Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера
The estimates from below are established for the characteristic determinant of the Nicoletti problem and periodicity conditions on the remaining variables for an Euler-type hyperbolic equation when the interpolation nodes form a geometric progression.
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/284 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479654632259584 |
|---|---|
| author | Ilkiv, Volodymyr Symotiuk, Mykhailo Slonovskyi, Yaroslav |
| author_facet | Ilkiv, Volodymyr Symotiuk, Mykhailo Slonovskyi, Yaroslav |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Volodymyr Ilkiv",
"institution": "д. ф.-м. н., професор, професор кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів"
},
{
"author": "Mykhailo Symotiuk",
"institution": "к. ф.-м. н., ст. наук. сп., зав. лаб. математичної фізики відділу диференціальних рівнянь і теорії функцій ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3-Б, 79060, Львів"
},
{
"author": "Yaroslav Slonovskyi",
"institution": "аспірант кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів"
}
] |
| author_sort | Ilkiv, Volodymyr |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:32:19Z |
| description | The estimates from below are established for the characteristic determinant of the Nicoletti problem and periodicity conditions on the remaining variables for an Euler-type hyperbolic equation when the interpolation nodes form a geometric progression. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
96
doi.org/10.15407/fmmit2023.36.096
Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння
типу Ейлера
Володимир Ільків 1, Михайло Симотюк 2, Ярослав Слоньовський 3
1 д. ф.-м. н., професор, професор кафедри вищої математики Національного університету «Львівська
політехніка», вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів, e-mail: ilkivvv@i.ua
2 к. ф.-м. н., ст. наук. сп., зав. лаб. математичної фізики відділу диференціальних рівнянь і теорії функцій
ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3-Б, 79060, Львів, e-mail: quaternion@ukr.net
3 аспірант кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка»,
вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів, e-mail: yaroslav.o.slonovskyi@lpnu.ua
Встановлено метричні оцінки знизу для характеристичного визначника інтерполяційної
задачі Ніколетті за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою змінних для
гіперболічного рівняння типу Ейлера у випадку, коли вузли інтерполяції утворюють
геометричну прогресію.
Ключові слова: багатоточкова задача, рівняння типу Ейлера, метричний
підхід, проблема малих знаменників.
Вступ. Будемо використовувати такі позначення: p – p -вимірний тор
( / 2 )pR Z , 1( , , ) p
px x x , 1( / , , / )x pD i x i x , 1( , , ) p
pk k k Z ,
1 pk k k , 1 1( , ) p pk x k x k x , i – уявна одиниця,
hom
,Poln p – множина
усіх однорідних поліномів степеня n від p змінних, A – міра Лебега вимірної
множини AR ; , 0qH q , – гільбертів простір усіх тригонометричних рядів
( ) exp( , ),
p
k
k
x ik x
Z
k C ,
для яких є скінченною норма
1/2
2 2( ); (1 | |) q
q kk
x H k
, [ , ];n
qC a b H( ) ,
n Z , – простір функцій ( , ) ( )exp( , ),
p
k
k
u t x u t ik x
Z
[ , ]n
ku C a b , зі скінчен-
ною нормою
[ , ]
0
; [ , ]; max ( / ) ( , );
n
n j
q q
t a b
j
u C a b H t t u t H
( ) .
Нехай nN , а поліноми
hom
,1( ) Pol, , j pj pA z z , 1, ,j n , є такими, що для
кожного pkZ , 0k , многочлен
1
0
( , ) ( )
n
n j
n n j
j
L k A k
(1)
УДК 517.95, 511.2
mailto:ilkivvv@i.ua
mailto:quaternion@ukr.net
mailto:ilkivvv@i.ua
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 96-100
97
має різні ненульові суто уявні -корені 1( ), , ( )nk k . Відомо (див., напр. [2]),
що для кожного pkZ , 0k , виконуються оцінки
1( ) 1 , 1, ,j k C k j n ( ) , (2)
де 1C – додатна стала, що не залежить від pkZ , 0k . Умови коректної роз-
в’язності задачі Ніколетті для гіперболічного рівняння типу Ейлера
1
0
( , ) ( ) ( , ) 0, ( , ) (0, ) ,
n jn
p
n j x
j
t u t x t A D u t x t x T
t t
(3)
1
1( / ) ( , ) ( ), 1, , , 1 ,
j
j p
j n
t t
t t u t x x j n t t T x
, (4)
пов’язані із властивостями таких характеристичних визначників [1, 2]:
1
, 1
( ) det ( / ) ( , ) ,
n
j p
n q j
j q
k td dt y t k k
Z , (5)
де
1
( )
ln , 0,
( , ) 1, , .
, 0,q
q
q k
t k
y t k q n
t k
Зокрема, при виконанні умови
( ) 0p
nk k Z (6)
задача (5), (6) має єдиний формальний розв’язок, що зображується рядом
,
,
, 1
( )
( , ) ( , ) exp( , )
( )p
n
j q
j k q
nj qk
k
u t x y t k ik x
k
Z
, (7)
де , ( )j q k – алгебричне доповнення елемента
1( / ) ( , )j
q jtd dt y t k
, , 1, ,j q n , у
визначнику ( )n k , а ,j k , pkZ , – коефіцієнти Фур’є функцій ( )j x ,
1, ,j n . Якщо, крім умови (5), існує така стала , що для всіх (крім, можливо,
скінченної кількості) векторів pkZ справджується нерівність
| ( ) |n k k , (8)
то можна встановити збіжність ряду (7) у шкалі просторів [1, ];( )nC T H , R ,
якщо
jj H для деяких j R , 1, ,j n . Тому для обгрунтування корект-
ності задачі (3), (4) актуальним завданням є дослідження питання про
можливість виконання оцінки (8). У цьому й полягає основна мета даної праці.
Тут доведено оцінку (8) для випадку, коли вузли інтерполяції 1, , nt t в умовах
Ніколетті (6) є логарифмічно рівновіддаленими, тобто виконуються рівності
11 , 1, , , 1j
jt t j n t . (9)
Володимир Ільків, Михайло Симотюк, Ярослав Слоньовський
Метричні оцінки задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера
98
За допомогою метричного підходу [3, 4] показано (див. нижче теорему 1), що
при ( 1) ( 1)/2p n n оцінка (8) виконується для майже всіх (стосовно міри
Лебега в R ) чисел 1/
1 (1, ]nt T для всіх (крім, можливо, скінченної кількості)
векторів pkZ . Для доведення теореми 1 використано допоміжні твердження:
лему 1 про оцінки мір виняткових множин гладких функцій спеціального вигля-
ду, лему 2 про оцінку знизу модулів чисел ( )j k та їх різниць ( ) ( )j qk k , а
також лему Бореля-Кантеллі. Зауважимо, що метричні оцінки для характеристич-
ного визначника задачі Ніколетті для рівняння зі змінними коефіцієнтами є
новими; раніше такі оцінки встановлено у [2] для випадку рівняння зі сталими
коефіцієнтами.
2. Допоміжні твердження.
Для доведення основного результату використовуємо такі допоміжні
твердження.
Для функції :f I R , заданої на проміжку I R , через ( , , )E f I , 0 ,
позначимо множину ( , , ) : ( )E f I t I f t { } .
Лема 2 [1]. Нехай функція ( )f t має вигляд
1
( ) , ,
m
j
j j q
j
f t p t j q
,
де ,j jp C , 1, ,j m , причому 1 0mp p .
Якщо для всіх [ , ] [1, )t a b виконується умова
1
1( / ) ( ) ( / ) ( ) ( ) 0n n
nt d dt f t a t d dt f t a f t ,
де ja C , 1, ,j n , то для довільного 1(0, ) справджується оцінка
1/
2
1
( , ,[ , ]) ( / ) , 1 maxn
j
j m
E f a b C
,
де 1
2( 1) nn A
,
1/
1
1 max
j
j
j n
A a
, 2 2( , , , )C C a b m n .
Лема 2 [2]. Існують сталі 3 4, 0C C такі, що для всіх pkZ , 0k ,
виконуються оцінки
3| ( ) ( ) |j qk k C k , 1,n j q (10)
4| ( ) |j k C k , 1, ,j n . (11)
Лема 3 (Бореля-Кантеллі, [3, 4]). Нехай ( 1, 2, )qA q – послідовність
вимірних за Лебегом множин з R , причому ряд
1
k
k
A
є збіжним. Тоді міра Ле-
бега множини тих дійсних чисел, які належать до нескінченної кількості
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36, 96-100
99
множин qA , дорівнює нулю.
3. Метричні оцінки для характеристичного визначника у випадку логариф-
мічно рівновіддаленних вузлів.
Встановимо оцінки знизу для визначника (5) у випадку, коли вузли 1, , nt t є
членами геометричної прогресії зі знаменником 1/
1 (1, ]nt T , тобто виконуються
рівності (9). У цьому випадку визначник (5) обчислюється за формулою
( )( )
1
1 1
2 ( )2 ( )
1
1 1 1
( )( )1 11
1 1 1
( ) ( )
( )
( ) ( )
kk
n
kk
n
n
n
n kn kn n n
n
t t
k t k t
k
k t k t
( ) ( )( ) ( )
1
1 1 1
1
( ) ( ) , , 0
k kk k j q pn
j q
n j q
t k t k t k k
Z . (12)
При виведенні (12) враховано формулу для визначника Вандермонда чисел
( )( )
1
1 1 1( ) , , ( )
kk
n
nk t k t
.
Теорема 1. Нехай справджуються рівності (9). Тоді нерівність (8)
виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в R ) чисел 1/
1 (1, ]nt T для
всіх (крім, можливо, скінченної кількості) pkZ , якщо ( 1) ( 1)/2p n n .
Доведення . Враховуючи, що 1( ), , ( )nk k суто уявні числа, за допомогою
елементарних перетворень формули (12) одержуємо, що
( ) ( )
1
1
| ( ) | | ( ) ( ) |, , 0q jk k p
n j q
n j q
k k k t k k
Z . (13)
Покладемо:
1/
1 1 1
1
( , ) ( , ), , 0, (1, ]p n
jq
n j q
k t k t k k t T
Z ,
( ) ( )
1 1( , ) ( ) ( ) , 1, , 0q jk k p
jq j qk t k k t n j q k k
Z ,
1 1
1 1
( ) ( ), 1, p
jq j q
d d
R t t k k n j q k
dt dt
Z , 0k ,
1/
1 1( ) (1, ]: ( , ) ( ) , n pE k t T k t k k Z{ } , 0k ,
1/
1 1 ( ) (1, ]: ( , ) ( ) , 1,n p
jq jq jqE k t T k t k n j q k Z{ } , 0k ,
де
1
( ) ( )jq
n j q
k k
,
( 1)
( )
p
jq k k
, 2 /( ( 1)) 1 0n n p . Оскільки
Володимир Ільків, Михайло Симотюк, Ярослав Слоньовський
Метричні оцінки задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера
100
2
1 1 5
1
( , ) ( )( ( ) ( )) | | ,jq jq j j q
d
R t k t k k k C k
dt
(13)
де 1, , 0pn j q k k Z , стала 5 0C не залежить від вибору k , то з формул
(2), (12), (13) на підставі леми 2 дістанемо
( 1) 2
6 7( ) 1 / | |( )
p p
jqE k C k k k C k
, (14)
де 1, , 0pn j q k k Z . Враховуючи, що
1
( ) ( )jq
n j q
E k E k
, з нерівностей
(14) отримуємо таку оцінку для мір множин ( )E k :
8
1
( ) ( ) ,
p
jq
n j q
E k E k C k
8 0C . (15)
Із оцінок (15) випливає збіжність ряду ( )
k
E k . Тому за лемою Бореля–Кантел-
лі для майже всіх (стосовно міри Лебега в R ) чисел 1/
1 (1, ]nt T нерівність
1( , ) ( ) | |k t k k , де ( 1) ( 1)/2p n n , а отже, й нерівність ( ) ( )n k k
виконуються для всіх (крім скінченної кількості) pkZ . Теорему доведено.
