Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь
Two-sided numerical methods for solving the Cauchy problem for Volterra's nonlinear integro-differential equations are constructed. With appropriate parameter values, it is possible to obtain an approximation to the exact solution of the first and second order of accuracy. A set of...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/306 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479676868362240 |
|---|---|
| author | Pelekh, Yaroslav Kunynets, Andrii Pakholok, Bohdan |
| author_facet | Pelekh, Yaroslav Kunynets, Andrii Pakholok, Bohdan |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yaroslav Pelekh",
"institution": "к. ф.-м. н., ст. н. с., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери,12, 79013, Львів"
},
{
"author": "Andrii Kunynets",
"institution": "к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери,12, 79013, м. Львів"
},
{
"author": "Bohdan Pakholok",
"institution": "к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери,12, 79013, Львів"
}
] |
| author_sort | Pelekh, Yaroslav |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:31:10Z |
| description | Two-sided numerical methods for solving the Cauchy problem for Volterra's nonlinear integro-differential equations are constructed. With appropriate parameter values, it is possible to obtain an approximation to the exact solution of the first and second order of accuracy. A set of parameters is proposed for which we obtain calculation formulas that at each integration step give the upper and lower approximations to the exact solution. For the approximate solution, we take the half-sum of two-sided approximations, and the modulus of the half-difference gives the error of the method. Calculation formulas are proposed that make it possible to find not only two-sided approximations to the exact solution, but also to calculate the explicit expression of the main term of the local error of the method without additional calculations of the right side of the integro-differential equation. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:10:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
62
doi.org/10.15407/fmmit2023.37.062
Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної
похибки для розв’язування нелінійних інтегро-
диференціальних рівнянь
Ярослав Пелех1, Андрій Кунинець2, Богдан Пахолок3
1 к. ф.-м. н., ст. н. с., доцент, Національний університет «Львівська політехніка»,
вул. С. Бандери,12, 79013, Львів, е-mail :yaroslav.m.pelekh@lpnu.ua
2 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка»,
вул. С. Бандери,12, 79013, м. Львів, е-mail: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
3 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка»,
вул. С. Бандери,12, 79013, Львів, е-mail: bohdan.b.pakholok@lpnu.ua
Побудовано вкладені числові методи розв’язання задачі Коші для нелінійних інтегро-
диференціальних рівнянь Вольтерра. При відповідних значеннях параметрів можна
одержувати наближення до точного розв’язку першого та другого порядку точності.
Запропоновано множину параметрів, при яких отримуємо розрахункові формули, які на
кожному кроці інтегрування дають верхнє і нижнє наближення до точного розв’язку. За
наближений розв’язок приймаємо півсуму двосторонніх наближень, а модуль піврізниці дає
похибку методу. Виведено розрахункові формули, які дозволяють знаходити не тільки
двосторонні наближення до точного розв’язку, а також обчислювати явний вираз
головного члена локальної похибки методу без додаткових обчислень правої частини
інтегро-диференціального рівняння.
Ключові слова: числові методи, задача Коші, інтегро-диференціальне
рівняння, двосторонні наближення.
Вступ. Багато прикладних задач у загальному випадку зводяться до розв’язання
нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь. В обчислювальній математиці
широкого застосування набули дробово-раціональні наближення, які при
відповідних умовах дають високу швидкість збіжності алгоритмів, двосторонні і
монотонні наближення. При розрахунку таких задач виникає потреба знаходити
не тільки наближені розв’язки досліджуваних математичних моделей, але й
отримувати оцінку похибки результату. Одним з ефективних способів побудови
таких наближень є ланцюгові (неперервні) дроби.
