Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі

Subdiffusion equation in a bounded domain of a multidimensional Euclidian space is considered.&nbsp;The equation contains a fractional Riemann-Liouville time derivative, with order that depends on&nbsp;space, and is under the Laplace operator, that corresponds to the equation, obtain...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2023
Автор:	Tokar, Kostiantyn
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Теми:	рівняння дробових порядків субдифузія скінченно- різницеві схеми L1 метод
Онлайн доступ:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/320
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479693829079040
author	Tokar, Kostiantyn
author_facet	Tokar, Kostiantyn
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Kostiantyn Tokar", "institution": "аспірант, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 64, 01601, Київ" } ]
author_sort	Tokar, Kostiantyn
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2025-02-21T17:31:10Z
description	Subdiffusion equation in a bounded domain of a multidimensional Euclidian space is considered.&nbsp;The equation contains a fractional Riemann-Liouville time derivative, with order that depends on&nbsp;space, and is under the Laplace operator, that corresponds to the equation, obtained from the&nbsp;process of continuous-time random walk. A transformation of this equation to a subdiffusion&nbsp;equation with homogeneous initial condition, that contains a fractional Caputo derivative, is&nbsp;suggested. Since for each fixed time moment a subdiffusion equation turns into a well-studied&nbsp;elliptic partial differential equation, finite difference time approximation of transformed&nbsp;subdiffusion equation is built. Theorem about stability and convergence of the half-discretized&nbsp;(discretized in time, continuous in space) scheme in quadratic norm is given for a sufficiently&nbsp;smooth solution.
first_indexed	2026-06-09T01:10:20Z
format	Article
fulltext	133 doi.org/10.15407/fmmit2023.37.133 Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі Костянтин Токар аспірант, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 64, 01601, Київ, e-mail: tokar.kostya@gmail.com Розглядається рівняння субдифузії в обмеженій області багатовимірного евклідового простору. Рівняння містить дробову похідну Рімана-Ліувілля за часом, порядок якої залежить від просторової змінної, та яка знаходиться під оператором Лапласа, що відповідає рівнянню, виведеного з процесу випадкових блукань з неперервним часом. Запропоновано зведення цього рівняння до рівняння субдифузії з однорідною початковою умовою, що містить дробову похідну Капуто. Оскільки в кожен фіксований момент часу рівняння субдифузії являє собою добре досліджене диференціальне рівняння еліптичного типу, будується скінченно-різницева апроксимація за часом перетвореного рівняння субдифузії. Наводиться твердження про стійкість та збіжність напівдискретизованої (дискретної за часом, неперервної за простором) схеми в квадратичній нормі для достатньо гладкого розв’язку. Ключові слова: рівняння дробових порядків; субдифузія; скінченно- різницеві схеми; L1 метод Вступ. Субдифузія — це клас випадкових блукань з неперервним часом (ВБНЧ), що характеризується сублінійним зростанням середньоквадратичного відхилення. Така поведінка спостерігається в процесі переносу носіїв заряду в аморфних напівпровідниках, процесі переносу забрудників у ґрунтових водах, міжклітинній дифузії [1] та дифузії в клітинних мембранах [2]. Один з механізмів, що може призводити до субдифузії, є степеневий розподіл часу очікування стрибка (так званий розподіл з довгим хвостом). Такий розподіл відповідає середовищу з пастками або іншими перешкодами. На макроскопічному рівні, коли розподіл зміщення при стрибку має розподіл Гаусса, а розподіл часу очікування стрибка асимптотично спадає за степеневим законом з показником  1,0 , то концентрація дифундуючої речовини описується [3, 4] дробовим диференціальним рівнянням з похідною за часом Рімана-Ліувілля порядку 1 . Chechkin та ін. [5] розглянули випадкові блукання з неперервним часом, в яких показних дифузії  залежить від простору. Вони вивели рівняння субдифузії змінного порядку УДК 517.96:519.6 Костянтин Токар Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі 134     uDxK xt u x        1 02 2 , (1) де   0xK — коефіцієнт дифузії,   10  x ,  xD 1 0 — дробова похідна Рімана-Ліувілля за часом порядку  x1 з нижньою межею 0 , що визначається формулою              t ds st sxu t txuD 0 0 . , 1 1 ,    Чисельні методи для диференціальних рівнянь дробового порядку широко досліджувались впродовж останніх десятиліть [6]. В [7] застосовується складена квадратурна формула для апроксимації похідної Рімана-Ліувілля (L1 метод), на основі якої була отримана збіжність порядку 2 різницевої схеми для звичайного диференціального рівняння сталого дробового порядку. Чисельні методи для дробових диференціальних рівнянь змінного порядку були досліджені, наприклад, в [8,9,10], але ці рівняння не еквівалентні рівнянню (1): там розглядаються рівняння, в якому змінено порядок застосування дробової похідної за часом та другої похідної за простором. Тому цікавим питанням є побудова чисельних методів для рівняння (1). 1. Постановка початково-крайової задачі для рівняння субдифузії Розглянемо рівняння субдифузії на обмеженій області NR з гладкою межею  на часовому проміжку  TI ,0 зі змінним порядком     Cx       txfuDxK t u x ,1 0      (2) з початковою та граничною умовами  , 0 xUu t   ,0  u (3) де   1 0HU . В цьому рівнянні дробова похідна знаходиться під оператором Лапласа, що значно ускладнює аналіз. Тому введемо нову функцію       xUuDxKv x    1 0 , звідки      xUvI xK u x    1 0 1 , де  xI 1 0 — дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля             t ds st sxv txvI 0 10 . ,1 ,    Оскільки    ,0 0  t xUu то          xUuDxUuD x C x    1 0 1 0 , де  x C D 1 0 — дробова похідна Капуто ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 133-137 135           ., 1 , 1 1 , 1 0 0 0 tx t u Ids st sx t u txuD t C                    Припустимо, що    1 0,HILtu p , де   x p x    min 1 . За цих умов   xUuDC  0 дорівнює нулю при 0t , тому маємо початково-крайову задачу відносно функції  txvv ,      txFvvD xK x C , 1 0   (4) ,0 0  t v ,0  v (5) де                             x x tx xUxK fxUDxKfF     1 1 0 . Розв’язок задачі (4)-(5) існує та єдиний за умов   2, CK ,   21min   x x  ,   2,1  WF , де   2,1  W — це спряжений простір до простору            IHLHILIW 2 2 1 02 2,1 ,,     причому розв’язок   2,1  Wv [11]. Для апроксимації дробової похідної використаємо L1 метод. Визначимо сітку  mjjt j ,0\|   , mT , тоді, для функції  tgg  та  1,0 , маємо        j x C j k kjkjjC gDtgtgD             0 0 0 (6) з вагами                      jk jk k jj kkkkj 1,1 0 ,1 ,121 ,1 2 1 11 111     . Відомо [7], що апроксимація (6) має порядок збіжності 2 для  ICg 2 . Застосуємо апроксимацію (6) до рівняння (4)-(5) та отримаємо напівдискретизоване (дискретизоване за часом, неперервне за простором) рівняння      xFyyD xK jj j x C         0 1 (7) Костянтин Токар Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі 136 ,00 y .0  y (8) Отримали напівдискретизовану початково-крайову задачу (7)-(8). Для кожного фіксованого кроку j за відомих   1,0,  jkxyy kk рівняння (7) зводиться до еліптичного диференціального рівняння, чисельні методи для якого добре досліджені. Тому основну цікавість являє саме апроксимація за часом. Розв’язок (2)-(3) можна отримати чисельним інтегруванням розв’язку (7)- (8) 2. Стійкість та збіжність напівдискретизованої схеми Визначимо скалярний добуток та норму векторів mjzy jj ,0,,  , що є дискретним аналогом скалярного добутку та норми в  IL2 на сітці  mjt j ,0\|    ,, 1    m j jj zyzy  . 1 2   m j jyy   Теорема. Нехай існує єдиний розв’язок задачі (4)-(5)    1 0 2 ,HICv , а також    2,LICF . Тоді для розв’язку y напівдискретизованої схеми (7)-(8) має місце нерівність      22 LL Fcy  , де стала c залежить лише від простору  . Нехай також       mjxytxvxe jjj ,0,,  — похибка розв’язку схеми (7)-(8). Тоді має місце асимптотика                 22 2 L x L Oe    . Доведення цієї теореми спирається на метод енергетичних нерівностей, а також на той факт, що скалярний добуток           yyD x C ,0 являє собою невід’ємно визначену квадратичну форму. Висновки. Була побудована дискретизована за часом схема для зворотного рівняння субдифузії змінного порядку. Доведено її стійкість та збіжність в часовій дискретизації простору  IL2 для досить гладких розв’язків. Проте, враховуючи результат теореми про існування та єдиність розв’язку рівняння субдифузії змінного порядку [11], можна зробити висновок, що оцінка розв’язку в  IL2 дає його неповну характеристику. Перспективним питанням для ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип. 37, 133-137 137 подальших досліджень є посилення твердження теореми про стійкість та збіжність. Література [1] Sokolov, I. M. (2012). Models of anomalous diffusion in crowded environments. Soft Matter, 8(35), 9043-9052. [2] Metzler, R., Jeon, J. H., & Cherstvy, A. G. (2016). Non-Brownian diffusion in lipid membranes: Experiments and simulations. Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Biomembranes, 1858(10), 2451-2467. [3] Metzler, R., & Klafter, J. (2004). The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(31), R161. [4] Metzler, R., & Klafter, J. (2000). The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Physics reports, 339(1), 1-77. [5] Chechkin, A. V., Gorenflo, R., & Sokolov, I. M. (2005). Fractional diffusion in inhomogeneous media. Journal of Physics A: Mathematical and General, 38(42), L679. [6] Tarasov, V. E. (Ed.). (2019). Handbook of fractional calculus with applications (Vol. 5). Berlin: de Gruyter. [7] Diethelm, K. (1997). An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order. Electronic transactions on numerical analysis, 5(1), 1-6. [8] Zhang, H., Liu, F., Phanikumar, M. S., & Meerschaert, M. M. (2013). A novel numerical method for the time variable fractional order mobile–immobile advection–dispersion model. Computers & Mathematics with Applications, 66(5), 693-701. [9] Chen, C. M., Liu, F., Anh, V., & Turner, I. (2010). Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equation. SIAM Journal on Scientific Computing, 32(4), 1740-1760. [10] Zeng, F., Zhang, Z., & Karniadakis, G. E. (2015). A generalized spectral collocation method with tunable accuracy for variable-order fractional differential equations. SIAM Journal on Scientific Computing, 37(6), A2710-A2732. [11] Hulianytskyi, A. (2020). Weak solvability of the variable-order subdiffusion equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 23(3), 920-934. Numerical solution of variable-order subdiffusion equation in a multidimensional space Kostiantyn Tokar Subdiffusion equation in a bounded domain of a multidimensional Euclidian space is considered. The equation contains a fractional Riemann-Liouville time derivative, with order that depends on space, and is under the Laplace operator, that corresponds to the equation, obtained from the process of continuous-time random walk. A transformation of this equation to a subdiffusion equation with homogeneous initial condition, that contains a fractional Caputo derivative, is suggested. Since for each fixed time moment a subdiffusion equation turns into a well-studied elliptic partial differential equation, finite difference time approximation of transformed subdiffusion equation is built. Theorem about stability and convergence of the half-discretized (discretized in time, continuous in space) scheme in quadratic norm is given for a sufficiently smooth solution. Отримано 31.03.23
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-320
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:10:20Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/15/460345349e9af830980938490be15f15.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3202025-02-21T17:31:10Z Numerical solution of variable-order subdiffusion equation in a multidimensional space Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі Tokar, Kostiantyn рівняння дробових порядків; субдифузія; скінченно- різницеві схеми; L1 метод Subdiffusion equation in a bounded domain of a multidimensional Euclidian space is considered.&nbsp;The equation contains a fractional Riemann-Liouville time derivative, with order that depends on&nbsp;space, and is under the Laplace operator, that corresponds to the equation, obtained from the&nbsp;process of continuous-time random walk. A transformation of this equation to a subdiffusion&nbsp;equation with homogeneous initial condition, that contains a fractional Caputo derivative, is&nbsp;suggested. Since for each fixed time moment a subdiffusion equation turns into a well-studied&nbsp;elliptic partial differential equation, finite difference time approximation of transformed&nbsp;subdiffusion equation is built. Theorem about stability and convergence of the half-discretized&nbsp;(discretized in time, continuous in space) scheme in quadratic norm is given for a sufficiently&nbsp;smooth solution. Розглядається рівняння субдифузії в обмеженій області багатовимірного евклідового&nbsp;простору. Рівняння містить дробову похідну Рімана-Ліувілля за часом, порядок якої&nbsp;залежить від просторової змінної, та яка знаходиться під оператором Лапласа, що&nbsp;відповідає рівнянню, виведеного з процесу випадкових блукань з неперервним часом.&nbsp;Запропоновано зведення цього рівняння до рівняння субдифузії з однорідною початковою&nbsp;умовою, що містить дробову похідну Капуто. Оскільки в кожен фіксований момент часу&nbsp;рівняння субдифузії являє собою добре досліджене диференціальне рівняння еліптичного&nbsp;типу, будується скінченно-різницева апроксимація за часом перетвореного рівняння&nbsp;субдифузії. Наводиться твердження про стійкість та збіжність напівдискретизованої&nbsp;(дискретної за часом, неперервної за простором) схеми в квадратичній нормі для&nbsp;достатньо гладкого розв’язку. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-06-29 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/320 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 133-137 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 37 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 133-137 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.37 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/320/288 Авторське право (c) 2023 Костянтин Токар (Автор)
spellingShingle	рівняння дробових порядків субдифузія скінченно- різницеві схеми L1 метод Tokar, Kostiantyn Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title	Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title_alt	Numerical solution of variable-order subdiffusion equation in a multidimensional space
title_full	Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title_fullStr	Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title_full_unstemmed	Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title_short	Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
title_sort	чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі
topic	рівняння дробових порядків субдифузія скінченно- різницеві схеми L1 метод
topic_facet	рівняння дробових порядків субдифузія скінченно- різницеві схеми L1 метод
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/320
work_keys_str_mv	AT tokarkostiantyn numericalsolutionofvariableordersubdiffusionequationinamultidimensionalspace AT tokarkostiantyn čiselʹnerozvâzannârívnânnâsubdifuzíízmínnogoporâdkuvbagatovimírnomuprostorí

Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного порядку в багатовимірному просторі

Репозитарії

Схожі ресурси