Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах
The paper proposes an approach to computing the equilibrium productflows of competitive firms through supply chain networks under resource constraints and risky conditions
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/276 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479644008087552 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, Vasyl Dunaievskyi, Maksym Suleimanov, Seit-Bekir |
| author_facet | Gorbachuk, Vasyl Dunaievskyi, Maksym Suleimanov, Seit-Bekir |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Vasyl Gorbachuk",
"institution": "д. ф-м. н., старший науковий співробітник, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ"
},
{
"author": "Maksym Dunaievskyi",
"institution": "магістр, , Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ"
},
{
"author": "Seit-Bekir Suleimanov",
"institution": "магістр, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ"
}
] |
| author_sort | Gorbachuk, Vasyl |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:32:19Z |
| description | The paper proposes an approach to computing the equilibrium productflows of competitive firms through supply chain networks under resource constraints and risky conditions |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
58
doi.org/10.15407/fmmit2023.36.058
Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції
конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при
ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах
Василь Горбачук1, Максим Дунаєвський2, Сеїт-Бекір Сулейманов3
1 д. ф-м. н., старший науковий співробітник, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України,
просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ, e-mail: GorbachukVasyl@netscape.net
2 магістр, , Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ,
e-mail: MaxDunaievskyi@gmail.com
3 магістр, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, просп. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ,
e-mail: SBSuleimanov@gmail.com
У роботі наведена методика зведення до системи варіаційних нерівностей задачі пошуку
рівноважних за Нешем потоків продукції фірм, які працюють в ризикованих умовах і
мають ресурсні обмеження на фактори виробництва, через мережі ланцюгів постачання.
Ключові слова: рівновага Неша; варіаційні нерівності; функція
корисності; витрати; дохід.
Вступ. Ефективна й результативна робота критичних для оборони мереж
ланцюгів постачання (supply chain networks, SCNs) є суттєвою як для
національної, так і глобальної безпеки. Збої в ланцюгах постачання посилюються
внаслідок зростаючих екологічних, біологічних, геополітичних та інших ризиків.
Такі збої привернули увагу осіб, які розробляють стратегії і приймають рішення
у державах, зокрема в секторі оборони.
14 березня 2023 р. на міжнародному Інтернет-семінарі, організованому
Інститутом кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, професор
Університету Джорджа Мейсона (США) Роман Поляк у своїй лекції згадав про
свою публікацію з чисельних методів пошуку рівноваг Неша (Нобелівського
лауреата 1994 р.) [1], результати якої створили засади сучасних підходів до
пошуку рівноважних рішень у різноманітних прикладних постановках [2–5].
1. Модель мереж ланцюгів постачання та цільових функцій їх учасників
Введемо позначення: i
Mn − виробничі потужності типової оборонної фірми i ,
яка може використовувати i
Dn центрів дистрибуції (distribution) та розподіляти
свій оборонний продукт на Rn ринках оборонного попиту;
iL − множина ланок
(links) SCN оборонної фірми 1,...,i I , з Ln елементів; G [ ,N L ] − граф (graph),
що складається з множини N вузлів і множини L ланок. Топологію оборонної
SCN можна модифікувати чи адаптувати відповідно до конкретного
УДК 519.8
mailto:GorbachukVasyl@netscape.net
mailto:MaxDunaievskyi@gmail.com
mailto:SBSuleimanov@gmail.com
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 58-62
59
досліджуваного оборонного продукту [5].
Встановимо рівняння збереження потоку оборонного продукту через
рівність попиту (demand) ikd на цей продукт фірми i на кожному ринку
1,..., Rk n оборонного попиту (елементи { ikd } даної фірми 1,...,i I формують
вектор-стовпець Rnid R , а всі такі вектор-стовпці формують вектор Rn Id R ) та
сумарних потоків
i
k
p
p P
x
цього продукту від оборонної фірми:
i
k
p ik
p P
x d
, (1)
де i
kP – множина шляхів (paths) у SCN фірми 1,...,i I , які починаються у вузлі
цієї фірми та завершуються на ринку 1,..., Rk n оборонного попиту (
iP – набір
усіх iP
n шляхів фірми 1,...,i I , P – набір усіх Pn шляхів економіки SCN), px –
невід’ємний потік оборонного продукту фірми 1,...,i I на шляху i
kp P
(елементи px фірми 1,...,i I формують вектор-стовпець
iP
nix R , а всі такі
вектор-стовпці формують вектор Pnx R ). Тоді випливає обмеження
0 i
px p P . (2)
Невід’ємний потік (flow) af оборонного продукту на будь-якій ланці
ia L (всі такі потоки формують вектор-стовпець Lnf R ) має рівнятися
сумарному потоку:
i
i
a p ap
p P
f x a L
, (3)
де ap {1, a p ; 0, a p } є булевою змінною – аналогом символа Кронекера.
Рівність (3) гарантує, що потік продукту фірми 1,...,i I на будь-якій ланці
ia L дорівнює потокам цього продукту на всіх шляхах p , які містять цю ланку.
Припустимо, що випуск af продукту на кожній ланці
ia L є лінійною
функцією трудомісткості (labor input) al (на цій ланці), вимірюваній в людино-
годинах [5]:
i
a a af l a L , 1,...,i I , (4)
де a – додатний множник, що пов’язує трудомісткість з випуском потоку
оборонного продукту на ланці
ia L . Чим більше значення a , тим
продуктивніша праця на ланці [5].
Оскільки нестача кваліфікованої робочої сили є великою проблемою в
критичній для оборони SCN, то важлива верхня межа al наявності праці на ланці
ia L :
Василь Горбачук, Максим Дунаєвський, Сеїт-Бекір Сулейманов
Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі …
60
i
a al l a L . (5)
Функція корисності (utility)
i i iU R C , (6)
оборонної фірми 1,...,i I − це прибуток, що рівняється різниці між її доходом
(revenue)
1
( )
Rn
i
ik ik
k
R d d
та її загальними витратами (costs)
ˆ ( ) ( )
i
i
a a a i a
a L
C c f w l r f
,
де ( )ik d − функція ціни попиту на оборонний продукт фірми i на ринку
1,..., Rk n оборонного попиту, ˆ ( )ac f − пов’язані з ланкою a L загальні
операційні витрати, aw − витрати на зарплату (wage) одиниці праці на ланці
a L , ( )ar f − пов’язана з ланкою a L функція ризику (risk), i − невід’ємна
вага, застосована до оцінювання загального ризику фірми i (елементи i
формують вектор-стовпець ), ˆ ( )
i
a
a L
c f
− загальні операційні витрати для SCN
фірми i ,
i
a a
a L
w l
− загальна виплата (payout) працівникам фірми i , ( )
i
i a
a L
r f
− зважений загальний ризик фірми i .
2. Зведення задачі до розв’язання системи варіаційних нерівностей
Функції корисності
i i iU R C , 1,...,i I , вважаються увігнутими, де функції
( )ik d є монотонно спадними, а функції ˆ ( )ac f та ( )ar f є опуклими; нехай
функції ( )ik d , ˆ ( )ac f , ( )ar f є неперервно диференційованими.
Кожна оборонна фірма 1,...,i I прагне максимізувати свою цільову
функцію (6) при обмеженнях (1)−(5).
Покажемо, що цільову функцію (6) можна виразити лише через змінні
потоків px шляхів i
kp P . В силу нерівностей (2) і рівностей (3) виражаємо
a L елементи Lnf R через елементи Pnx R :
ˆ ( ) ( )a ac f c x , ( ) ( )a ar f r x .
В силу рівностей (1) виражаємо елементи Rn Id R через елементи Pnx R :
( ) ( )ik ikd x , 1,...,i I , 1,..., Rk n .
Крім того, з рівнянь (3) і (4) a L випливає рівність [N, N]
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 58-62
61
a al
i
a p ap
p P
f x
,
1
i
a p ap
a p P
l x
.
Звідси
1
( ) ( )
Rn
i i
ik ik
k
R x R d d
1
( )
R
i
k
n
ik p
k p P
x x
,
ˆ( ) ( ) ( )
i
i i
a a a i a
a L
C x C c f w l r f
( ) ( )
i i
a
a p p i a
aa L p P
w
c x x r x
,
( ) ( ) ( )i i i i
i iU x U R C R x C x , (7)
а обмеження (5) переписується як
1
i
p ap a a
a p P
x l l
ia L . (8)
Таким чином, задача зводиться до пошуку Pnx R , що максимізує функції
(7) при обмеженнях (8), 1,...,i I .
Допустима множина ( )i
iK x для оборонної фірми 1,...,i I визначається
лінійними обмеженнями
1
( ) : ;
iP
i
ni i i i
i p ap a
a p P
K x x x R x l a L
, (9)
а допустима множина для всіх таких фірм – як декартовий добуток
1
( ) ( )
I
i
i
i
K x K x
. Очевидно, що ( )K x є опуклою множиною.
Якщо кожна оборонна фірма 1,...,i I максимізує по
ix свою функцію
корисності (7), то ці фірми некооперативно конкурують, досягаючи певної
рівноваги Неша – рівноваги Неша оборонного SC. Зразок потоку * 1* *( ,..., )Ix x x
( )K x шляхів (path flow pattern) називають рівновагою Неша оборонного SC,
якщо для кожної оборонної фірми 1,...,i I має місце нерівність
* 1* 1* 1* *( ) ( ,...., , , ,..., )i i i i i IU x U x x x x x ( )i i
ix K x . (10)
Умови (10) означають, що в рівновазі Неша оборонного SC будь-яка фірма
не може збільшити значення своєї функції корисності в односторонньому
порядку (не формуючи коаліції). З класичної теорії рівноваг Неша і варіаційних
нерівностей випливає, що при вищезазначених припущеннях для ( )ik d ( )ik x ,
ˆ ( )ac f ( )ac x , ( )ar f ( )ar x рівновага Неша оборонного SC є розв’язком
* ( )x K x задачі варіаційних нерівностей
Василь Горбачук, Максим Дунаєвський, Сеїт-Бекір Сулейманов
Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі …
62
* *
1
( ), 0i
I
i i i
x
i
U x x x
( )i i
ix K x , (11)
де , означає внутрішній добуток у відповідному евклідовому просторі PnR , а
*( )i
i
x
U x – градієнт по ix функції корисності ( )iU x у точці
*x x [5].
Розв’язок задачі (11) існує, оскільки допустима множина ( )K x є
компактною, а при вищезазначених припущеннях для ( )ik d ( )ik x , ˆ ( )ac f
( )ac x , ( )ar f ( )ar x функції ( )iU x корисності є неперервно
диференційованими [5]. Водночас слід зазначити, що участь довільної фірми
1,...,i I у SCN передбачає невід’ємність значення її функції корисності (7),
залежної від усіх потоків Pnx R , тобто від загальної ситуації. Якщо ж це
значення стає від’ємним (фірма зазнає збитків), то за відсутності субсидій чи
іншого сприяння ця фірма не входитиме в ринок, тобто обиратиме 0ix . З
іншого боку, випадки 0ix мають певний практичний інтерес.
Висновки. Таким чином, в роботі запропоновано підхід до обчислення
рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів
постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах.
Література
[1] Зуховицкий С.И., Поляк Р.А., Примак М.Е. Два метода отыскания точек равновесия
вогнутых игр n лиц. Доклады АН СССР. 1969. 185 (1). С. 24–27.
[2] Gorbachuk V. Methods for Nash equilibria search. Nonsmooth Analysis and its Applications to
Mathematical Economics. Baku, Azerbaijan: Academy of Sciences of USSR, 1991. P. 65.
