Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень
The static problem of discontinuous loading of an elastic body with a periodic array of flexible inclusions is considered. The problem is reduced to solving a 2-D boundary integral equation of the second kind of the Newton potential type with respect to an unknown inclusion opening function. With th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/251 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479626759012352 |
|---|---|
| author | Станкевич, Володимир Свєтлов, Олег Агеєнков, Марко |
| author_facet | Станкевич, Володимир Свєтлов, Олег Агеєнков, Марко |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Володимир Станкевич",
"institution": null
},
{
"author": "Олег Свєтлов",
"institution": null
},
{
"author": "Марко Агеєнков",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Станкевич, Володимир |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-06-27T09:26:54Z |
| description | The static problem of discontinuous loading of an elastic body with a periodic array of flexible inclusions is considered. The problem is reduced to solving a 2-D boundary integral equation of the second kind of the Newton potential type with respect to an unknown inclusion opening function. With the help of solutions of the equation, the static stress intensity factors mode I are determined and their dependences on the distance between defects, the contrast between the rigidity of the matrix and the inclusion, and the filling of cracks with the injection material are analyzed. |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2022.34-35.084 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
84
УДК 539.3
doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.084
Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для
простору з періодичним масивом податливих включень
Володимир Станкевич1, Олег Свєтлов2, Марко Агеєнков2
1Доцент, д. ф.-м. н., кафедра механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, вул.
Університетська, 1, Львів, e-mail stan_volodja@yahoo.com
2Аспірант, e-mail osvietlov@ gmail.com
3Магістр, e-mail marko.aheienkov@gmail.com
Розглянуто статичну задачу про розривні навантаження пружного простору з періодичним
масивом податливих включень. Задачу зведено до розв’язання двовимірного граничного
інтегрального рівняння другого роду типу Ньютонівського потенціалу відносно невідомої
функції розкриття включення. За допомогою розв’язків рівняння визначені статичні
коефіцієнти інтенсивності напружень відриву та проаналізовані їх залежності від відстані
між дефектами, контрастності жорсткостей матриці і наповнювача, заповнення ін’єкційним
матеріалом тріщини.
Ключові слова: безмежний простір, одноперіодичний масив податливих
включень, граничні інтегральні рівняння, коефіцієнт інтенсивності напружень.
Вступ. Дослідження напружено-деформівного стану пружних тіл з дефектами типу
тонкостінних включень представляє інтерес з точки зору аналізу міцності
композитних структур, покращення їх функціональних властивостей, підвищенням
опірності статичним та динамічним навантаженням тощо [1-4]. Окрім того, такі
структурні дефекти можна штучно створювати шляхом наповнення матриць для
отримання нанокомпозитних структур. Окремий інтерес представляють
тонкокостінні податливі включення, якими моделюють т. зв. “заліковані”
відповідним заповнювачем тріщини [5, 6]. Спостережено, що технологія
ін’єктування тріщин уможливлює підвищення міцності конструкцій та подовження
їх ресурсу [7-9]. При цьому недостатньо вивченими є питання впливу на
перерозподіл напружень в околі дефектів факторів структурованого розташування
частково ін’єктованих наповнювачем тріщин.
У пропонованій роботі розглянуто тривимірну статичну задачу про розривне
навантаження безмежного тіла з одноперіодичним масивом неповністю заповнених
податливим матеріалом тріщин. Дослідження проведено з використанням методу
граничних інтегральних рівнянь, який раніше показав свою ефективність для
випадку усталеного в часі навантаження тіл з податливими включеннями [10, 11].
1. Постава задачі.
Розглядаємо безмежний простір (матрицю), послаблений одноперіодичним масивом
пружних включень, серединні поверхні яких є круговими областями S радіуса a ,
розташованими в паралельних площинах на відстанях d одна від одної (рис. 1.a).
