Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду

In this paper, we study a regression model whose function has the form&nbsp; f(x)=ax+b,&nbsp;where a and&nbsp;&nbsp;b - unknown parameters, and the covariance matrix of deviations is a&nbsp;symmetric Toeplitz matrix of the general form. Approximate values (obs...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
1. Verfasser:	Savkina, Marta
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Schlagworte:	регресійна модель метод найменших квадратів оцінка Ейткена
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/314
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479685709955072
author	Savkina, Marta
author_facet	Savkina, Marta
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Marta Savkina", "institution": "к. ф.-м. н., Інститут математики НАН України, вул. Терещенківська, 3, 01024, Київ-4" } ]
author_sort	Savkina, Marta
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2025-02-21T17:31:10Z
description	In this paper, we study a regression model whose function has the form&nbsp; f(x)=ax+b,&nbsp;where a and&nbsp;&nbsp;b - unknown parameters, and the covariance matrix of deviations is a&nbsp;symmetric Toeplitz matrix of the general form. Approximate values (observations) of the function&nbsp;f(x) are recorded at equidistant points of the segment [0;1]. The paper presents a theorem&nbsp;that gives a necessary and sufficient condition for the elements of the covariance matrix of&nbsp;deviations of the specified form for the coincidence of the MNK estimation and the Aitken&nbsp;estimation of the parameter a of such model.
first_indexed	2026-06-09T01:10:12Z
format	Article
fulltext	103 doi.org/10.15407/fmmit2023.37.103 Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду Марта Савкіна к. ф.-м. н., Інститут математики НАН України, вул. Терещенківська, 3, 01024, м. Київ, e-mail: marta@imath.kiev.ua В роботі вивчається регресійна модель, функція якої має вигляд ,)( baxxf  де a та b – невідомі параметри, а коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду. Наближені значення (спостереження) функції )(xf реєструються у рівновіддалених точках відрізку .]1;0[ В роботі наведено теорему, яка дає необхідну і достатню умову на елементи коваріаційної матриці відхилень зазначеного вигляду для збігу оцінки МНК та оцінки Ейткена параметра a такої моделі. Ключові слова: регресійна модель; метод найменших квадратів; оцінка Ейткена Вступ. В класичній perpeciї передбачається, що коваріаційна матриця відхилень в моделі лінійної perpeciї має вигляд ,2 I де 2 дисперсія відхилень, I одинична матриця. Узагальненням цього припущення є коваріаційна матриця ви- гляду ,2 де  додатноозначена матриця. Якщо відхилення мають різну ди- сперсію та не корелюють одне з іншим, то матриця  буде діагональною, але не одиничною; якщо відхилення корельовані, то матриця  не буде діагональною. В такому загальному випадку ефективною оцінкою невідомих параметрів моделі є оцінка Ейткена [1], яка в своїй формулі використовує матрицю . В працях [2, 3, 4] вивчається лінійна регресійна модель з двома невідомими параметрами; в статті [2] вона вивчається у випадку гетероскедастичних незале- жних відхилень. Знайдено умови на дисперсії відхилень, при яких оцінка Ейтке- на збігається з оцінкою МНК окремо для кожного параметру моделі. При цих умовах оцінки Ейткена та МНК параметра іншого параметру не будуть збігатися. В статтях [3, 4] така модель вивчається, коли коваріаційна матриця відхи- лень є симетричною матрицею Тепліца, певна кількість побічних діагоналей якої – нульові. Для непарної кількості точок спостереження знайдено необхідну та достатню умову на елементи коваріаційної матриці, яка забезпечує рівність оцінки МНК та оцінки Ейткена одного з параметрів даної моделі. УДК 517.5 mailto:marta@imath.kiev.ua Марта Савкіна Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії… 104 1.