Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду
The current state of development of information technologies encourages scientists to improve mathematical models of phenomena and processes in many areas of technical direction. In particular, modern methods of digital processing of signals and images use algorithms with n...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/301 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479671279452160 |
|---|---|
| author | Nechuiviter, Olesia Ivanov, Serhii Kovalchuk, Kyrylo |
| author_facet | Nechuiviter, Olesia Ivanov, Serhii Kovalchuk, Kyrylo |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Olesia Nechuiviter",
"institution": "д. ф.-м. н., професор, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків"
},
{
"author": "Serhii Ivanov",
"institution": "аспірант, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків"
},
{
"author": "Kyrylo Kovalchuk",
"institution": "студент, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, вул. Юлії Здановської , 55, 03002, Київ"
}
] |
| author_sort | Nechuiviter, Olesia |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:31:10Z |
| description | The current state of development of information technologies encourages scientists to improve mathematical models of phenomena and processes in many areas of technical direction. In particular, modern methods of digital processing of signals and images use algorithms with new information operators. Cubature formulas for the approximate calculation of integrals from rapidly oscillating functions of many variables for different types of data are constructed. The paper investigates the approximate calculation of double integrals of the general form on the class of differential functions. A new cubature formula is proposed, it uses piecewise linear splines as auxiliary functions. Information about the functions is given by traces on the corresponding lines. It is proved that the cubature formula is optimal in order of accuracy. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:09:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
37
doi.org/10.15407/fmmit2023.37.037
Наближене обчислення подвійних інтегралів від
швидкоосцилюючих функцій загального виду
Олеся Нечуйвітер1, Сергій Іванов2, Кирило Ковальчук3
1 д. ф.-м. н., професор, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків, e-
mail: olesia.nechuiviter@gmail.com
2 аспірант, Українська інженерно-педагогічна академія, вул. Університетська, 16, 61003, Харків, e-mail:
ivanov.linsholm@gmail.com
3 студент, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, вул. Юлії Здановської , 55, 03002, Київ,
e-mail: kovalchukkyrylo.kk@gmail.com
Сучасний стан розвитку інформаційних технологій спонукає науковців до удосконалення
математичних моделей явищ та процесів в багатьох напрямках технічного спрямування.
Зокрема, сучасні методи цифрової обробки сигналів та зображень використовують
алгоритми з новими інформаційними операторами. Побудовані кубатурні формули
наближеного обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних при
різних типах даних. У роботі досліджується наближене обчислення подвійних інтегралів
загального виду на класі диференційовних функцій. Запропоновано нову кубатурну формулу,
яка в якості допоміжних функцій використовує кусково-лінійні сплайни. Інформація про
функції задається слідами на відповідних лініях. Доведено, що кубатурна формула є
оптимальною за порядком точності.
Ключові слова: кубатурна формула, інтеграл від швидкоосцилюючої функції загального
виду, клас диференційованих функцій
Вступ. При вирішенні складних задач в таких галузях науки як астрономія,
радіологія, комп'ютерна томографія, голографія широко використовуються
методи цифрової обробки сигналів та зображень. Деякі з цих методів базуються в
тому числі і на нових підходах до отримання, обробки та аналізу інформації.
Мова іде про те, що інформація, зокрема про функції багатьох змінних може
задаватися не тільки значеннями функції в точках, а і як сукупність слідів
функції на площинах, як набір слідів функції на лініях. Прикладом теорії, де в
залежності від типу задання інформації вибирається алгоритм, є теорія
обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних [1, 2].
Менше уваги приділено наближеному обчисленню подвійних інтегралів
загального виду у випадку, коли інформація про функції задається відповідними
слідами на лініях. В [3] на класі диференційовних функцій для наближеного
обчислення подвійного інтегралу загального виду представлена оптимальна за
порядком точності кубатурна формула, яка в своїй побудові в якості допоміжних
функцій використовує кусково-сталі сплайни. Однак, чи залишиться кубатурна
формула оптимальною за порядком точності у випадку, коли в якості
допоміжних функцій розглядати кусково-лінійні сплайни, в даній роботі
досліджується вперше.
УДК 519.6
mailto:o_anton@cmm.lviv.ua
Олеся Нечуйвітер, Сергій Іванов, Кирило Ковальчук
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду
38
1. Оцінка знизу для похибки чисельного інтегрування на класі
Припустимо, що ( , )f x y F , ,g x y G , F , G – множини функцій, визначених
в області , ,a b a b . Позначимо через NL множину всіх квадратурних формул
,Nl f g , що використовують інформацію про значення функцій ,f x y та
,g x y не більше ніж на N лініях. Введемо величини
1 1
0 0
( , , ) ( , )sin (x,y)I f g f x y g dxdy , , , , , , ,N N NR f g l I f g l f g ,
,
, , , sup , , ,N N N N
f F g G
R F G l R f g l
, , , inf , , ,
N N
N N N
l L
R F G R F G l
.
Кубатурну формулу ,Nl f g , на якій досягається , ,NR F G , будемо називати
оптимальною за точністю кубатурною формулою. Якщо
, , , NNR F G l , ,NR F G , 0 , то Nl називається оптимальною за
точністю формулою обчислення , ,I f g з точністю до . Якщо NO R ,
то Nl називається оптимальною за порядком точності.
Розглянемо 2, ,rН M M , 0r клас дійсних функцій 0r , визначених на
2
0,1G і таких, що частинні похідні порядку r по змінній x та y обмежені
,0 0,
( , ) , ( , ) , 0,
r r
f x y M f x y M r
,
( , ) , 0
r r
f x y M r .
Теорема 1. [4] Нехай 2,( , ), ( , ), , ,rf x y g x y Н M M
функції ( , ), (x, y)f x y g задані слідами на відповідних системах взаємно
перпендикулярних прямих в області
2
0,1G , тоді
2, 2,M, , , ,r r
NR H M H M M
2 2
1
max ,min 1,
r r
K
.
2. Оптимальна за порядком точності кубатурна формула
Означення. Під слідом функції ( , )f x y на прямих лініях ,kx k ,jy j
, 0, ,k j
1
розуміємо ( , ), 0 1kf x y y , ( , ), 0 1jf x y x .
Введемо наступі позначення:
0 0
1 1
10 0 1 10 0 1
1 1
1 1
0, , 0, ,
( ) , , ( ) , ,
0, , 0, ,
x x y y
x x y y
h x x x x H y y y y
x x y y
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 37-41
39
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0, ,
, ,
( )
, ,
0, ,
k
k
k k
k
k
k k
k
x x
x x
x x x
h x
x x
x x x
x x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0, ,
, ,
( )
, ,
0, ,
j
j
j j
j
j
j j
j
y y
y y
y y y
H y
y y
y y y
y y
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
0, , 0, ,
( ) , , ( ) , ,
0, , 0, ,
x x y y
x x y y
h x x x x H y y y y
x x y y
1, 1, 1,k j 1 1 1
1
1
, ,k jx k y j .
Аналогічно визначаються сліди функції ( , )g x y та функції 2 2( ), ( )p sh x H y на
прямих 2,px p 2 ,sy s 2p,s 0, , 2 21/ .
Розглянемо два оператори-інтерлінанти
1 1
1 1
0 0
, , ,k k j j
k j
Jf x y f x y h x f x y H y
1 1
1 1
0 0
,k j k j
k j
f x y h x H y
,
2 2
2 2
0 0
( , ) ( , ) ( , )p p s s
p s
Og x y g x y h x g x y H y
2 2
2 2
0 0
( , )p s p s
p s
f x y h x H y
.
Для обчислення інтегралу ( , , )І f g пропонується кубатурна формула
1 1
0 0
( , , ) ( , )sin (x,y)f g Jf x y Og dxdy .
Теорема 2. Нехай 2,1
1( , ), ( , ) ,f x y g x y H M M та функції ( , ), (x, y)f x y g
задані слідами , ,kf x y 1, , , 0,jf x y k j , , ,pg x y 2, , , 0,sg x y p s
на системах взаємно перпендикулярних прямих 1 1 1
1
1
, ,k jx k y j та
2,px p 2 ,sy s 2 21/ в області
2
0,1G . Тоді для формули
( , , )f g справедлива наступна оцінка похибки наближення ( , , )І f g :
( , , ), ( , , ) ( , , ) ( , , )I f g f g I f g f g
2 2
1 2
1 1
min 2; .