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 84-90
85
Геометричні центри вказаних областей розташовані на одній лінії. Ін’єктований
матеріал (наповнювач) включень займає кругові області S радіуса b з найбільшою
товщиною 2 2h a (рис. 1.b). Між матеріалами матриці та наповнювача має місце
ідеальний механічний контакт. На безмежності тіло навантажено розривними
зусиллями р . Матеріал матриці характеризується модулем Юнга E , Пуассоновим
коефіцієнтом та модулем зсуву 2(1 )G Е ; матеріал наповнювача –
модулем Юнга 0E Е .
Рис. 1. Розрахункова схема задачі.
Задача дослідження напружено-деформівного стану тіла з включеннями зводиться
до розв’язання диференціального рівняння руху
3
1
0 ,
1 2
grad div
u u (1)
де 1 2 3( , , )u u uu – вектор пружних переміщень;
3
2 2
3
1
i
i
x
– тривимірний
Лапласів оператор.
Крайові умови задачі знесені на серединну поверхню S включення і відображають
лінійну залежність між напруженнями та переміщеннями [8, 12]
3
0 1 1
33
1 1
[ ( )]
, ( , ,0)
( ) .2 ( )
0 , ( , ,0) \
u
E x x S
h
x x S S
x
x
x x
x
(2)
p
p
d 1x
2x
30x
3nx
a
a
b
S
S
2h
O b
Володимир Станкевич, Олег Свєтлов, Марко Агеєнков
Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих
включень
86
Тут 3[ ( )]u x – розрив зміщень точок протилежних поверхонь включень, які на
підставі принципу суперпозиції вибрано у вигляді подання
0 1
3 3 3( ) ( ) ( ) ,u u u x x x
де 0
3
( )
( )
h
u p
E
x
x – зміщення в однорідному тілі під заданим на безмежності
навантаженням p ; 1
3 ( )u
x – зміщення протилежних поверхонь дефектів під дією
заданого на них навантаження p . Тоді
0 00
3 3 3
2 ( )
[ ( )] ( ) ( ) ,
h
u u u p
E
x
x x x
(3)
1 1
1 11 3 3
3 3 33 3
( ) ( )
[ ( )] ( ) ( ) 4 ( ) , ( ) .
4
u u
u u u u u
x x
x x x x x
Напруження у тілі за аналогією з переміщеннями подаємо у виді
0 1 0
33 33 33 33( ) ( ) ( ) , ( ) .p x x x x (4)
2. Граничні інтегральні рівняння задачі.
Розв’язок задачі, який задовольняє рівнянню (1), вибираємо у вигляді інтегрального
подання [12]
1 30 3
3 2 0 2
30 31
( ) ( ) 2 ( ) ,
2(1 ) 2(1 )
n
n
nn
x x
u
x x
x x x (5)
де 2 – двовимірний Лапласів оператор; 3( ) ( )n
nS
dS
u
ξ
x ξ
x ξ
– Ньютонівський
потенціал; 2 2 2
1 1 2 2 3( ) ( )n nx x x x ξ . Підставивши вираз (5) для
переміщень у співвідношення закону Гука, отримуємо інтегральне подання для
напружень
1
33 2 0 3 2
31
( ) ( ) 2 1 ( ) .
1
n n
nn
G
x
x
x x x (6)
З використанням співвідношень (3)-(6) для переміщень і напружень крайові умови
(2) задачі трансформуємо до інтегрального рівняння
2 2 3
31
( ) 2 1 ( )
1
n n
nn
G
x p
x
x x
(7)
0 0
3 0 1 2 30
2 ( )
4 ( ) , ( , , 0)
2 ( ) 2 ( ) ,
0 , \
E Eh
p u x x x S
E h h
S S
x
x x x
x x
x
де 3nx nd . Скориставшись поданням [13]
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 84-90
87
3 0 0
0
exp( ) ( ) ,n nx J d
x ξ x ξ
виразами для сум
2
1 1
, ,
1 1
d d
nd nd
d
dn n
e e
e ne
e e
та диференціальною залежністю
2
2 0 0 0 0( ) ( ) ,J J x ξ x ξ
де 0 ( )J z – Бесселя функція першого роду нульового порядку дійсного аргументу z ,
інтегральне рівняння (7) записуємо у вигляді
2 0 3
2 3
1( )
4 (1 ) ( )
0( )
S
dSE u
u
E h
ξx
ξ
x x ξ
(8)
0
3 0
0
1 ,1
2 ( ) ( , ) ( ) .
