Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області

The main requirements for broadband signals are formulated. It is noted that the properties of the resolution of the wavelet transformation remain constant when the signals change over many octaves and make it possible to implement signal processing in a wide frequency range. It is shown that the br...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Наконечний, Адріан, Мусій, Роман, Наконечний, Ростислав
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Schlagworte:	швидке перетворення Фур’є неперервне вейвлет перетворення дискретне вейвлет перетворення вузькосмугова взаємна функція двох змінних широкосмугова взаємна функція двох змінних.
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/253
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479629700268032
author	Наконечний, Адріан Мусій, Роман Наконечний, Ростислав
author_facet	Наконечний, Адріан Мусій, Роман Наконечний, Ростислав
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Адріан Наконечний", "institution": null }, { "author": "Роман Мусій", "institution": null }, { "author": "Ростислав Наконечний", "institution": null } ]
author_sort	Наконечний, Адріан
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2023-06-27T09:35:20Z
description	The main requirements for broadband signals are formulated. It is noted that the properties of the resolution of the wavelet transformation remain constant when the signals change over many octaves and make it possible to implement signal processing in a wide frequency range. It is shown that the broadband reciprocal function of two variables (BBRFTV) can be considered, if the appropriate mathematical requirements are met, as a valid small-wavelength transform that represents the similarity between one signal and many possible modified versions of another signal. The analysis of the BBRFTV was carried out depending on the order of mastabulation and displacement operations. For the analysis of broadband systems, it is proposed to use mutual BBRFTVs, which allow to obtain effective processing of the functions of two variables and at the same time better display the characteristics of signals for their further recognition and research. It has been established that since individual small-wave transformations take into account the non-stationary short-term (transient) characteristics of signals, in the case of the use of mutual BBRFTVs, there is a possibility of their application for the evaluation of spatial non-stationary systems.
doi_str_mv	10.15407/fmmit2022.34-35.099
first_indexed	2026-06-09T01:09:19Z
format	Article
fulltext	99 УДК 681.3.01+681.325 doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.099 Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області Адріан Наконечний1, Роман Мусій2, Ростислав Наконечний3 1д. т. н., професор, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: adrnakon@gmail.com 2 д. ф.-м. н., професор, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: musij@lp.edu.ua 3 к. т. н., доцент, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: rostyk.ws@gmail.com Сформульовано основні вимоги, які ставляться до широкосмугових сигналів. Відзначено, що властивості роздільної здатності вейвлет перетворення залишаються постійними при зміні сигналів протягом багатьох октав і дають можливість реалізувати обробку сигналів в широкому діапазоні частот. Показано, що широкосмугову взаємну функція двох змінних (ШВФДЗ) можна розглядати, при виконанні відповідних математичних вимог, як дійсне малохвильове перетворення, яке представляє подібність між одним сигналом і багатьма можливими модифікованими версіями іншого сигналу. Проведено аналіз ШВФДЗ залежно від порядку проведення операцій мастабування і зміщення. Запропоновано для аналізу широкосмугових систем використовувати взаємні ШВФДЗ, які дозволяють отримати ефективну обробку функцій двох змінних і одночасно краще відображати характеристики сигналів для їх подальшого розпізнавання та дослідження. Встановлено, що оскільки окремі малохвильові перетворення враховують нестаціонарні короткотривалі (перехідні) характеристики сигналів, то у випадку використання взаємних ШВФДЗ виникає можливість їх застосування для оцінки просторових нестаціонарних систем. Ключові слова. швидке перетворення Фур’є, неперервне вейвлет перетворення, дискретне вейвлет перетворення, вузькосмугова взаємна функція двох змінних, широкосмугова взаємна функція двох змінних. Вступ. Відомо, що перетворення, які здійснюються в біомедицині, синтезі та розпізнаванні мови, геофізиці, океанографії, системах зондування та інших акустично чутливих системах вимагають широкосмугової, багатооктавної сигнальної обробки. Часто середовища, в яких знаходяться давачі сигналів, або навіть сама конструкція сенсорних давачів передбачають певну нестаціонарність. Використання кореляційної або когерентної обробки цих сигналів протягом інтервалів спостереження дозволяє суттєво покращити коефіцієнт передачі всієї системи обробки сигналів. Однак тривалі інтервали спостереження, з іншого боку, приводять також до нестаціонарності або часозмінного спектра в сигналах, що спостерігаються. Встановлено, що роздільна здатність