[3] Горбачук В.М., Дунаєвський М.С., Морозов О.О. Рівноважні інвестиції у кібербезпеку
мережі ланцюгів постачання. Вісник Київського унівеpситету. Сеpія: фізико-математичні
науки. 2017. № 2. С. 47–52.
[4] Горбачук В.М., Дунаєвський М.С., Морозов О.О. Характеристики рівноваг ланцюгів
постачання. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: технічні науки. 2019. Вип.
19. С. 31–37.
[5] Nagurney A. Defense critical supply chain networks and risk management with the inclusion of
labor: dynamics and quantification of performance and the ranking of nodes and links. Amherst,
MA: Department of Operations and Information Management; Isenberg School of Management;
University of Massachusetts, 2022. 20 p.
An approach to computing the equilibrium product flows of
competitive firms through supply chain networks under resource
constraints and risky conditions
Vasyl Gorbachuk, Maksym Dunaievskyi, Seit-Bekir Suleimanov
The paper proposes an approach to computing the equilibrium product flows of competitive firms
through supply chain networks under resource constraints and risky conditions.
Отримано 29.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-276 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:32Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/fb/90e7a633e3e35e58907491d133d0b1fb.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2762025-02-21T17:32:19Z An approach to computing the equilibrium product flows of competitive firms through supply chain networks under resource constraints and risky conditions Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах Gorbachuk, Vasyl Dunaievskyi, Maksym Suleimanov, Seit-Bekir рівновага Неша; варіаційні нерівності; функція корисності; витрати; дохід. The paper proposes an approach to computing the equilibrium productflows of competitive firms through supply chain networks under resource constraints and risky conditions У роботі наведена методика зведення до системи варіаційних нерівностей задачі пошуку рівноважних за Нешем потоків продукції фірм, які працюють в ризикованих умовах і мають ресурсні обмеження на фактори виробництва, через мережі ланцюгів постачання. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-13 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/276 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 58-62 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 58-62 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/276/254 Авторське право (c) 2023 Василь Горбачук, Максим Дунаєвський, Сеїт-Бекір Сулейманов (Автор) |
| spellingShingle | рівновага Неша варіаційні нерівності функція корисності витрати дохід. Gorbachuk, Vasyl Dunaievskyi, Maksym Suleimanov, Seit-Bekir Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title | Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title_alt | An approach to computing the equilibrium product flows of competitive firms through supply chain networks under resource constraints and risky conditions |
| title_full | Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title_fullStr | Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title_full_unstemmed | Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title_short | Підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| title_sort | підхід до обчислення рівноважних потоків продукції конкурентних фірм через мережі ланцюгів постачання при ресурсних обмеженнях і ризикованих умовах |
| topic | рівновага Неша варіаційні нерівності функція корисності витрати дохід. |
| topic_facet | рівновага Неша варіаційні нерівності функція корисності витрати дохід. |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/276 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvasyl anapproachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions AT dunaievskyimaksym anapproachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions AT suleimanovseitbekir anapproachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions AT gorbachukvasyl pídhíddoobčislennârívnovažnihpotokívprodukcííkonkurentnihfírmčerezmerežílancûgívpostačannâpriresursnihobmežennâhírizikovanihumovah AT dunaievskyimaksym pídhíddoobčislennârívnovažnihpotokívprodukcííkonkurentnihfírmčerezmerežílancûgívpostačannâpriresursnihobmežennâhírizikovanihumovah AT suleimanovseitbekir pídhíddoobčislennârívnovažnihpotokívprodukcííkonkurentnihfírmčerezmerežílancûgívpostačannâpriresursnihobmežennâhírizikovanihumovah AT gorbachukvasyl approachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions AT dunaievskyimaksym approachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions AT suleimanovseitbekir approachtocomputingtheequilibriumproductflowsofcompetitivefirmsthroughsupplychainnetworksunderresourceconstraintsandriskyconditions |