Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень
In this paper considers the synthesis of methods of complex analysis and perturbation theory. A new approach has been developed to take into account osmosis when predicting filtration-convection processes in quasi-ideal porous media (multiply connected areas) bounded by flow lines and equipotential...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/271 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479638536617984 |
|---|---|
| author | Bomba, Andrii Ostapchuk, Oksana |
| author_facet | Bomba, Andrii Ostapchuk, Oksana |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Andrii Bomba",
"institution": "д. т. н., професор, Національний університет водного господарства та природокористування, вул. Соборна, 11, 33028, Рівне"
},
{
"author": "Oksana Ostapchuk",
"institution": "к. т. н., доцентка, Національний університет водного господарства та природокористування, вул. Соборна, 11, 33028, Рівне"
}
] |
| author_sort | Bomba, Andrii |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:32:19Z |
| description | In this paper considers the synthesis of methods of complex analysis and perturbation theory. A new approach has been developed to take into account osmosis when predicting filtration-convection processes in quasi-ideal porous media (multiply connected areas) bounded by flow lines and equipotential lines. The solution of the corresponding degenerate problem is obtained on the basis of the developed method of non-linear mapping of solutions of boundary value problems onto conformal reflections. An algorithm for calculating a uniform dynamic grid, flow dividing lines (finite points on the internal contour-filler of the flow) and the speed of an ideal filtration field in a three-connected area limited by equipotential lines is built. Taking into account the above and the developed method of characteristics, formulas for the approximate solution of problems of convective mass transfer on the filtration field perturbed by osmosis are obtained. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
32
doi.org/10.15407/fmmit2023.36.032
Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-
конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень
Андрій Бомба1, Оксана Остапчук2
1 д. т. н., професор, Національний університет водного господарства та природокористування,
вул. Соборна, 11, 33028, Рівне, e-mail: a.ya.bomba@nuwm.edu.ua
2 к. т. н., доцентка, Національний університет водного господарства та природокористування,
вул. Соборна, 11, 33028, Рівне, e-mail: o.p.ostapchuk@nuwm.edu.ua
У роботі на основі синтезу методу комплексного аналізу та теорії збурень розроблено
новий підхід до урахування осмосу при прогнозуванні процесів типу фільтрація-конвекція в
квазіідеальних пористих середовищах (в многозв’язних областях), обмежених лініями течії
та еквіпотенціальними лініями. Розв’язок відповідної виродженої задачі одержано на
основі розробленого методу нелінійного обернення розв’язків крайових задач на конформні
відображення. Побудовано алгоритм розрахунку рівномірної динамічної сітки, ліній розділу
течії (кінцевих точок на внутрішньому контурі-поповнювачі течії) і швидкості ідеального
фільтраційного поля в тризв’язній області обмеженої еквіпотенціальними лініями. З
урахуванням викладеного та розробленого методу характеристик, отримано формули для
наближеного розв’язку задач конвективного масоперенесення на збуреному осмосом
фільтраційному полі.
Ключові слова: крайова задача, фільтрація, конвекція, осмос, збурення,
квазіконформні відображення, числові і асимптотичні методи
Вступ. Крайові задачі типу фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін-осмос в
пористих середовищах розглядалися в працях [1, 2]. У роботах [1-5]
розглядалися задачі математичного моделювання процесів фільтрації сольових
розчинів з урахуванням взаємовпливу характеристик фільтраційного потоку та
грунтового середовища, а також досліджено вплив осмотичних явищ на процес
масоперенесення.
Використовуючи методику переходу від фізичної області до відповідної
області комплексного потенціалу разом з аналітичними і чисельно-аналітичними
методами, у працях [3-5] отримані розв’язки найбільш типових двовимірних
задач конвективного масопереносу при фільтрації в чотирикутних криволінійних
областях, обмежених двома лініями току і двома еквіпотенціальними лініями, а
також задач у двозв’язних областях, обмежених двома еквіпотенціальними
лініями. Особливість розв’язування такого роду задач для тризв’язної області zG
полягає в тому, що в залежності від співвідношення значень граничних
потенціалів, відповідна область комплексного потенціалу G будується
неоднозначно, і, разом з побудовою алгоритму чисельного розв’язання
нелінійної зворотної задачі на конформне відображення zGG в кожному з
конкретних випадків, виникає “проблема вибору“.
Мета цієї праці – розроблення методу розв’язання задач фільтрації і
УДК 518.61.001.573
mailto:a.ya.bomba@nuwm.edu.ua
mailto:o.p.ostapchuk@nuwm.edu.ua
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 32-37
33
конвективного масопереносу для тризв’язної області у випадку, коли один з її
обмежуючих внутрішніх контурів поповнює вихідний потік з урахуванням
осмосу шляхом збурення.
1. Постановка задачі
Розглянемо (рис. 1a) у деякій тризв’язній криволінійній області zG ( iyxz ),
обмеженій замкнутими гладкими контурами 0=yx,f:zL ,
000 =yx,f:zL , 0=yx,f:zL , модельну задачу типу “конвекція-
фільтрація-осмос”
c grad gradv , 0vdiv , *L*
, *
L* , 0
0
L
; (1)
),(GG)t,y,x( ,ccvcv ztyyxx 00 , (2)
t,y,xcc *L
*
,
t,y,xcc
n:Lz
0
00
, y,xcc
zG)y,x(,t
0
00
, (3)
де )y,x(c ),t,y,x(c ),t,y,x(c*
0
0
0 – задані досить гладкі та узгоджені на ),G( z 0
функції, y,x – потенціал швидкості фільтрації ))y,x(v),y,x(v(v yx
( *
* 0 ), n – вектор внутрішньої нормалі до zG , - коефіцієнт
осмосу (малий параметр) Значення потенціалу 0 на додатковому “контурі-
поповнювачі“ 0L таке, що
0
0
L
xy dyvdxv . Точніше даний контур 0L
складається із двох ділянок, через одну з яких із внутрішності даного контуру
має місце перетік до зовнішнього контуру L , а інша частина є «втоком» рідини,
що поступає із внутрішності контуру *L . Вважаємо, що початкове забруднення
даної області та внутрішності контуру *L є малими (функції )y,x(c ),t,y,x(c*
0
0 -
близькі до нуля), а внутрішність контуру 0L - є джерелом забруднень. В силу
відсутності дифузії забрудненою буде деяка ділянка С2F зовнішнього контуру.
Виявляється, що за рахунок осмосу відчутними можуть бути забруднення деякої
ділянки А2D і внутрішнього контуру *L (за рахунок осмосу). Головний акцент
даної роботи ставиться на мало затратному урахуванні осмотичних явищ.
Відповідна область комплексного потенціалу G зображена на рис. 1б, де
)y,x(i)y,x()z( комплексний потенціал потоку, )y,x(
функція течії. Щодо шуканих параметрів *
**
* Q,Q,Q 0
0 (відповідно величин потоків:
від 0L до
*L ; від *L до 0L , від *L до
*L , де
0
0
0
L
xy*
* dyvdxvQQ ,
*L
xy
**
* dyvdxvQQ
0
0 ,
*L
xy*
*
* dyvdxvQQ 0 ) відомо лише, що .QQ *
* 0
0
Розріз BCAB ( *LA , 0LB , *LC ) тризв’язної області zG умовно
Андрій Бомба, Оксана Остапчук
Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-…
34
вибирається уздовж однієї з ліній розділу течії і знаходиться в процесі розв’язку
задачі.
2. Асимптотика розв’язку
Розв’язок задачі (1)-(3) представимо у вигляді асимптотичного ряду
),,t,y,x(R )x,y,t(с)x,y,t(с)x,y,t(с))x,y,t(сс c
nn
n
ε 10 (4)
),,t,y,x(R)x,y,t()x,y,t()x,y()x,y,t( nn
n
ε 10 (5)
де c
nR ,
nR , – залишкові члени, ii ,c ( n,i 0 ) – шукані члени асимптотики,
які знаходяться шляхом підстановки (4), (5) у вихідні рівняння та умови
(1-3) з наступним прирівнюванням у відповідних співвідношеннях членів
при однакових степенях . Для знаходження, зокрема, головних членів
асимптотики (при 0 , 0 ,cc 0 ) поступатимемо так.