вузькосмугових сигналів, для аналізу яких використовують перетворення Фур’є, змінюється вздовж багатьох октав. Виходячи з цього з допомогою такого перетворення не можливо здійснювати якісну оцінку і дійсне порівняння широкосмугових сигналів. Широкосмугові і (або) нестаціонарні сигнали широко досліджувалися протягом десятків років, однак вони не mailto:musij@lp.edu.ua mailto:rostyk.ws@gmail.com Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 100 використовувалися в практичних розробках. Це зумовлено тим, що кожна обробка, яка містила широкосмугові сигнали, вимагала великого обсягу обчислень. При цьому часто приймалися некоректні припущення, а також непрацездатні алгоритми та структури обробки. З іншої сторони властивості роздільної здатності малохвильового, вейвлет перетворення залишаються постійними при зміні сигналів протягом багатьох октав [4,9], а тому дають можливість реалізувати оцінку і порівняння характеристик сигналів в широкому діапазоні частот. Така Q-стала властивість малохвильового перетворення досягається за рахунок зміни розміру часо-частотного вікна та фіксації кількості циклів в аналізуючому “ядрі”. Виходячи з цього, в багатьох працях [1,2,9] відзначається доцільність використання малохвильового перетворення для оброблення широкосмугових сигналів. Однак при цьому наголошується, що на даний час цей напрям недостатньо використовується і реалізований на практиці. З огляду на це в даній роботі пропонується розглянути деякі прикладні аспекти оброблення широкосмугових сигналів, зокрема широкосмугових взаємних функціональних залежностей сигналів двох змінних. 1. Аналіз вимог до широкосмугових сигналів В процесі аналізу та оброблення широкосмугових сигналів існує проблема забезпечення необхідної (можливо постійної) роздільної здатності в широкому діапазоні частот. З теорії малохвильового, вейвлет перетворення відомо, що таке перетворення забезпечує пропорційну роздільну здатність в кожній частотній смузі. В міру збільшення центральної частоти зростає ширина смуги. Одночасно пропорційно змінюється роздільна здатність за часом; на високих частотах (малі масштаби) масштабована базова малохвильова функція сильно стискається і тим самим забезпечує добру роздільну здатність за часом. У випадку коли, у малохвильових перетвореннях використовується базова малохвильова функція Морлета (тоноподібна функція), то такі перетворення дають можливість враховувати різкі зміни, які мають високочастотні компоненти сигналу. Для них роздільна здатність за часом стає низькою однак роздільна здатність за частотою – високою. У випадку аналізу низькочастотних компонент сигналу при малохвильовому перетворенні формуються вікна довшої тривалості тобто з більшою часовою роздільною здатністю, але низькою роздільною здатністю за частотою. Така комбінація роздільних здатностей за часом і частотою, які відображають властивості малохвильових перетворень дозволяє створювати Q-сталі, або вікна зі сталими фрактальними роздільними здатностями ширини смуг. Необхідно відзначити, що базові малохвильові функції є також широкосмуговими, оскільки вони, крім здатності змінювати частоти в широкому частотному діапазоні, мають також низькочастотні складові. Відомо, що добуток роздільних здатностей за часом і частотою визначається нерівністю Гайзенберга і залишається практично сталим протягом аналізу всієї смуги частот вхідних сигналів [9]. Таким чином, обробка для такої постійної роздільної здатності перетворення має однакові властивості (Q-сталий аналіз) упродовж багатьох смуг проведення операцій. Така властивість не справджується для ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 101 перетворення Фур’є, яке має однакову ширину смуги навколо кожної центральної частоти і не може виконувати Q-сталий аналіз протягом всієї ширини смуги сигналу. В процесі дослідження функцій двох змінних є важливим також дослідження роздільної здатності масштаб-зміщення, яка повинна бути аналогічною визначенню роздільної здатності в часо-частотному плані для вузькосмугових сигналів. Якісні характеристики малохвильового перетворення в просторі масштаб-зміщення найлегше інтерпретувати через якісні характеристики широкосмугової функції двох змінних. Таке представлення забезпечує можливість тісного зв’язку з дослідженням вузькосмугових функцій, які близько пов’язані з будь-яким апаратом часо-частотного аналізу [2] і можливим застосуванням малохвильового перетворення. Таким чином, так як малохвильовий аналіз дозволяє ефективно здійснювати широкосмугову обробку, то саме на його основі доцільно аналізувати широкосмугові сигнали і системи. Як з теоретичної, так і з практичної точки зору доцільно подавати широкосмугову обробку на основі малохвильової теорії, а також описувати інтерпретацію малохвильової теорії на основі концепції широкосмугової обробки. Такі взаємозв’язки поєднують малохвильову теорію з широкосмуговими структурами обробки, які мають широке прикладне застосування. Широкосмугові нестаціонарні сигнали зустрічаються в багатьох прикладних задачах. Однак їх аналіз проводився до недавнього часу переважно у вигляді певних обмежень, які накладалися на вузькосмугові сигнали. З огляду на це врахування широкосмугових нестаціонарних особливостей в процесі моделювання (з використанням малохвильової теорії) дозволяє отримати суттєві переваги при розв’язанні низки прикладних задач. Прикладні задачі, розв’язки яких використовують переваги широкосмугової обробки, повинні задовольняти певним “широкосмуговим вимогам”. З огляду на це перед розглядом кожної широкосмугової функції двох змінних необхідно проводити перевірку на виконання таких вимог. 