Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів

A Hermitian spline with an exponential-power link of the form W2,2(x)&nbsp;with five&nbsp;parameters is constructed: expressions for calculating its parameters are derived and&nbsp;the conditions for its existence are established. The formula for calculating the error of&...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Pizyur, Yaropolk, Karas, Yurii
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Schlagworte:	апроксимація функцій ермітові сплайни балансне наближення похибка апроксимації ядро похибки апроксимації
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/309
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479680235339776
author	Pizyur, Yaropolk Karas, Yurii
author_facet	Pizyur, Yaropolk Karas, Yurii
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Yaropolk Pizyur", "institution": "канд. фіз.-мат. наук, доцент, Національний університет «Львівська політехніка», 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12" }, { "author": "Yurii Karas", "institution": "магістрант, Національний університет «Львівська політехніка», 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12" } ]
author_sort	Pizyur, Yaropolk
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2025-02-21T17:31:10Z
description	A Hermitian spline with an exponential-power link of the form W2,2(x)&nbsp;with five&nbsp;parameters is constructed: expressions for calculating its parameters are derived and&nbsp;the conditions for its existence are established. The formula for calculating the error of&nbsp;the balanced approximation of functions by Hermitian splines with this link and the&nbsp;expression for the kernel of the approximation error are given. The results demonstrate better accuracy of approximation by Hermitian splines with an exponential-power link&nbsp;than with a polynomial link with the same
first_indexed	2026-06-09T01:10:07Z
format	Article
fulltext	77 doi.org/10.15407/fmmit2023.37.077 Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів Ярополк Пізюр1, Юрій Карась2 1канд. фіз.-мат. наук, доцент, Національний університет «Львівська політехніка», 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, e-mail: yaropolk.v.piziur@lpnu.ua 2магістрант, Національний університет «Львівська політехніка», 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, e-mail: yurii.karas.mpmpm.2022@lpnu.ua Побудовано ермітовий сплайн з експоненціально-степеневою ланкою виду )(2,2 xW з п’ятьма параметрами: виведено вирази для обчислення його параметрів і встановлено умови його існування. Наведено формулу для обчислення похибки балансного наближення функцій ермітовими сплайнами з цією ланкою і вираз для ядра похибки наближення. Результати демонструють кращу точність наближення ермітовими сплайнами з експоненціально-степеневою ланкою ніж з многочленною ланкою з тією ж кількістю параметрів. Ключові слова: апроксимація функцій, ермітові сплайни, балансне наближення, похибка апроксимації, ядро похибки апроксимації. Вступ. Для апроксимації функціональних залежностей застосовують метод найменших квадратів, мінімаксні (чебишовські) наближення, наближення сплайнами різних видів тощо. Ряд задач крім наближення функції вимагає також наближення похідних функції. Для цього використовують ермітові сплайни [1,2]. Для покращення точності наближення функцій ланками сплайнів можуть бути не тільки многочлени, а й нелінійні за параметрами вирази [3-8], наприклад експоненціально-степеневі вирази виду,               l j j j xbk i i ilk xxaaxW 1 1 1 0, exp)( ,     Rba l ji k ii   10 , . Важливою характеристикою сплайнів, як апарату для наближення функцій є похибка апроксимації. Формули для похибок наближення функцій многочленними ермітовими сплайнами отримано в роботах [9, 10]. За аналогією до чебишовських наближень нелінійниими виразами [11] у роботах [4, 12] доведено теореми, які дозволяють зводити наближення ермітовими сплайнами з нелінійними за параметрами виразами в ланках до многочленних ермітових сплайнів. Як наслідок із цих теорем, для ермітових сплайнів з нелінійними ланками, отримано формули для обчислення похибок балансного наближення УДК 519.65 mailto:yaropolk.v.piziur@lpnu.ua mailto:yurii.karas.mpmpm.2022@lpnu.ua Ярополк Пізюр 1 , Юрій Карась Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками … 78 функцій, тобто такого, при якому максимальні значення похибок на кожному інтервалі є одинакові [4, 11]. 