Аналогічно до [3-5] характеристичну функцію течії
),(i),(x)(zz , невідомі параметри *
**
* Q,Q,Q 0
0 , координати вузлів
динамічної сітки )y,x( j,ij,i відповідні вузлам ),( ji кусково-рівномірної сітки
в області комплексного потенціалу G (рівномірної в кожній з підобластей
:iG 1 ,0 00 *Q , :iG 2 ,* 0
*Q00 , :iG 3 ,0 0 *
*Q , :iG 4
,*
0 0 *
*Q даної області) шукаємо шляхом побудови
наближеного конформного відображення області G на вихідну область
\GG zz
0 при відповідності кутових точок. Тут
,Nm,m,m,n,n,nnn,n,ni,)ni(
,n/)(,n/)(,n,i,i *
**
i
32121211210
20210111 10
.m/Q ,ni для,mm,mj,)mj(
,m/Q,ni для,mm,mj,)mj(
,m/Q,m,j,jQ
*
*
*
*
*
*
j
303131131
2
0
2121121
1111 10
Тепер, відповідно до формули для обчислення вектора швидкості даного
поля
1
d
dz
dz
d
v
, у внутрішніх вузлах динамічної сітки одержимо:
)xx(J)y,x(vv j,ij,ij,ij,ij,ixj,ix 1
1
,
)yy(J)y,x(vv j,ij,ij,ij,ij,iyj,iy 1
1
,
де )yy)(xx()yy)(xx(J j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i 1111 , 22
j,i yj,i xj,i vvv .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 32-37
35
Здійснивши заміну змінних ,xx , ,yy у рівнянні (1) і умовах
(2), приходимо до відповідної періодичної задачі конвективного масопереносу
для області G :
02
t
cc
),(v
, ),(G)t,,( 0 ; (6)
G),(),,(c),,(c 0
00 ;
00 *
*
*** QQ,t),t,(c)t,,(c ; *Q),t,(c)t,,(c 000 0 .
На підставі методу характеристик [3-5] її розв’язок представимо у виді:
,
,G),(),,(ft)),,(ft,(c
),~(v
~d
),(ft),),t),(f(f(c
;GGG),(),,(ft)),,(ft,(c
,
),~(v
~d
),(ft),),t),(f(f(c
)t,,(c
*
*
2
220
222
1
2
0
0
431
11
211
1
1
0
0
0
де 1
1
f , 1
2
f – функції обернені відповідно до функцій 1f , 2f щодо змінної .
Лінію фронту (розділу “зон впливу” початкової і граничної умов) у
фіксований момент часу t знаходимо в результаті розв’язку рівняння
),(ft , де
.G),(),,(f
,GGG),(),,(f
),(f
2
2
431
1
Для наближеного обчислення виразів )t),(f(f 1
1
1 , )t),(f(f 2
1
2
(у тому числі для обернення відповідних визначених інтегралів із змінною
верхньою границею) використовуємо підхід, описаний у роботах [3-5].
У роботах [4, 5] (з урахуванням [6-9]) відповідний алгоритм чисельного
розв’язання поставленої задачі реалізований у вигляді комп'ютерної програми.
На рис. 1а зображена динамічна сітка фільтраційної течії при: :iyx{L*
)tcos()t(xx * 2 , )tsin()t(yy * , }t 20 , :iyx{L*
)tcos((t)xx * 4 , )tsin()t(yy * 4 , }t 20 , :iyx{L 0
)tcos((t)xx 10 , 20 /)tsin()t(yy , }t 20 , 0* , 600 . , 1* ,
50n ( 301 n , 202 n ), 2731 m , 262 m , 383 m . У результаті чисельного
розв’язку відповідної задачі на конформне відображення отримані значення
витрат 52700 .Q* , 75000 .Q* , 4645.Q*
* .
Андрій Бомба, Оксана Остапчук
Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-…
36
При цьому при врахуванні осмосу (при 510 ) на ділянці В2Е (внаслідок
осмотичного «притягання забрудненнями» рідини) маємо незначне збільшення
витрати, а саме 5270200 .Q* (замість 52700 .Q* ). Також на рис. 1в зображено
розподіл швидкості вздовж характерних еквіпотенціальних ліній, де вздовж *
5
та *
3 чітко спостерігається ефект відповідних осмос-збурень.
