Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є
Effective  by  precision  algorithm  for  approximation  of  functions  from  the  Lipschitz  class  by Fourier’s  series&n...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/287 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479657647964160 |
|---|---|
| author | Kolomys, Olena Luts, Liliya |
| author_facet | Kolomys, Olena Luts, Liliya |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Olena Kolomys",
"institution": "к. фіз.-мат. н., Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України\t\t пр. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ"
},
{
"author": "Liliya Luts",
"institution": "к. фіз.-мат. н., Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, пр. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ"
}
] |
| author_sort | Kolomys, Olena |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:32:19Z |
| description | Effective  by  precision  algorithm  for  approximation  of  functions  from  the  Lipschitz  class  by Fourier’s  series  is  developed.  The  error  of  approximation  of  the  function  is  obtained,  which consists of two parts: the error arising from the use of a finite number of terms of the series, and the  error  arising  from  the  approximate  determination  of  the  Fourier  series  coefficients  using quadrature formulas for calculating integrals of fast oscillating functions that are optimal in order of accuracy on the Lipschitz class. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
111
doi.org/10.15407/fmmit2023.36.111
Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із
класу Ліпшиця рядами Фур’є
Олена Коломис1, Лілія Луц2
1 к. фіз.-мат. н., Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
пр. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ, e-mail: kolomys@ukr.net
2 к. фіз.-мат. н., Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
пр. Академіка Глушкова, 40, 03187, Київ, e-mail: lv1@ukr.net
Побудовано ефективний за точністю алгоритм апроксимації функцій з класу Ліпшиця за
допомогою рядів Фур'є. Отримано похибку апроксимації функції, яка складається з двох
частин: похибки, яка виникає внаслідок використання скінченної кількості членів ряду, і
похибки внаслідок наближеного визначення коефіцієнтів ряду Фур'є з використанням
оптимальних за порядком точності на класі Ліпшиця квадратурних формул обчислення
інтегралів від швидкоосцилювальних функцій.
Ключові слова: апроксимація функцій; клас Ліпшиця; ряди Фур’є;
коефіцієнти ряду Фур'є; похибка апроксимації
Вступ. Для дослідження складних сучасних систем необхідно опрацьовувати та
аналізувати великі обсяги інформації. В алгоритмах обробки експериментальних
даних, які є переважно дискретним поданням функціональних залежностей, що
характеризують систему, виникає потреба подання в зрозумілій та стислій формі
емпіричних залежностей (зокрема, в аналітичному вигляді) між параметрами, що
описують її поведінку. Отже, виникає потреба розв’язувати задачу апроксимації
сітково заданих функцій, які належать деякому класу функцій F [1 – 6].
1. Апроксимація функцій рядами Фур’є
Одним із відомих способів розв'язання цієї задачі є апроксимація функцій рядами
Фур’є [1, 2, 5, 6] вигляду
0
1
( ) ( ) cos sin
2
k k
k
a k x k x
f x S x a b
l l
, (1)
1
( )cos
l
k
l
k x
a f x dx
l l
, 1
( )sin ,
l
k
l
k x
b f x dx
l l
1,2,3,n . (2)
Похибка апроксимації визначається співвідношенням
1 ( )
[ , ]
( ) ( ) max ( ) ( )
f x F
x l l
E f x S x f x S x
. (3)
Нехай ( )f x F на відрізку [ , ]l l задана N своїми значеннями 1
0{ }N
if
у
деякому наборі вузлових точок 1
0{ }N
ix
із її області визначення. Нехай
kaV і
kbV –
УДК 519.64, 519.65
mailto:kolomys@ukr.net
mailto:lv1@ukr.net
Олена Коломис, Лілія Луц
Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця …
112
похибки наближеного обчислення ka і kb за допомогою оптимальних за точністю
або близьких до них квадратурних формул (к. ф.) [3, 4, 7].
На практиці функцію ( )f x апроксимують скінченними сумами Фур'є вигляду
0
1
( , ) cos sin
2
n
n k k
k
a k x k x
S x f a b
l l
, (4)
де , , 0, 1k ka b k N – наближені значення коефіцієнтів ряду Фур'є.
У цьому випадку похибка апроксимації складається з двох частин:
похибки, яка виникає внаслідок використання скінченної кількості членів ряду, і
похибки внаслідок наближеного обчислення коефіцієнтів. Оцінимо її так [6]:
01 ( )
1
[ , ]
( , , ) ( ) ( , ) max ( ) ( , ) ( ) 2
k k
n
n n n a a b
f x F
k
x l l
E E F N n f x S x f f x S x f R f V V V
, (5)
де
( )
[ , ]
( , ) max
k ka a k k
f x F
x l l
V V F N a a
,
( )
[ , ]
( , ) max
k kb b k k
f x F
x l l
V V F N b b
– похибки
наближеного обчислення коефіцієнтів , , 0, 1,k ka b k N ( )nR f – лишок ряду
Фур'є при переході від нескінченної суми (1) до скінченної суми (4).
2. Апроксимація функцій із класу Ліпшиця
Розглянемо клас функцій LC – клас функцій ( )f x , які визначені на [ , ]l l і
задовольняють умову ( ) ( )f x f x L x x , , ,x x l l . Відомо [1], що у
класі функцій LC ряд Фур'є збіжний, оскільки виконуються відомі ознаки
збіжності (Ліпшиця, Дирихле), тому можна стверджувати, що періодичну з
періодом 2l функцію ( ) Lf x C можна представити рядом Фур'є (1) – (2).
Справедлива наступна теорема.
Теорема. Нехай періодична з періодом 2l функція , [ , ]x l l ,
апроксимується рядом Фур’є вигляду (4), де коефіцієнти ka і kb визначаються за
допомогою оптимальних за порядком точності при N n l к. ф. вигляду
1 21
1,
0 1 2
( ) cos ,
xN
a
x
k
R k f xdx
l
1 21
1,
0 1 2
( ) sin , 0,1,2,...,
xN
b
x
k
R k f xdx k
l
(6)
де ( ),f f x ,x x 1 ,x x x 1 2 2x x x , 1 2 1 2x x x ,
0, 1N , 1 0x , 0x l , 1 1 2N Nx x l .
Тоді похибка апроксимації функції
, (7)
( ) Lf x C
2 22
2
2 2
0 1
4 ln 2 ln 1
4 sin
8 4L
N n
C
k
x k xLl n L l
E
n n l lk
2
1 2 1 2 1
,1 ,1
1
cos sin ( ) ( )
4
n
N
a b
k
k x k x x
P k P k
l l
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36,111-115
113
де , ,1 1
1
( ) cosb NP k x k
k
, .
Доведення. 1. Оскільки ( ) Lf x C – періодична з періодом 2l , то її похідну
( )f x також можна розкласти в ряд Фур’є [1]. Позначимо коефіцієнти розкладу
( )f x через ka , kb та знайдемо їх:
1 1
cos sin sin
ll l
k
l l l
f xk x k x k x
a f x dx f x d
l l k l k l
dx
l
xk
xf
k
l
l
sin
1
1
sin ,
l
k
l
k x l
f x dx b
k l k
звідки маємо k k
l
a b
k
,
1,2,3,...k . Аналогічно k k
l
b a
k
, 1,2,3,...k . Тоді
1 1
cos sin sin cosn k k k k
k n k n
k x k x l k x k x
R f a b a b
l l k l l
. (8)
У (8) з правого боку у дужках стоїть k-й член ряду, спряженого з рядом Фур’є
похідної )(xf . Введемо часткову суму
1
( ) sin cosk k m m
m k
m x m x
x a b
l l
цього ряду і зробимо у (8) заміну
1sin cosk k k k
k x k x
a b
l l
:
1
1
n k k
k n
l
R f
k
. (9)
Оцінимо величину k . У [1, розд. 19, § 2] доведено співвідношення k x
0
1
cos cos
1 2 2
( ) ( )
2sin
2
l
t t
k
l l
f x t f x t dt
tl
l
. Для ( ) Lf x C f x L . Маємо
0 0 0
1 1 1
cos cos sin sin sin
2 22 4 4 22 2 2
2sin 2sin 2sin
2 2 2
l l l
k
t t k t k t k t
k
l lL L L Ll l l
x dt dt dt
t t tl l l l
l l l
1 2 1 21
0 0 0 1
1
sin
sin 12
2 2 2 2 1 ln 2 ln ln 1
2
k kl
k t
u kdul
dt L du L du L L L n
t u u
l
.
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
l
kP NN
Na
2
sin
2
sin
2
sin)( 11
11,
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
l
kP NN
Nb
2
sin
2
cos
2
cos)( 11
11,
xxx 1
Олена Коломис, Лілія Луц
Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця …
114
Оскільки
2 ln ln 1 ln
lim lim 2 lim 0
k
k k k
L k k
L
k k k
, перегрупувавши
члени у (9), отримаємо ряд
1
1 1
1 1
n
n k
k n
l l
R f
n k k
.
Тоді
1
2 ln ln 1 1 1
ln ln 1
1 1
n
k n
Ll n
R f k
n k k
.
У [1, розд. 19, § 2] доведено, що
1
1 1 ln 2
ln
1k n
n
k
k k n
. Отже, маємо
2 ln ln 1 ln 2 ln 1 4 ln 2 ln
n
Ll n n Ll n
R f
n n n n n
. (10)
Оцінку лишку доведено.
2. Розглянемо
kaV ,
kbV , 1,2,3,...k :
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
0 0
1 1 1
cos cos cos
k
x xl N N
a
l x x
k x k x k
V f x dx f dx f x f x dx
l l l l l l
1 2 1 2
1 2
1 2
0 0
cos cos cos
x x
N N
x x
L k x L k x k x
x x dx x x sign dx
l l l l l
1
1 2 1
1 1cos cos cos cos
N
N
x x
N
x x
k x k x L k x k x
x x sign dx x x sign dx
l l l l l
2
1 2 1 1 22 2
0
1
cos cos cos cos cos
N k xLl k k k k
sign x x x x
l l l l lk
1 1 1
1
2
cos sin sin sin
2 2
N N N
N N N
k x x xL k l k k
sign x x x
k l l k l l
2 2
1 2 2
,12 2
0
4
cos sin
4
N
a
k x k xL l
P k
l l lk
.
Аналогічно маємо
2 2
1 2 2
,12 2
0
4
sin sin
4k
N
b b
k x k xL l
V P k
l l lk
. ,1( )aP k та
,1( )bP k визначені в умові теореми.
Для
0aV маємо:
1 2 1 2 1 2
0
1 2 1 2 1 2
1 1 1
0 0 0
1 1 1
x x xl N N N
a
l x x x
L
V f x dx f dx f x f dx x x dx
l l l l
1 2 1
1 2 1
2 2
2 2
1 1 1
0 04 2
N
N
x x xN N
N N
x x x
L L L L
x x dx x x dx x x dx x x
l l l l
.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 36,111-115
115
Остаточно маємо:
0
2 22
2
2 2
1 0 1
1
cos sin 4 sin
2 8 4k k
n N n
a
a b
k k
V x k xk x k x L l
V V
l l l lk
2
1 2 1 2 1
1
cos cos sin sin ( ) ( )
4
n
N
a b
k
k x k x xk x k x
P k P k
l l l l
. (11)
Застосувавши до співвідношення (5) оцінки (10), (11), отримаємо оцінку (7).
Теорему доведено.
Висновки. Запропоновано ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій
із класу Ліпшиця за допомогою рядів Фур'є з використанням для визначення
коефіцієнтів Фур'є оптимальних за точністю на класі Ліпшиця і близьких до них
квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилювальних функцій.
Література
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматлит,
2003. Т. 3. – 662 с.
[2] Stepanets A.I. Methods of Approximation Theory . – VSP: Leiden, Boston, 2005. – 919 p.
[3] Задирака В. К., Мельникова С. С. Цифровая обработка сигналов. – К.: Наукова думка, 1993. –
294 с.
