Принцип редукції математичних моделей та його застосування
The detection and elimination principle of redundant elements in the mathematical model is proposed in this paper. The efficiency of the proposed approach has been analyzed based on the neural network model of economic system and differential equations models of different nature.
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/297 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479665704173568 |
|---|---|
| author | Matviychuk, Yaroslav |
| author_facet | Matviychuk, Yaroslav |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yaroslav Matviychuk",
"institution": "д.т.н., проф., Національний університет «Львівська політехніка»"
}
] |
| author_sort | Matviychuk, Yaroslav |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:31:10Z |
| description | The detection and elimination principle of redundant elements in the mathematical model is proposed in this paper. The efficiency of the proposed approach has been analyzed based on the neural network model of economic system and differential equations models of different nature. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
17
doi.org/10.15407/fmmit2023.37.017
Принцип редукції математичних моделей та його застосування
Ярослав Матвійчук
д.т.н., проф., НУ «Львівська політехніка», вул. Ст. Бандери, 12, Львів 79013 Україна, matv@ua.fm)
Викладено принцип редукції структури математичної моделі за результатами ідентифікацій.
Для диференційних рівнянь атрактора Лоренца продемонстровані застосування та результа-
ти принципу редукції і також індукції математичної моделі у вигляді диференціальних рів-
нянь. Показано приклад редукції моделі у вигляді рекурсивної нейронної мережі. Точність мо-
делі у результаті редукції покращилась у 16 раз.
Ключові слова – математична модель, редукція, ідентифікація, некоректність, нейронна мере-
жа, звичайні диференціальні рівняння.
Вступ. Математичне моделювання є базовим у людському пізнанні. Покра-
щення якості математичного моделювання сприяє адекватному зображенню
та вивченню навколишнього світу. Ідентифікація математичних моделей є
оберненою некоректною задачею [1]. Часто причиною некоректності є над-
лишковість моделі, тобто наявність елементів моделі, непотрібних для даної
задачі ідентифікації. Пропонується принцип, за яким можна виявляти та ви-
даляти зайві елементи моделі, або нарощувати модель лише необхідними
елементами.
1. Принцип редукції
Допустимо, що для модельованого об’єкта апріорі відома точна математична
модель з вектором параметрів p = (p1,…,pn), Параметри моделі обчислює де-
яка процедура параметричної ідентифікації. Нехай нульове значення параме-
тра означає відсутність елемента. Нехай також розв’язок задачі ідентифікації
вектор p неперервно залежить від умов задачі в деякому околі цих умов.
Ускладнимо математичну модель, що означає появу надлишкових пара-
метрів у векторі p = (p1,…,pn,pn+1,…,pm). Тоді для "зайвих" параметрів
pn+1,…,pm процедура ідентифікації обчислить майже нульові значення (в ме-
жах точності обрахунків):
pi ≈ 0; i = n+1,…,m. (1)
Проте лише за ознакою (1) не можна визначити і видалити "зайві" пара-
метри, бо серед значень "незайвих" параметрів p1,…,pn можуть бути близькі
до машинного нуля, але безумовно суттєві.
Введемо до умов задачі ідентифікації невеликі збурення disturb в межах
вказаного вище околу неперервності розв’язку. Вектор параметрів p', обчис-
лений процедурою ідентифікації для збуреної задачі, відрізняється від векто-
УДК 519.8
mailto:matv@ua.fm
Ярослав Матвійчук
Високопродуктивний синхронізований матричний процесор множення АЛП суперкомп’ютерів
18
ра p незбуреної задачі. Для кожного параметра обчислимо модулі відносних
відхилень за формулою
δi = abs(( p'i − pi) / p'i ); i=1,…,m. (2)
Для "незайвих" параметрів внаслідок неперервної залежності параметрів
від збурень абсолютні відхилення (p'i−pi) прямують до нуля, якщо збурення
прямують до нуля. Відповідна ситуація є для відносних відхилень:
δi → 0; i = 1,…,n, if disturb → 0. (3)
Навпаки, для "зайвих" параметрів внаслідок (1) відносні відхилення (2)
прямують до одиниці для ненульових збурень в межах околу неперервності:
δi → 1; i = n+1,…,m, if disturb ≠ 0. (4)
Критерії (3) і (4) отримані для точної моделі. Поширимо їх на довільні
математичні моделі. В загальному випадку "зайві" параметри виявляють себе
значно більшими відносними відхиленнями (2) порівняно з "незайвими" па-
раметрами. Послідовне видалення відповідних "зайвих" елементів математи-
чної моделі регуляризує задачу ідентифікації, тобто покращує її точність та
стійкість. Численні приклади підтверджують цей висновок [2].
Замісь видалення зайвих елементів моделі (редукції) можна нарощувати
модель, але кожний новий елемент перевіряти за критеріями (3) і (4) (індук-
ція). Можна запропонувати механічну іллюстрацію принципу. Механічна
конструкція у вигляді ферми моста знаходиться у навантаженому стані. Збу-
рення цієї ферми спричиняють коливання балок. Навантажені (потрібні) бал-
ки коливатимуться з меншими амплітудами, ніж ненавантажені (непотрібні).
Розглянемо приклади застосування принципу редукції.
2. Тестова реконструкція атрактора Лоренца
Класичні рівняння атрактора Лоренца (5) є зручні для тестової перевірки
принципу редукції, тому що допускають аналітичне перетворення в еквівале-
нтну форму (6), зручну для нашої ідентифікації [2].
121 1010 xxx ; 31212 40 xxxxx ; 2113 38 xxxx . (5)
11 xy ; 21 yy ; 32 yy ;
12
2
1
1
32
1
2
2
3213 1011
3
41
3
88
1040 yyy
y
yy
y
y
yyyy . (6)
Отже, задачу реконструкції точної моделі (6) поставимо так: маючи
дискретний сигнал y1=x1, треба обчислити три похідні цього сигналу y1’=y2,
y2’=y3, y3’, і розв’язати ідентифікаційну задачу (7).
2
4 4
1
3 1 3 1 3 12 2
,
1 , , 0 , , 0
min .
M
j ji k i k
m ijk m m ijk m m mm m
a b
m i j k i j k
y a y y y b y y y y
(7)
З усіх 50 поліноміальних коефіцієнтів задачі (7) для точної моделі (6) по-
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 17-21
19
трібні лише 7 коефіцієнтів. Решта коефіцієнтів є зайвими.
Оскільки значення коефіцієнтів точної моделі відомі, зручно перевірити
застосування принципу редукції. Дискретний сигнал y1=x1 обчислено чисель-
ним інтегрування рівнянь (5) за методом Рунге-Кутта з кроком 0.02 с від 0 до
34 с. На отриманій множині точок збудований інтерполяційний сплайн
п’ятого степеня та аналітично обраховані його три похідні. Числові значення
сплайна та його похідних утворили масиви даних y1m, y2m, y3m, y’3m,
(m=1,…,1701), для задачі ідентифікації (7).
Далі була застосована поелементна редукція масивів коефіцієнтів aijk, bijk,
згідно принципу редукції. До значень y’3m додавались збурення відносною
величиною 10
-5
, обчислювались відносні відхилення δi згідно (2) та видаляв-
ся елемент з найбільшим δi. Критерій завершення редукції – утворення ком-
пактної множини залишкових відносних відхилень. Ознака цього така: кіль-
кість елементів з відносними відхиленнями, що більші та менші середнього
значення залишкової області, повинна співпасти. В процесі редукції обчис-
лювались величина області відносних відхилень max(δi)-min(δi), а також се-
редня відносна похибка обчислення коефіцієнтів моделі (6). Після 43 кроків
редукції залишились 7 коефіцієнтів точної моделі з середньою відносною по-
хибкою відтворення 0.0016. Залежність розмірів області відносних відхилень
від кроку редукції показано на рис. 1. Той же графік у збільшеному масштабі
– на рис. 2. Добре видно процес формування компактної області.
На моделі Лоренца була перевірена процедура нарощування (індукції)
моделі. Для цього обчислено відносні відхилення (2) для всіх 50 коефіцієнтів.
Далі, починаючи з трьох коефіцієнтів з найменшими відносними відхилення-
ми, послідовно вводились до моделі коефіцієнти з найменшими відносними
відхиленнями серед решти коефіцієнтів. Критерієм припинення індукції є
утворення компактної області відносних відхилень через 4 кроки.
Легко помітити переваги процесу індукції порівняно з редукцією. По-
перше, обрахунок відносних відхилень не треба повторювати на кожному
кроці. Достатньо обчислити їх на початку індукції. По-друге, кількість кроків
Рис. 1. Зміна розміру області відносних
відхилень
відхилень в процесі редукції
Рис. 2. Графік у збільшеному масштбі
Ярослав Матвійчук
Високопродуктивний синхронізований матричний процесор множення АЛП суперкомп’ютерів
20
може бути меншою. Отже, на тестовому прикладі реконструкції атрактора
Лоренца перевірено справедливість основних положень принципу редукції.
3. Редукція нейронної мережі
Принцип редукції вже багато років застосовується для регуляризації матема-
тичних моделей у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь [2]. Ро-
зглянемо редукцію нейронної мережі, яка апроксимує економічну систему
дохідностей акцій, облігацій та відсоткової ставки за депозитами на основі
часових рядів макроекономічних показників та показників фондового ринку
[3]. На вхід мережі подаються 8 економічних показників: індекс споживчих
цін; грошова маса; доходи населення; державні видатки; внутрішній валовий
продукт; середньозважена ставка за депозитами; індекс облігацій kinbonds;
індекс фондової торгівельної системи. Вихідними даними є дохідності серед-
ньозваженої ставки депозитів, індексу облігацій, індексу першої фондової то-
ргівельної системи.
За цими даними методом back propagation навчається тришарова рекур-
сивна нейронна мережа з 12 нейронами у прихованому шарі. Функція актива-
ції – сигмоїд з α=0.5. Змінними параметрами є 276 передач між нейронами.
Критерій апроксимації – середньоквадратичне значення похибки відтворення
вихідних даних.
Структура мережі показана на рис.3.
Рис. 3. Структура нейронної мережі та її рівняння: IW – матриця передач з входів
до проміжного шару нейронів; DW – матриця зворотніх зв’язків; LW – матриця передач з
проміжного шару до виходів; a1(t) – вихідний вектор проміжного шару.
Ітераційна редукція мережі полягає у почерговому видаленні зв’язків з
найбільшими відносними похибками δi згідно з наведеним вище принципом.
Найменше значення похибки 0.09 на ітерації 99 (видалено 35% зв’язків). Ре-
дукція мережі зменшила похибку у 16 раз.
На рис. 4 і рис. 5 показано зміни діапазону значень відносних похибок δi
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 17-21
21
від номеру ітерації. Відносні похибки в редукованій мережі зібрані в компак-
тну групу. Ця ознака є критерієм припинення редукції.
Висновки. Викладений принцип редукції математичних моделей є загальним
і простим. Застосування для нейронної мережі є простішим інших методів
редукції нейронних мереж [3, 4, 5] і не залежить від методу навчання. Наве-
дений приклад демонструє ефективні регуляризуючі властивості принципу
редукції для математичних моделей у вигляді нейронних мереж.
Математичні моделі у вигляді звичайних диференціальних рівнянь завдя-
ки редукції можуть відтворювати складні експериментальні залежності і слу-
гувати інструментом вивчення і прогнозування поведінки реальних систем.
Література
[1] A.N.Tikhonov and V.Y.Arsenin, Solutions of Ill-Posed Problems, New York, USA: Wiley, 1977.
[2] Я.М.Матвійчук. Математичне макромоделювання динамічних систем: теорія та практика. / Ви-
давн. центр ЛНУ ім.І.Франка, 2000. –215с. http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/22710
[3] Yaroslav Matviychuk, Olga Karchevska, Increasing the Correctness of Mathematical Models by Novel
Reduction Principle, Proceeding of the 16th International Conference on Computational Problems of
Electrical Engineering, Lviv, Ukraine, September 2-5, 2015
[4] http://ieeexplore.ieee.org/document/7333351/
[5] Матвійчук Я., Паучок В. Прогнозування курсу валют методом макромоделювання. // Банківська
справа, № 5-6, 2004. С.73-78.
[6] Матвійчук Я.М., Паучок В.К. Макромоделі гео-геліогенних величин, ідентифіковані за експери-
ментальними даними // Моделирование-2008. Сб. трудов конф. Киев, 14-16 мая 2008. – Т.1. – С.
114-118.
Mathematical Model Reduction Principle and it’s applications
Yaroslav Matviychuk
Abstract: The detection and elimination principle of redundant elements in the mathematical
model is proposed in this paper. The efficiency of the proposed approach has been analyzed
based on the neural network model of economic system and differential equations models of
different nature.
Отримано 30.03.23
Рис.4. Зменшення діапазону відносносних похи-
бок з редукцією нейронної мережі
Рис.5. Графік рис.4 у збільшеному масштабі
http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/22710
http://ieeexplore.ieee.org/document/7333351/
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-297 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:53Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/61/d52e992ad07424457ccad046b82b3961.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-2972025-02-21T17:31:10Z Mathematical Model Reduction Principle and it’s applications Принцип редукції математичних моделей та його застосування Matviychuk, Yaroslav математична модель, редукція, ідентифікація, некоректність, нейронна мережа, зви- чайні диференціальні рівняння The detection and elimination principle of redundant elements in the mathematical model is proposed in this paper. The efficiency of the proposed approach has been analyzed based on the neural network model of economic system and differential equations models of different nature. Викладено принцип редукції структури математичної моделі за результатами ідентифікацій. Для диференційних рівнянь атрактора Лоренца продемонстровані застосування та результати принципу редукції і також індукції математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь. Показано приклад редукції моделі у вигляді рекурсивної нейронної мережі. Точність моделі у результаті редукції покращилась у 16 раз. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-26 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/297 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 17-21 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 17-21 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/297/265 Авторське право (c) 2023 Ярослав Матвійчук (Автор) |
| spellingShingle | математична модель редукція ідентифікація некоректність нейронна мережа зви- чайні диференціальні рівняння Matviychuk, Yaroslav Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title | Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title_alt | Mathematical Model Reduction Principle and it’s applications |
| title_full | Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title_fullStr | Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title_full_unstemmed | Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title_short | Принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| title_sort | принцип редукції математичних моделей та його застосування |
| topic | математична модель редукція ідентифікація некоректність нейронна мережа зви- чайні диференціальні рівняння |
| topic_facet | математична модель редукція ідентифікація некоректність нейронна мережа зви- чайні диференціальні рівняння |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/297 |
| work_keys_str_mv | AT matviychukyaroslav mathematicalmodelreductionprincipleanditsapplications AT matviychukyaroslav principredukcíímatematičnihmodelejtajogozastosuvannâ |