9 9
M M
M
Олеся Нечуйвітер, Сергій Іванов, Кирило Ковальчук
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду
40
Доведення. Для знаходження оцінки похибки наближення ( , , )І f g за
формулою ( , , )f g використаємо представлення похибки наближення ( , )f x y
оператором інтерлінантом ( , )Jf x y через
1,1
( , )f x y та функції
1
1
1,
1
1
, ,
,
, ,
k
k
k
k
k
x x
x x
G x
x x
x x
1
1
2,
1
1
, ,
,
, ,
j
j
j
j
j
y y
y y
G y
y y
y y
а також похибки наближення ( , )g x y оператором ( , )Og x y через
1,1
( , )g x y та
функції
1
2
1,
1
2
, ,
,
, ,
p
p
p
p
p
x x
x x
G x
x x
x x
1
2
2,
1
2
, ,
,
, .
s
s
s
s
s
y y
y y
G y
y y
y y
Тоді
( , , ), ( , , ) ( , , ) ( , , )I f g f g I f g f g
1 1 1 1
0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) sin (x,y) sin (x,y)f x y Jf x y dxdy f x y g Og dxdy
1 11 11 11 1
1,1
1 2
0 0
, , ( , )
j jk k
k j k j
y yx x
k j
k j x y x y
f G x G y d d dxdy
1 12 21 1
0 0
( ( , ) ( , ))
2 sin
2
p s
p s
x y
p s x y
g x y Og x y
M dxdy
1 11 11 11 1
1 2
0 0
, ( , )
j jk k
k j k j
y yx x
k j
k j x y x y
M G x G y d d dxdy
1 12 21 1
0 0
( , ) ( , )
2 min 1;
2
p s
p s
x y
p s x y
g x y Og x y
M dxdy
2 2
2 1 1
1
3 3
M
+
1 1 11 1 12 2 2 21 1 1 1
1 2
0 0 0 0
2 min , , ( , )
2
p p ps s s
p s p s p s
x x xy y y
p s
p s p sx y x y x y
M
M dxdy G x G y d d dxdy
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 22 min ,
9 2 3 3
M M
M
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 37-41
41
2 2
1 2min 2;
9 9
M M
M
2 2
1 2
1 1
min 2; .
9 9
M M
M
Теорема 2 доведена.
Маючи результати теореми 1 та теореми 2, можна зробити висновок про
оптимальність за порядком точності кубатурної формули ( , , )f g наближеного
обчислення інтегралу ( , , )І f g на класі диференційовних функцій. Наступним
кроком в дослідженні є тестування кубатурної формули.
Висновки. У роботі представлено формулу наближеного обчислення подвійного
інтегралу загального виду у випадку, коли в якості допоміжних функцій
розглядаються кусково-лінійні сплайни. Інформація про функції задана їх
слідами на відповідних лініях. Порівнюючи оцінку знизу для похибки
чисельного інтегрування на класі дифренційовних функцій та оцінку похибки
наближення інтегралу кубатурною формулою, робимо висновок про
оптимальність за порядком точності запропонованої кубатурної формули.
Література
[1] Литвин О.М., Нечуйвітер О.П. Кубатурні формули для обчислення коефіцієнтів Фур’є
функцій двох змінних з використанням сплайн-інтерлінації // Доп. НАН України.
Математика. Природознавство. Технічні науки. – 1998. – № 1. – С. 23–28.
[2] Литвин О. М., Нечуйвітер О.П. Наближене обчислення 3 D - коефіціентів Фур’є на класі
диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації // Доп. НАН України.
Математика. Природознавство. Технічні науки. – 2012. – № 3. – С. 45–50.
[3] Mezhuyev V., Lytvyn O.M., Nechuiviter O., Pershyna Y, Lytvyn O.O., Keita K. Cubature formula
for approximate calculation of integrals of two-dimensional irregular highly oscillating functions,
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 80, Iss. 3, 2018, 169–182.
[4] Нечуйвітер О.П., Кейта К.В. Обчислення 2 D інтегралів від тригонометричних функцій з
використанням кусково-сталої інтерлінації // Математичне та комп’ютерне моделювання.
Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць. – Кам’янець – Подільський: Кам’янець-
Подільський національний університет ім. Івана Огієнка, 2017. – Вип.15. – С. 139 – 144.
Approximate calculation of double integrals from rapidly
oscillating functions of the general form
Olesia Nechuiviter, Serhii Ivanov, Kovalchuk Kyrylo
The current state of development of information technologies encourages scientists to improve
mathematical models of phenomena and processes in many areas of technical direction. In
particular, modern methods of digital processing of signals and images use algorithms with new
information operators. Cubature formulas for the approximate calculation of integrals from
rapidly oscillating functions of many variables for different types of data are constructed. The
paper investigates the approximate calculation of double integrals of the general form on the class
of differential functions. A new cubature formula is proposed, it uses piecewise linear splines as
auxiliary functions. Information about the functions is given by traces on the corresponding lines.
It is proved that the cubature formula is optimal in order of accuracy.
Отримано 12.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-301 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:09:58Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/53/43e23c572a0638c387c23309413c1553.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3012025-02-21T17:31:10Z Approximate calculation of double integrals from rapidly oscillating functions of the general form Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду Nechuiviter, Olesia Ivanov, Serhii Kovalchuk, Kyrylo кубатурна формула, інтеграл від швидкоосцилюючої функції загального виду, клас диференційованих функцій The current state of development of information technologies encourages scientists to improve mathematical models of phenomena and processes in many areas of technical direction. In particular, modern methods of digital processing of signals and images use algorithms with new information operators. Cubature formulas for the approximate calculation of integrals from rapidly oscillating functions of many variables for different types of data are constructed. The paper investigates the approximate calculation of double integrals of the general form on the class of differential functions. A new cubature formula is proposed, it uses piecewise linear splines as auxiliary functions. Information about the functions is given by traces on the corresponding lines. It is proved that the cubature formula is optimal in order of accuracy. Сучасний стан розвитку інформаційних технологій спонукає науковців до удосконалення математичних моделей явищ та процесів в багатьох напрямках технічного спрямування. Зокрема, сучасні методи цифрової обробки сигналів та зображень використовують алгоритми з новими інформаційними операторами. Побудовані кубатурні формули наближеного обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних при різних типах даних. У роботі досліджується наближене обчислення подвійних інтегралів загального виду на класі диференційовних функцій. Запропоновано нову кубатурну формулу, яка в якості допоміжних функцій використовує кусково-лінійні сплайни. Інформація про функції задається слідами на відповідних лініях. Доведено, що кубатурна формула є оптимальною за порядком точності. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-27 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/301 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 37-41 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 37-41 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/301/269 Авторське право (c) 2023 Олеся Нечуйвітер, Сергій Іванов, Кирило Ковальчук (Автор) |
| spellingShingle | кубатурна формула інтеграл від швидкоосцилюючої функції загального виду клас диференційованих функцій Nechuiviter, Olesia Ivanov, Serhii Kovalchuk, Kyrylo Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title_alt | Approximate calculation of double integrals from rapidly oscillating functions of the general form |
| title_full | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title_fullStr | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title_full_unstemmed | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title_short | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| title_sort | наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду |
| topic | кубатурна формула інтеграл від швидкоосцилюючої функції загального виду клас диференційованих функцій |
| topic_facet | кубатурна формула інтеграл від швидкоосцилюючої функції загального виду клас диференційованих функцій |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/301 |
| work_keys_str_mv | AT nechuiviterolesia approximatecalculationofdoubleintegralsfromrapidlyoscillatingfunctionsofthegeneralform AT ivanovserhii approximatecalculationofdoubleintegralsfromrapidlyoscillatingfunctionsofthegeneralform AT kovalchukkyrylo approximatecalculationofdoubleintegralsfromrapidlyoscillatingfunctionsofthegeneralform AT nechuiviterolesia nabliženeobčislennâpodvíjnihíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíjzagalʹnogovidu AT ivanovserhii nabliženeobčislennâpodvíjnihíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíjzagalʹnogovidu AT kovalchukkyrylo nabliženeobčislennâpodvíjnihíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíjzagalʹnogovidu |