Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури

An approximate system of two-dimensional heat conduction equations for a multilayer isotropic plate is written down. Boundary conditions for a rectangular plate of finite dimensions are formulated. A general solution of the non-stationary heat conduction problem for this plate was found using integr...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2023
Автори:	Мусій, Роман, Жидик, Уляна, Бандирський, Богдан, М’яус, Ольга
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Теми:	тришарова пластина,ізотропні матеріали температурне поле металокераміка.
Онлайн доступ:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/336
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479702673817600
author	Мусій, Роман Жидик, Уляна Бандирський, Богдан М’яус, Ольга
author_facet	Мусій, Роман Жидик, Уляна Бандирський, Богдан М’яус, Ольга
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Роман Мусій", "institution": null }, { "author": "Уляна Жидик", "institution": null }, { "author": "Богдан Бандирський", "institution": null }, { "author": "Ольга М’яус", "institution": null } ]
author_sort	Мусій, Роман
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2024-10-19T19:01:15Z
description	An approximate system of two-dimensional heat conduction equations for a multilayer isotropic plate is written down. Boundary conditions for a rectangular plate of finite dimensions are formulated. A general solution of the non-stationary heat conduction problem for this plate was found using integral Fourier transforms in spatial variables and Laplace transform in time.On the basis of the obtained general solutions, the solution of the thermal conductivity problem for a three-layer plate, which at the initial moment of time is heated by a temperature field linear in its thickness, which is uniformly distributed over the surface of the plate in a rectangular region, was analyzed. The numerical analysis of the temperature field was performed for a three-layer plate, the middle layer of which is made of metal, and the outer layers are made of ceramics.
doi_str_mv	10.15407/fmmit2023.38.030
first_indexed	2026-06-09T01:10:28Z
format	Article
fulltext	30 УДК 539.3 DOI10.15407/fmmit2023.38.030 Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури Роман Мусій1, Уляна Жидик2, Богдан Бандирський3, Ольга М’яус4 1 д. ф.-м. н., професор, Національний університет «Львівська політехніка», вул. Ст. Бандери, 12, 79013, Львів, email: roman.s.musii@lpnu.ua 2 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. Ст. Бандери, 12, 79013, Львів, email: uliana.v.zhydyk@lpnu.ua 3 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. Ст. Бандери, 12, 79013, Львів, email: bohdan.y.bandyrskyi@lpnu.ua 4 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. Ст. Бандери, 12, 79013, Львів, email: olga.m.miaus@lpnu.ua Записано наближену систему двовимірних рівнянь теплопровідності для багатошарової ізотропної пластини.Сформульовано крайові умови для пластини скінчених розмірів прямокутної форми. Знайдено загальний розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності для даної пластини звикористанням інтегральних перетворень Фур’є за просторовими змінними та перетворення Лапласа за часом. На основі отриманих загальних розв’язків проаналізовано розв’язок задачі теплопровідності для тришарової пластини, що в початковий момент часу нагрівається лінійним за її товщиною температурним полем, яке рівномірно розподілене по поверхні пластини у прямокутній області. Числовий аналіз температурного поля виконано для тришарової пластини, середній шар якої виготовлений з металу, а зовнішні шари –з кераміки. Ключові слова:тришарова пластина,ізотропні матеріали, температурне поле, металокераміка. Вступ.