Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів
On the basis of the model problem, a comparative analysis of the use of the spectral method in the basis of orthogonal polynomials for calculating the derivatives of fractional orders of Caputo and Riemann-Liouville was carried out. The rate of convergence of the approximation was analyzed
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/344 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479710706958336 |
|---|---|
| author | П’янило, Ярослав Собко, Валентина П’янило, Галина Торський, Адріан |
| author_facet | П’янило, Ярослав Собко, Валентина П’янило, Галина Торський, Адріан |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ярослав П’янило",
"institution": null
},
{
"author": "Валентина Собко",
"institution": null
},
{
"author": "Галина П’янило",
"institution": null
},
{
"author": "Адріан Торський",
"institution": null
}
] |
| author_sort | П’янило, Ярослав |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-10-19T19:01:15Z |
| description | On the basis of the model problem, a comparative analysis of the use of the spectral method in the basis of orthogonal polynomials for calculating the derivatives of fractional orders of Caputo and Riemann-Liouville was carried out. The rate of convergence of the approximation was analyzed |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2023.38.128 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:10:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
128
УДК 539.3
DOI 10.15407/fmmit2023.38.128
Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових
порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних
многочленів
Ярослав П´янило1,2, Валентина Собко1, Галина П´янило1, Адріан Торський1
1 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів, Україна
2. Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013,
На базі модельної задачі проведено порівняльний аналіз використання спектрального методу в
базисі ортогональних многочленів обчислення похідних дробових порядків Капуто та Рімана-
Ліувіля. Проаналізовано швидкість збіжності апроксимації.
Ключові слова: похідних дробових порядків, біортогональні многочлени,
апроксимація функцій, числовий аналіз.
Вступ. Дробові похідні все більше застосовуються в побудові математичних
моделей різного роду процесів. Застосування похідних дробового порядку
дозволяють в процесі моделювання враховувати або пам´ять процесу, або фрактальну
структуру середовища, в якому моделюються процеси. Незважаючи на значну
кількість робіт за тематикою досліджень похідних дробових порядків, питанням
застосовності певного виду похідної та дослідженню стійкості та швидкості
обчислювальних процесів присвячена незначна кількість робіт. З аналізу наявних
робіт стосовно застосуванню похідних дробових порядків випливає, що найбільш
застосовними є похідні дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля. Питанням якого
виду похідні дробових доцільно використовувати для моделювання процесів
мачслпереносу ще є невивченими.
Відомо, що для розв´язування крайових задач широкого застосування набули
спектральні методи в ортогональних та біортогональних базисах. Сумування рядів в
цих базисах є класичною некоректною задачею. Регуляризація задач такого типу
шляхом побудови регуляризуючого параметру не завжди можливе та ефективне.
Одним із методів є так звана неявна регуляризація, яка полягає в тому, що
використовуються такі базиси або їх узагальнення, які дають необхідний результат
при малих значеннях часткових сум відповідних рядів [1-3].
Метою роботи є дослідження застосування біортогональних розкладів для
обчислення дробових похідних в термінах Капуто та Рімана-Ліувіля стосовно
точності та швидкості збіжності.
Визначення дробових похідних.
Ярослав П´янило, Валентина Собко, Галина П´янило, Адріан Торський Порівняльний аналіз
апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних
многочленів
129
У літературі введено декілька видів дробових похідних та інтегралів. Найбільш
вживаними є дробові похідні в термінах Капуто та Рімана-Ліувіля. Оператор дробової
похідної у термінах Капуто визначається так [4-6]:
с𝐷𝜏
𝛼 =
𝑐𝜕𝛼
𝜕𝜏𝛼 𝜑(𝜏): =
1
𝛤(𝑚+1−𝛼)
∫
(
𝜕𝑚+1
𝜕𝜉𝑚+1𝜑(𝜉))
(𝜏−𝜉)𝛼−𝑚 𝑑𝜉
𝜏
0
, (1)
де 𝑚 = [𝛼], . . . , [⋅]— ціла частина дійсного числа, а в термінах Ріммана-Ліувіля —
𝐷𝑡
𝛼 =
𝜕𝛼
𝜕𝑡𝛼 𝜑(𝑡): =
1
𝛤(𝑚+1−𝛼)
𝜕𝑚+1
𝜕𝜉𝑚+1 ∫
𝜑(𝜉)
(𝑡−𝜉)𝛼−𝑚 𝑑𝜉
𝑡
0
. (2)
Біортогональні многочлени, побудовані на базі многочленів Чебишева визначаються
наступним чином.