Рис. 1. Динамічна сітка в області фільтрації zG , відповідна область комплексного потенціалу G
та графік розподілу швидкості вздовж характерних еквіпотенціалей
Для знаходження членів )x,y(cc ),x,y( 1111 (в результаті окресленої
вище процедури) розв’язуємо задачі (для спрощення викладок вважатимемо, що
k не залежить від ) для рівнянь виду
011
1
1
1
1
)(x,y,d
y
x,yb
yx
x,ya
x
, (7)
),(GG, (x,y,t)с,...)y,x(dсvсv ztyyхх 001
1
11 , (8)
де коефісієнти 1
111 d,d,b,a виражаються через коефіцієнти розкладів в ряди Фур’є
функцій, що входять у вихідні рівняння та відомі «складові» асимптоти розв’язку
одержані на попередньому кроці. Зауважимо, що на відміну від (6) дані рівняння
є неоднорідними. Їх розв’язки можна одержати з використанням [3-5], а
розв’язання (7) можливе трьома шляхами: із застосуванням тріангуляції області
[2]; переходом від даного криволінійного чотирикутника до деякого
параметричного прямокутника [1]; представленням вільного члена у вигляді
композиції похідних від деякої функції з наступним введенням відповідного
фіктивного потенціалу і застосування методу квазіконформних відображень
аналогічно як до задачі (6).
Висновки. З вище викладеного бачимо перевагу переходу від прямих крайових
задач на конформні відображення до обернених при розв’язанні розглянутих
задач типу “конвекція-фільтрація” (при цьому автоматично усувається проблема
побудови сітки, спрощується рівняння конвективного переносу, задача зводиться
до канонічної області, а розв’язок вдається представити в чисельно-аналітичному
вигляді). Крім того, паралельно з побудовою динамічної сітки і поля швидкості,
в)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 32-37
37
розроблений алгоритм дає можливість визначати лінії (точки) розділу течії,
величини відповідних їм потоків, що істотно спрощує процес розв’язку задач
конвективного переносу. Запропонований підхід в десятки разів пришвидшує як
час, так і об’єм обчислень. Результати числових розрахунків вчергове
підкреслюють факт, що в переважній більшості випадків, осмос доцільно
враховувати лише вздовж окремих ділянок розглядуваного середовища.
Література
[1] Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів: монографія. Рівне: НУВГП, 2004. 211 с.
[2] Власюк А.П., Остапчук О.П. Математичне моделювання переносу сольових розчинів при
фільтрації підземних вод у грунтових масивах: монографія. Рівне: НУВГП, 2015. 214 с.
[3] Бомба А.Я., Барановський С.В., Присяжнюк І.М. Нелінійні сингулярно збурені задачі типу
«конвекція-дифузія»: монографія. Рівне: НУВГП, 2008. 252с.
[4] Бомба А.Я., Каштан С.С., Пригорницький Д.О., Ярощак С.В. Методи комплексного
аналізу: монографія. Рівне: НУВГП, 2013. 415 с.
[5] Бомба А.Я., Присяжнюк І. М., Присяжнюк О. В. Методи теорії збурень прогнозування
процесів тепломасоперенесення в пористих та мікропористих середовищах: монографія
Рівне: О. Зень, 2017. 291 с.
[6] Lavrentev M.A., Shabat B.V. Methods of the theory of function of complex variable. Nauka.
Moscow, 1987, 544 p.
[7] Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference Schemes: An Introduction to the Underlying Theory.
Elsevier Science, Amsterdam, 1987.
[8] Lyashko I.I., Makarov V.L., Skorobogatko A.A. The method of calculations. Kyiv, 1977. 408 р.
[9] Samarskii Alexander A. The Theory of Difference Schemes. Marcel Dekker, 2001. 761 p.
