Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм
This article is devoted to the further generalization of low-angle tomography methods used by new information operators. It proposes and investigates a method of restoring the absorption coefficient of a 3D body using penetrating irradiation in three mutually perpendicular directions and three syste...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/264 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479632900521984 |
|---|---|
| author | Lytvyn, Oleg O Lytvyn, Oleksandra Khurdei, Yevheniia |
| author_facet | Lytvyn, Oleg O Lytvyn, Oleksandra Khurdei, Yevheniia |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Oleg O Lytvyn",
"institution": "д. ф.-м. н., професор, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків"
},
{
"author": "Oleksandra Lytvyn",
"institution": "к. ф.-м. н., професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, пр. Науки,14, 61166, Харків"
},
{
"author": "Yevheniia Khurdei",
"institution": "асистент, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків"
}
] |
| author_sort | Lytvyn, Oleg O |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:32:19Z |
| description | This article is devoted to the further generalization of low-angle tomography methods used by new information operators. It proposes and investigates a method of restoring the absorption coefficient of a 3D body using penetrating irradiation in three mutually perpendicular directions and three systems of tomograms in planes perpendicular to these directions. For modeling, the spline interflatation of functions of three variables, in which the basis functions are splines of the first power, is studied in more detail.Without losing generality, it is assumed that the investigated object is located in a unit cube, the edges of which are parallel to the corresponding coordinate axes. Theorems about the approximate properties of constructed operators that approximate the absorption coefficient are formulated and proved. In particular, the theorem on the remainder of the approximation is proved. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
143
doi.org/10.15407/fmmit2023.36.143
Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на
основі використання систем трьох рентгенівських знімків
та томограм
Олег О. Литвин1, Олександра Литвин2, Євгенія Хурдей3.
1 д. ф.-м. н., професор, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків,
e-mail: olegolitvin55@gmail.com
3 к. ф.-м. н., професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, пр. Науки,14, 61166, Харків,
e-mail: litvinog@ukr.net
3 асистент, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків,
e-mail: evgesha.hurdei@gmail.com
Дана стаття присвячена подальшому узагальненню методів малоракурсної томографії,
які використовують нові інформаційні оператори. В ній пропонується та досліджується
метод відновлення коефіцієнта поглинання 3D тіла за допомогою проникаючого
опромінення у трьох взаємно-перпендикулярних напрямках та трьох систем томограм у
площинах, перпендикулярних цим напрямкам. Для моделювання досліджується детальніше
сплайн-інтерфлетація функцій трьох змінних, в якій базисні функції є сплайнами першого
степення. Не втрачаючи загальності, вважається, що досліджуваний об’єкт
розташовано в одиничному кубі, ребра якого паралельні відповідним осям координат.
Формулюються та доводяться теореми про апроксимативні властивості побудованих
операторів, які наближують коефіцієнт поглинання. Зокрема, доведена теорема про
залишок наближення.
Ключові слова: томограма, тіньове зображення, коефіцієнт поглинання,
інтерфлетація функцій
Вступ. Більш ніж сто років тому Й. Радон опублікував статтю про можливість
представлення функцій багатьох змінних за допомогою інтегралів від слідів цих
функцій на системі прямих і площин. Лише у 1979 році А. Кормаку та Г.
Хаунсфілду була присуджена Нобелівська премія за створення рентгенівського
комп’ютерного томографа. З того часу комп’ютерна томографія належить до
високоточних напрямів діагностування в медицині, на митниці тощо. Зокрема,
з’явились магнітно-резонансні томографи, оптичні томографи тощо. Важливу
роль відіграє напрям малоракурсної комп’ютерної томографії. Відмітимо метод
відновлення внутрішньої структури тривімірного тіла, розроблений в статті [1]
(дивись також патент [2]). який для побудови математичної моделі використовує
всього два або три тіньові зображення об’єкта (рентгенівскі знімки) у взаємно
перпендикулярних напрямках. Тобто цей метод відноситься до
ультрамалоракурсної комп’ютерної томографії. Отже, актуальною є розробка та
УДК 519.6
mailto:olegolitvin55@gmail.com
mailto:litvinog@
mailto:evgesha.hurdei@gmail.com
Олег О. Литвин, Олександра Литвин, Євгенія Хурдей
Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання …
144
дослідження методів, пов’язаних з малоракурсною томографією з використанням
нових інформаційних операторів.
В даній роботі в якості нових інформаційних операторів пропонується
використовувати оператори інтерфлетації функцій трьох змінних з
використанням системи томограм на площинах, перпендикулярних осям
координат. Побудовані оператори наближення одночасно використовують і
тіньові зображення, і систему томограм. Проведено побудову наближуючих
операторів, а також досліджено залишковий член наближення коефіцієнта
поглинання з допомогою цих операторів.
1. Постановка задачі
Вважаємо, що функція ( , , )f x y z описує коефіцієнт поглинання проникаючого
опромінення тіла, розташованого в одиничному кубі 3[0,1] . Для невідомої
досліджуваної функції вважаємо заданими оператори 1 2 3, ,I I I :
1 1 1
1 2 3
0 0 0
( , ) ( , , ) , ( , ) ( , , ) , ( , ) ( , , ) .I f y z f x y z dx I f x z f x y z dy I f x y f x y z dz
Ці оператори будемо вважати математичними моделями тіньових
зображень (знімків) досліджуваного об’єкта в напрямках осей координат.
У площинах , 1, 1; , 1, 1; , 1, 1p q rx x p m y y q n z z r s
задані зображення коефіцієнта поглинання, тобто томограми, які поступають з
комп’ютерного томографа: ( , , ), ( , , ), ( , , )p q rf x y z f x y z f x y z .
З допомогою цих томограм побудуємо ператори 1 2 3, ,F F F
1
1 ,
1
( , , ) ( ) ( , , )
m
m p p
p
F f x y z h x f x y z
,
1
2 ,
1
( , , ) ( ) ( , , ),
n
n q q
q
F f x y z h y f x y z
1
3 ,
1
( , , ) ( ) ( , , )
s
s r r
r
F f x y z h z f x y z
,
де , , ,( ), ( ), ( )m p n q s rh x h y h z є сплайнами першого степеня з властивостями
, , , , , ,( ) , ( ) , ( )m p p p p n q q q q s r r r rh x h y h z ;
1, 1; 1, 1; 1, 1p m q n r s .
Покладемо
1 , 1,
( )
0, 1;
t t
h t
t
, , ;p q r
p q r
x y z
m n s
, , ,( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )m p n q s rh x h mx p h y h ny q h z h sz r .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 143-147
145
Оператори 1 2 3, ,F F F є операторами інтерфлетації з властивостями:
1 ( , , ) ( , , ), 1, 1;p pF f x y z f x y z p m
2 ( , , ) ( , , ), 1, 1;q qF f x y z f x y z q n
3 ( , , ) ( , , ), 1, 1.r rF f x y z f x y z r s
Задача полягає в побудові та дослідженні оператора O , що використовує
введені вище оператори 1 2 3 1 2 3, , , , ,I I I F F F , і має задані тіньові зображення в
напрямках осей координат та одночасно томограми в площинах,
перпендикулярних осям кординат. Дослідити апроксимативні властивості
побудованого оператора O та порівняити його з віповідними операторами,
дослідженими в роботах [1,2].
2. Метод розв’язання
Введемо оператори 1 2 3, ,O O O :
1 1 1 1 1
1
( )
( , , ) ( , , ) ( ( , ) ( , )) ,
( )
m
m
w x
O f x y z F f x y z I f y z I F f y z
I w x
2 2 2 2 2
2
( )
( , , ) ( , , ) ( ( , ) ( , )) ,
( )
n
n
w y
O f x y z F f x y z I f x z I F f x z
I w y
3 3 3 3 3
3
( )
( , , ) ( , , ) ( ( , ) ( , )) ,
( )
s
s
w z
O f x y z F f x y z I f x y I F f x y
I w z
де , 0,1 ,1 2 .
Тут ( )mw x - сплайн першого степеня з властивостями:
1( ) 0, 1, 1; ( ) 0m p mw x p m I w x .
1
1 1 1
( ) , , 1, 1 ; ( ) ( 1) .
2 2 2
m p p p p mw x x x x x x p m I w x m
m m m
Аналогічні формули можна записати для ( ), ( )n sw y w z .
Оператор O визначимо формулою
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ).Of x y z O O O O O O O O O O O O f x y z
Якщо 0, 1 , то отримаємо оператори 1 2 3, ,O O O , які досліджувались в
роботах [1,2]. Якщо 1, 0, 3m n s , то отримаємо оператор
наближеного відновлення коефіцієнта поглинання ( , , )f x y z з використанням
Олег О. Литвин, Олександра Литвин, Євгенія Хурдей
Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання …
146
інтерфлетації на шести гранях паралелепіпеда. Цей випадок розглядався в роботі
[1]. Далі розглядаємо випадок 1, 1 .
Теорема 1. Якщо 1, 1 , то оператор 1 ( , , )O f x y z має такі властивості:
1. 1 1 1( , ) ( , );I O f y z I f y z
2. 1( ( , , )) ( , , ), 1, 1p pO f x y z f x y z p m .
Доведення.
1 1
1 1
1 1 1 1 1
10 0
1 1
1 1 1 1 1
10 0
1 1 1 1 1
1. ( ( , , ))
( )
( , , ) ( ( , , ) ( ( , ) ( , )) )
( )
( )
( , , ) ( ( , ) ( , )) ( , );
( )
2. ( ( , , )) ( , , ) ( ( , ) ( ,
m
m
m
m
p p
I O f x y z
w x
O f x y z dx F f x y z I f y z I F f y z dx
I w x
w x
F f x y z dx I f y z I F f y z dx I f y z
I w x
O f x y z F f x y z I f y z I F f y z
1
1
( )
))
( )
( ) 0 ( , , ) ( , , ), 1, 1.
m p
m
m p p p
w x
I w x
w x F f x y z f x y z p m
Теорему 1 доведено.
Аналогічно доводиться, що
2 2 2 2
3 3 3 3
( , ) ( , ), ( ( , , )) ( , , ), 1, 1;
( , ) ( , ), ( ( , , )) ( , , ), 1, 1.
q q
r r
I O f x z I f x z O f x y z f x y z q n
I O f x y I f x y O f x y z f x y z r s
Таким чином, оператори 1 2 3, ,O O O при застосуванні до наближуваної
функції ( , , )f x y z породжують функції трьох змінних з тими самими інтегралами
1 2 3, ,I I I та з тими самими слідами (томограмами) на системі 1, 1, 1m n s
площин, перпендикулярних відповідним ребрам одиничного кубу. Це означає,
що мають місце тотожності:
1 1 1 2 2 2
3 3 3
( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ),
( , , ) ( , , ).
O O f x y z O f x y z O O f x y z O f x y z
O O f x y z O f x y z
Теорема 2. Оператори 1 2,O O переставні, тобто
1 2 2 1( , , ) ( , , )O O f x y z O O f x y z .
Теорема 3. Оператор O має таку властивість:
1 1( , , ) ( , , )O Of x y z O f x y z .
Доведення.
1 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ).
O Of x y z O O O O O O O O O O O O O f x y z
O O O O O O O O O O O O O O O f x y z O f x y z
Теорему 3 доведено.
Введемо позначення:
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 143-147
147
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ), 1,3.i i iR f x y z f x y z O f x y z E O f x y z i
Тут E тотожній оператор.
Теорема 4. Для залишку
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )Rf x y z f x y z Of x y z E O f x y z
справедлива формула
1 2 3( , , ) ( , , )Rf x y z R R R f x y z .
Висновки. Узагальнено метод побудови операторів наближення функцій трьох
змінних за допомогою тіньових зображень, наведений у роботі [1] на випадок,
коли експериментальні дані включають також 1, 1, 1m n s томограм на
площинах, перпендикулярних трьом осям координат. Досліджено апроксмативні
властивості побудованих операторів. Зокрема, довелено, що залишок
наближення функцій трьох змінних ( , , )f x y z функцією ( , , )f x y zO дорівнює
операторному добутку трьох залишків наближення цієї функції функціями
1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )O f x y z O f x y z O f x y z відповідно.
Література
[1] Сергієнко І.В., Литвин О.О. Математичне моделювання внутрішньої структури 3D тіла на
основі трьох рентгенівських знімків у трьох взаємно-перпендикулярних ракурсах. Доповіді
НАН України, № 7, 2008. – С. 53-59.
[2] Сергієнко І.В., Литвин О.М., Литвин О.О. Спосіб відновлення внутрішньої структури
тривимірного об’єкта. Патент на винахід № 78569. Зареєстровано в державному реєстрі
патентів України на винаходи 10.04.2007.
The method of restoring the internal structure of the 3D body
based on the use of systems of three X-ray images and
tomograms
Oleg O. Lytvyn, Oleksandra Lytvyn, Yevheniia Khurdei
This article is devoted to the further generalization of low-angle tomography methods used by new
information operators. It proposes and investigates a method of restoring the absorption
coefficient of a 3D body using penetrating irradiation in three mutually perpendicular directions
and three systems of tomograms in planes perpendicular to these directions. For modeling, the
spline interflatation of functions of three variables, in which the basis functions are splines of the
first power, is studied in more detail.Without losing generality, it is assumed that the investigated
object is located in a unit cube, the edges of which are parallel to the corresponding coordinate
axes. Theorems about the approximate properties of constructed operators that approximate the
absorption coefficient are formulated and proved. In particular, the theorem on the remainder of
the approximation is proved.
Отримано 14.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-264 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:22Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/be/1024b02b9b08da74b6ce7ae1483871be.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2642025-02-21T17:32:19Z The method of restoring the internal structure of the 3D body based on the use of systems of three X-ray images and tomograms Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм Lytvyn, Oleg O Lytvyn, Oleksandra Khurdei, Yevheniia томограма, тіньове зображення, коефіцієнт поглинання, інтерфлетація функцій This article is devoted to the further generalization of low-angle tomography methods used by new information operators. It proposes and investigates a method of restoring the absorption coefficient of a 3D body using penetrating irradiation in three mutually perpendicular directions and three systems of tomograms in planes perpendicular to these directions. For modeling, the spline interflatation of functions of three variables, in which the basis functions are splines of the first power, is studied in more detail.Without losing generality, it is assumed that the investigated object is located in a unit cube, the edges of which are parallel to the corresponding coordinate axes. Theorems about the approximate properties of constructed operators that approximate the absorption coefficient are formulated and proved. In particular, the theorem on the remainder of the approximation is proved. Дана стаття присвячена подальшому узагальненню методів малоракурсної томографії, які використовують нові інформаційні оператори. В ній пропонується та досліджується метод відновлення коефіцієнта поглинання 3D тіла за допомогою проникаючого опромінення у трьох взаємно-перпендикулярних напрямках та трьох систем томограм у площинах, перпендикулярних цим напрямкам. Для моделювання досліджується детальніше сплайн-інтерфлетація функцій трьох змінних, в якій базисні функції є сплайнами першого степення. Не втрачаючи загальності, вважається, що досліджуваний об’єкт розташовано в одиничному кубі, ребра якого паралельні відповідним осям координат. Формулюються та доводяться теореми про апроксимативні властивості побудованих операторів, які наближують коефіцієнт поглинання. Зокрема, доведена теорема про залишок наближення. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-12 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/264 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 143-147 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 143-147 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/264/238 Авторське право (c) 2023 Олег О. Литвин, Олександра Литвин, Євгенія Хурдей (Автор) |
| spellingShingle | томограма тіньове зображення коефіцієнт поглинання інтерфлетація функцій Lytvyn, Oleg O Lytvyn, Oleksandra Khurdei, Yevheniia Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title | Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title_alt | The method of restoring the internal structure of the 3D body based on the use of systems of three X-ray images and tomograms |
| title_full | Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title_fullStr | Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title_full_unstemmed | Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title_short | Метод відновлення внутрішньої структури 3D тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| title_sort | метод відновлення внутрішньої структури 3d тіла на основі використання систем трьох рентгенівських знімків та томограм |
| topic | томограма тіньове зображення коефіцієнт поглинання інтерфлетація функцій |
| topic_facet | томограма тіньове зображення коефіцієнт поглинання інтерфлетація функцій |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/264 |
| work_keys_str_mv | AT lytvynolego themethodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms AT lytvynoleksandra themethodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms AT khurdeiyevheniia themethodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms AT lytvynolego metodvídnovlennâvnutríšnʹoístrukturi3dtílanaosnovívikoristannâsistemtrʹohrentgenívsʹkihznímkívtatomogram AT lytvynoleksandra metodvídnovlennâvnutríšnʹoístrukturi3dtílanaosnovívikoristannâsistemtrʹohrentgenívsʹkihznímkívtatomogram AT khurdeiyevheniia metodvídnovlennâvnutríšnʹoístrukturi3dtílanaosnovívikoristannâsistemtrʹohrentgenívsʹkihznímkívtatomogram AT lytvynolego methodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms AT lytvynoleksandra methodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms AT khurdeiyevheniia methodofrestoringtheinternalstructureofthe3dbodybasedontheuseofsystemsofthreexrayimagesandtomograms |