Твердження. Многочлени 𝜑𝑖(𝑥), 𝜑̅𝑖(𝑥) та 𝜓𝑖(𝑥), 𝜓̅𝑖(𝑥), 𝑖 = 1. . 𝑛 утворюють
біортогональні системи функцій з вагою 𝜔(𝑥) = (1 − 𝑥2)−1 2⁄
на проміжку [−1,1].
Поліноми 𝜑𝑖(𝑥) та 𝜑̅𝑖(𝑥) такі, що ∫ 𝜑𝑖(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
= 0 та ∫ 𝜔(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
= 0. Поліноми
𝜓𝑖(𝑥) та 𝜓̅𝑖(𝑥) володіють властивостями 𝜓𝑖(−1) = 𝜓𝑖(1) = 0, 𝜓̅𝑖(−1) = 𝜓̅𝑖(1) = 0.
Справедливими є наступні рівності
∫ 𝜔(𝑥)𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑗(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
= {
0, 𝑖 ≠ 𝑗,
𝜎𝑖 , 𝑖 = 𝑗,
та ∫ 𝜔(𝑥)𝜓𝑖(𝑥)𝜓̅𝑗𝑑𝑥
1
−1
= {
0, 𝑖 ≠ 𝑗,
−𝜆𝑖𝜎𝑖 , 𝑖 = 𝑗.
Причому,
𝜓(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑥1)𝑑𝑥1
𝑥
−1
та 𝜓(𝑥) = −√1 − 𝑥2 ∫ 𝜑̅(𝑥1) √1 − 𝑥1
2⁄ 𝑑𝑥1
𝑥
−1
.
Отримані результати. Аналіз розв´язків задач газогідродинаміки показує, що досить
часто їх скаловими є функції виду xf x x e
, де , , - деякі числа. У зв’язку з
тим для апробації виберемо функцію
𝐹(𝑋) = √𝑋𝑒−0.5√𝑋, (3)
де
𝑑𝐹(𝑋)
𝑑𝑋
=
𝑒−0.5√𝑋
2√𝑋
−
1
4
𝑒−0.5√𝑋. (4)
Знайдемо дробову похідну у термінах Капуто, яка обчислюється за формулою
(1). У разі 𝛼 = 1 дробова похідна Капуто переходить у звичайну похідну (4).
Оскільки, дробову похідну ми будемо шукати, викорисовуючи біортогональні
многочлени, побудовані на базі многочленів Чебишова, які є ортогональними на
проміжку [−1,1], а дробова похідна Капуто розглядається на проміжку [0, 𝜏], то
шляхом лінійної заміни перейдемо до проміжку ортогональності [−1,1].
𝑋 =
(𝑥+1)𝜏
2
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝐹(𝑋) = 𝐹 (
(𝑥+1)𝜏
2
) = 𝑓(𝑥),
𝑑𝑥
𝑑𝑋
=
2
𝜏
,
𝑑𝐹(𝑋)
𝑑𝑋
=
2
𝜏
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
.
Дістанемо для 𝑚 = 0,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 38, 128-134
130
с𝐷𝜏
𝛼 =
𝑐𝜕𝛼
𝜕𝜏𝛼 𝜑(𝜏): =
1
𝛤(1−𝛼)
(
𝜏
2
)
(1−𝛼)
∫
2
𝜏
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
√1−𝑥2
√1−𝑥2
(1−𝑥)𝛼 𝑑𝑥
1
−1
. (5)
У формулі (5), введемо позначення
𝑁(𝑥, 𝜏) =
2
𝜏
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
та 𝑉(𝑥) =
√1−𝑥2
(1−𝑥)𝛼.