2. Характеристики широкосмугових взаємних функцій двох змінних Функції двох змінних широко використовуються для аналізу і подання сигналів у багатьох областях. Вони також використовуються як для встановлення виду сигналу, так і для встановлення місць знаходження об’єктів. Такий аналіз використовується для визначення коефіцієнтів передачі багатьох систем, а також характеристик ефективності систем або каналів. Як вже зазначалося, що перетворення, які здійснюються в біомедицині, синтезі та розпізнаванні мови, геофізиці, океанографії, системах зондування та інших акустично чутливих системах вимагають широкосмугової, багатооктавної сигнальної обробки. Застосування малохвильової теорії для аналізу таких сигналів в багатьох випадках є дуже ефективним для вищезгаданих областей перетворення. Зауважимо, що малохвильова теорія може поширюватися не лише на опис областей перетворення сигналів, а й на функції їх обробки. Малохвильові перетворення відносять до великого класу часо- частотних перетворень, таких як короткочасове перетворення Фур’є (КЧПФ), перетворення Габора, розподіл Вайгнера, а також до перетворень вузькосмугових взаємних функцій двох змінних (ВВФДЗ). Здебільшого малохвильове перетворення визначають як широкосмугову взаємну функцію і таку подібність та її вплив поширюють на теорію функцій двох змінних. Таким чином, широкосмугова взаємна Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 102 функція двох змінних (ШВФДЗ) є просто дійсним малохвильовим перетворенням [2,4], однак таке тлумачення справедливе при виконанні відповідних математичних вимог. У взаємній обробці беруть участь базова малохвильова функція і прийнятий сигнал. В основному функції двох змінних використовуються для визначення властивостей розкладу і обчислення малохвильових перетворень. Трактування малохвильового перетворення як функції обробки опорної кореляції (з базовою малохвильовою функцією як опорним сигналом) дозволяє функції двох змінних перевіряти його властивості розкладу. У вимірювальних пасивних системах зондування два прийнятих сигнали можуть вимагати виконання взаємної обробки. Проте, часове масштабування прийнятого сигналу, яке при цьому передбачається, є надзвичайно складною, з точки зору обчислення, задачею. Однак у малохвильовоій області, можливо ефективно сформувати ШВФДЗ між двома прийнятими сигналами. Малохвильова область має аналогічну структуру, як і сформоване за цим же методом швидке перетворення Фур’є (ШПФ). Відзначимо, що функції двох змінних мають багато форм, в тому числі комбінації широкосмугові/вузькосмугові, авто/взаємні; їх можна представити через перетворення Фур’є, ШПФ і малохвильове перетворення. Проте кожна така функція за своєю суттю є кореляцією “немодифікованого” сигналу з другим “модифікованим” сигналом. Результатом функції двох змінних є поверхня корельованих значень: по одній кореляції для кожної “модифікації” (наприклад, зміщення часу і масштабу часу або зміщення часу і зміщення частоти). Функції двох змінних характеризують подібність між одним сигналом і багатьма модифікованими версіями іншого сигналу. Коли модифікації сигналу масштабуються в часі і затримуються (зміщуються), тоді формується ШВФДЗ. Коли модифікації зміщуються в часі і частоті (зсуваються в часі і частоті), тоді формується ВВФДЗ [7]. ШВФДЗ визначена для двох сигналів  tr 1 і  tr 2 . Припустимо, що  tr 1 допустима функція. Тоді ШВФДЗ відображає два одновимірні сигнали скінченої енергії на двовимірну площину скінченої енергії [2] ШВФДЗ      dtstrtrssrr , , * 1 2 2 1    (1) Тут ""s –параметр диференціального масштабу, а “ ”- параметр диференціальної затримки. Поняття “диференціальна” стосуються різниць між параметрами масштабу і затримки між двома сигналами, що обробляються, а не характеристик будь-якого із сигналів взятого окремо. Наведена ШВФДЗ має форму типу “масштаб-затримка” оскільки перший сигнал  tr 1 спочатку масштабується, а потім затримується перед здійсненням кореляції з другим сигналом. Якщо в круглих дужках член t подати таким чином, щоб масштаб діяв на два параметри, тоді така форма відповідає типу “затримка-масштаб”. Обробка ВВФДЗ використовується в багатьох прикладних задачах. ВВФДЗ є “звичайною” функцією двох змінних [3,7] та визначається для двох сигналів  tr і  ts , як ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 103 ВВФДЗ       dtetstr T T tj D D   2 1 ,  (2) Тут  - часова затримка, а D – зміна (Доплерівської) частоти. Аналіз структур функцій обробки ШВФДЗ і ВВФДЗ вказує на те, що вони є ідентичні, за винятком кількох заміщень, а саме: оператор ШПФ замінюється на оператор малохвильового перетворення, оператор зміщення розширюється до двох вимірів і оператор оберненого ШПФ замінюється на оператор, аналогічний до оберненого малохвильового перетворення. Початкова форма неперервної в часі ШВФДЗ між  tr і  ts має вигляд ШВФДЗ      dtbatstraba T T , 2 1    (3) де  tr - прийнятий сигнал, а  ts - другий прийнятий сигнал (можливо, цей самий сигнал), a - часовий масштаб, а b - - часова затримка або зміщення. Схема формування ШВФДЗ має структуру, наведену на рис. 1 [6]. Крім представлення ШВФДЗ згідно рівняння (3), можливе й інше її представлення ШВФДЗ       dtbtastraba T , 0    (4) Існує декілька важливих відмінностей між цими функціями, що спричиняють порядок виконання операцій часового масштабування і часової затримки. ШВФДЗ на базі рівняння (3) початково масштабує сигнал, а потім затримує його. Однак ШВФДЗ на основі виразу (4) спочатку затримує, а потім масштабує сигнал. Так як малохвильове перетворення так само затримує, а потім масштабує сигнал, то малохвильове перетворення і ШВФДЗ за рівнянням (4) в основному ідентичні. Оскільки ШВФДЗ на основі рівняння (3) значно відрізняється від малохвильового перетворення, то вона ШС опорний формувач в (a,b) Спряження Кореляція s(t) r(t) s(at-b) ШВФДЗ (a,b) Рис. 1. Схема формування прямої ШВФДЗ Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 104 відповідно ідентифікується як окремий оператор. Зауважимо, що на практиці реалізуються обидва представлення ШВФДЗ. 3. Опис широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій області Відомо, що вдалий вибір області подання сигналів дозволяє одночасно покращити ряд характеристик і отримати багатограннішу інформацію про сигнал. Для кращого представлення ШВФДЗ в малохвильовій області і можливого порівняння з типовими ШВФДЗ, коротко проаналізуємо їх формування [2,9]. Обчислення ШВФДЗ виконуються вже тривалий час і будуються їх структурні реалізації з допомогою традиційних прямих формувачів шляхом моделювання виразу (4). Якщо один із сигналів наперед відомий, то масштаби і зміщення опор відомого сигналу можна незалежно заздалегідь обчислити. Тоді ШВФДЗ може бути обчислена шляхом виконання паралельних кореляцій цих попередньо обчислених опорних сигналів. Для формування ШВФДЗ дискретизовані широкосмугові опори цифрових сигналів вимагають повторної вибірки або зміни частоти дискретизації. Необхідно відзначити, що в цьому випадку може бути використане більш швидкодіюче формування, однак наближеного опорного сигналу. Таке формування може бути реалізовано аналогічно як для когерентних вузькосмугових формувачів. Однак при цьому існує суттєвий вплив завад, які досить складно усуваються і вимагається деяка надлишковість обчислення. Попередньо функція ШВФДЗ трактувалася як малохвильове перетворення, вхідні сигнали якої розглядалися як функції часу. В даному випадку пропонується виконання формування ШВФДЗ двох сигналів, кожний з яких вже представлений в малохвильовій області. Таке використання малохвильової області перетворення забезпечує ефективну обробку функції двох змінних і одночасно краще відображає характеристики сигналів для їх подальшого розпізнавання або інших досліджень. У випадку використання ВВФДЗ, для підвищення ефективності обчислення, а також оцінки спектрального складу сигналу, яке може бути використане для виділення, розпізнавання і визначення його характеристик, функція представляється з допомогою ШПФ. Подібний підхід використовується при поданні ШВФДЗ в малохвильовій області. У цьому випадку ШВФДЗ трактується як малохвильове перетворення, що характеризує просторові параметри. Для подання ШВФДЗ в малохвильовій області використовується теорема про тотожність [2]. Згідно з цією теоремою, якщо  xr1 ,  xf2 і  xg є функціями з скінченними енергіями (в  RL2 ), причому  xg є допустима функція типу         a bx g a xg ba 1 )(, , де   Rba , , буде справедлива наступна рівність: ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 105 21 2,,1 , , ,2 frcdbfggr da gbabaa       Константа gc повинна бути визначеною (меншою, ніж нескінченність) і знаходиться аналогічно (1.53) як          d G cg 2 , де  G – перетворення Фур’є від g . Враховуючи, що ,22, ,, baba gffg  , отримаємо         dbgfgr a da c fr baba g ,2,1 221 , , 1 , . (5) Як вже згадувалось раніше, ШВФДЗ двох сигналів  tr 1 і  tr 2 (можливо навіть невідомих) визначається як ШВФДЗ           dttSrtrSS , 2 1  , де S і  – параметри масштабу і зміщення відповідно. Припустимо, що     tSrStf 2 2 , тоді ШВФДЗ       , , , 21 2 1 frtSrStrS   . (6) Представлення двох сигналів в малохвильовій області відносно базової малохвильової функції g створює дві групи коефіцієнтів малохвильового перетворення  barW ig , , які представляють  tri для і = 1, 2. Таким чином, тепер обидва прийнятих сигнали представлені у малохвильовій області. Якщо    trtf 2 2  (відповідає оцінці ШВФДЗ при S =1 і  =0), то можна обчислити обидві групи коефіцієнтів для розв’язання тотожності. Дані групи лише описують малохвильове перетворення  tr 1 відносно g і спряження малохвильового перетворення  tr 2 відносно g . Коли викорис g товувати розв’язок тотожності, константу gc слід враховувати заздалегідь, оскільки вона постійна, а через однаковість для усіх точок ШВФДЗ її не використовують для порівняння при ( ,S )-версії. Обчислення проводиться наступним чином Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 106             ., , , , , 0,1 * 2 1 2 2 ,,1 22 1               dbbarWbarW a da dbrggr a da trtrSШВФДЗ gg baba Якщо обидва сигнали будуть однакові, то їх малохвильові перетворення будуть суміщені. В даному випадку отримана оцінка ШВФДЗ у початковому плані масштаб - затримка. Замість оцінки ШВФДЗ лише в одній точці ( S =1 і  =0) необхідно загалом трактувати її у малохвильовій області шляхом розширення цієї окремої оцінки. Узагальнення отримується якщо врахувати, що 2f , є функцією S і  . Основою для цього є визначення коефіцієнтів малохвильового перетворення 2f для кожного S і  як функції малохвильових коефіцієнтів 2 r . Вираз для узагальненого малохвильового перетворення буде мати наступний вигляд:               a bt g a tSrSbarWbafW SS gg 1 , , , 2 , 1 ,2 2  . Враховуючи заміну змінних, отримаємо             aS bSt g aS tr  1 , 2 . Для цього випадку коефіцієнти малохвильового перетворення масштабованої і зміщеної версії 2 r можна визначити як        SbaSrWbarWbafWgf g SS ggba ,, , , 2 , 1 ,2 2,2 . (7) Підставляючи рівняння (7) в рівняння (5), отримуємо заміну представлення ШВФДЗ через функції малохвильових перетворень двох отриманих сигналів:                      dbSbSarWbarW a da cSS rWSШВФДЗ gg g r , , 1 , 1 , 2 1 21 2    (8) Таким чином, ШВФДЗ двох невідомих сигналів може бути обчислена в області малохвильових перетворень. Якщо 2 r задовольняє вимоги, встановлені для базових функцій, то така ШВФДЗ подаватиме малохвильове перетворення відносно нової базової малохвильової функції 2 r і одночасно характеризуватиметься як дія деякого інтегрального оператора на два сигнали малохвильових перетворень. Значення такої заміни області подання полягає в тому, що малохвильове перетворення кожного сигналу стосується довільної базової малохвильової функції. Оскільки базова малохвильова функція вибирається і визначається заздалегідь, то можна легко і ефективно сформувати математичну модель її часового масштабування і зміщення. В цьому випадку буде ефективним малохвильове перетворення відносно базової функції g , а отже, – подальше формування ШВФДЗ. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 107 Наведена на рис. 2 структурна схема формування взаємної ШВФДЗ повністю відображає її відтворення у малохвильовій області. Вона може в багатьох випадках порівнюватися з структурою формування ВВФДЗ і між ними можна проводити певні аналогії. В наведеній структурі обидва сигнали, які подані в часовій області  tr 1 і  tr 2 , зазнають малохвильового перетворення відносно вищезгаданої базової малохвильової функції  tg . Далі здійснюється масштабування  s і зміщення   одного з перетворень, яке розглядається як базове (аналогічно масштабуванню і зміщенню базової функції при звичайному малохвильовому перетворенні) в малохвильовій області. Завершуються перетворення перемноженнями і підсумовуваннями в двовимірному просторі. Як зазначалося вище, ШВФДЗ визначаються через параметри S і  . В деяких застосуваннях ці параметри можуть бути відображені просторовими параметрами кута і рівня. Оскільки в такому випадку ШВФДЗ може мати також просторову інтерпретацію, то таке просторове малохвильове перетворення можна сформулювати як оператор, що діє на два просторові окремі сигнали короткої тривалості (які можуть бути обома прийнятими сигналами або один прийнятим, а інший випромінюваним сигналом). При цьому замість перетворення сигналів у часовій області вони початково проходять малохвильове перетворення і подаються в малохвильовій області (неперервно або дискретно). Надалі операції відбуваються у вигляді дії на ці перетворені сигнали стосовно алгоритму передбаченого формуванням взаємної ШВФДЗ. Результат обчислення при цьому отримується повністю у малохвильовій області. Подання ШВФДЗ в малохвильовій області має низку переваг при перетворенні сигналів та їх обробленні. При цьому окремі часові функції можуть бути нестаціонарними. Оскільки малохвильові перетворення діють на дані функції безпосередньо, то їх нестаціонарні характеристики можуть постійно враховуватися й Wg, a, b Оператор відображення через (s,): Wgr2(sa, sb-) Спряження Wg, a, b Функціональне перемноження через (a, b) Вагове інтегруваня (сумування) через (a,b) r2(t) r1(t) ШВФДЗ*(s,) Рис. 2. Формування взаємної ШВФДЗ в малохвильовій області Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 108 ефективно подаватися. Таким чином, “широкосмугові системи”, в яких відбуваються коливання (мають просторову нестаціонарність), можуть не лише характеризуватися з допомогою ШВФДЗ або просторовими малохвильовими перетвореннями, але їх просторові характеристики самі можуть враховувати нестаціонарності перехідних сигналів. Раніше в деяких наукових працях здійснювалися спроби оцінити широкосмугові (просторові нестаціонарні) системи, в яких відбувалися коливання, шляхом припущення короткотривалої стаціонарності вузькосмугових сигналів (хвильових полів) і здійснення їх подальшого розкладу з допомогою перетворень Фур’є. Таким чином, проблема ставала математично обґрунтованою. Однак такі припущення недостатні для характеристики таких систем. Отже, великою перевагою запропонованого вище окремого малохвильового перетворення є те, що воно враховує нестаціонарні короткотривалі (перехідні) характеристики сигналу і дозволяє використовувати їх для оцінки просторових нестаціонарних систем. Така одночасна обробка нестаціонарності в просторі і часі ілюструє важливе узагальнення широкосмугової часо-просторової обробки. Малохвильове перетворення існує як в просторі (ШВФДЗ), так і в часі (сигнали окремих короткотривалих малохвильових перетворень). Необхідно відзначити, що усі малохвильові перетворення, включаючи малохвильове перетворення ШВФДЗ, використовують часовий параметр. У новому представленні ШВФДЗ зміна малохвильової області в обох вимірах (рівняння (8)) подається через масштаб і зміщення одного малохвильового перетворення перетворювача. Вказані масштаб і зміщення діють лише на просторові зміни ( S , ). Кожна оцінка ШВФДЗ через значення S , визначає ступінь подібності (спорідненості) між масштабованою і зміщеною версією одного прийнятого сигналу і немодифікованою версією іншого прийнятого сигналу. За додаткових припущень такі “ступені подібності” можуть мати просторове розміщення у вигляді просторового зображення. Як відзначалося раніше, оригінальні малохвильові перетворення існують в часовій області, аналогічно вони існують в малохвильовому перетворенні ШВФДЗ. Таким чином, часові і просторові виміри невіддільні в даній структурі і при цьому будується багатовимірне просторово-часове малохвильове перетворення, яке може характеризувати як короткотривалі (перехідні) нестаціонарності сигналу (дві функції в ( ba, ) плані), так і просторову структуру (ШВФДЗ в (S і  ) плані). Ключовим для нового багатовимірного малохвильового перетворення в рівнянні (8) є те, що воно подає дві двовимірні функції через одну двовимірну функцію так, що розмірність при цьому не збільшується. Основною перевагою заміни представлення ШВФДЗ через малохвильове перетворення є ефективність реалізованої структури. Першочергово, коли обидва сигнали в ШВФДЗ невідомі, така багатовимірна структура малохвильового перетворення дозволяє з допомогою довільної відомої базової малохвильової функції розкладати сигнал на множину коефіцієнтів. Потім операції, які здійснюють масштабування в цій області, відображаються через зміщення. Коли вимагаються малі масштаби, то операція зміщення є більш ефективною, ніж операції багатоступеневого фільтрування. Таким чином, нове подання може ефективніше формувати масштабовані опори в області перетворення. Якщо повернутися до структури формування взаємної ШВФДЗ в малохвильовій області (Рис. 2) де наведені два малохвильові перетворення виконуються відносно тієї ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 109 самої базової малохвильової функції, то можна стверджувати, що отримане взаємне малохвильове перетворення вказує на рівень спорідненості між двома оригінальними малохвильовими перетвореннями або сигналами [5,8]. Спорідненість може існувати з різних причин і кожне застосування може приводити до різних пояснень цієї спільності. Прикладом спорідненості між двома малохвильовими перетвореннями або сигналами є випадок, при якому два приймачі спостерігають спільне джерело сигналу. Величина взаємного малохвильового перетворення може мати пік, який буде вказувати на цю спорідненість. Можуть спостерігатися багатократні спорідненості сигналів, які будуть формувати піки при взаємному малохвильовому перетворенні. При обробленні сигналів, які прийняті двома різними просторовими приймачами, взаємне малохвильове перетворення може виділити частини цих сигналів, які є спільними для обох прийнятих сигналів (частини сигналів, які є в “полі зору” обох давачів). Розглянемо випадок, коли давачем 1 приймається один із сигналів (рис. 3), а давачем 2 – другий, який до того ж є сумою двох FM сигналів, але іншої затримки і масштабів (відповідно до розміщених різних просторових джерел). Спочатку такі вхідні сигнали часової області піддаються малохвильовому перетворенню відносно довільної базової малохвильової функції (в даному випадку базової малохвильової функції Морлета), а потім над обома малохвильовими перетвореннями здійснюється взаємний процес, який створює нове малохвильове перетворення (або ШВФДЗ). Вигляд такого перетворення наведений на рис. 4. Рис. 3. Сигнали прийняті першим і другим давачами Рис. 4 Взаємне малохвильове перетворення Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області 110 Особливістю такого малохвильового перетворення є те, що воно знаходиться в просторовій області, а масштаб і зміщення кінцевого взаємного малохвильового перетворення представляють просторові параметри, такі як кут і діапазон або діапазон і швидкість. Необхідно відзначити, що в такій області перетворення також покращуються як роздільна здатність, так і коефіцієнт передачі сигналу. Взаємне малохвильове перетворення забезпечує часомасштабне представлення як перехідний етап, який може бути дуже корисним для деяких накопичень даних або алгоритмів оброблення в нейронних мережах. Прикладом ще одного використання взаємного малохвильового перетворення може бути знаходження спорідненості двох вихідних сигналів двох різних систем, які мають однакові вхідні сигнали. Вихідні сигнали можуть бути аналогічно трансформовані з допомогою малохвильового перетворення, а взаємне малохвильове перетворення утворюється з цих двох індивідуальних перетворень. Взаємне перетворення в цьому випадку вказує на спорідненість (або відмінність) між двома системами. Згадані міри подібності можуть бути використані при виділенні особливостей аналізованих структур або у схемах моделювання. На практиці в багатьох ситуаціях мають місце використання більше ніж двох перетворювачів і при цьому виникають необхідності оцінки взаємних кореляцій. Багатократні ШВФДЗ можуть бути сформовані в малохвильовій області, однак кожний сигнал може бути трансформований лише один раз. Операції, що вимагаються для додаткових перетворювачів, це лише перемноження у малохвильовій області з відповідним подальшим здійсненням інтегрування або сумовування. Нове формування взаємного ШВФДЗ може бути інтерпретоване як взаємний малохвильовий спектр. Таке представлення аналгічне до формування ВВФДЗ стосовно взаємного спектра. Висновки Встановлено, що розглянуте представлення взаємної ШВФДЗ в малохвильовій області, порівняно з традиційним зображенням ШВФДЗ в часовій області, отримує ряд позитивних властивостей:  коли два малохвильові перетворення, що обробляються, використовують одну базову малохвильову функцію, то взаємне малохвильове перетворення визначає ступінь кореляції між двома оригінальними малохвильовими перетвореннями або сигналами, або ж локалізує джерела цих кореляцій;  взаємне малохвильове перетворення відображає два прийняті сигнали в просторове малохвильове перетворення або ШВФДЗ, при цьому перші два перетворення здійснюються в масштабованому і зміщеному просторі відносно параметра часу; масштаб і зміщення такого взаємного малохвильового перетворення характеризують просторові параметри (кут і діапазон або діапазон і швидкість). Важливою особливістю є те, що просторові характеристики ШВФДЗ дають можливість оцінювати нестаціонарні перехідні (швидкоплинні) сигнали;  в поданій таким чином ШВФДЗ суттєво покращуються роздільна здатність і коефіцієнт передачі в просторовій області малохвильового перетворення з одночасним забезпеченням ефективної реалізації структури такого формування. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2022, вип. 34-35, 99-111 111 Взаємне малохвильове перетворення забезпечує часомасштабне представлення як проміжне зображення, яке може бути дуже корисним для обробки деяких змішаних даних або алгоритмів обробки в нейронних мережах [8]. Література 1. Chui C.K. Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / Chui C.K. -Texas AEM University, 1993. 2. Young R.K. Wavelet Theory and its Applications / Young R.K. – Pennsylvania State University, 1994. – (Kluwer Academic Publishers). 3. Задирака В.К. Цифровая обработка сигналов / Задирака В.К., Мельникова С.С. – К.: Наукова думка, 1993. –294 с. 4. Наконечний А.Й. Теорія малохвильового (wavelet) перетворення та її застосування / Наконечний А.Й. – Львів : Фенікс, 2001. - 278 с. 5. Наконечний А.Й. Зображення широкосмугових взаємних двозначних функцій в малохвильовій області / Наконечний А.Й. - 1999. -178-184c. – (Міжвідомчий збірник наукових праць Національної АН України “Відбір і обробка інформації” ; Вип. 13). 6. Наконечний А.Й. Моделювання широкосмугового сигналу і його кореляційне оброблення на основі малохвильового перетворення / Наконечний А.Й., Самотий В.В. – 2004. - 70-74c. – (Науково- прикладний журнал „Технічна електродинаміка” ; №5). 7. Наконечний А.Й. Інтерпретація вимог широкосмугових сигналів / Наконечний А.Й. – 2000. - 12-17c. - (Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія” ; №56). 8. Наконечний А.Й. Взаємне опрацювання широкосмугових сигналів // Збірник праць V Міжнародної конференції з автоматичного управління та інформаційних технологій «ICACIT - 2019», Львів, 20- 22 червня 2019 р. С.7 -9. 9. Наконечний А.Й., Лагун І.І., Верес З.Є., Наконечний Р.А., Федак В.І. Теорія і практика обробки сигналів у малохвильовій (wavelet) області, під редакцією А.Й. Наконечного: Монографія. – Львів: Вид-во Растер -7, 2020 – 470 с. Image of broadband reciprocal functions of two variables in the small- wavelength (wavelet) domain Adrian Nakonechnyy, Roman Musii, Rostyslav Nakonechnyy The main requirements for broadband signals are formulated. It is noted that the properties of the resolution of the wavelet transformation remain constant when the signals change over many octaves and make it possible to implement signal processing in a wide frequency range. It is shown that the broadband reciprocal function of two variables (BBRFTV) can be considered, if the appropriate mathematical requirements are met, as a valid small-wavelength transform that represents the similarity between one signal and many possible modified versions of another signal. The analysis of the BBRFTV was carried out depending on the order of mastabulation and displacement operations. For the analysis of broadband systems, it is proposed to use mutual BBRFTVs, which allow to obtain effective processing of the functions of two variables and at the same time better display the characteristics of signals for their further recognition and research. It has been established that since individual small-wave transformations take into account the non-stationary short-term (transient) characteristics of signals, in the case of the use of mutual BBRFTVs, there is a possibility of their application for the evaluation of spatial non-stationary systems. Отримано 02.12.22.
