Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами
The paper develops a method of approximating a three-dimensional body, which is described by a discontinuous 3D function, using a discontinuous spline interflatation operator. The case is considered when the studied body is completely covered by a system of elementary recta...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/307 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479677304569856 |
|---|---|
| author | Pershyna, Iuliia |
| author_facet | Pershyna, Iuliia |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Iuliia Pershyna",
"institution": "д. ф.-м. н., завідувач кафедрою, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут, вул. Кирпичова, 2, 64002, Харків"
}
] |
| author_sort | Pershyna, Iuliia |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-02-21T17:31:10Z |
| description | The paper develops a method of approximating a three-dimensional body, which is described by a discontinuous 3D function, using a discontinuous spline interflatation operator. The case is considered when the studied body is completely covered by a system of elementary rectangular elements (parallelepipeds). A function describing a three-dimensional body can have discontinuities of the first kind on the lines or planes of a given system of parallelepipeds. In the article, a discontinuous spline is constructed - an interfletant, which uses one-sided function traces along a given partition system as experimental data; a theorem on the approximation error of the constructed discontinuous spline is presented. This method of approximation can be used in remote methods of studying objects. |
| first_indexed | 2026-06-09T01:10:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
67
doi.org/10.15407/fmmit2023.37.067
Наближення розривних 3D функцій розривними
інтерфлетаційними сплайнами
Юлія Першина
1 д. ф.-м. н., завідувач кафедрою, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут,
вул. Кирпичова, 2, 64002, Харків, e-mail: yuliapershina78@gmail.com
У роботі будується метод наближення тримірного тіла, яке описується розривною 3D
функцією, використовуючи розривний оператор сплайн-інтерфлетації. Розглядається
випадок, коли досліджуване тіло повністю покривається системою елементарних
прямокутних елементів (паралелепіпедів). Функція, що описує тривимірне тіло, може
мати розриви першого роду на лініях чи площинах заданої системи паралелепіпедів. В
статті будується розривний сплайн – інтерфлетант, який в якості експериментальних
даних використовує односторонні сліди функції вздовж заданої системи розбиття;
наводиться теорема про похибку наближення побудованого розривного сплайна. Такий
метод наближення може бути використаних в дистанційних методах дослідження
об’єктів.
Ключові слова: інтерфлетація, сплайн, розривна 3D функція, дистанційні
методи наближення
Вступ. Дана робота відноситься до серії робіт автора, спрямованих на
дослідження та вдосконалення математичних моделей у комп'ютерній томографії
[1, 2]. На даний час у томографії розроблено багато обчислювальних методів,
алгоритмів та програмних засобів, спрямованих на відновлення внутрішніх
властивостей об'єкта. Вони добре виявляють себе при відновленні об'єктів з
гладкими властивостями, але дають незадовільні результати для об'єктів з
розривними характеристиками. Тому виникає необхідність створення
математичних методів наближення розривних функцій.
Зазначимо істотну обставину: математичні основи томографії були
закладені ще на початку минулого століття в працях німецького вченого Й.
Радона [3], який розвинув теорію перетворення функцій багатьох змінних
(перетворення Радона). Згідно з цим перетворенням функцію багатьох змінних
можна характеризувати не тільки її значеннями у точках багатовимірного
простору, а й інтегралами від цієї функції, взятими по нескінченній сукупності
ліній або площин. Для наближення розривних функцій існує метод апроксимація
тригонометричними сумами Фур’є, який в точках розриву викликає феномен
Гіббса. Для зменшення його розроблено багато фільтрів, але вони не можуть
повністю подолати феномен. Авторами [4, 5] запропоновано методи
реконструкції розривних ліній за допомогою вейвлетів. Існують роботи, в яких
пропонується використовувати пряме і зворотне перетворення Радона для
УДК 519.6
mailto:yuliapershina78@gmail.com
Юлія Першина
Наближення розривних 3Dфункцій розривними інтерфлетаційними сплайнами ї
68
реконструкції розривів в комп'ютерній томографії. Автори статтей [6, 7] зробили
подальший розвиток цієї методології та інструментів для алгоритмічної
реконструкції розривів у комп'ютерній томографії, запропонували підходи, що
дозволяють відновити не тільки набір розривів, але й значення стрибків за
допомогою перетворення Радона. Ні фільтри, ні згадані методи не дають повного
усунення феномену Гіббса.
Цикл робіт авторів [2, 8], присвячений розв’язанню плоскої задачі
радонівської комп’ютерної томографії, використовуючи неоднорідність
внутрішньої структури двовимірного тіла. Для цього доцільніше
використовувати нові інформаційні оператори (інтерлінація, інтерфлетація),
оскільки ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими
їх слідами на даній системі ліній або площин. Тобто нові інформаційні оператори
є математичним апаратом, природно пов'язаним із задачею відновлення
характеристик об'єктів за відомими їх проекціями. В статті [9] будуються
розривні інтерполяційні сплайни для відновлення розривної внутрішньої
структури тривимірного тіла. Дана стаття є продовження цього циклу робіт.
В цій статті розглядається задача побудови розривного оператора сплайн-
інтерфлетації для відновлення розривної внутрішньої структури 3D тіла.
1. Побудова розривного інтерфлетаційного сплайну
Нехай досліджуване тіло повністю покриває область [0,1] [0,1] [0,1]D , що
поділена прямими 0 1 20 ... 1mx x x x , 0 1 20 ... 1ny y y y ,
0 1 20 ... 1pz z z z на елементарні прямокутні елементи (паралелепіпеди).
Розглянемо елемент 1 1 1( , ) ( , ) ( , ),ijk i i j j k kx x y y z z 1, , 1, , 1,i m j n k p .
В якості вхідних даних будемо використовувати сліди функції вздовж границь
цього елементу:
1
0 0
1 ( , ) lim ( , , ), 1 ( , ) lim ( , , ),
i i
i i
x x x x
y z f x y z y z f x y z
0
2 ( , ) lim ( , , ),
j
j
y y
x z f x y z
1
0
2 ( , ) lim ( , , )
j
j
y y
x z f x y z
, 1
0 0
3 ( , ) lim ( , , ), 3 ( , ) lim ( , , )
k k
k k
z z z z
x y f x y z x y f x y z
.
Означення. Розривним інтерфлетаційним поліноміальним сплайном в
області D відповідним заданому розбиттю на підобласті ijk будемо називати
наступну функцію:
( , , ) ( , , ), ( , , )ijk ijkL x y z L x y z x y z ,
( , , ) 1 ( , , ) 2 ( , , ) 3 ( , , ) 12 ( , , )ijk ijk ijk ijk ijkL x y z L x y z L x y z L x y z L x y z
13 ( , , ) 23 ( , , ) 123 ( , , ), ( , , )ijk ijk ijk ijkL x y z L x y z L x y z x y z D (1)
1 11 ( , , ) 1 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( );ijk i i i iL x y z y z h x y z h x
2 ( , , ), 3 ( , , )ijk ijkL x y z L x y z – визначаються аналогічно;
1, 1 1, 112 ( , , ) 12 ( ) ( ) ( ) 12 ( ) ( ) ( )ijk i j i j i j i jL x y z z h x h y z h x h y
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 67-71
69
, 1 1 , 1 112 ( ) ( ) ( ) 12 ( ) ( ) ( );i j i j i j i jz h x h y z h x h y
13 ( , , ), 23 ( , , )ijk ijkL x y z L x y z – визначаються аналогічно;
1, 1, 1
1, 1, 1 1, , 1 1
123 ( , , ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ijk i j k i j k
i j k i j k i j k i j k
L x y z С h x h y h z
C h x h y h z С h x h y h z
, 1, 1 1 1, , 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j k i j k i j k i j kС h x h y h z C h x h y h z
, 1, 1 1 , , 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j k i j k i j k i j kС h x h y h x С h x h y h z
, , 1 1 1( ) ( ) ( )i j k i j kС h x h y h z
,
де 1
1
1 1
( ) , ( ) ,i i
i i
i i i i
x x x x
h x h x
x x x x
1
1
1 1
0
0
12 ( ) lim ( , , ),
i
j
i j
x x
y y
z f x y z
1
1
1
1, 1, 1
0
0
0
lim ( , , ),
i
j
k
i j k
x x
y y
z z
C f x y z
функції 12, 13, 23 та С знаходяться аналогічно.
Теорема 1. Якщо 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j i j ky z x z x y C
,
1 1 1 1 1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j ij ky z x z x y C
1 1 1 1 1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j i jky z x z x y C
1 1 1 1 1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j i j ky z x z x y C
1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j ijky z x z x y C
1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j ij ky z x z x y C
1 1 1 11 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j i jky z x z x y C
1 ( , ) 2 ( , ) 3 ( , )i j k j i k k i j ijky z x z x y C
то на границі елемента ijk функція ( , , )ijkL x y z задовольняє інтерфлетаційним
властивостям, тобто
1
1 1 1( , , ) 1 ( , ), ,
i
ijk i j j k kx x
L x y z y z y y y z z z
1
1 1 1( , , ) 2 ( , ), ,
j
ijk j i i k ky y
L x y z x z x x x z z z
1
1 1 1( , , ) 3 ( , ), ,
k
ijk k i i l lz z
L x y z x y x x x y y y
Зауваження. Припускається, що розриви функції ( , , )L x y z можуть існувати
лише на границях одного або декількох елементів.
Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то для похибки наближення
такої розривної функції ( , , )f x y z відповідним розривним інтерфлетційним
сплайном ( , , )L x y z буде виконуватись співвідношення:
2 2 2
, ,( , , ) ( , , ) ( 1 2 3 ), ( , , ) ,pls i j kf x y z L x y z O x y z
Юлія Першина
Наближення розривних 3Dфункцій розривними інтерфлетаційними сплайнами ї
70
1 1 11 max( ), 2 max( ), 3 max( )p p l l s s
p l s
x x y y z z
при умові, що (2,2,2)( , , ) ( )ijkf x y z C .
Приклад. Нехай 2, 2, 2m n p , 0 1 20, 0.5, 1,x x x 0 0,y 1 0.5,y
2 1y
, 0 0,z 1 0.5,z 2 1z . Лінії утворюють вісім елементарних прямокутних
елементів , , , 1,2ijk i j k .
Будемо задавати односторонні значення функції ( , , )f x y z в кутових
точках кожного елементу ijk наступною матрицею:
, , 1 , 1 1 , 1
1, 1 1, 1, 1 1, 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
i j k i j k i j k i j k
ijk
i j k i j k i j k i j k
f x y z f x y z f x y z f x y z
С
f x y z f x y z f x y z f x y z
000
1 1 2 2
,
1 2 2 1
С
100
3 5,5 4,5 2
1 2 0,5 1,5
С
, 010
0 1 2 1
0 0 1 1
С
,
001
0 3 6 3
1 0 3 4
С
, 110
0,5 1 2 1,5
4 1,5 2 4,5
С
, 101
1,5 0 1 0,5
1,5 0 3 4,5
С
,
011
1 1,5 3 2
1 0 0,5 2
С
, 111
5,5 6 8 6,5
.
6 5 5 4
С
Розривний сплайн будемо будувати у вигляді:
111
211
121
112
221
212
122
2 2 8 1, ( , , )
10 6 8 8 5 , ( , , )
4 2 2 2 1 , ( , , )
8 6 6 3, ( , , )
( , , )
4 , ( , , )
2 6 3, ( , , )
2 2 , ( , , )
4 2 5, ( , , )
x y xy x y z
x y xy z x y z
xy x y z x y z
xy z y x y z
L x y z
xyz z y x x y z
xy zx y x y z
zy y x x y z
zy xz x y z
222
.
Задамо наближувану функцію у вигляді: ( , , ) , , , 1,2ijkx y z i j k
1 1 1( )( )( )( )( )( 1)
( , , ) ( , , ) ,
6
i i j j k k
ijk
x x x x y y y y z z z
f x y z L x y z
Таким чином, в кожному з восьми паралелепіпедів наближувана функція має
частинну похідну 2,2,2( , , ) 1f x y z , ( , , ) ijkx y z . Тому, згідно з теорією,
похибка наближення такої розривної функції, написаним вище розривним
сплайном, буде задовольняти нерівності:
2 2 2
(2,2,2)
( , , )
max ( , , ) ( , , ) ( , , )
2! 2! 2!ijk
ijk
x y z
i j k
f x y y L x y z f
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 37, 67-71
71
2 2 2
0,5 0,5 0,5 1
1 0.002
2! 2! 2! 512
.
Висновки. Запропонована побудова розривного сплайн-інтерфлетанта для наб-
лиження розривної функції трьох змінних. Функція, що описує тривимірне тіло,
може мати розриви першого роду на лініях чи площинах заданої системи
елементарних прямокутних елементів (паралелепіпедів), що повністю покрива-
ють досліджуване тіло. Причому побудовані розривні інтерфлетаційні сплайни
включають в себе, як частинний випадок, класичні неперервні сплайни. Методи,
що використовують нові інформаційні оператори, можуть бути викорситані в
дистанційних методах дослідження, зокрема, в комп’ютерній томографії.
Література
[1] Литвин О.М., Першина Ю.І. Математична модель відновлення тривимірних об’єктів за їх
томограмами на системі трьох груп перерізаних площин з використанням інтерфлетації
функції. – Доповіді НАНУ, 2005. – С. 67-71
[2] Сергієнко І.В., Задірака В.К,, Литвин О.М., Першина Ю.І. Теорія розривних сплайнів та її
застосування в комп’ютерній томографії: монографія – К. : Наук. думка, 2017. – 314 с.
[3] J. Radon, “Über die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte Längs gewisser
Manningfaltigkeiten”, Ber. Verh. Sächs. Acad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl,1917,vol.69, pp. 262 –
277.
[4] Suresh V., Koteswarao S. Rao, Thiagarajan G., and Das R.P. Denoising and detecting
discontinuities using wavelets. – Indian Journal of Science and Technology, №9(19), 2016. – pp.
1-4.
[5] Bozzini M., and Rossini M. The detection and recovery of discontinuous curves from scattered
data. – Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013, № 240.– pp. 148-162.
[6] Faridani A., Finch D. V., Ritman E. L., Smith K. T. Local tomography. II. – SIAM J. Appl.
Math., 1 997, 57 (4). – pp. 1095–1127.
[7] Louis A. K. Feature Reconstruction in Inverse Problems – Inverse Problems, 2011, 27 (6), Art.
065010.
[8] Pershyna I. I. Restoration of discontinuous functions by discontinuous interlination splines. –
Радіоелектроніка, інформатика, управління. – Запоріжжя, 2022. – № 4. С. 29 – 39.
[9] Першина Ю.І. Наближення розривних функцій трьох змінних розривними
інтерполяційними сплайнами. – Фізико-математичне моделювання та інформаційні
технології. – Вип.33 – С. 99-104.
Approximation of discontinuous 3D functions by discontinuous
interflatation splines
Iuliia Pershyna
The paper develops a method of approximating a three-dimensional body, which is described by a
discontinuous 3D function, using a discontinuous spline interflatation operator. The case is
considered when the studied body is completely covered by a system of elementary rectangular
elements (parallelepipeds). A function describing a three-dimensional body can have
discontinuities of the first kind on the lines or planes of a given system of parallelepipeds. In the
article, a discontinuous spline is constructed - an interfletant, which uses one-sided function traces
along a given partition system as experimental data; a theorem on the approximation error of the
constructed discontinuous spline is presented. This method of approximation can be used in
remote methods of studying objects.
Отримано 26.03.23
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-307 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:10:04Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/ec/982a9b57d0e387fac4e00ca9a4d4abec.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3072025-02-21T17:31:10Z Approximation of discontinuous 3D functions by discontinuous interflatation splines Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами Pershyna, Iuliia інтерфлетація, сплайн, розривна 3D функція, дистанційні методи наближення The paper develops a method of approximating a three-dimensional body, which is described by a discontinuous 3D function, using a discontinuous spline interflatation operator. The case is considered when the studied body is completely covered by a system of elementary rectangular elements (parallelepipeds). A function describing a three-dimensional body can have discontinuities of the first kind on the lines or planes of a given system of parallelepipeds. In the article, a discontinuous spline is constructed - an interfletant, which uses one-sided function traces along a given partition system as experimental data; a theorem on the approximation error of the constructed discontinuous spline is presented. This method of approximation can be used in remote methods of studying objects. У роботі будується метод наближення тримірного тіла, яке описується розривною 3D функцією, використовуючи розривний оператор сплайн-інтерфлетації. Розглядається випадок, коли досліджуване тіло повністю покривається системою елементарних прямокутних елементів (паралелепіпедів). Функція, що описує тривимірне тіло, може мати розриви першого роду на лініях чи площинах заданої системи паралелепіпедів. В статті будується розривний сплайн – інтерфлетант, який в якості експериментальних даних використовує односторонні сліди функції вздовж заданої системи розбиття; наводиться теорема про похибку наближення побудованого розривного сплайна. Такий метод наближення може бути використаних в дистанційних методах дослідження об’єктів. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-27 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/307 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 67-71 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 67-71 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/307/275 Авторське право (c) 2023 Юлія Першина (Автор) |
| spellingShingle | інтерфлетація сплайн розривна 3D функція дистанційні методи наближення Pershyna, Iuliia Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title | Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title_alt | Approximation of discontinuous 3D functions by discontinuous interflatation splines |
| title_full | Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title_fullStr | Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title_full_unstemmed | Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title_short | Наближення розривних 3D функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| title_sort | наближення розривних 3d функцій розривними інтерфлетаційними сплайнами |
| topic | інтерфлетація сплайн розривна 3D функція дистанційні методи наближення |
| topic_facet | інтерфлетація сплайн розривна 3D функція дистанційні методи наближення |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/307 |
| work_keys_str_mv | AT pershynaiuliia approximationofdiscontinuous3dfunctionsbydiscontinuousinterflatationsplines AT pershynaiuliia nabližennârozrivnih3dfunkcíjrozrivnimiínterfletacíjnimisplajnami |