1. Постановка задачі
Розглянемо на відрізку 0 0: ,LI x x L задачу Коші для нелінійного інтегро-
диференціального рівняння
УДК 517.94:519.62
mailto:bohdan.b.pakholok@lpnu.ua
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 62-66
63
0
, , , ,
x
x
u x F x u x g x s u s ds
(1)
00 uxu , Lxxx 00 , . (2)
Припустимо, що розв’язок (1)-(2) існує і єдиний, а функції F і g володіють
необхідною гладкістю.
Пропонуються обчислювальні схеми, які дають можливість на кожному
кроці інтегрування отримувати наближення до точного розв’язку задачі (1)-(2)
першого та другого порядку точності. Виписано значення параметрів, при яких
отримуємо двосторонні наближення до точного розв’язку. Знайдено явний вираз
для головного члена локальної похибки, величину якого можна порахувати без
додаткових обчислень правої частини інтегро-диференціального рівняння.
2. Побудова методів Рунге-Кутта
На відрізку LI введемо сітку Lxxxxx NNh 0110 з кроком
ii xxh 1 , 1,0 Ni . Використовуючи апарат ланцюгових дробів [1] та теорію
побудови методів Рунге-Кутта, наближений розв’язок задачі (1)-(2) в точці
hxx 01 шукаємо у вигляді неперервного дробу:
lk
k
k
k
i
i
lk
lklk
d
d
d
d
c
Q
P
u
,
1,
0,
1
0
0,
0
,
,,
1
1
1
. (3)
При 2 lk 1,0;2,1 lk
00 uc ,
0
1
0,1
c
d
,
01
20
2
1
1,1
c
c
d
,
2
0
20
2
1
0,2
c
c
d
,
j
j
iji kah
2
1
, 2,1i , 0,, 01101 uhxFk , (4)
1211210202 ,, KhkxhxFk , 10001 ,, hkuhxhxhgK ,
де 11,a ,12a 21a , 22a , , 1 , 2 , , 21 , – невідомі параметри.
Розвинення розв’язку задачі (1)-(2) в ряд Тейлора в околі точки 0x має вигляд:
00000
2
000
2
1
gFFFFhFhxuhxu zux
000
2
0000
3
2
6
uxuuxuxx FFFFFFF
h
Ярослав Пелех, Андрій Кунинець, Богдан Пахолок
Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування …
64
2
0 0 0 0 00 0 00
2 2 2zz xz uz z xF g F g F F g F g
2 4
0 0 0 0 0 00 0 00
z u z s u u zF g F F g F F F F g O h . (5)
Розглянемо формули (3)-(4) при 1k , 1l :
2121110
2221210
2
212111
0
212111
0]1,1[
1
1
1
kakau
kakaukakah
u
kaka
h
u
u
, (6)
0,, 0101 uhxFk , 1211210202 ,, KhkuhxFk ,
10001 ,, hkuhxhxhgK . (7)
Невідомі параметри ija , j 2,1;2,1 ji , 21 , 21 , , , виберемо з умови,
щоб .31,1
101,1 hOuhxuR Для цього спочатку перетворимо формулу (6)
до вигляду:
]1,1[
]1,1[
0
2221212111
2
212111
0
1,1
1
Q
P
u
kaakaa
kakah
uu
. (8)
Представлення формули (6) у вигляді (8) дає можливість проводити розрахунки
при 0
0
u , а також, як показують подальші викладки, якщо 0212111 kaka , то
.31,1
10 hOuhxu Розвинувши 1,1P і 1,1Q в ряди Тейлора в околі точки
0x , а також знайшовши різницю 1,1
1uhxu o , випишимо вирази для
коефіцієнтів чисельника при степенях h і
2h :
:2
0Fh 2121122122111 aaaaaa . (9)
:00
2
xFFh 11 21 1 12 22 2a a a a
11 21 12 22 11 12 11 1 12 2
1
2
2
a a a a a a a a .
:00
2
uFFh 2112121121221222122111 2
2
1
aaaaaaaaa .
:000
2 gFFh z 2112121121221222122111 2
2
1
aaaaaaaaa .
Якщо прирівняти коефіцієнти при h і 2h до нуля і розв’язати відповідну
систему алгебраїчних рівнянь, то отримаємо метод другого порядку точності.
Випишимо дві множини розв’язків:
I.
1 2
:
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 62-66
65
1211 1 aa , 2221 aa ,
2
1
21 ,
2212
2121
2
1
aa
(10)
де 12a , 22a - параметри.
II. :
21
1211 1 aa ,
12
1
1221
2
12
aa ,
12
12
1
22
2
21
aa
(11)
1
12
2121
1
,
де 1 , 2 , 12a – довільні числа 11 .
3. Побудова двосторонніх розрахункових формул.
У зв’язку з відсутністю ефективного способу оцінки похибки наближеного
розв’язку виникла необхідність розробки двосторонніх методів [2].
Побудуємо розрахункові формули, які дають двосторонні наближення до
точного розв’язку задачі (1)-(2). Прирівняємо у співвідношеннях (8) перше і
останнє рівняння до нуля, а друге, третє і четверте відповідно до 321 ,, ,
отримаємо наступну систему рівнянь:
.0
2
1
2
1
2
1
01
22122111
2
1211
3212212
2212212
12221212111
22122111
aaaaaa
aa
aa
aaaa
aaaa
(12)
Тоді похибка в точці 1xx має вигляд:
1,1
1
R {
00
2
1 xFFh
00
2
2 uFFh 2
3 0 0 0zh F F g }/ 1,1Q .
При різних значеннях 3,2,1 ii побудовано двосторонні наближення на
різних класах функцій.
Якщо, наприклад, покласти 321 і
1211 1 aa ,
21
1221
2
21
aa , 12
21
22
2
21
aa
,
01 , 212 , 2121 , )21( , де 0, 212112 a - параметри, тоді
.
12
/)( 3
212
1213
1,100
21,1
1 hO
kk
kkhk
hOQxuFhR
Ярослав Пелех, Андрій Кунинець, Богдан Пахолок
Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування …
66
Отже, отримано розрахункові формули, які дозволяють знаходити не
тільки двосторонні наближення до точного розв’язку задачі (1)-(2) в точці 1x , а
також обчислювати явний вираз головного члена локальної похибки методу без
додаткових обчислень правої частини інтегро-диференціального рівняння.
Для знаходження наближень у наступних точках 2nxn користуємося
способом рухомого початку.
Висновки. Виведено розрахункові формули розв’язання задачі Коші для інтегро-
диференціальних рівнянь, що базуються на неперервних дробах. При
відповідних значеннях параметрів можна отримувати наближення до точного
розв’язку задачі Коші (1)-(2) першого та другого порядку точності.
Знайдено множину параметрів, при яких можна отримати двосторонні
розрахункові формули. За наближений розв’язок приймаємо півсуму
двосторонніх наближень. Модуль піврізниці двосторонніх наближень дає
похибку методу.
Виведено розрахункові формули, які дозволяють знаходити не тільки
двосторонні наближення до точного розв’язку, а також обчислювати явний вираз
головного члена локальної похибки методу без додаткових обчислень правої
частини інтегро-диференціального рівняння.
Запропоновану методику знаходження наближеного розв’язку задачі Коші
для інтегро-диференціальних рівнянь застосовано для побудови числових
методів більш високого порядку точності.
Література
[1] Джоунс У. Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. - М.: Мир,
1985. – 416 с.
[2] Добронец Б.С. Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. Новосибирск: Наука. –
1990. – 206 с.