Оцінки МНК та Ейткена параметрів лінійної регресійної моделі Розглянемо таку модель лінійної регресії ,,...,1,0, nibaxy iii   (1) де n ...,,, 10 випадкові величини з 0iE та коваріаційною матрицею ,2 d n парне , d додатно визначена матриця, що має вигляд , ...... ...... ............... ...... ...... ...... ............... ...... ...... 121121 1321121 1211231 121121 1321121 1211231 121121                                            kkk kkk kkkk kkkk kkkk kkk kkk d cccddddd ccccdddd ccccccdd dccccccd ddcccccc ddddcccc dddddccc . 2 ,0 n k  В роботі [4] доведено, що для будь-яких kk dddcc ,...,,,,..., 111  існує ,0 яке залежить від таке, що для будь-якого   матриця d буде додатно визначеною. В моделі (1) a та b невідомі параметри, які підлягають оцінюванню. Згідно з [1] оцінку Ейткена параметрів a та b можна знайти за формулою   , ˆ ˆ 111 yXXX b a dd AIT AIT        де   .,...,,, 111111 1 1 ... 21 0 00 nyyyyn n nnX             Якщо в формулі (2) покласти ,Id  де I одинична матриця, будемо мати оцінку МНК, тобто ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 103-107 105   . ˆ ˆ 1 yXXX b a MNK MNK         2. Необхідна та достатня умова рівності оцінок МНК та Ейткена моделі (1) з коваріаційною матрицею d Теорема. Оцінка МНК та оцінка Ейткена параметра a моделі (1) збігаються тоді і тільки тоді, коли в матриці d елементи  та kdddd ,...,,, 21 будь-які, а , 11 211 d k k dd k k c     Розглянемо приклади таких матриць. 1. ;,...,2,1,0,1 kidd i  в цьому випадку Якщо, наприклад, ,2k то при 2 3  ; 3/2100 3/23/210 13/23/21 013/23/2 0013/2                       d якщо, ,3k то при 2 . 16/94/31000 16/916/94/3100 4/316/916/94/310 14/316/916/94/31 014/316/916/94/3 0014/316/916/9 00014/316/9                               d .1,...,2,1, 1         kj k k c j j Марта Савкіна Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії… 106 2. , 2 1 14 3 ,...,2,1, 2 1 ,1 1                   k k ckidd i i .1,...,3,2, 2 1 )1(2 2 1)1(2 3                 kj k k k k k k c jj j Якщо, наприклад, ,2k то при 2 3  ; 112/14/1 1112/1 1111 2/1111 4/12/111                       d якщо ,3k то при 2 ; 64/6116/1712/14/18/1 64/6164/6116/1712/14/1 16/1764/6164/6116/1712/1 116/1764/6164/6116/171 2/1116/1764/6164/6116/17 4/12/1116/1764/6164/61 8/14/12/1116/1764/61                               d якщо ,4k то при 2 . 899.003.11.112/14/18/116/1 899.0899.003.11.112/14/18/1 03.1899.0899.003.11.112/14/1 1.103.1899.0899.003.11.112/1 11.103.1899.0899.003.11.11 2/111.103.1899.0899.003.11.1 4/12/111.103.1899.0899.003.1 8/14/12/111.103.1899.0899.0 16/18/14/12/111.103.1899.0                                       d ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 103-107 107 3.    1,...,2,1,1,...,2,1,1,1  kickidd ii Для будь-якого 2k та 1 . ...111 ....... 1...11 1...11 1...11                      d Висновки. Таким чином, в роботі сформульовано теорему, яка дає необхідну і достатню умову збігу оцінок МНК та Ейткена параметра a лінійної моделі регресії. Умова накладається на елементи коваріаційної матриці відхилень, яка є додатноозначеною симетричною матрицею Тепліца загального вигляду. В роботі також показано застосування цієї теореми. Література [1] Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — Москва: Финансы и статистика, 1981. – 304 с. [2] Савкіна М.Ю. Умови збігу оцінок МНК та Ейткена параметрів моделі лінійної регресії // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2018. — № 3(129). -- С.36-44. [3] Савкіна М.Ю. Рівність оцінок МНК та Ейткена старшого коефіцієнту лінійної моделі регресії у випадку корельованих відхилень // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2021. — № 2(136). -- С.64-71. [4] Савкіна М.Ю. Необхідна умова збігу оцінок МНК та Ейткена старшого коефіцієнту лінійної моделі регресії у випадку корельованих відхилень // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2022. — № 2. — С.116-125. Equality of MNK and Aitken estimations of the parameter of the linear regression model, when the covariance matrix of the deviations is a symmetric Toeplitz matrix of the general form Marta Savkina In this paper, we study a regression model whose function has the form ,)( baxxf  where a and b unknown parameters, and the covariance matrix of deviations is a symmetric Toeplitz matrix of the general form. Approximate values (observations) of the function )(xf are recorded at equidistant points of the segment .]1;0[ The paper presents a theorem that gives a necessary and sufficient condition for the elements of the covariance matrix of deviations of the specified form for the coincidence of the MNK estimation and the Aitken estimation of the parameter a of such model. Отримано 15.03.23
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-314
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:10:12Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/c7/3f3fd1b67e0095bc698c293b6704e7c7.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3142025-02-21T17:31:10Z Equality of MNK and Aitken estimations of the parameter of the linear regression model, when the covariance matrix of the deviations is a symmetric Toeplitz matrix of the general form Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду Savkina, Marta регресійна модель; метод найменших квадратів; оцінка Ейткена In this paper, we study a regression model whose function has the form&nbsp; f(x)=ax+b,&nbsp;where a and&nbsp;&nbsp;b - unknown parameters, and the covariance matrix of deviations is a&nbsp;symmetric Toeplitz matrix of the general form. Approximate values (observations) of the function&nbsp;f(x) are recorded at equidistant points of the segment [0;1]. The paper presents a theorem&nbsp;that gives a necessary and sufficient condition for the elements of the covariance matrix of&nbsp;deviations of the specified form for the coincidence of the MNK estimation and the Aitken&nbsp;estimation of the parameter a of such model. В роботі вивчається регресійна модель, функція якої має вигляд f(x)=ax+b, де a&nbsp;та b невідомі параметри, а коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею&nbsp;Тепліца загального вигляду. Наближені значення (спостереження) функції f(x)&nbsp;реєструються у рівновіддалених точках відрізку [0;1].&nbsp; В роботі наведено теорему, яка&nbsp;дає необхідну і достатню умову на елементи коваріаційної матриці відхилень зазначеного&nbsp;вигляду для збігу оцінки МНК та оцінки Ейткена параметра a такої моделі. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-28 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/314 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 103-107 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 103-107 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/314/282 Авторське право (c) 2023 Марта Савкіна (Автор)
spellingShingle	регресійна модель метод найменших квадратів оцінка Ейткена Savkina, Marta Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title	Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title_alt	Equality of MNK and Aitken estimations of the parameter of the linear regression model, when the covariance matrix of the deviations is a symmetric Toeplitz matrix of the general form
title_full	Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title_fullStr	Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title_full_unstemmed	Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title_short	Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду
title_sort	рівність оцінок мнк та ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею тепліца загального вигляду
topic	регресійна модель метод найменших квадратів оцінка Ейткена
topic_facet	регресійна модель метод найменших квадратів оцінка Ейткена
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/314
work_keys_str_mv	AT savkinamarta equalityofmnkandaitkenestimationsoftheparameterofthelinearregressionmodelwhenthecovariancematrixofthedeviationsisasymmetrictoeplitzmatrixofthegeneralform AT savkinamarta rívnístʹocínokmnktaejtkenaparametralíníjnoímodelíregresííkolikovaríacíjnamatricâvídhilenʹêsimetričnoûmatriceûteplícazagalʹnogoviglâdu

Рівність оцінок МНК та Ейткена параметра лінійної моделі регресії, коли коваріаційна матриця відхилень є симетричною матрицею Тепліца загального вигляду

Institution

Ähnliche Einträge