Consideration of osmosis phenomena in modeling processes by
the type of filtration-convection in multiply connected areas using
perturbation theory methods
Andrii Bomba, Oksana Ostapchuk
In this paper considers the synthesis of methods of complex analysis and perturbation theory. A
new approach has been developed to take into account osmosis when predicting filtration-
convection processes in quasi-ideal porous media (multiply connected areas) bounded by flow
lines and equipotential lines. The solution of the corresponding degenerate problem is obtained on
the basis of the developed method of non-linear mapping of solutions of boundary value problems
onto conformal reflections. An algorithm for calculating a uniform dynamic grid, flow dividing
lines (finite points on the internal contour-filler of the flow) and the speed of an ideal filtration
field in a three-connected area limited by equipotential lines is built. Taking into account the
above and the developed method of characteristics, formulas for the approximate solution of
problems of convective mass transfer on the filtration field perturbed by osmosis are obtained.
Отримано 17.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-271 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:27Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/80/3be78187e19aa39390735402e23bf680.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2712025-02-21T17:32:19Z Consideration of osmosis phenomena in modeling processes by the type of filtration-convection in multiply connected areas using perturbation theory methods Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень Bomba, Andrii Ostapchuk, Oksana крайова задача, фільтрація, конвекція, осмос, збурення, квазіконформні відображення, числові і асимптотичні методи In this paper considers the synthesis of methods of complex analysis and perturbation theory. A new approach has been developed to take into account osmosis when predicting filtration-convection processes in quasi-ideal porous media (multiply connected areas) bounded by flow lines and equipotential lines. The solution of the corresponding degenerate problem is obtained on the basis of the developed method of non-linear mapping of solutions of boundary value problems onto conformal reflections. An algorithm for calculating a uniform dynamic grid, flow dividing lines (finite points on the internal contour-filler of the flow) and the speed of an ideal filtration field in a three-connected area limited by equipotential lines is built. Taking into account the above and the developed method of characteristics, formulas for the approximate solution of problems of convective mass transfer on the filtration field perturbed by osmosis are obtained. У роботі на основі синтезу методу комплексного аналізу та теорії збурень розроблено новий підхід до урахування осмосу при прогнозуванні процесів типу фільтрація-конвекція в квазіідеальних пористих середовищах (в многозв’язних областях), обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями. Розв’язок відповідної виродженої задачі одержано на основі розробленого методу нелінійного обернення розв’язків крайових задач на конформні відображення. Побудовано алгоритм розрахунку рівномірної динамічної сітки, ліній розділу течії (кінцевих точок на внутрішньому контурі-поповнювачі течії) і швидкості ідеального фільтраційного поля в тризв’язній області обмеженої еквіпотенціальними лініями. З урахуванням викладеного та розробленого методу характеристик, отримано формули для наближеного розв’язку задач конвективного масоперенесення на збуреному осмосом фільтраційному полі. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-13 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/271 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 32-37 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 32-37 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/271/258 Авторське право (c) 2023 Андрій Бомба, Оксана Остапчук (Автор) |
| spellingShingle | крайова задача фільтрація конвекція осмос збурення квазіконформні відображення числові і асимптотичні методи Bomba, Andrii Ostapchuk, Oksana Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title | Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title_alt | Consideration of osmosis phenomena in modeling processes by the type of filtration-convection in multiply connected areas using perturbation theory methods |
| title_full | Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title_fullStr | Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title_full_unstemmed | Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title_short | Урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| title_sort | урахування явищ осмосу при моделюванні процесів типу фільтрація-конвекція у многозв’язних областях методами теорії збурень |
| topic | крайова задача фільтрація конвекція осмос збурення квазіконформні відображення числові і асимптотичні методи |
| topic_facet | крайова задача фільтрація конвекція осмос збурення квазіконформні відображення числові і асимптотичні методи |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/271 |
| work_keys_str_mv | AT bombaandrii considerationofosmosisphenomenainmodelingprocessesbythetypeoffiltrationconvectioninmultiplyconnectedareasusingperturbationtheorymethods AT ostapchukoksana considerationofosmosisphenomenainmodelingprocessesbythetypeoffiltrationconvectioninmultiplyconnectedareasusingperturbationtheorymethods AT bombaandrii urahuvannââviŝosmosuprimodelûvanníprocesívtipufílʹtracíâkonvekcíâumnogozvâznihoblastâhmetodamiteoríízburenʹ AT ostapchukoksana urahuvannââviŝosmosuprimodelûvanníprocesívtipufílʹtracíâkonvekcíâumnogozvâznihoblastâhmetodamiteoríízburenʹ |