1. Постановка задачі На множині   rxxxXxX 10: задано значення функції )(xf та її похідних першого порядку   ,)( 1Cxf . Потрібно побудувати ермітовий сплайн з експоненціально-степеневою ланкою з п’ятьма параметрами виду   xbb xxaxaaxW 212 2102,2 exp)(   , (1) де 2,0, iai і 2,1, jb j невідомі параметри ланки сплайна. Метою статті є побудова ермітових сплайнів з експоненціально- степеневою ланкою з п’ятьма параметрами виду (2) для наближення функцій і їхніх похідних першого порядку а також дослідження точності наближення функцій цими ермітовими сплайнами. 2. Побудова ланок ермітових сплайнів За означенням [4] ермітові сплайни з непарною кількістю параметрів описуються системою рівнянь                                    ,0ln12exp 0exp 0exp 0ln12exp 0exp 2221 2 2221 1 2 2 222102 2 2 222102 1 2 121101 0021 2 0201 1 0 2 020100 0 2 020100 221 221 121 021 021 xxbbxaxaxxaxaaf xxaxaaf xxaxaaf xxbbxaxaxxaxaaf xxaxaaf xbb xbb xbb xbb xbb (2) де  210 xxx ,   2201 xxx  , )()()( i jj i xff  , 2,0i , 1,0j . З цієї системи визначаємо невідомі параметри 2,0, iai і 2,1, jb j . В процесі перетворень систему (2) зводимо до системи двох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно двох невідомих 1a і 2a 1221 1221 2   a , 1 211 1    b a , (3) де           00 01 01 01 01 0001 ln1 ln ln ln ln 01 xx p s xx xx p s xx ff ffx xx  , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 77-81 79           22 12 12 12 12 2222 ln1 ln ln ln ln 12 xx p s xx xx p s xx ff ffx xx  ,          000 01 01 01 01 1 ln1 lnln ln 01 xxx p q xx xx xx xx p q xx    ,          222 12 12 12 12 2 ln1 lnln ln 12 xxx p q xx xx xx xx p q xx    , (4)          2 000 01 2 0 2 1 01 01 1 2ln1 lnln ln 01 xxx p r xx xx xx xx p r xx    ,          2 222 12 2 1 2 2 12 12 2 2ln1 lnln ln 12 xxx p r xx xx xx xx p r xx    ,        01 01 12 12 ln ln ln ln 0112 xx xx xx xx p xxxx  ,    01 01 12 12 lnln xx xx xx xx q     ,    01 2 0 2 1 12 2 1 2 2 lnln xx xx xx xx r     ,        01 01 12 12 ln ln ln ln xx ff xx ff s  . Далі обчислюємо наступні параметри ланки ермітового сплайна за формулами p r a p q a p s b 212  ,          01 2 0 2 1201101201 1 ln lnln 01 xx xxaxxaxxbff b xx   , (5)    xbb xxaxafa 212 2100 exp   . Iз формул для обчислення коефіцієнтів (3), (4), (5) слідує, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (1) є виконання умови 0)( xf 0 x . 3. Похибка наближення функцій ермітовими сплайнами Відомо [4], що похибка  балансного наближення, тобто такого при якому максимальні похибки на кожному відрізку є одинакові, нелінійними ермітовими сплайнами з непарною кількістю параметрів у ланці має вигляд Ярополк Пізюр 1 , Юрій Карась Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками … 80                                    r ab Odx xw Ff rm M m b a m m 1 )( , !1 1 1 1 1 , (6) де r  кількість ланок (відрізків) ермітового сплайна на  , , )(xw  вагова функція, ),( Ff  ядро похибки наближення,     1,0 1 2 1 1 C km tttM         , k  дефект ермітового сплайна. Для ермітового сплайна з ланкою (1) кількість параметрів 51m , дефект сплайна 3k , а значення 210*8944271,0 M . Щоб скористатись формулою (6), потрібно мати вираз для ядра похибки ),( Ff наближення функції сплайном з ланкою (1). Відомо, що побудову наближень ермітовими сплайнами з нелінійними за параметрами виразами в ланках, як і для мінімаксних наближень, можна звести до наближення ермітовими сплайнами з многочленними ланками [11]. Використовуючи теорему із [4] і властивості ядер похибок, для експоненціально-степеневого виразу )(, xW lk отримуємо вираз для ядра похибки        1 1 , )(ln )(,    lk kkl lk dxx xfxd xfWf , а для експоненціально-степеневого виразу )(2,2 xW (1) ядро похибки має вигляд                 . )( )( 24 )( )()( 30 )( )()( 60 )( )()( 10 )( )()( 20 )( )()( 5)( )( )( 6 )( )( 3 )( )()( 12 )( )()( 4)( 6 )( )( 12 )( )()( 18)(6 1 , 4 5 2 2 3 3 2 2)4( )5( 3 42 2 2 )4( 222,2 xf xf xf xfxf xf xfxf xf xfxf xf xfxf xf xfxf xf xf xf xf xf xf xfxf xf xfxf xf x xf xf xf xfxf xf x Wf                                         При апроксимації функції 21 1 x на відрізку [0.1,10.0] ермітовим сплайном з ланкою (1) отримано похибку наближення 0.126427, а похибка наближення ермітовим сплайном з ланкою у вигляді многочлена четвертого степеня дорівнює 0.379258. При апроксимації функції )(xtg на відрізку [0.1,  /3] цими ж ермітовими сплайнами отримано похибки 0.854547E-2 і 0.149716E-1 відповідно. Висновки. У статті встановлено умови існування наближення ермітовим сплайном з ланкою у вигляді експоненціально-степеневого виразу з п’ятьма параметрами. Для побудови ланки ермітового сплайна потрібно спочатку ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 77-81 81 обчислити значення параметрів 2a і 1a за формулами (3), далі параметри 2b , 1b і 0a за формулами (5). Оскільки похибка наближення функцій ермітовими сплайнами з ланкою (1) в деяких випадках є меншою ніж у многочленного ермітового сплайна, то їх доцільно застосовувати для наближення функцій. Перспективою досліджень у даному напрямку є побудова ермітових сплайнів з більшою кількістю параметрів, а також з іншими нелінійними виразами в ланках. Література [1] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.– М.: Наука 1980.–352 с. [2] Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.- М.: Наука, 1984.- 352 с. [3] Пізюр Я.В. Ермітові сплайни з ланками у вигляді логарифма від многочлена з парною кількістю параметрів // Вісник ДУ ”Львівська політехніка”. Прикладна математика, 1998 р., № 337, Том 2.- С. 374-377. [4] Пізюр Я.В. Наближення функцій ермітовими сплайнами з експоненціальними ланками // Вісник НУ «Львівська політехніка». «Фізико-математичні науки», -2007.- №566.- С. 68-75. [5] Пізюр Я. В., Гнатів Б. В. Ермітові сплайни з ланками у вигляді суми многочлена та експоненти з непарною кількістю параметрів // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології: науковий збірник. – 2021. – № 33. – С. 110–114. [6] Markovych B., Medynskyi I., Pizyur Ya. Modeling of functional dependences by hermitian splines with exponential-power expression in links // Mathematical Modeling. – 2022. – Vol. 6, No. 1. – P. 3–5. [7] Malachivskyy P. S., Pizyur Y. V., Andrunyk V. Chebyshev approximation by the sum of the polynomial and logarithmic expression with hermite interpolation // Cybernetics and Systems Analysis. – 2018. – Vol. 54, No. 5. – P. 765–770. [8] Malachivskyy P., Pizyur Y. Chebyshev approximation of the steel magnetization characteristic by the sum of a linear expression and an arctangent function // Mathematical Modeling and Computing. – 2019. – Vol. 6, № 1. – P. 77–84. [9] Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении функций локальными эрмитовыми сплайнами // Укр. мат. журн.- 1980.- 32, № 6.- С. 824-830. [10] C. de Boor. A Practical Guide to Splines. – Springer-Verlag, 1978. [11] Попов Б.А. Равномерное приближение сплайнами. – Киев: Наук. думка, 1989.- 272 с. [12] Пизюр Я.В., Попов Б.А. Эрмитовые сплайны с экспоненциальными и логарифмическими звеньями // Отбор и обработка информации.– 1989.– Вып. 3.– С. 26-31. Hermitian splines with exponential power links with an odd number of parameters Yaropolk Pizyur, Yurii Karas A Hermitian spline with an exponential-power link of the form )(2,2 xW with five parameters is constructed: expressions for calculating its parameters are derived and the conditions for its existence are established. The formula for calculating the error of the balanced approximation of functions by Hermitian splines with this link and the expression for the kernel of the approximation error are given. The results demonstrate better accuracy of approximation by Hermitian splines with an exponential-power link than with a polynomial link with the same Отримано 16.03.23 https://is.lpnu.ua/ScienceLP/Research/ArticlesEdit.aspx?id=82593 https://is.lpnu.ua/ScienceLP/Research/ArticlesEdit.aspx?id=82593 https://is.lpnu.ua/ScienceLP/Research/ArticlesEdit.aspx?id=96517 https://is.lpnu.ua/ScienceLP/Research/ArticlesEdit.aspx?id=96517 https://192.168.253.4/Research/ArticlesEdit.aspx?id=50483 https://192.168.253.4/Research/ArticlesEdit.aspx?id=50483 https://192.168.253.4/Research/ArticlesEdit.aspx?id=57863 https://192.168.253.4/Research/ArticlesEdit.aspx?id=57863