У сучасних технічних пристроях широко використовують тонкостінні елементи конструкцій, виготовлені з неоднорідних композитних матеріалів [1–4 ]. До неоднорідних матеріалів, зокрема, належать функціонально- градієнтні [5, 6], які володіють неперервною неоднорідністю та композити шаруватої структури [7–10]. В сучасних технологіях багатошаровість використовують для захисту від агресивного середовища, теплоізоляції, інтенсифікації передачі тепла, тощо. Для розрахунку теплових режимів тонкостінних елементів з неоднорідних матеріалівнеобхіднапобудова відповіднихмоделей та розробка методів для розв’язування відповідних задач теплопровідності зокрема для аналізу температурних полів. Тому формулювання і розробка методів розв’язування задач теплопровідності для неоднорідних тонкостінних елементів конструкцій є актуальною науково-технічною задачею. По аналогії з задачею теорії пружності доцільно звести тривимірну задачу теплопровідності до відповідної двовимірної, яка є значно простішою для розрахунків температури. З літератури відомо, що таке зведення можна виконати різними методами: усередненнямпо товщині багатошарового тіла [8–10], mailto:roman.s.musii@lpnu.ua mailto:bohdan.y.bandyrskyi@lpnu.ua ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 30-40 31 операторним [11], варіаційним [12] тощо.Детальніший огляд моделей і методів дослідження температурних полів в тонкостінних елементах конструкцій, зокрема, наведено в працях [9, 13,14 ]. В данійстатті побудована двовимірна математична модель теплопровідності тонкостінних ізотропних неоднорідних пластин. На її основі проаналізовано температурне поле у тришаровій пластині, зумовлене початковим розподілом температури у прямокутній області поверхонь пластини. 1. Формулювання математичної моделі теплопровідності ізотропних пластин неоднорідної структури. Розглянемо тонку прямокутну в плані пластину сталої товщини 2h , яка нагрівається внутрішніми джерелами тепла та обмінюється теплом з навколишнім середовищем за законом Ньютона. Точки пластини належать до прямокутної Декартової системи координат zyx ,, і займають по довжині пластини область  a,0 , по ширині – область  b,0 , по товщині – область  hh, . Матеріал пластини ізотропний і неоднорідний за її товщиною. Температурне поле  ,,, zyxt в пластині описується тривимірним рівнянням теплопровідності, якепісля спрощення з точністю, що відповідає тонкостінним елементам конструкцій [2,11], має вигляд 0)()()(                tvt w t zc z t z z tz . (1) Для знаходження розв’язку рівняння (1) необхідно задати в момент часу 0 початкову умову 00 tt  (2) і одну з трьох крайових умов )(stt  , st q n t     ,   0    c sst tt n t на поверхні S , що обмежуєпластину.Тут )(z – коефіцієнт теплопровідності; )(zcv – питома об’ємна теплоємність; s – коефіцієнт тепловіддачі на поверхні S ;  – оператор Лапласа; tw – густина теплових джерел; c st – температура довкілля;  – змінна часу; n – зовнішня нормаль до поверхні S . Використовуючи відому гіпотезу Кірхгофа-Лява для тонкостінних конструкцій, зведемо сформульовану просторову задачу теплопровідності до відповідної двовимірної задачі. Для цього приймемо гіпотезу про лінійний характер розподілу температури по товщині пластини ),,(),,(),,,( 21  yxT h z yxTzyxt . (3) Введемо інтегральні характеристики температури Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури 32      h h i ii dzzzyxt h i yxT 1),,,( 2 12 ),,( , )2,1( i . (4) Зінтегровуючи рівняння (1) відповідно до виразу (4) отримуємо таку систему двовимірних рівнянь: 11 21 222111 fW T B T ATTBTTA tcctt         , 22 21 21222121 fW T D T BTT h A TDTTB tcctt          , (5) на інтегральні характеристики температури. Тут        h h dzhzhzzDBA 2)(,,1)(,, ;       h h v ccc dzhzhzzcDBA 2)(,,1)(,, ;    h h i t t i dzhzwW 1)( ; 21, ff – функції, що залежать від крайових умов на поверхнях hz  . Зокрема, для умов другого роду ці функції будуть:   qqf i i )1( , а для умов третього роду мають вигляд t i zt i z i ttf  321 . Тут:    it i )1( ;     z i z z i ttt 1 2 1 )2,1( i ;  zt ,  zt – температури середовищ, що оточують поверхні hz  і hz  ;   , – коефіцієнти тепловіддачі з цих поверхонь;  qq , – теплові потоки на них. Для однозначності розв’язку до системи рівнянь (5) додаємо відповідні граничні умови: на краях 0x і ax  задаємо вирази x T dTd    1 110 і x T dTd    2 322 ; на краях 0y і by  – вирази y T dTd    1 514 і y T dTd    2 726 , ( constid , 7;0i ), а також задаємо на інтегральні характеристики температури 1T і 2T початкові умови в момент часу  =0. Система рівнянь (5) разом з крайовими і початковими умовами на інтегральні характеристики температури 1T і 2T формулює двовимірну крайову задачу теорії теплопровідності для тонкостінних неоднорідних ізотропних пластин. Неоднорідні конструкції можуть бути різних типів залежно від способу вираження теплофізичних властивостей матеріалу через товщинну координату z ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 30-40 33 .У випадку, якщо ця залежність описується неперервною функцією, наприклад, степеневою     k mcm h z qqqzq        2 1 2 , (6) то такі матеріали належать до функціонально-градієнтних. Тут k – параметр неоднорідності;  cq , – властивості неоднорідного матеріалу;  ccc cq , і  mmm cq , – властивості компонент такого матеріалу. В даному випадку інтегральні характеристики виразів  cq AAA , ,  cq BBB , ,  cq DDD , мають вигляд   1 2    k kqqh A mcq ,     21 2    kk qqhk B mcq ,         3213 83232 22    kkk kkkqkkqh D mcq . Іншим типом неоднорідних конструкцій є шаруваті. Для них залежність властивостей від координати z виражається кусково-однорідною функцією [2]         1 1 11)( N j jjj zzSqqqzq . (7) Тут  )()( , jj j cq  – теплофізичні властивості j -го шару; jz – координата границі розділу j -го і 1j -го шарів;          0,0 0,1 )( z z zS ; N – кількість шарів. Таким чином, вирази для інтегральних характеристик властивостей матеріалу визначаємо за формулами   )(2 1 1 11 j N j jj q zhqqqhA      ,   )( 2 1 22 1 1 1 j N j jj q zhqq h B      ,   )( 3 1 3 2 33 1 1 121 j N j jj q zhqq h q h D      . Шаруваті конструкції можуть мати різну структуру залежно від товщини та кількості шарів і їх розміщення відносно середньої поверхні. Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури 34 2. Методика розв’язування двовимірної задачі теплопровідності. Розглянемо випадок, коли краї пластини підтримуються при нульовій температурі, а в початковий момент часу 0 заданий розподіл температури. Тоді на інтегральні характеристики температури 1T і 2T маємо такі крайові умови: на краях 0x та ax  – 021  TT , (8) на краях 0x та bx  – 021  TT . (9) Відповідно в момент часу 0 початкові умови на характеристики температури 1T і 2T запишуться: ),()0,,( 0 11 yxTyxT  ;  yxTyxT ,)0,,( 0 22  . (10) Застосуємо до системи рівнянь (5) скінчені інтегральні перетворення Фур’є за змінними x та y . За врахування крайових умов (8), (9) отримуємо за часовою змінною  для коефіцієнтів Фур’є nmnm TT 21 , інтегральних характеристик температури 1T і 2T таку систему рівнянь nmnmnm nmnm fTGTG d dT C d dT C 121 2 2 1 1 21     , nmnmnm nmnm fTGTG d dT C d dT C 221 2 3 1 2 43     . (11) Тут   1 22 1 Bi1  mnG ;   2 22 2 Bi32  mnGG ;   11 22 3 Bi4  mnG ; a mh m   ; b nh n   ;    20 0 hcv ; 02   ht i iBi , )2,1( i ;       DBA h ,, 2 1 ,, 0 321 ;    ccc v DBA hc CCC ,, 2 1 ,, 0321  . nmnm ff 21 , – коефіцієнти Фур’є для функцій  ,,1 yxf і  ,,2 yxf температурних навантажень. Відповідно функції  ,,1 yxf і  ,,2 yxf мають вигляд:         ttzz fyxQ h Wttyxf 11 0 122111 , 2 ,, BiBi ,         ttzz fyxQ h Wttyxf 22 0 221122 , 2 ,, BiBi . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 30-40 35 Вирази  yxQ ,1 ,  yxQ ,2 – функції, що описують розподіл температурного навантаження залежно від поверхневих координат x , y . Функції  tf1 і  tf2 описують часові залежності температурних навантажень. Застосовуючи до системи рівнянь (11) інтегральне перетворення Лапласа за часом ' з врахуванням початкових умов (10), записуємо загальні вирази дляінтегральних характеристик 1T і 2T температури                    1 1 222113 2 1 1 24 11 n m inmiinmi ji ji ZQGpCZQGpC ppC T       b ny a mx eTGpCTGpC ip nminmi    sinsin2 ~ 4 0 2 0 3 ,                    1 1 112221 2 1 2 31 11 n m inmiinmi ji ji ZQGpCZQGpC ppC T       b ny a mx eTGpCTGpC ip nminmi    sinsin ~ 31 0 2 0 1 . (12) Тут: 1p і 2p – корені квадратного рівняння  2 1 3 24 1 3 2 1 4 2 3 0C p C G C G C G G p G G G G          ;   2 1 3 2C C C C   ; 0 0 0 1 1 2 2nm nm nmT C T C T  ; 0 0 0 2 1 3 2nm nm nmT C T C T  ;           0 dvevfZ vpt jji i . Вирази jnmjnm QT ,0 мають вигляд         a b jjjnmjnm dydx b ny a mx yxQT ab QT 0 0 00 sinsin,, 4 , ,  2,1, ij (13) За отриманимивиразами (12) інтегральних характеристик 1T і 2T температури з врахуванням подання (13) тривимірне температурне поле  ,,, zyxt в пластині знаходимо за формулою (3). 3. Температурне поле тришарової пластини нерегулярної несиметричної структури. Розглянемо тришарову пластину нерегулярної несиметричної структури. Нехай для неї теплофізичні властивості таких шарів дорівнюють  )()( , jj j cq  ,  3,2,1j . Відповідно 21,hh і 3h –товщини нижнього, середнього і верхнього Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури 36 шарів, причому hhhh 2321  . Тоді для виразів інтегральних характеристик функцій, що описують теплофізичні властивості таких шарів маємо такі формули:                3 3 2 31 1 1 2 q h h q h hh q h h hAq ,                                                            3 2 3 2 2 3 2 1 1 2 1 111111 2 q h h q h h h h q h hh Bq ,                                                            3 3 3 2 3 3 3 1 1 3 1 111111 3 q h h q h h h h q h hh Dq . Нехай в початковий момент часу 0 пластина нагрівається лінійним за товщиною температурним полем, яке рівномірно розподілене на поверхні пластини у прямокутній області   22d . Між поверхнями hz  і довкіллям відбувається конвективний теплообмін за законом Ньютона. Умови теплообміну на поверхнях hz  однакові: z  , 0  zz tt , а джерела тепла відсутні. За таких умов вираз температурного поля в початковий момент часу 0 має вигляд )()(1)0,,,(0 yNxN h z tzyxt         . (14) Тут      )()( 00 dxxSdxxSxN   ;      )()( 00   yySyySyN ; )(xS – асиметричні одиничні функції [2]; d2 і 2 – розміри області нагріву;  00 , yx – координати центра цієї області; const* t . Коефіцієнти Фур’є 0 1mnT і 0 2mnT для інтегральних характеристик 1T і 2T температури знаходимо із співвідношень (13) b n a md b ny a mx mn t TT mnmn    sinsinsinsin 16 00 2 * 0 2 0 1 . 4. Числовий аналіз Проаналізовано температурне поле тришарової пластини, за матеріали шарів якої вибрано метал і кераміку [1]. Лицеві шари пластини виготовлені з металу, що має ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 30-40 37 такі теплофізичні характеристики: mKW1.18)1(  ; KmJcv 36)1( 1056.3  . Середній шар виготовлений з кераміки. Її теплофізичні характеристики рівні: mKW036.2)2(  ; KmJcv 36)2( 1045.3  . Значення інших параметрів такі: 2;2 00 byax  ; 25.0;25.0  bad ; )1(0)1( 0 ; vv cc  . Для заданої структури тришарової пластини обчислено значення безрозмірної температури   t t t на зовнішній поверхні hz  в центрі нагрітої області для різних значень геометричних і теплофізичних параметрів. Рис. 1 ілюструє зміну температури t уздовж координати axx  від середини нагрітої області до краю пластини в різні моменти часу 2;1;5.0;05.0;01.0 для значення критерію Біо 0.5=Bi . На рис. 2 показано зміну температури t за часом ' для різних значень безрозмірного коефіцієнта тепловіддачі 21;0.5;0.1;=Bi . Значення інших параметрів прийняті такими: 025.0;1;1 12  ahhhba . 