[4] Cергієнко І.В., Задірака В.К., Литвин О.М., Мельникова С.С., Нечуйвітер О.П. Оптимальні
алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування. Т.1
Алгоритми. – К.: Наукова думка, 2011. – 447 с. Т.2 Застосування. – К.: Наукова думка, 2011. –
346 с.
[5] Коломис О.М., Луц Л.В., Людвиченко В.О. Апроксимація функцій деяких класів рядами Фур’є
// Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXVII): праці міжнародної молодіжної
математичної школи, 22–29 вересня 2011. – К., 2011. – С. 74–75.
[6] Коломис О.М. Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Гельдера
рядами Фур’є // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології: зб. наук. праць.
–2021. –Вип. 32. – С. 159–164.
[7] Луц Л.В. Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від
швидкоосцилюючих функцій // Штучний інтелект. – 2008. – № 4.– С. 671–682.
Effective by precision algorithms for approximation of functions
from the Lipschitz class by Fourier’s series
Olena Kolomys, Liliya Luts
Effective by precision algorithm for approximation of functions from the Lipschitz class by
Fourier’s series is developed. The error of approximation of the function is obtained, which
consists of two parts: the error arising from the use of a finite number of terms of the series, and
the error arising from the approximate determination of the Fourier series coefficients using
quadrature formulas for calculating integrals of fast oscillating functions that are optimal in order
of accuracy on the Lipschitz class.
Отримано 15.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-287 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:45Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/19/e05896f6f32b444a9af2a13296687419.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2872025-02-21T17:32:19Z Effective by precision algorithms for approximation of functions from the Lipschitz class by Fourier’s series Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є Kolomys, Olena Luts, Liliya апроксимація функцій; клас Ліпшиця; ряди Фур’є; коефіцієнти ряду Фур'є; похибка апроксимації Effective  by  precision  algorithm  for  approximation  of  functions  from  the  Lipschitz  class  by Fourier’s  series  is  developed.  The  error  of  approximation  of  the  function  is  obtained,  which consists of two parts: the error arising from the use of a finite number of terms of the series, and the  error  arising  from  the  approximate  determination  of  the  Fourier  series  coefficients  using quadrature formulas for calculating integrals of fast oscillating functions that are optimal in order of accuracy on the Lipschitz class. Побудовано ефективний за точністю алгоритм апроксимації функцій з класу Ліпшиця за допомогою рядів Фур'є.Отримано похибку апроксимації функції, яка складаєтьсяз двох частин: похибки, яка виникає внаслідок використання скінченної кількості членів ряду, і похибки внаслідок наближеного визначення коефіцієнтівряду Фур'єз використанням оптимальних за порядком точності на класі Ліпшиця квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилювальних функцій. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-13 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/287 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 111-115 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 36 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 111-115 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.36 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/287/243 Авторське право (c) 2023 Олена Коломис, Лілія Луц (Автор) |
| spellingShingle | апроксимація функцій клас Ліпшиця ряди Фур’є коефіцієнти ряду Фур'є похибка апроксимації Kolomys, Olena Luts, Liliya Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title_alt | Effective by precision algorithms for approximation of functions from the Lipschitz class by Fourier’s series |
| title_full | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title_fullStr | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title_full_unstemmed | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title_short | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є |
| title_sort | ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу ліпшиця рядами фур’є |
| topic | апроксимація функцій клас Ліпшиця ряди Фур’є коефіцієнти ряду Фур'є похибка апроксимації |
| topic_facet | апроксимація функцій клас Ліпшиця ряди Фур’є коефіцієнти ряду Фур'є похибка апроксимації |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/287 |
| work_keys_str_mv | AT kolomysolena effectivebyprecisionalgorithmsforapproximationoffunctionsfromthelipschitzclassbyfouriersseries AT lutsliliya effectivebyprecisionalgorithmsforapproximationoffunctionsfromthelipschitzclassbyfouriersseries AT kolomysolena efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíjízklasulípšicârâdamifurê AT lutsliliya efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíjízklasulípšicârâdamifurê |