Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації
An analytical approach to the construction of a singular integral equation (SIE) with Cauchy kernel is proposed, which makes it possible to clarify the stress-strain state of multi-wedge system with loaded radial cracks. This approach is based on the use of the theory of residues and the clarificati...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/254 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479629822951424 |
|---|---|
| author | Махоркін, Микола Махоркін, Ігор Кунинець, Андрій Глинський, Ярослав |
| author_facet | Махоркін, Микола Махоркін, Ігор Кунинець, Андрій Глинський, Ярослав |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Микола Махоркін",
"institution": null
},
{
"author": "Ігор Махоркін",
"institution": null
},
{
"author": "Андрій Кунинець",
"institution": null
},
{
"author": "Ярослав Глинський",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Махоркін, Микола |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-06-27T09:43:43Z |
| description | An analytical approach to the construction of a singular integral equation (SIE) with Cauchy kernel is proposed, which makes it possible to clarify the stress-strain state of multi-wedge system with loaded radial cracks. This approach is based on the use of the theory of residues and the clarification of the solutions periodicity of the multi-wedge system characteristic equation. It is illustrated on the example of the construction of a SIE with Cauchy kernel for a two-wedge system with a loaded interfacial crack under the conditions of anti-plane deformation. For particular cases of geometric and mechanical parameters of the two-wedge system, the values necessary for constructing such an equation were calculated. |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2022.34-35.112 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
112
УДК 593.3
doi.org/10.15407/fmmit2022.34-35.112
Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегра-
льного рівняння для з'ясування напружено-деформованого
стану клинової системи за антиплоскої деформації
Микола Махоркін1,3, Ігор Махоркін2, Андрій Кунинець3, Ярослав Глинський4.
1 к. ф.-м. н., доц., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Нау-
кова 3-б, м. Львів, Україна, e-mail: mahorkin@ukr.net
2 к. ф.-м. н., ст. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул.
Наукова 3-б, м. Львів, Україна
3 к. ф.-м. н., доц., Національний університет "Львівська політехніка", вул. С. Бандери 12, м. Львів, Україна,
4 к. ф.-м. н., доц., Національний університет "Львівська політехніка", вул. С. Бандери 12, м. Львів, Україна,
Запропоновано аналітико- числовий підхід до побудови сингулярного інтегрального рівняння
(СІР) з ядром типу Коші, котре уможливлює з'ясування напружено-деформованого стану ба-
гатоклинової систем з навантаженими радіальними тріщинами. Підхід ґрунтується на вико-
ристанні теорії лишків та з'ясуванні періодичності розв'язків характеристичного рівняння ба-
гатоклинової системи. Підхід проілюстровано на прикладі побудови СІР з ядром типу Коші для
двоклинової системи з навантаженою міжфазною тріщиною за умов антиплоскої деформації.
Для окремих випадків геометричних та механічних параметрів двоклинової системи виконано
обчислення величин, необхідних при побудові такого рівняння.
Ключові слова: сингулярне інтегральне рівняння, ядро Коші, теорія лишків, двоклинова сис-
тема, радіальна тріщина.
Вступ. Адекватність оцінки надійності та довговічністі різного роду устатку-
вання суттєво залежить не лише від технології виготовлення і умов експлуатації, а й
від фізико-механічної поведінки його конструктивних елементів. Зазвичай, ця поведі-
нка залежить від: профілю; матеріалу, з якого його виготовлено; наявності гострокін-
цевих включень чи вирізів; особливостей межі поділу матеріалів у композитних дета-
лях. Для врахування їх впливу на надійність та довговічність є необхідна інформація
про процеси руйнування, а саме про зародження тріщин та з'ясування подальшого на-
пряму їх розвитку. Ці дані можна отримати не лише у результаті коштовних експери-
ментів з руйнування зразків але й за допомогою математичного моделювання фізико-
механічних полів всередині об'єкта досліджень.
Особливу увагу при цьому приділяють вивченню поля напружень в околі так зва-
них концентраторів напружень, де, як правило, відбувається руйнування конструкції.
Такими концентраторами можуть виступати з’єднання двох чи більше матеріалів, вихід
на цю межу тонких дефектів, кінці тонких неоднорідностей всередині матеріалу тощо.
Вивчення напруженого стану в околі таких точок, де виникає концентрація напружень
здійснюють за допомогою модельних задач, а саме клинових структур з радіальними
дефектами чи без них [1-4]. Вивченню таких задач було приділено багато уваги: сингу-
лярність та асимптотики напружень в околі вершини кутового вирізу пружної ізотроп-
ної матриці або однорідного клина вивчалися в роботах [5-6]; для клинових композитів,
складених із двох та трьох матеріалів, сингулярність напружень проаналізовано в пра-
цях [3, 5,7-9 ] (плоска задача) та [7, 10, 11] (антиплоска).
mailto:mahorkin@ukr.net
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технолгії
2022, вип. 34-35, 112-120
113
За наявності внутрішнього дефекту згадані задачі вирішувалися за допомогою
використання методів комплексних потенціалів КолосоваМусхелішвілі [8], функції
напружень Ері [12, 13], методу сингулярних інтегральних рівнянь [1, 4] чи перетво-
рення Мелліна [5, 11, 13], що призводило до необхідності розв'язувати системи син-
гулярних інтегральних рівнянь. Зазвичай через вигляд їх ядер це є окремою матема-
тичною задачею.
У даній статті запропоновано підхід до зведення інтегральних рівнянь, отри-
маних в результаті вивчення напружено-деформованого стану клинової системи з
радіальними тріщинами, до сингулярних інтегральних рівнянь з ядром типу Коші.
Його застосування проілюстровано на прикладі дослідження двоклинової системи.
1. Сингулярне інтегральне рівняння для двоклинової системи з радіальною
тріщиною
Розглянемо двоклинову систему (рис. 2, а) складену з клинів 1S , 2S з кутами
розхилу 1 , 2 та модулями зсуву 1 , 2 відповідно. Система віднесена до поляр-
ної системи координат r , з центром в точці сходження клинів, кути відрахо-
вуються від незакріпленого краю кутового вирізу проти годинникової стрілки. Бере-
ги кутового вирізу 0 , та 2 1 2 вільні від навантаження, а на лінії з'єд-
нання клинів 1 1 розташована тріщина, симетрично навантажена зусиллям
( )r , a r b , яку моделюємо за допомогою умов взаємодії
1 1
*
1 1
, 0 , 0 0,
, 0 , 0 2 ( ) ,
z z
z z i
r r f r N r
r r f r N r r N r
(1)
де N r S r a S r b – функція відрізка,
1 0 ,0 0S – одинична функція Геві-
сайда.
Отже, стрибок напружень у випадку симетри-
чно навантаженої зусиллям 1 r тріщини дорівню-
ватиме 0f r , а стрибок переміщень wf r буде
невідомий. Якщо б розглядали жорстке включення, то відомим був би саме стрибок
переміщень, а невідомим – стрибок напружень.
Побудову виразів для з'ясування наружено-деформованого стану у такій двок-
линовій системі рис. 1 докладно описано у роботах [7, 10]. У цих роботах за допомо-
гою методу постановки узагальненої задачі спряження [14], описана методика побудо-
ви СІР для визначення функцій стрибка переміщень і подальшого з'ясування поля на-
пружень у складених із довільної кількості елементів композитних клинів. Не зупиня-
ючись на викладках, запишемо вирази для напружень та переміщень у двоклиновій
системі рис. 1, що перебуває в умовах поздовжнього зсуву [7]:
1
, ,
2
c i
p
c i
w r w p r dp
i
,
1,
,
2
c i
p
z
c i
w p
r r dp
i
Рис.1
Микола Махоркін, Ігор Махоркін, Андрій Кунинець, Ярослав Глинський
Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напру-
жено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації
114
1, ,
2
c i
p
rz
c i
r pw p r dp
i
, (2)
де
1 1 1 3, , , ,w Aw p f p pg p g p g p (3)
2 1
1 1 1
2
, cos sin ,sin ig p p p p p S
p
,
2 1
2 1 1 1
2
, sin cos sing p p p p p S
p
,
3 2 2, cosg p p S ,
1 2 2 2 1 1 2 1
1
2 1 1
cos cos cos
,A
p p
g p
p
2 1
1 2 1 2 1
2
sin sin cosp p p p p
1
1 1Bg p p
.
Як видно із співвідношень (3), вирази для напружень та переміщень, за наяв-
ності міжфазної тріщини, залежать від невідомої функції стрибка переміщень
1wf r . Для її визначення використовуємо умови взаємодії (1) і отримане на їх осно-
ві сингулярне інтегральне рівняння Фредгольма першого роду –
1
1, 0
2
c i
p
w
c i
r pf p K p r dp r r N r
i
, a r b , (4)
де
2 1 2 1
1 2 2 1 1 2 2
sin sin
cos sin sin
p p
K p
p p p
. (5)
Відшукання розв'язку такого рівняння є окремою задачею, один із шляхів ви-
рішення якої запропоновано нижче.
2. Зведення СІР до рівняння з ядром Коші
Застосуємо до інтегралу в лівій частині рівняння (4) теорему про згортку [9]
0
1
'
2
c i
p
w w
c i
r dt
pf p K p r dp rf p K
i t t
, a t b . (6)
Оргінал ядра K p (5) шукатимемо за допомогою формули обернення Меллі-
на у такому вигляді:
2 1 2 1
1 2 2 1 1 2 2
sin sin1 1
.
2 2 cos sin sin
c i c i
p p
c i c i
p p
K K p r dp r dp
i i p p p
(7)
Для обчислення комплексного інтеграла (7) використаємо теорему про лишки
[15]. Як показували дослідження [10, 16], полюси підінтегральної функції дійсні та
розташовані симетрично відносно комплексної осі i ip p , i . Враховую-
чи це, а також те, що 0 0p також є полюсом, приймемо 1 10 ic p p , де ip –
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технолгії
2022, вип. 34-35, 112-120
115
додатні полюси підінтегральної функції. Відтак, виконуємо інтегрування з обходом
через правий півпростір із розрізом по дійсній осі:
1 1
1
Res , , R
2
c i
p p pi
i i
i ic i
K K p r dp K p r p p r
i
, (8)
де Res , , lim ,
i
i i
p p
R K p p p K p
– лишок функції ,K p в полюсі ip .
Зазначимо, що оскільки функція ,K p подана у вигляді частки двох голо-
морфних функцій, для обчислення відповідного лишку зручно застосовувати форму-
лу
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 sin sin
2 cos sin sin
i i
i
i i i
p p
R
p p
. (9)
Полюси підінтегральної функції є розв'язками рівняння
1 2 2 1 1 2 2cos sin sin 0g p p p p , (10)
яке тотожнє характеристичним рівнянням для визначення порядку сингулярності
напружень [7, 9, 16]. У загальному вигляді розв'язки цього рівняння запишуться так:
il lp p iT , 1,2,...,l k ,
де
1 2 2
2 2
,
2
T lcm
– основний період функції (10); k – кількість коренів lp
рівняння (10), які належать напівінтервалу 0;T .
Скориставшись властивостями періодичних функцій, з'ясуємо, що період T є
водночас основним періодом функції, що описує лишки. Відтак, суму лишків (8) мож-
на переписати у такому вигляді:
1 0 1 1 0 1
R R R R .
1
l l l
Tk k k
p Tn p ppi Tn
i l l lT
i n l l n l
r
K r r r r r
r
(11)
Підставимо отриманий вигляд (11) в інтегральне рівняння (4) і виконаємо від-
повідні спрощення, внаслідок чого воно набуде такого вигляду:
11
'
R
lp Tb T k
w
lT T
la
t f t r
dt r N r
rt r
. (12)
Виконаємо у рівнянні (12) заміну змінних
'T
wu t f ,
2T T T
T T
a b t
u
a b
,
2T T T
T T
a b r
v
a b
, 1 , 1u v ,
1
T T T T Tt a b b a u
,
1
T T T T Tr a b b a v
та запишемо новий вигляд рівняння –
1
1
111
R
lp T
T T T T TT T T T
k
l T T T T
l
a b b a va b b a uu
dt v N v
u v a b b a v
. (13)
Щоб виділити сингулярну частину ядра інтегрального рівняння (13) розкладе-
мо його по степенях v в околі точки v u , внаслідок чого отримаємо, що
Микола Махоркін, Ігор Махоркін, Андрій Кунинець, Ярослав Глинський
Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напру-
жено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації
116
1 1
1 1
R R
lp T
T T T T
k k
l lT T T T
l l
a b b a u
o v u
u v u va b b a v
,
а відтак загальний вигляд сингулярного інтегрального рівняння буде такий:
1
11 1
1
111 1
1
, R
T T T T T
k
l
l
a b b a vu
dt u u v dt T v N v
u v
K . (14)
1 1
1
, R 1 RK
lp T
T T T T
k k
l l T T T T
l l
a b b a u
u v u v
u va b b a v
. (15)
Таким чином, шляхом низки аналітичних перетворень отримано сингулярне
інтегральне рівняння з ядром типу Коші, для розв'язування якого можна застосувати
стандартні методи, наприклад, описаний у [17] метод колокацій.
Зазначимо, що у випадку, коли тріщина розташована на бісектрисі однорідно-
го клина чи на лінії з'єднання двох клинів з однаковими кутами розхилу, рівняння
(14) набуде вигляду поданого у працях [1, 7]. Це, в свою чергу, підтверджує право-
мірність здійснених викладок і достовірність отриманого результату.
3. Числові дослідження
Виконаємо аналіз розв'язків характеристичного рівняння (10), які є необхідни-
ми для побудови СІР з ядром Коші. При вивченні порядку сингулярності в околі то-
чки сходження клинів важливими є корені характеристичного рівняння (10), що на-
лежать інтервалу 1;0 . Докладні дослідження залежності їх значень від геометри-
чних та механічних характеристик системи неодноразово проводилися, зокрема і в
працях [16] де здійснено різнопланові дослідження порядку сингулярності напру-
жень для багатоклинових систем.
Для побудови СІР з ядром Коші необхідно знайти усі розв'язки рівняння (10).
Оскільки дане рівняння є в загальному випадку транцендентним його переважно ро-
зв'язують за допомогою чисельних методів для чого важливим є знання періоду роз-
в'язків T та значення величини k – їх кількості в межах напівінтервалу 0;lp T .
Такі величина було визначено для деяких систем геометрія, яких описана сталим су-
марним кутом 2 рис. 2 при змінному куті розхилу 1 клина 1S . Результати цих до-
сліджень подано у табл. 1, де преставлено значення 1 , які відповідають періоду ро-
зв'язків T рівняння (10) та їх кількісоті k в межах напівінтервалу 0;T .
а. б. в. г.
Рис. 2. Схеми двоклинових систем
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технолгії
2022, вип. 34-35, 112-120
117
Таблиця 1
Значення кутів 1 , які відповідають періоду T та кількості розв'язків k на півінтер-
валі 0;T , за різних значень сумарного кута розхилу системи 2
2 (рис. 2а)
T k 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 2
2
4 4
4
3
4
6 6
6
3
2
3
5
6
12 12
12
5
12
7
12
11
12
18 18
18
2
18
4
18
5
18
10
18
11
18
13
18
14
18
16
18
17
18
36 36
36
2
36
7
36
11
36
13
36
17
36
19
36
23
36
25
36
29
36
35
36
2
4
3
(рис. 2б)
1 2
2
3
3 4
3
6 8
6
2
5
6
7
6
12 16
12
4
7
12
3
4
11
12
13
12
17
12
Продовження таблиці 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2
3
2
(рис. 2в)
1 2
3
4
4 6
4
2
5
4
12 18
12
6
3
5
6
7
12
2
3
5
6
11
12
13
12
7
6
4
3
Микола Махоркін, Ігор Махоркін, Андрій Кунинець, Ярослав Глинський
Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напру-
жено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації
118
2 2 (рис. 2г)
1 2
2 4
2
3
2
3 6
3
2
3
4
3
5
3
4 8
4
3
4
5
4
7
4
6 12
6
5
6
7
6
9
6
12 24
12
5
12
7
12
11
12
17
12
19
12
23
12
Зазначимо, що при деяких геометричних характеристиках системи є можли-
вим аналітичнй розв'язок характеристичного рівняння, це питання докладно розгля-
нуте у праці [10]. Наприклад у випадку 2 рис. 2а аналітичні розв'язки знайдено
у випадку таких значень кута 1 :
1
4
, 8T , 8k , 1 2p 2 4p , 3 6p , 4 8p ,
1 2 1 2
5,6,7,8
1 2 1 2
3 34
2 2
p Arg i
;
1
2
, 4T , 4k , 1 1p 2 2p , 3 3p , 4 4p ;
1
4
, 8T , 8k , 1 2p 2 4p , 3 6p , 4 8p ,
1 2 1 2
5,6,7,8
1 2 1 2
3 34
2 2
p Arg i
,
а для клинової систему зображеної на рис. 2 б ( 2
4
3
) –
1
3
, 6T , 8k , 1 1,5p , 2 3p , 3 4,5p 4 6p ,
1 2 1 2
5,6,7,8
1 2 1 2
3 33
2 2
p Arg i
;
1 2
3
, 3T , 4k , 1 0,75p , 2 1,5p , 3 2,25p , 4 3p ;
1 , 6T , 8k , 1 1,5p , 2 3p , 3 4,5p 4 6p ,
1 2 1 2
5,6,7,8
1 2 1 2
3 33
2 2
p Arg i
.
Тут 0;2Arg x iy – аргумент відповідного комплексного числа.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технолгії
2022, вип. 34-35, 112-120
119
Як показали дослідження період розв'язків та їх кількість на півнітервалі 0;T
не залежить від механічних характеристик елементів системи.
Висновки
У даній статті запропоновано аналітичний підхід до побудови СІР з ядром ти-
пу Коші, котре уможливлює з'ясування напружено-деформованого стану двоклино-
вої системи з навантаженою міжфазною тріщиною. Обчислено і подано у вигляді
таблиці значення величин необхідних для побудови цього рівняння при різних зна-
ченях геометричних характеристик системи. Також для окремих випадків записано
аналітичні вирази для обчислення полюсів відповідної підінтегральної
функції.З'ясовано, що на такі величини як період полюсів T та їх кількість в межах
одного періоду 0;lp T механічні характеристики системи не впливають.
Достовірність отриманих результатів забезпечена строгістю математичного
апарату та збігом у частковому випадку отриманого рівняння з відомими в літера-
турі рівняннями. Також слід окремо зазначити, що викладки, подані у статті для
випадку двох клинів, справедливі і для більшої кількості елементівсистеми. Відтак,
можна стверджувати, що запропонований підхід успішно використовуватиметься і
для побудови відповідного СІР з ядром Коші та подальшого з'ясування напружено-
деформованого стану складеної з довільної кількості клинів багатоклинової системи.
Література
1. Саврук М. П. Поздовжній зсув пружного клина з тріщинами та вирізами. Фіз.–хім. механіка матері-
алів. 2002. № 5. С. 57–65.
2. Carpinteri A., Paggi M. Singular harmonic problems at a wedge vertex: mathematical analogies between
elasticity, diffusion, electromagnetism, and fluid dynamics. Journal of Mechanics of Materials and Struc-
tures. 2011. Vol. 6, iss.1-4. Р. 113–125
3. Jiménez-Alfaro S., Villalba V., Mantič V. Singular elastic solutions in corners with spring boundary condi-
tions under anti-plane shear. International Journal of Fracture. 2020. 223(1-2). Р. 197–220. doi:
10.1007/s10704-020-00443-5
4. Savruk M., Kazberuk A. Stress concentration at notches. Springer International Publishing. AG, 2016.
5. Боджи Д. Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных по граням упругих
клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора. Труды
АОИМ. Сер. Прикладная механика. 1971. Т. 38, № 2. С. 87–96
6. Carpinteri A., Paggi M. On the asymptotic stress field in angularly nonhomogeneous materials. Int. J.
Fract. 2005. Vol. 135, No. 4. Р. 267–283.