Embedded methods with two-sided local error estimation for
solving nonlinear integro-differential equations
Yaroslav Pelekh, Andrii Kunynets, Bohdan Pakholok
Two-sided numerical methods for solving the Cauchy problem for Volterra's nonlinear integro-
differential equations are constructed. With appropriate parameter values, it is possible to obtain
an approximation to the exact solution of the first and second order of accuracy. A set of
parameters is proposed for which we obtain calculation formulas that at each integration step give
the upper and lower approximations to the exact solution. For the approximate solution, we take
the half-sum of two-sided approximations, and the modulus of the half-difference gives the error of
the method. Calculation formulas are proposed that make it possible to find not only two-sided
approximations to the exact solution, but also to calculate the explicit expression of the main term
of the local error of the method without additional calculations of the right side of the integro-
differential equation.
Отримано 15.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-306 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:10:04Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/dd/b954fe9ca85d1918653203cf322e51dd.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3062025-02-21T17:31:10Z Embedded methods with two-sided local error estimation for solving nonlinear integro-differential equations Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь Pelekh, Yaroslav Kunynets, Andrii Pakholok, Bohdan числові методи, задача Коші, інтегро-диференціальне рівняння, двосторонні наближення Two-sided numerical methods for solving the Cauchy problem for Volterra's nonlinear integro-differential equations are constructed. With appropriate parameter values, it is possible to obtain an approximation to the exact solution of the first and second order of accuracy. A set of parameters is proposed for which we obtain calculation formulas that at each integration step give the upper and lower approximations to the exact solution. For the approximate solution, we take the half-sum of two-sided approximations, and the modulus of the half-difference gives the error of the method. Calculation formulas are proposed that make it possible to find not only two-sided approximations to the exact solution, but also to calculate the explicit expression of the main term of the local error of the method without additional calculations of the right side of the integro-differential equation. Побудовано вкладені числові методи розв’язання задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра. При відповідних значеннях параметрів можна одержувати наближення до точного розв’язку першого та другого порядку точності. Запропоновано множину параметрів, при яких отримуємо розрахункові формули, які на кожному кроці інтегрування дають верхнє і нижнє наближення до точного розв’язку. За наближений розв’язок приймаємо півсуму двосторонніх наближень, а модуль піврізниці дає похибку методу. Виведено розрахункові формули, які дозволяють знаходити не тільки двосторонні наближення до точного розв’язку, а також обчислювати явний вираз головного члена локальної похибки методу без додаткових обчислень правої частини інтегро-диференціального рівняння. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-27 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/306 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 62-66 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 62-66 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/306/274 Авторське право (c) 2023 Ярослав Пелех, Андрій Кунинець, Богдан Пахолок (Автор) |
| spellingShingle | числові методи задача Коші інтегро-диференціальне рівняння двосторонні наближення Pelekh, Yaroslav Kunynets, Andrii Pakholok, Bohdan Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title | Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title_alt | Embedded methods with two-sided local error estimation for solving nonlinear integro-differential equations |
| title_full | Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title_short | Вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| title_sort | вкладені методи з двосторонньою оцінкою локальної похибки для розв’язування нелінійних інтегро- диференціальних рівнянь |
| topic | числові методи задача Коші інтегро-диференціальне рівняння двосторонні наближення |
| topic_facet | числові методи задача Коші інтегро-диференціальне рівняння двосторонні наближення |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/306 |
| work_keys_str_mv | AT pelekhyaroslav embeddedmethodswithtwosidedlocalerrorestimationforsolvingnonlinearintegrodifferentialequations AT kunynetsandrii embeddedmethodswithtwosidedlocalerrorestimationforsolvingnonlinearintegrodifferentialequations AT pakholokbohdan embeddedmethodswithtwosidedlocalerrorestimationforsolvingnonlinearintegrodifferentialequations AT pelekhyaroslav vkladenímetodizdvostoronnʹoûocínkoûlokalʹnoípohibkidlârozvâzuvannânelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT kunynetsandrii vkladenímetodizdvostoronnʹoûocínkoûlokalʹnoípohibkidlârozvâzuvannânelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT pakholokbohdan vkladenímetodizdvostoronnʹoûocínkoûlokalʹnoípohibkidlârozvâzuvannânelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ |