( )f r B g r    неперервну на  0, R , що задовольняє нульовим крайовим умовам, можна розкласти за системою власних функцій   1 , j j V r     в абсолютно і рівномірно збіжний ряд Фур’є. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 65-76 73 Відомо, що кожному власному числу j відповідає одна власна вектор-функція  , jV r  і система спектральних функцій   1 , j j V r     повна і замкнута. Квадрат норми власної функції     2 2 2 1 0 , , . R j jV r V r r dr          Так враховуючи вираз (17), обернений інтегральний оператор (18) можна записати           1 2 1 0 , , ,j j j j H g r g V r V r g r                     а функцію           2 2 0 , , , , , t G t r e V r V d                (26) яка враховує початковий температурний стан тіла, можна представити в результаті обчислення інтегралу згідно теорії лишків у вигляді           , , ,, ,, 2 2 1 22 a rV VrV ertG j jjt j j            де    1 ;11, , ,j jV r R r               11 12 ;11 ;11, , , , j j j j j sh X R D r X R C r                 , а також функцію Гріна, що породжена тепловим режимом на межі r R                  1 2 0 ,,, 22      abd sh rVertW t , (27)         . , , , 2 221 22 a rV rVsh ertW j jjt j j               Тоді розв’язок задачі прийме вигляд                  dTrtWddgrtGrtT a tt R ,,,), 0 12 0 0      .(28) Тут  t - дельта –функція, зосереджена в точці 0+. Згідно (28), враховуючи властивості дельта-функції та вираз (17), отримаємо Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 74           2 2 0 , , t T t r e g V r d                     2 2 2 0 0 , . t t aR sh e T V r d                  Позначимо        2 2 2 0 , t t aR wa sh b e T d T t             . Приходимо до невласних інтегралів                 2 2 0 0 , , , , . t waT t r e g V r d T V r d                      Враховуючи вирази (26), (27), отримаємо                 2 2 2 2 2 2 1 1 , , , , . , , j t j j j wa j j j j j V r V r T t r e g a T a V r V r                         Визначимо фундаментальний розв’язок задачі Коші згідно (17)          2 1 0 , R H g r g V d d g                 Використаємо основну тотожність інтегрального перетвореннярення    2 2 2 R sh b H a B g r g g              Визначимо фундаментальний розв’язок задачі Коші згідно (17)        2 1 0 , R H g r g V d g                      Використаємо основну тотожність інтегрального перетворення    2 2 2 R sh b H a B g r g g              Якщо застосувати до крайової задачі інтегральний оператор H . отримаємо      2 2 2 R sh q T g g          , або        2 2 2 2 2 R g sh T g q q           . Якщо до функції  T  застосувати інтегральний оператор 1H  , то отримується розв’язок задачі (1)-(2) у вигляді           2 2 2 0 0 , , , t R sh V r r d T t r g d q                       ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 65-76 75       2 1 2 2 0 0 , , ( , ) ( ) R V r V r d g q                      . Якщо порівняти (5) з (4), отримуємо формули обчислення невласних інтегралів               , 112 2 2 ,0 , , q R R q I rsh V r r d g g U Rq                 ,         2 2 0 , , , V r V r d q                       , ;11 , ;11 , ;11 1* 2 , 11 1* , , 0 ( , , ) ; , 0 q q q q q I r R r R r q U R I R r r R                                    11 11 12 , ;11 ;11 ;11, , ,U R b X R b i X R b               ,11 1 1 1 ,11 11 11 , , ; i i dI R X R I R b a dr                  11 ;11 ,X R   ,  12 ;11 ,X R   визначені формулами (8). Для нестаціонарного випадку             2 2 , 2 11 ,0 , ,t q R R q I rsh V r r d e g g t U R                 ,           2 2 0 , , , , , t e V r V r d r q                          , ;11 , ;11 , ;11 1* 2 , 11 1* , , 0 . , 0 q q q q q I r R r R U R I R r r R                            Висновки. В роботі побудовано розв’язок про розподіл температури в поперечному перерізі довгого капілярно-пористого бруса при сушінні в 3-етапному температурному режимі агента сушки. Розв’язок побудовано в модифікованих функціях Бесселя. Визначено залежність між часом сушіння і усередненими параметрами капілярно-пористого матеріалу циліндричного тіла, зокрема відносною насиченістю вологою, температуропровідністю, які враховують фактор переміщення рухомої границі осушеної зони. Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми 76 Література [1] Ленюк І. М., Міхалевська Г. І. Інтегральні перетворення типу Конторовича- Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 279 с. [2] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Гос. издат. Физ. Мат. Лит., 1963. – 1099 с. [3] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с. [4] Уголев Б. Н., Скуратов Н. В. Моделирование процесса сушки древесины // Сборник научн. трудов МЛТИ, 1992. – № 247. - С. 133-141. [5] Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – М.: Наука., 1986. – 800 с. [6] Шубин Г. С. Сушка и тепловая обработка древесины. – М.: Лесная промышленность, 1990. – 336 с. Modeling of the drying process of a capillary-porous cylindrical body Bohdana Haivas, Adrian Torsky, Veronika Dmytruk In the process of drying capillary-porous materials, the movable surface of the phase transition, which separates the dried and wet zones in the body, depends on the properties of the material and the temperature due to external influence of the drying agent, is a function of coordinates and time. We assume that the above properties of the material are functions of porosity, density and heat capacity of body components. Отримано 14.10.22
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-249
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:09:14Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/cd/6603ae95c434f060bb05020b34ff22cd.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2492023-06-27T06:54:07Z Modeling of the drying process of a capillary-porous cylindrical body Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми Гайвась, Богдана Торський, Адріан Дмитрук, Вероніка капілярно-пористе тіло, квазігомогенне наближення, триетапний тепловий режим, інтегральне перетворення, фазові переходи, циліндричні функції. In the process of drying capillary-porous materials, the movable surface of the phase transition, which separates the dried and wet zones in the body, depends on the properties of the material and the temperature due to external influence of the drying agent, is a function of coordinates and time. We assume that the above properties of the material are functions of porosity, density and heat capacity of body components. В процесі сушіння капілярно-пористих матеріалів рухома поверхня фазового переходу, яка розділяє осушену і вологу зони в тілі, суттєво залежить від властивостей матеріалу і температури, яка зумовлена зовнішнім впливом сушильного агента, і є функцією координат та часу, а переміщення границь є наслідком фазових переходів. Вважаємо, що приведені властивості матеріалу є функціями пористості, густин та теплоємностей компонент тіла. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-15 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/249 10.15407/fmmit2022.34-35.065 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 65-76 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 65-76 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/249/226 Авторське право (c) 2023 Богдана Гайвась, Адріан Торський, Вероніка Дмитрук (Автор)
spellingShingle	капілярно-пористе тіло квазігомогенне наближення триетапний тепловий режим інтегральне перетворення фазові переходи циліндричні функції. Гайвась, Богдана Торський, Адріан Дмитрук, Вероніка Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title	Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title_alt	Modeling of the drying process of a capillary-porous cylindrical body
title_full	Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title_fullStr	Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title_full_unstemmed	Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title_short	Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
title_sort	моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми
topic	капілярно-пористе тіло квазігомогенне наближення триетапний тепловий режим інтегральне перетворення фазові переходи циліндричні функції.
topic_facet	капілярно-пористе тіло квазігомогенне наближення триетапний тепловий режим інтегральне перетворення фазові переходи циліндричні функції.
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/249
work_keys_str_mv	AT gajvasʹbogdana modelingofthedryingprocessofacapillaryporouscylindricalbody AT torsʹkijadrían modelingofthedryingprocessofacapillaryporouscylindricalbody AT dmitrukveroníka modelingofthedryingprocessofacapillaryporouscylindricalbody AT gajvasʹbogdana modelûvannâprocesusušínnâkapílârnoporistogotílacilíndričnoíformi AT torsʹkijadrían modelûvannâprocesusušínnâkapílârnoporistogotílacilíndričnoíformi AT dmitrukveroníka modelûvannâprocesusušínnâkapílârnoporistogotílacilíndričnoíformi

Моделювання процесу сушіння капілярно-пористого тіла циліндричної форми

Institution

Ähnliche Einträge