Висновки. Таким чином, у роботі на підставі метричного підходу встановлено
метричні оцінки знизу характеристичного визначника задачі Ніколетті для
лінійного гіперболічного рівняння типу Ейлера зі змінними коефіцієнтами, якщо
вузли інтерполяції в умовах (4) утворюють геометричну прогресію. Отримані
результати можна перенести на випадок задачі Ніколетті для систем лінійних
рівнянь із частинними похідними типу Ейлера.
Література
[1] Ільків В. С., Симотюк М. М., Слоньовський Я. О. Метричні оцінки характеристичного ви-
значника багатоточкової задачі для рівняння типу Ейлера // Мат. методи та фіз.-мех. поля. –
2022. – 65, № 1-2. – С. 65–79.
[2] Матурін Ю. П., Симотюк М. М. Оцінки характеристичного визначника задачі Ніколетті для
строго гіперболічного рівняння // Наук. вісник Ужгород. нац. ун-ту. – 2018. – 2, вип. 2 (33).
– С. 100–108.
[3] Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с част-
ными производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
[4] Пташник Б. Й., Ільків B. C., Кміть І. Я., Поліщук В. М. Нелокальні крайові задачі для рів-
нянь із частинними похідними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
Metric estimates of the determinant of the Nicoletti problem for the
Euler-type equation
Volodymyr Ilkiv, Mykhailo Symotiuk, Yaroslav Slonovskyi
The estimates from below are established for the characteristic determinant of the Nicoletti
problem and periodicity conditions on the remaining variables for an Euler-type hyperbolic
equation when the interpolation nodes form a geometric progression.
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-284 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:43Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/a6/764781e86f9166737d7003cf180cc6a6.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2842025-02-21T17:32:19Z Metric estimates of the determinant of the Nicoletti problem for the Euler-type equation Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера Ilkiv, Volodymyr Symotiuk, Mykhailo Slonovskyi, Yaroslav багатоточкова задача, рівняння типу Ейлера, метричний підхід, проблема малих знаменників The estimates from below are established for the characteristic determinant of the Nicoletti problem and periodicity conditions on the remaining variables for an Euler-type hyperbolic equation when the interpolation nodes form a geometric progression. Встановлено метричні оцінки знизу для характеристичного визначника інтерполяційної задачі Ніколетті за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою змінних для гіперболічного рівняння типу Ейлера у випадку, коли вузли інтерполяції утворюють геометричну прогресію. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-13 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/284 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 96-100 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 96-100 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/284/246 Авторське право (c) 2023 Володимир Ільків, Михайло Симотюк, Ярослав Слоньовський (Автор) |
| spellingShingle | багатоточкова задача рівняння типу Ейлера метричний підхід проблема малих знаменників Ilkiv, Volodymyr Symotiuk, Mykhailo Slonovskyi, Yaroslav Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title | Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title_alt | Metric estimates of the determinant of the Nicoletti problem for the Euler-type equation |
| title_full | Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title_fullStr | Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title_full_unstemmed | Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title_short | Метричні оцінки визначника задачі Ніколетті для рівняння типу Ейлера |
| title_sort | метричні оцінки визначника задачі ніколетті для рівняння типу ейлера |
| topic | багатоточкова задача рівняння типу Ейлера метричний підхід проблема малих знаменників |
| topic_facet | багатоточкова задача рівняння типу Ейлера метричний підхід проблема малих знаменників |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/284 |
| work_keys_str_mv | AT ilkivvolodymyr metricestimatesofthedeterminantofthenicolettiproblemfortheeulertypeequation AT symotiukmykhailo metricestimatesofthedeterminantofthenicolettiproblemfortheeulertypeequation AT slonovskyiyaroslav metricestimatesofthedeterminantofthenicolettiproblemfortheeulertypeequation AT ilkivvolodymyr metričníocínkiviznačnikazadačíníkolettídlârívnânnâtipuejlera AT symotiukmykhailo metričníocínkiviznačnikazadačíníkolettídlârívnânnâtipuejlera AT slonovskyiyaroslav metričníocínkiviznačnikazadačíníkolettídlârívnânnâtipuejlera |