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-309
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:10:07Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/28/60e1677d9e1e3f8aeee7229d08375f28.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3092025-02-21T17:31:10Z Hermitian splines with exponential power links with an odd number of parameters Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів Pizyur, Yaropolk Karas, Yurii апроксимація функцій, ермітові сплайни, балансне наближення, похибка апроксимації, ядро похибки апроксимації A Hermitian spline with an exponential-power link of the form W2,2(x)&nbsp;with five&nbsp;parameters is constructed: expressions for calculating its parameters are derived and&nbsp;the conditions for its existence are established. The formula for calculating the error of&nbsp;the balanced approximation of functions by Hermitian splines with this link and the&nbsp;expression for the kernel of the approximation error are given. The results demonstrate better accuracy of approximation by Hermitian splines with an exponential-power link&nbsp;than with a polynomial link with the same Побудовано ермітовий сплайн з експоненціально-степеневою ланкою виду W2,2(x) з&nbsp;п’ятьма параметрами: виведено вирази для обчислення його параметрів і встановлено&nbsp;умови його існування. Наведено формулу для обчислення похибки балансного наближення&nbsp;функцій ермітовими сплайнами з цією ланкою і вираз для ядра похибки наближення.&nbsp;Результати демонструють кращу точність наближення ермітовими сплайнами з&nbsp;експоненціально-степеневою ланкою ніж з многочленною ланкою з тією ж кількістю параметрів. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-27 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/309 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 77-81 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 77-81 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/309/277 Авторське право (c) 2023 Ярополк Пізюр, Юрій Карась (Автор)
spellingShingle	апроксимація функцій ермітові сплайни балансне наближення похибка апроксимації ядро похибки апроксимації Pizyur, Yaropolk Karas, Yurii Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title	Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title_alt	Hermitian splines with exponential power links with an odd number of parameters
title_full	Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title_fullStr	Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title_full_unstemmed	Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title_short	Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
title_sort	ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів
topic	апроксимація функцій ермітові сплайни балансне наближення похибка апроксимації ядро похибки апроксимації
topic_facet	апроксимація функцій ермітові сплайни балансне наближення похибка апроксимації ядро похибки апроксимації
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/309
work_keys_str_mv	AT pizyuryaropolk hermitiansplineswithexponentialpowerlinkswithanoddnumberofparameters AT karasyurii hermitiansplineswithexponentialpowerlinkswithanoddnumberofparameters AT pizyuryaropolk ermítovísplajnizeksponencíalʹnostepenevimilankamizneparnoûkílʹkístûparametrív AT karasyurii ermítovísplajnizeksponencíalʹnostepenevimilankamizneparnoûkílʹkístûparametrív

Ермітові сплайни з експоненціально-степеневими ланками з непарною кількістю параметрів

Institution

Ähnliche Einträge