Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної

A method for constructing the Chebyshev approximation of a discrete the multivariable functions with reproduction of its values and values of its partial derivatives at given points is proposed. The idea of the method is based on the construction of the limiting average degree approximation with the...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Malachivskyy, Petro, Melnychok, Lev
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Schlagworte:	чебишовське наближення чебишовське наближення з умовою функції багатьох змінних середньостепеневе наближення метод найменших квадратів змінна вагова функція частинна похідна
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/fmmit2023.36.153
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479632321708032
author	Malachivskyy, Petro Melnychok, Lev
author_facet	Malachivskyy, Petro Melnychok, Lev
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Petro Malachivskyy", "institution": "д. т. н., професор, ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, 79005, Львів" }, { "author": "Lev Melnychok", "institution": "к. т. н., Львів" } ]
author_sort	Malachivskyy, Petro
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2025-02-21T17:32:19Z
description	A method for constructing the Chebyshev approximation of a discrete the multivariable functions with reproduction of its values and values of its partial derivatives at given points is proposed. The idea of the method is based on the construction of the limiting average degree approximation with the appropriate interpolation conditions. An iterative scheme based on the method of least squares with a variable weight function was used to construct the average-level approximation. The presented results of the approximation of the function of one variable confirm the fulfillment of the characteristic property of the Chebyshev approximation with the reproduction of the values of the function and the values of its derivatives at the given points.
first_indexed	2026-06-09T01:09:21Z
format	Article
fulltext	153 doi.org/10.15407/fmmit2023.36.153 Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної Петро Малачівський1, Лев Мельничок2 1 д. т. н., професор, ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, 79005, Львів, e-mail: Petro.Malachivskyy@gmail.com 2 к. т. н., Львів, e-mail: levkom@gmail.com Запропоновано метод побудови чебишовського наближення функції багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної у заданій точці. Побудову такого наближення реалізовано з використанням середньостепеневого наближення з відповідними інтерполяційними умовами. Для побудови середньостепеневого наближення застосовано ітераційну схему на основі методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Ключові слова: чебишовське наближення, чебишовське наближення з умовою, функції багатьох змінних, середньостепеневе наближення, метод найменших квадратів, змінна вагова функція, частинна похідна Вступ. Задача побудови чебишовського наближення з фіксованим значенням функції та частинної похідної виникає, коли з технічних вимог необхідно щоб апроксимаційний вираз у певній точці відтворював значення деякої функціональної залежності та швидкість зміни її значень. Така задача зустрічаються, зокрема, під час проектування вимірювальних приладів, у яких певному значенню вихідного сигналу сенсора має відповідати конкретне значення вимірюваної величини й забезпечуватися відповідна чутливість [1]. Задачі наближення функцій з інтерполяційними умовами досліджувались багатьма вченими [2, 3]. Чебишовське наближення з інтерполяційними умовами має певні особливості. У випадку наближення функції однієї змінної альтернансна властивість щодо чергування зміни знаку в точках альтернансу не завжди виконується [1]. Постановка задачі. Нехай  Xf функція n змінних, де X вектор  nxxxX ,...,, 21 , неперервна і диференційована в деякій обмеженій області D , nRD ( nR — n -вимірний векторний простір). Функцію  Xf , задану на множині точок  s jjX 1  , D , потрібно наблизити узагальненим поліномом       m i iim XaXaF 0 ;  (1) УДК 519.65 mailto:Petro.Malachivskyy@gmail.com mailto:levkom@gmail.com Петро Малачівський, Lev Melnychok Чебишовське наближення функції багатьох змінних з фіксованим … 154 за системою лінійно незалежних неперервних на D дійсних функцій  Xi , mi ,0 , де ia , mi ,0 – невідомі параметри:   Aa m ii  0 , 1 mRA . Нехай для функції  Xf існує неперервна частинна похідна першого порядку в точці 1U і   01 vUf  ,   1 1     iUXx Xf . (2) Чебишовське наближення функції  Xf фіксованим значенням функції та частинної похідної (2) полягає в отриманні поліному (1) степеня 2m на множині  з кількістю точок 2 ms , який в точці 1U відтворює значення функції та її частинної похідної   01; vUaFm  ,   1 1 ;     iUX m x XaF , (3) а найбільша похибка цього наближення      XaFXfa m X ;max   (4) була найменшою можливою на множині точок  . В праці [1] досліджено існування й встановлено характеристичну властивість чебишовського наближення функцій однієї змінної з відтворенням її значень та значень її похідних в заданих точках. У цій праці запропоновано метод побудови чебишовського наближення функції багатьох змінних узагальненим поліномом із інтерполюванням її значення і значення її частинної похідної у заданій точці. Метод обчислення параметрів чебишовського наближення функцій багатьох змінних з інтерполюванням значення функції та її частинної похідної Нехай для функції  Xf на множині точок  існує чебишовське наближення поліномом  XaFm ; з відтворенням значення функції і її частинної похідної за змінною 1x в точці 1U . Для побудови такого чебишовського наближення використаємо метод послідовних середньостепеневих наближень [4, 5] виразом        ХaХаХаХаF m і iim 1100 2 ;    , (5) де    10 1 10,10 UUаvа m i ii             ,       1 11 1 1 1 0 0 2 1 1,1 1 UX UX m і UX i i x Х x Х а x Х аv a                . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 36, 153-157 155 Вираз  ХаFm ; отримано з поліному (1) з врахуванням інтерполяційної умови (2), (3) щодо відтворення значення функції  Xf і значення її частинної похідної за змінною 1x в точці 1U . Врахування цієї умови полягає у вилученні параметрів 0a і 1a з поліному (1). При вилученні параметра 0a ми припустили, що  10 U не дорівнює нулеві, а при вилученні 1a припустили, що значення частинної похідної за змінною 1x в точці 1U не дорівнює нулеві. Для обчислення значень параметрів чебишовського наближення поліномом  ХаFm ; на множині точок 1\Uu  щодо невідомих параметрів іa  mi ,2 використаємо ітераційну схему на основі методу найменших квадратів        min; 2 ,2     Аа X pmp u ХаFХfХ , ...,4,3,2p (6) з послідовним уточненням значень вагової функції [19]   10 X ,              r i irrr XXXXX 1 01  , 2,...,1  pr , (7) де      ХаFXfХ kmk ;1,  , rk ,1 ,  ХаF km ;, – наближення функції  Xf виразом (5) за методом найменших квадратів з ваговою функцією  Xk 2 на множині точок u , яке відповідає середньостепеневому наближенню степеня k . Побудова чебишовського наближення функції  Xf полягає послідовному обчисленні середньостепеневих наближень  Xf виразом  ХаFm ; для ...,4,3,2p , які відповідно до [18, 19] збігаються до чебишовського наближення. Завершення ітерацій (6) можна контролювати досягненням деякої заданої точності  ppp  1 , (8) де    ХаFХf pm X p u ;max ,   . З виконанням цієї умови чебишовське наближення функції  Xf заданої на множині точок  з відтворенням значення функції  Xf і значення її частинної похідної за змінною 1x в точці 1U поліномом (1) буде    ХаFХаF pmm ;; , . (9) Задаючи значення  в (8), досягаємо потрібну точність обчислення параметрів шуканого чебишовського наближення. Петро Малачівський, Lev Melnychok Чебишовське наближення функції багатьох змінних з фіксованим … 156 Приклад. Побудуємо чебишовське наближення функції   44221, yxyxyxz  , заданої в точках  ji yx , , 20,0i , 20,0j , де ixi 05.0 , jy j 05.0 , поліномом      33 54 22 32103,3 , yxaxyayxayaxaayxP  (10) за змінними x та y з інтерполюванням у точці  3.0,3.0 значення функції та її частинної похідної за змінною x . З використанням запропонованого методу для 003.0 за 9 ітерацій (6) з ваговою функцією (7) для  yxz , отримано поліном      ,.63759166705.21345040604.2225902560 4240.021108467750.0225972871.01161455, 3322 3,3 yxxyyx yxyxP   (11) який забезпечує наближення функції  yxz , з абсолютною похибкою – 0.011862596. В процесі ітерацій похибка наближення набувала таких значень: 0.018145539, 0.014416268, 0.012857721, 0.012649105, 0.012431550, 0.012210566, 0.012023069, 0.011877396, 0.011862596. Рис. 1. Графік похибки наближення функції  yxz , поліномом (11) з інтерполюванням функції та її частинної похідної за змінною x в точці  3.0,3.0 Наближення функції  yxz , поліномом вигляду (10) для 00003.0 отримано за 71 ітерацію (6). Поліном      3322 3,3 2.63740633205.21459798104.2227674840 5530.021083093050.0227851831.01160194, yxxyyx yxyxP   (12) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 36, 153-157 157 забезпечує наближення функції  yxz , з інтерполюванням значення функції та частинної похідної за змінною x в точці  3.0,3.0 з абсолютною похибкою – 0.011684458. З підвищенням точності отримали наближення (12) з дещо меншою похибкою. Використання значення 003.0 забезпечує отримання наближення з двома правильними значущими цифрами похибки. Висновки. З використання поліному (5) побудова чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом (1) з відтворенням значення функції та її частинної похідної зводиться до обчислення середньостепеневих за ітераційною схемою на основі методу найменших квадратів (6) з ваговою функцією (7). Запропонований метод передбачає можливість обчислення наближення функції багатьох змінних з відтворенням значення функції та її частинної похідної із потрібною точністю. Тестові приклади підтверджують швидку збіжність запропонованого методу. Література [1] Малачівський П. С., Скопецький В. В. Неперервне й гладке мінімаксне сплайн-наближення – Київ: Наук. думка, 2013. – 270 с. [2] L. Collatz and W. Krabs, Approximationstheorie: Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen (Teubner Studienbücher Mathematik). Stuttgart: Teubner Verlag; 1973. [3] Dunham C., Zhu C. Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with interpolation). Proc. 20th Manitoba Conf. Congr. Numerical Mathematics and Computing, Numerantium 80, Winnipeg, Can. 1990. Winnipeg, 1991. P. 161–169. [4] Malachivskyy P., Melnychok L., Pizyur Ya. Chebyshev approximation of multivariable functions with the interpolation. Mathematical Modeling and Computing. 2022. Vol. 9, N. 3, P. 757–766. https://doi.org/10.23939/mmc2022.03.757 [5] P. S. Malachivskyy, Y. V. Pizyur, R. P. Malachivskyi, and O. M. Ukhanska, Chebyshev approximation of functions of several variables, Cybernetics and Systems Analysis, Vol. 56, No. 1. – Рp. 76–86, 2020. https://doi.org/10.1007/s10559-020-00227-8 Chebyshev Approximation Multivariable Functions With the Interpolation of the Value of the Function and its Partial Derivative Petro Malachivskyy, Lev Melnychok A method for constructing the Chebyshev approximation of a discrete the multivariable functions with reproduction of its values and values of its partial derivatives at given points is proposed. The idea of the method is based on the construction of the limiting average degree approximation with the appropriate interpolation conditions. An iterative scheme based on the method of least squares with a variable weight function was used to construct the average-level approximation. The presented results of the approximation of the function of one variable confirm the fulfillment of the characteristic property of the Chebyshev approximation with the reproduction of the values of the function and the values of its derivatives at the given points. Отримано 09.02.23 https://doi.org/10.23939/mmc2022.03.757
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-262
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:09:21Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/71/1a9e9aee59468d16dc70842124d09871.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2622025-02-21T17:32:19Z Chebyshev Approximation Multivariable Functions With the Interpolation of the Value of the Function and its Partial Derivative Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної Malachivskyy, Petro Melnychok, Lev чебишовське наближення, чебишовське наближення з умовою, функції багатьох змінних, середньостепеневе наближення, метод найменших квадратів, змінна вагова функція, частинна похідна A method for constructing the Chebyshev approximation of a discrete the multivariable functions with reproduction of its values and values of its partial derivatives at given points is proposed. The idea of the method is based on the construction of the limiting average degree approximation with the appropriate interpolation conditions. An iterative scheme based on the method of least squares with a variable weight function was used to construct the average-level approximation. The presented results of the approximation of the function of one variable confirm the fulfillment of the characteristic property of the Chebyshev approximation with the reproduction of the values of the function and the values of its derivatives at the given points. Запропоновано метод побудови чебишовського наближення функції багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної у заданій точці. Побудову такого наближення реалізовано з використанням середньостепеневого наближення з відповідними інтерполяційними умовами. Для побудови середньостепеневого наближення застосовано ітераційну схему на основі методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-12 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/fmmit2023.36.153 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 153-157 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 153-157 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/fmmit2023.36.153/236
spellingShingle	чебишовське наближення чебишовське наближення з умовою функції багатьох змінних середньостепеневе наближення метод найменших квадратів змінна вагова функція частинна похідна Malachivskyy, Petro Melnychok, Lev Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title	Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title_alt	Chebyshev Approximation Multivariable Functions With the Interpolation of the Value of the Function and its Partial Derivative
title_full	Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title_fullStr	Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title_full_unstemmed	Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title_short	Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
title_sort	чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної
topic	чебишовське наближення чебишовське наближення з умовою функції багатьох змінних середньостепеневе наближення метод найменших квадратів змінна вагова функція частинна похідна
topic_facet	чебишовське наближення чебишовське наближення з умовою функції багатьох змінних середньостепеневе наближення метод найменших квадратів змінна вагова функція частинна похідна
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/fmmit2023.36.153
work_keys_str_mv	AT malachivskyypetro chebyshevapproximationmultivariablefunctionswiththeinterpolationofthevalueofthefunctionanditspartialderivative AT melnychoklev chebyshevapproximationmultivariablefunctionswiththeinterpolationofthevalueofthefunctionanditspartialderivative AT malachivskyypetro čebišovsʹkenabližennâfunkcíjbagatʹohzmínnihzfíksovanimznačennâmfunkcíítačastinnoípohídnoí AT melnychoklev čebišovsʹkenabližennâfunkcíjbagatʹohzmínnihzfíksovanimznačennâmfunkcíítačastinnoípohídnoí

Чебишовське наближення функцій багатьох змінних з фіксованим значенням функції та частинної похідної

Institution

Ähnliche Einträge