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-253
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:09:19Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/ce/479c15da8167cfa01727a105016377ce.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2532023-06-27T09:35:20Z Image of broadband reciprocal functions of two variables in the smallwavelength (wavelet) domain Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області Наконечний, Адріан Мусій, Роман Наконечний, Ростислав швидке перетворення Фур’є, неперервне вейвлет перетворення, дискретне вейвлет перетворення, вузькосмугова взаємна функція двох змінних, широкосмугова взаємна функція двох змінних. The main requirements for broadband signals are formulated. It is noted that the properties of the resolution of the wavelet transformation remain constant when the signals change over many octaves and make it possible to implement signal processing in a wide frequency range. It is shown that the broadband reciprocal function of two variables (BBRFTV) can be considered, if the appropriate mathematical requirements are met, as a valid small-wavelength transform that represents the similarity between one signal and many possible modified versions of another signal. The analysis of the BBRFTV was carried out depending on the order of mastabulation and displacement operations. For the analysis of broadband systems, it is proposed to use mutual BBRFTVs, which allow to obtain effective processing of the functions of two variables and at the same time better display the characteristics of signals for their further recognition and research. It has been established that since individual small-wave transformations take into account the non-stationary short-term (transient) characteristics of signals, in the case of the use of mutual BBRFTVs, there is a possibility of their application for the evaluation of spatial non-stationary systems. Сформульовано основні вимоги, які ставляться до широкосмугових сигналів. Відзначено, що властивості роздільної здатності вейвлет перетворення залишаються постійними при зміні сигналів протягом багатьох октав і дають можливість реалізувати обробку сигналів в широкому діапазоні частот. Показано, що широкосмугову взаємну функція двох змінних (ШВФДЗ) можна розглядати, при виконанні відповідних математичних вимог, як дійсне малохвильове перетворення, яке представляє подібність між одним сигналом і багатьма можливими модифікованими версіями іншого сигналу. Проведено аналіз ШВФДЗ залежно від порядку проведення операцій мастабування і зміщення. Запропоновано для аналізу широкосмугових систем використовувати взаємні ШВФДЗ, які дозволяють отримати ефективну обробку функцій двох змінних і одночасно краще відображати характеристики сигналів для їх подальшого розпізнавання та дослідження. Встановлено, що оскільки окремі малохвильові перетворення враховують нестаціонарні короткотривалі (перехідні) характеристики сигналів, то у випадку використання взаємних ШВФДЗ виникає можливість їх застосування для оцінки просторових нестаціонарних систем. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-15 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/253 10.15407/fmmit2022.34-35.099 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 99-111 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 99-111 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/253/230 Авторське право (c) 2023 Адріан Наконечний, Роман Мусій, Ростислав Наконечний (Автор)
spellingShingle	швидке перетворення Фур’є неперервне вейвлет перетворення дискретне вейвлет перетворення вузькосмугова взаємна функція двох змінних широкосмугова взаємна функція двох змінних. Наконечний, Адріан Мусій, Роман Наконечний, Ростислав Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title	Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title_alt	Image of broadband reciprocal functions of two variables in the smallwavelength (wavelet) domain
title_full	Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title_fullStr	Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title_full_unstemmed	Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title_short	Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
title_sort	зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області
topic	швидке перетворення Фур’є неперервне вейвлет перетворення дискретне вейвлет перетворення вузькосмугова взаємна функція двох змінних широкосмугова взаємна функція двох змінних.
topic_facet	швидке перетворення Фур’є неперервне вейвлет перетворення дискретне вейвлет перетворення вузькосмугова взаємна функція двох змінних широкосмугова взаємна функція двох змінних.
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/253
work_keys_str_mv	AT nakonečnijadrían imageofbroadbandreciprocalfunctionsoftwovariablesinthesmallwavelengthwaveletdomain AT musíjroman imageofbroadbandreciprocalfunctionsoftwovariablesinthesmallwavelengthwaveletdomain AT nakonečnijrostislav imageofbroadbandreciprocalfunctionsoftwovariablesinthesmallwavelengthwaveletdomain AT nakonečnijadrían zobražennâširokosmugovihvzaêmnihfunkcíjdvohzmínnihumalohvilʹovíjvejvletoblastí AT musíjroman zobražennâširokosmugovihvzaêmnihfunkcíjdvohzmínnihumalohvilʹovíjvejvletoblastí AT nakonečnijrostislav zobražennâširokosmugovihvzaêmnihfunkcíjdvohzmínnihumalohvilʹovíjvejvletoblastí

Зображення широкосмугових взаємних функцій двох змінних у малохвильовій (вейвлет) області

Institution

Ähnliche Einträge