7. Махоркін М., Махоркіна Т., Пукач П. Математичне моделювання напружено-деформованого стану
композитних клиноподібних елементів конструкцій. Вісник Львівського національного аграрного
університету: агроінженерні дослідження. 2021. Т. 24. С. 121-130.
8. Picu C. R., Gupta V. Stress singularities at triple junctions with freely sliding grains. Int. J. Solids
Struct. 1996. Vol. 33, No. 11. P. 1535–1541.
9. Махоркін М.І. Визначення напружено деформованого стану багатоклинового композиту за умов
плоскої задачі теорії пружності. Вісник Запорізького національного університету. 2015. №1. С. 107
– 117.
10. Makhorkin M., Makhorkina T. Analytical determination of the order of stress field singularity in some con-
figurations of multiwedge systems for the case of antiplane deformation. Econtechmod. An international
quarterly journal. 2017. Vol. 6, No. 3. P. 45–52.
11. Shahani A. R., Adibnazari S. Analysis of perfectly bonded wedges and bonded wedges with an interfacial
crack under antiplane shear loading. Int. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. No. 19. P. 2639–2650.
12. Pageau S. S., Josef P. F., Bigger S. B. The order of stress singularities for bonded and disbonded three–
material junctions. Int. J. Solids Struct. 1994. Vol. 31, No. 21. P. 2979–2997
13. Shahani A. R. Mode III stress intensity factors in an interfacial crack in dissimilar bonded materials. Arch.
Appl. Mech. (Ing. Ar.). 2006. Vol. 75, No. 6-7. P. 405–411.
https://doi.org/10.1007/s10704-020-00443-5
https://doi.org/10.1007/s10704-020-00443-5
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=PublicationURL&_cdi=6102&_pubType=J&_auth=y&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=b44c013157433cd864aa3578569ae5a9
http://www.springerlink.com/content/1432-0681/
http://www.springerlink.com/content/1432-0681/
Микола Махоркін, Ігор Махоркін, Андрій Кунинець, Ярослав Глинський
Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напру-
жено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації
120
14. Кушнір Р. М., Николишин М. М., Осадчук В. А. Пружний та пружно-пластичний граничний стан
оболонок з дефектами. Львів: СПОЛОМ, 2003. 318 с.
15. Уфлянд Я.С. Интегралные преобразования в задачах теории упругости. – М.: Наука, 1963. –368 с.
16. Махоркін М., Сулим Г. Застосування апарата узагальнених функцій до визначення порядку сингуля-
рності за поздовжнього зсуву у клиновій системі. Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2006. Вип.65.
С. 128 - 136.
17. Божидарник В.В, Сулим Г.Т. Елементи теорії пластичності та міцності. – Львів: Світ, 1999. – I–II. –
944 с
On one method of constructing the cauchy kernel of the singular
integral equation for clarifie the stress-strain state of the wedge
system under anti-plane deformation
Mykola Makhorkin, Igor Makhorkin, Andriy Kunynets, Yaroslav Hlynskyi
An analytical approach to the construction of a singular integral equation (SIE) with Cauchy kernel is
proposed, which makes it possible to clarify the stress-strain state of multi-wedge system with loaded
radial cracks. This approach is based on the use of the theory of residues and the clarification of the
solutions periodicity of the multi-wedge system characteristic equation. It is illustrated on the example
of the construction of a SIE with Cauchy kernel for a two-wedge system with a loaded interfacial crack
under the conditions of anti-plane deformation. For particular cases of geometric and mechanical
parameters of the two-wedge system, the values necessary for constructing such an equation were
calculated.
Отримано 15.12.22.
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-254 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:19Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/cc/1d6e8dcb297a770b068df766f3ff3acc.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2542023-06-27T09:43:43Z On one method of constructing the cauchy kernel of the singular integral equation for clarifie the stress-strain state of the wedge system under anti-plane deformation Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації Махоркін, Микола Махоркін, Ігор Кунинець, Андрій Глинський, Ярослав сингулярне інтегральне рівняння, ядро Коші, теорія лишків, двоклинова система, радіальна тріщина An analytical approach to the construction of a singular integral equation (SIE) with Cauchy kernel is proposed, which makes it possible to clarify the stress-strain state of multi-wedge system with loaded radial cracks. This approach is based on the use of the theory of residues and the clarification of the solutions periodicity of the multi-wedge system characteristic equation. It is illustrated on the example of the construction of a SIE with Cauchy kernel for a two-wedge system with a loaded interfacial crack under the conditions of anti-plane deformation. For particular cases of geometric and mechanical parameters of the two-wedge system, the values necessary for constructing such an equation were calculated. Запропоновано аналітико- числовий підхід до побудови сингулярного інтегрального рівняння (СІР) з ядром типу Коші, котре уможливлює з'ясування напружено-деформованого стану багатоклинової систем з навантаженими радіальними тріщинами. Підхід ґрунтується на використанні теорії лишків та з'ясуванні періодичності розв'язків характеристичного рівняння багатоклинової системи. Підхід проілюстровано на прикладі побудови СІР з ядром типу Коші для двоклинової системи з навантаженою міжфазною тріщиною за умов антиплоскої деформації. Для окремих випадків геометричних та механічних параметрів двоклинової системи виконано обчислення величин, необхідних при побудові такого рівняння Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-03-15 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/254 10.15407/fmmit2022.34-35.112 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 34-35 (2022): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 112-120 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 34-35 (2022): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 112-120 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2022.34-35 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/254/231 Авторське право (c) 2023 Микола Махоркін, Ігор Махоркін, Андрій Кунинець, Ярослав Глинський (Автор) |
| spellingShingle | сингулярне інтегральне рівняння ядро Коші теорія лишків двоклинова система радіальна тріщина Махоркін, Микола Махоркін, Ігор Кунинець, Андрій Глинський, Ярослав Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title | Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title_alt | On one method of constructing the cauchy kernel of the singular integral equation for clarifie the stress-strain state of the wedge system under anti-plane deformation |
| title_full | Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title_fullStr | Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title_full_unstemmed | Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title_short | Про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| title_sort | про один спосіб побудови ядра коші сингулярного інтегрального рівняння для з'ясування напружено-деформованого стану клинової системи за антиплоскої деформації |
| topic | сингулярне інтегральне рівняння ядро Коші теорія лишків двоклинова система радіальна тріщина |
| topic_facet | сингулярне інтегральне рівняння ядро Коші теорія лишків двоклинова система радіальна тріщина |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/254 |
| work_keys_str_mv | AT mahorkínmikola ononemethodofconstructingthecauchykernelofthesingularintegralequationforclarifiethestressstrainstateofthewedgesystemunderantiplanedeformation AT mahorkínígor ononemethodofconstructingthecauchykernelofthesingularintegralequationforclarifiethestressstrainstateofthewedgesystemunderantiplanedeformation AT kuninecʹandríj ononemethodofconstructingthecauchykernelofthesingularintegralequationforclarifiethestressstrainstateofthewedgesystemunderantiplanedeformation AT glinsʹkijâroslav ononemethodofconstructingthecauchykernelofthesingularintegralequationforclarifiethestressstrainstateofthewedgesystemunderantiplanedeformation AT mahorkínmikola proodinsposíbpobudoviâdrakošísingulârnogoíntegralʹnogorívnânnâdlâzâsuvannânapruženodeformovanogostanuklinovoísistemizaantiploskoídeformacíí AT mahorkínígor proodinsposíbpobudoviâdrakošísingulârnogoíntegralʹnogorívnânnâdlâzâsuvannânapruženodeformovanogostanuklinovoísistemizaantiploskoídeformacíí AT kuninecʹandríj proodinsposíbpobudoviâdrakošísingulârnogoíntegralʹnogorívnânnâdlâzâsuvannânapruženodeformovanogostanuklinovoísistemizaantiploskoídeformacíí AT glinsʹkijâroslav proodinsposíbpobudoviâdrakošísingulârnogoíntegralʹnogorívnânnâdlâzâsuvannânapruženodeformovanogostanuklinovoísistemizaantiploskoídeformacíí |