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.4 0.8 1.2 1.6 t x  0.05 0.5 1 2 Рис.1. Рис.2. Зміна температури t уздовж координати axx  в різні моменти часу ' Зміна температури t за часом ' для різних значень критерію Біо Bi . Встановлено, що в початкові моменти часу ' температура є сталою в області нагріву, а поза нею різко спадає до нуля. З плином часу ' внаслідок тепловіддачі температура зменшується і вирівнюється в усій області пластини. Спадання температури відбувається інтенсивніше зі збільшенням коефіцієнта тепловіддачі. 0 1 2 0 0.4 0.8 1.2 1.6  t Bi=0.1 1 0.5 2 Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури 38 Залежність температури t від розмірів пластини (параметра ba / ) для різних значень відношення товщин шарів 8;4;1;0/ 12 hh і 025.0ah показано на рис. 3. Рис. 4 ілюструє зміну температури залежно від матеріалу зовнішніх шарів (параметра відношення коефіцієнтів теплопровідності )2()1( / ) длярізних значень параметра товщини пластини 075.0;05.0;025.0;02.0/ ah і 112 hh , 1ba . Рис. 3. Рис.4 Залежність температури t від параметра ba / для різних значень відношення товщин шарів 12 hh Зміна температур t залежно від від ношення коефіцієнтів тепло про відності )2()1( / для різних значень параметра ah Інші значення параметрів на рис. 3, 4 вибрано такими: 0.5=Bi , 5.0 . Встановлено, що найбільшого значення для квадратної пластини температура досягає в області нагріву. В заданий момент часу зі зменшенням товщини середнього керамічного шару температура пластини зменшується. Зі збільшенням теплопровідності зовнішніх металевих шарів температура пластини спадає. Таким чином, чим більша товщина пластини, тим більша інтенсивність спадання її температури. На основі виявлених закономірностей можна зробити висновок, що підборомвідповідних розмірів пластини, матеріалів її складових шарів та співвідношення їх товщин можнадосягти заданої температури розглядуваної тришарової пластини. Висновки.Використовуючи наближення Кірхгофа, для неоднорідних по товщині ізотропних пластин виведено лінійні двовимірні рівняння теплопровідності за умов конвективного теплообміну між зовнішніми поверхнями пластини і довкіллям. З використанням скінченого подвійного перетворення Фур’є за 0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 t a/ b h2/ h1=8 4 1 0 0 20 40 60 80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t     h a = 0.02 0.025 0.05 0.075 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 30-40 39 поверхневими координатами та інтегрального перетворення Лапласа за часом побудовано розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності для прямокутної пластини скінченнихрозмірів за умови її нагрівання заданою в початковий момент часу температурою. Числовий аналіз температурного поля виконано для тришарової пластини нерегулярної структури, зовнішні шари якої виготовлені з металу, а внутрішній шар з кераміки. Досліджено вплив геометричних та теплофізичних параметрів на величину температурного поля на зовнішній поверхні. Результати досліджень можуть бути використані для оцінки температурних полів в композитних пластинах шаруватої структури та в пластинах з односторонніми та двосторонніми покриттями. Література [1] EncyclopediaofThermalStresses/R. Hetnarski (ed.). – Springer, 2014.– Vol. 11. P. 5835-6643. [2] Коляно Ю.М.Методи теплопровідності та термопружності неоднорідних тіл. – К.: Наук. думка, 1992. – 280 с. [3] Varelis D., Saravanos D.A. A coupled nonlinear plate finite element for thermal buckling and postbuckling of piezoelectric composite plates including thermomechanical effects // J. Thermal Stresses. – 2022. – 45, №1. – P. 30–50. [4] ЖидикУ.В.,ФлячокВ.М. Термопружнийаналізнеоднорідниханізотропнихпластин // Науковінотатки. Луцьк: ЛНТУ. – 2011. Вип. 33. – С. 281-287. [5] Manthena V.R., Kedar G.D. On thermoelastic problem of a thermosensitive functionally graded rectangular plate with instantaneous point heat source // J. Thermal Stresses. – 2019. – 42, №7. – P. 849–862. [6] Ohmichi M., Noda N., Sumi N. Plane heat conduction problems in functionally graded orthotropic materials // J. Thermal Stresses. – 2017. – 40, № 6. – P. 747–764. [7] Brishetto S., Carrera E., Heat conduction and thermal analysis in multilayered plates and shells // J. Mech. Res. Commun. –2011. – 38, № 6. – P. 449–455. [8] Флячок В. М. Рівняння нестаціонарних температурних полів для багатошарових анізотропних оболонок з урахуванням теплової інерції . Доп. НАУ. Сер. Механіка. 2000.№ 2. С. 60–63. [9] Shvets R.M.,Flyachok V.M., Heat conduction equations for multilayer anisotropic shells// J. Therm. Stresses. – 1999. – 22, № 2.– P. 241–254. [10] Жидик У.В., Флячок В.М. Температурні поля в пологих оболонках шаруватої структури // Квалілогія книги. – 2017. – № 1 (31). – С. 94–97. [11] Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. – К.: Наук. думка, 1978. – 344 с. [12] FlyachokV.M.Variational theorem for the dynamical problem of coupled mechanothermodiffusion in inhomogeneous anisotropic shells with distortions // JournalofMathematicalSciences. –2016.– Vol.215, № 1.– P. 79-88 . [13] Thai H.T., Kim S.E. A review of theories for the modeling and analysis of functionally graded plates and shells // Compos. Struct. – 2015. – 128, №1. – P. 70-86. [14] Swaminathan K., Sangeetha D.M. Thermal analysis of FGM plates – a critical review of various modeling techniques and solution methods // Composite Structures. – 2017. – 160, №1. – P. 43- 60. DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD IN A THREE-LAYER ISOTROPIC PLATE WITH A GIVEN INITIAL TEMPERATURE DISTRIBUTION https://www.tandfonline.com/author/Ohmichi%2C+Manabu https://www.tandfonline.com/author/Noda%2C+Naotake https://www.tandfonline.com/author/Sumi%2C+Naobumi Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури 40 Roman Musii, Uliana Zhydyk, Bohdan Bandyrskyi An approximate system of two-dimensional heat conduction equations for a multilayer isotropic plate is written down. Boundary conditions for a rectangular plate of finite dimensions are formulated. A general solution of the non-stationary heat conduction problem for this plate was found using integral Fourier transforms in spatial variables and Laplace transform in time.On the basis of the obtained general solutions, the solution of the thermal conductivity problem for a three-layer plate, which at the initial moment of time is heated by a temperature field linear in its thickness, which is uniformly distributed over the surface of the plate in a rectangular region, was analyzed. The numerical analysis of the temperature field was performed for a three-layer plate, the middle layer of which is made of metal, and the outer layers are made of ceramics. Keywords: moving tank, liquid with a free surface, Faraday's problem, parametric oscillations, parametric resonance, regions of stability. Отримано: 27.10.2023 р.
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-336
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:10:28Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/13/6cdba0e0a815548988c73d33e9143113.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3362024-10-19T19:01:15Z DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD IN A THREE-LAYER ISOTROPIC PLATE WITH A GIVEN INITIAL TEMPERATURE DISTRIBUTION Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури Мусій, Роман Жидик, Уляна Бандирський, Богдан М’яус, Ольга тришарова пластина,ізотропні матеріали, температурне поле, металокераміка. укр An approximate system of two-dimensional heat conduction equations for a multilayer isotropic plate is written down. Boundary conditions for a rectangular plate of finite dimensions are formulated. A general solution of the non-stationary heat conduction problem for this plate was found using integral Fourier transforms in spatial variables and Laplace transform in time.On the basis of the obtained general solutions, the solution of the thermal conductivity problem for a three-layer plate, which at the initial moment of time is heated by a temperature field linear in its thickness, which is uniformly distributed over the surface of the plate in a rectangular region, was analyzed. The numerical analysis of the temperature field was performed for a three-layer plate, the middle layer of which is made of metal, and the outer layers are made of ceramics. Записано наближену систему двовимірних рівнянь теплопровідності для багатошарової ізотропної пластини.Сформульовано крайові умови для пластини скінчених розмірів прямокутної форми. Знайдено загальний розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності для даної пластини звикористанням інтегральних перетворень Фур’є за просторовими змінними та перетворення Лапласа за часом. На основі отриманих загальних розв’язків проаналізовано розв’язок задачі теплопровідності для тришарової пластини, що в початковий момент часу нагрівається лінійним за її товщиною температурним полем, яке рівномірно розподілене по поверхні пластини у прямокутній області. Числовий аналіз температурного поля виконано для тришарової пластини, середній шар якої виготовлений з металу, а зовнішні шари –з кераміки. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-12-24 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/336 10.15407/fmmit2023.38.030 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 38 (2023): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 30-40 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 38 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 30-40 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.38 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/336/296 Авторське право (c) 2023 Роман Мусій, Уляна Жидик, Богдан Бандирський, Ольга М’яус (Автор)
spellingShingle	тришарова пластина,ізотропні матеріали температурне поле металокераміка. Мусій, Роман Жидик, Уляна Бандирський, Богдан М’яус, Ольга Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title	Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title_alt	DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD IN A THREE-LAYER ISOTROPIC PLATE WITH A GIVEN INITIAL TEMPERATURE DISTRIBUTION
title_full	Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title_fullStr	Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title_full_unstemmed	Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title_short	Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
title_sort	визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури
topic	тришарова пластина,ізотропні матеріали температурне поле металокераміка.
topic_facet	тришарова пластина,ізотропні матеріали температурне поле металокераміка. укр
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/336
work_keys_str_mv	AT musíjroman determinationandanalysisofthetemperaturefieldinathreelayerisotropicplatewithagiveninitialtemperaturedistribution AT židikulâna determinationandanalysisofthetemperaturefieldinathreelayerisotropicplatewithagiveninitialtemperaturedistribution AT bandirsʹkijbogdan determinationandanalysisofthetemperaturefieldinathreelayerisotropicplatewithagiveninitialtemperaturedistribution AT mâusolʹga determinationandanalysisofthetemperaturefieldinathreelayerisotropicplatewithagiveninitialtemperaturedistribution AT musíjroman viznačennâtaanalíztemperaturnogopolâutrišarovíjplastiníízzadanimpočatkovimrozpodílomtemperaturi AT židikulâna viznačennâtaanalíztemperaturnogopolâutrišarovíjplastiníízzadanimpočatkovimrozpodílomtemperaturi AT bandirsʹkijbogdan viznačennâtaanalíztemperaturnogopolâutrišarovíjplastiníízzadanimpočatkovimrozpodílomtemperaturi AT mâusolʹga viznačennâtaanalíztemperaturnogopolâutrišarovíjplastiníízzadanimpočatkovimrozpodílomtemperaturi

Визначення та аналіз температурного поля у тришаровій пластині із заданим початковим розподілом температури

Репозитарії

Схожі ресурси