1 , \
S
E E S
u d J d dS p
G S S
ξ
x
ξ x ξ
x
Тут ядро ( , )d має таку структуру
2
( , ) 1 .
1 1
d
d d
d e
d
e e
Рівняння (8) є двовимірним граничним інтегральним рівнянням (ГІР) другого роду
типу Ньютонівського потенціалу відносно невідомої функції 3u стрибка зміщень
протилежних поверхонь включення.
Для забезпечення природнього змикання поверхонь включення на його контурі
невідому функцію 3u та параметр ( )h x товщини вибираємо у вигляді [12]
2 2 2 2 2 2
3 1 2 1 2( ) ( ) , ( )
h
u a x x h a x x
a
x x x
де ( ) x – нова невідома, двічі неперервно-диференційовна в області S функція.
Тоді ГІР (8) задачі про дослідження напружено-деформівного стану тіла з системою
періодично розташованих включень набуває остаточного вигляду
2 2 2 20
1 2 3
1
4 (1 ) ( ) ( )
0
S
dSЕ a
a
Е h
ξ
x ξ
x ξ
(9)
2 2 2 0
1 2 0
0
1 ,1
2 ( ) ( , ) ( ) .
1 , \
S
Е Е S
a d J d dS p
G S S
ξ
x
ξ x ξ
x
Перші два доданки отриманого ГІР відповідають задачі про безмежний простір з
поодиноким включенням.
Володимир Станкевич, Олег Свєтлов, Марко Агеєнков
Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих
включень
88
3. Числове розв’язування ГІР.
Отримане інтегральне рівняння містить гіперсингулярність виду
3
x ξ .
Регуляризація ГІР типу (9) описана в [12, 14]. Для отримання дискретного аналогу
ГІР застосовували рівномірне граничноелементне розбиття кругової області S
дефекту в напрямку полярних координат (крок розбиття за радіальною координатою
r становив 0,05a , за кутовою координатою – 12 ) з кусково-постійною
апроксимацією функцій
j в межах кожного елементу. На півбезмежному інтервалі
числове інтегрування проводили Лагерровими квадратурами. Колокаційним
задоволенням ГІР у вузлових точках задачу зводили до розв’язування системи
лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вузлових значень функції
j .
За допомогою значень розв’язків ( ) x рівняння (9) в контурних точках області
дефекту визначали значення коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН)
нормального відриву
2
( ) ( , ) .
1
I
G a
K a
4. Аналіз результатів.
На рис. 2 показано залежності відносних КІН
st
I I IK K K ( 02st
IK N a −
статичний КІН відриву для кругової тріщини в безмежному просторі під зусиллями
р ) повністю заповнених тріщин від параметрів d a відстані між включеннями,
0E E – контрастності жорсткостей матеріалу дефектів та матриці (рис. 6 а), h a –
товщини включення (рис. 6 б). Під час обчислень Пуассонів коефіцієнт матеріалу
приймали 0,3 .
Рис. 2. Залежності КІН відриву від відстані між включеннями: a – 0,1h a ; b – 0 0,03E E .
Зростання відстані між дефектами супроводжується монотонним збільшенням
значень КІН з виходом на свій аналог для випадку поодинокого включення у
безмежному просторі. КІН IK менші своїх аналогів для тріщин (маркована крива).
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2022, вип. 34-35, 84-90
89
Аналогічний феномен зауважений для простору з періодичною системою тріщин в
[15]. Зростання жорсткості ін’єкційного матеріалу призводить до зменшення КІН
(рис. 2 а), збільшення товщини включення – до зростання значень IK (рис. 2 b ), що
пояснюється початковим розпиранням тріщини. Така ж поведiнка раніше
спостережена стосовно включень стрічкової форми [6].
Рис. 3. Залежності КІН відриву від параметру b a
заповнення тріщин та 0E E – контрастності
жорсткостей матриці і наповнювача.
На рис. 3 показано залежність нормованого КІН від параметрів b a заповнення
тріщин ін’єкційним матеріалом та 0E E – контрастності жорсткостей матеріалів за
сталих значень 1,0 , 1 0,1d a a h a a . Одночасні зростання жорсткості
ін’єкційного матеріалу та заповненням ним тріщин призводять до пониження КІН
(ефект зміцнення). Таке ж явище зауважено для поодиного включення [6].
Висновки. Запропоновано гранично-інтегральний підхід для дослідження
напружено-деформівного стану безмежного простору з періодичним масивом
пружних податливих включень під розривними зусиллями. Задача зведена до
розв’язання одного двовимірного ГІР другого роду типу Ньютонівського потенціалу
відносно невідомої функції розкриття поверхонь дефектів. Показано ефект
пониження значень КІН підвищенням жорсткості ін’єктованого матеріалу
включення та величини заповнення ним тріщин.
Література
[1] Панасюк В.В., Стадник М.М., Силованюк В.П. Концентрация напряжений в трехмерных
телах с тонкими включениями. – К.: Наук. Думка. – 1986. – 216 с.
[2] Стадник М.М. Термопружний стан та міцність тіл з тонкими включеннями довільної
жорсткості. – Львів: Вид-во НЛТУ України; "Дослідно-видавничий центр Наукового товариства
ім. Т.Г. Шевченка". – 2015. – 316 с.
[3] Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з
тонкими включеннями. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ. – 2007. – 716 с.
Володимир Станкевич, Олег Свєтлов, Марко Агеєнков
Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих
включень
90
[4] Sulym H., Vasylyshyn A., Pasternak I. Influence of imperfect interface of anisotropic
thermomagnetoelectroelastic bimaterial solids on interaction of thin deformable inclusions // Acta
Mech. et Automat. – 2022. – Vol. 16, No 3. – P. 242–249.
[5] Галазюк В.А., Сулим Г.Т. Напружено-деформований стан необмеженого середовища із
“залікованою” тріщиною // Доп. НАН України. – 2013. – № 10. – C. 65–69.
[6] Panasyuk V.V., Marukha V.I., Sylovanyuk V.P. Injection Technologies for the Repair of Damaged
Concrete Structures. – Springer. Berlin. – 2014. – 241 p.
[7] Czarnecki L., Emmons P.H. Naprava i Ochrona Konstrukcji Betonowych. – Polski Cement. Krakow.
– 2002. – 434 s.
[8] Panasyuk V.V., Marukha V.I., Sylovanyuk V.P. Efficient injection materials and the technologies of
restoration of the serviceability of damaged building structures intended for long-termoperation //
Materials Science. – 2018. – Vol. 54, No 2. – P. 154-162.
[9] Молодід О.С., Плохута Р.О. Технологія ремонту тріщин в залізобетонних конструкціях
залежно від ширини їх розкриття // Шляхи підвищення ефективності будівництва в умовах
формування ринкових відносин. – 2019. – Вип. 39. – С. 154-161.
[10] Жбадинський І.Я. Взаємодія одноперіодичних податливих дискових еліптичної форми
включень при падінні пружної гармонічної хвилі // Доп. НAH України. – 2018. – № 10. – С. 37-
43.
[11] Stankevich V.Z., Butrak I.O., Zhbadyns’kyi I.Y. Diffraction of Rayleigh waves on a compliant
inclusion in the elastic half space // J. of Math. Sc. – 2018. – Vol. 231, No 5. – P. 641–649.
[12] Хай М.В. Двумерные интегральные уравнения типа ньютоновского потенциала и их
приложения. – К.: Наук. Думка. – 1993. – 253 с.
[13] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series, and Products. − AP Academic Press. −
2007. – 1221 p.
[14] Hsiao G.C., Wendland W.L. Boundary Integral Equations. – Springer. – 2021. – 796 p.
[15] Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. Думка. – 1981. –
324 с.
Boundary-integral analysis of a 3-d problem for a body with a periodic
array of flexible inclusions
Volodymyr Stankevych, Oleg Svіetlov, Маrko Аheienkov
The static problem of discontinuous loading of an elastic body with a periodic array of flexible
inclusions is considered. The problem is reduced to solving a 2-D boundary integral equation of the
second kind of the Newton potential type with respect to an unknown inclusion opening function. With
the help of solutions of the equation, the static stress intensity factors mode I are determined and their
dependences on the distance between defects, the contrast between the rigidity of the matrix and the
inclusion, and the filling of cracks with the injection material are analyzed.
Отримано 28.11.22.
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=10045324400
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=57216155399
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=26538924800
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=26538924800#disabled
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=26538924800#disabled
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=7801674789
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=6507874941
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=24333783200
https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=7801674789#disabled
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-251 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:16Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/e6/c7f0a6d90d765560ef329a654e365de6.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2512023-06-27T09:26:54Z Boundary-integral analysis of a 3-d problem for a body with a periodic array of flexible inclusions Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень Станкевич, Володимир Свєтлов, Олег Агеєнков, Марко безмежний простір, одноперіодичний масив податливих включень, граничні інтегральні рівняння, коефіцієнт інтенсивності напружень. The static problem of discontinuous loading of an elastic body with a periodic array of flexible inclusions is considered. The problem is reduced to solving a 2-D boundary integral equation of the second kind of the Newton potential type with respect to an unknown inclusion opening function. With the help of solutions of the equation, the static stress intensity factors mode I are determined and their dependences on the distance between defects, the contrast between the rigidity of the matrix and the inclusion, and the filling of cracks with the injection material are analyzed. Розглянуто статичну задачу про розривні навантаження пружного простору з періодичним масивом податливих включень. Задачу зведено до розв’язання двовимірного граничного інтегрального рівняння другого роду типу Ньютонівського потенціалу відносно невідомої функції розкриття включення. За допомогою розв’язків рівняння визначені статичні коефіцієнти інтенсивності напружень відриву та проаналізовані їх залежності від відстані між дефектами, контрастності жорсткостей матриці і наповнювача, заповнення ін’єкційним матеріалом тріщини Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-15 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/251 10.15407/fmmit2022.34-35.084 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 84-90 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 84-90 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/251/228 Авторське право (c) 2023 Володимир Станкевич, Олег Свєтлов, Марко Агеєнков (Автор) |
| spellingShingle | безмежний простір одноперіодичний масив податливих включень граничні інтегральні рівняння коефіцієнт інтенсивності напружень. Станкевич, Володимир Свєтлов, Олег Агеєнков, Марко Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title | Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title_alt | Boundary-integral analysis of a 3-d problem for a body with a periodic array of flexible inclusions |
| title_full | Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title_fullStr | Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title_full_unstemmed | Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title_short | Гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| title_sort | гранично-інтегральний аналіз тривимірної задачі для простору з періодичним масивом податливих включень |
| topic | безмежний простір одноперіодичний масив податливих включень граничні інтегральні рівняння коефіцієнт інтенсивності напружень. |
| topic_facet | безмежний простір одноперіодичний масив податливих включень граничні інтегральні рівняння коефіцієнт інтенсивності напружень. |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/251 |
| work_keys_str_mv | AT stankevičvolodimir boundaryintegralanalysisofa3dproblemforabodywithaperiodicarrayofflexibleinclusions AT svêtlovoleg boundaryintegralanalysisofa3dproblemforabodywithaperiodicarrayofflexibleinclusions AT ageênkovmarko boundaryintegralanalysisofa3dproblemforabodywithaperiodicarrayofflexibleinclusions AT stankevičvolodimir graničnoíntegralʹnijanalíztrivimírnoízadačídlâprostoruzperíodičnimmasivompodatlivihvklûčenʹ AT svêtlovoleg graničnoíntegralʹnijanalíztrivimírnoízadačídlâprostoruzperíodičnimmasivompodatlivihvklûčenʹ AT ageênkovmarko graničnoíntegralʹnijanalíztrivimírnoízadačídlâprostoruzperíodičnimmasivompodatlivihvklûčenʹ |