Функцію 𝑉(𝑥) =
√1−𝑥2
(1−𝑥)𝛼 розкладемо в ряд по поліномах 𝜑𝑖̅(𝑥),
де
∫
𝜑𝑖̅̅̅̅ (𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = 0
1
−1
.
Отже,
𝑣0 =
1
𝜋
∫
𝑉(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
,
𝑣𝑖 =
∫
𝑉(𝑥)−𝑣0
√1−𝑥2
𝜑𝑖(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
∫
𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
⁄ , 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ .
Дістанемо,
𝑉(𝑥) = 𝑣0 + ∑ 𝑣𝑖𝜑𝑖̅(𝑥)𝑛
𝑖=1 (6)
Функцію 𝑁(𝑥, 𝜏) =
2
𝜏
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
розкладемо в ряд по поліномах 𝜑𝑖(𝑥),
де
∫ 𝜑𝑖(𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
−1
.
Отже,
𝑛0 =
1
2
∫ 𝑁(𝑥, 𝜏)𝑑𝑥
1
−1
,
𝑛𝑖 =
∫
𝑁(𝑥,𝜏)−𝑛0
√1−𝑥2
𝜑𝑖̅(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
∫
𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
⁄ , 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ .
Дістанемо,
𝑁(𝑥, 𝜏) = 𝑛0 + ∑ 𝑛𝑖𝜑𝑖(𝑥)𝑛
𝑖=1 . (7)
Оскільки, функції 𝜑𝑖(𝑥) та 𝜑𝑖̅(𝑥) є біортогональними, то
∫
𝑉(𝑥)𝑁(𝑥,𝜏)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝜋
∫
𝑉(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1 ∫
𝑁(𝑥,𝜏)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
1
−1
+ (8)
+ ∑ 𝑛𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
∫
𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
Отриманий результат (8) підставимо у (5) і дістанемо значення дробової похідної.
Обчислювальний експеримент Обчислення для функції (3) здійснюються за
допомогою квадратур Гауса із 32 – вузлами. Результати обчислень подані на рис.1.
Ярослав П´янило, Валентина Собко, Галина П´янило, Адріан Торський Порівняльний аналіз
апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних
многочленів
131
Рис.1. Точне значення похідної Капуто та значення, обчислені на базі
біортогональних многочленів для різних значень порядку та кількості доданків.
Знайдемо дробову похідну функції (3) у термінах Рімана-Ліувіля, яка
обчислюється за формулою (2). У разі 𝛼 = 1 дробова похідна Капуто переходить у
звичайну похідну (4).
Якщо функція 𝐹(𝑋) така, що 𝐹(0) =0, то дробова похідна Рімана-Ліувіля
співпадає з похідною Капуто.
Оскільки, дробову похідну ми будемо шукати, викоритовуючи біортогональні
многочлени, побудовані на базі многочленів Чебишова, які є ортогональними на
проміжку [−1,1], а дробова похідна Рімана-Ліувіля розглядається на проміжку [0, 𝜏],
то шляхом лінійної заміни перейдемо до проміжку ортогональності [−1,1].
Дістанемо для 𝑚 = 0,
𝐷𝜏
𝛼 =
𝑐𝜕𝛼
𝜕𝜏𝛼 𝜑(𝜏): =
1
𝛤(1−𝛼)
(
𝜏
2
)
(1−𝛼)
∫
𝑓(𝑥,𝜏)
√1−𝑥2
√1−𝑥2
(1−𝑥)𝛼 𝑑𝑥
1
−1
. (9)
У формулі (9), введемо позначення
𝑁(𝑥, 𝜏) = 𝑓(𝑥, 𝜏) та 𝑉(𝑥) =
√1−𝑥2
(1−𝑥)𝛼.
Як і у випадку знаходження похідної Капуто, для похідної Рімана-Ліувіля дістанемо,
𝑉(𝑥) = 𝑣0 + ∑ 𝑣𝑖𝜑𝑖̅(𝑥)𝑛
𝑖=1 (10)
Функцію 𝑁(𝑥, 𝜏) = 𝑓(𝑥, 𝜏) розкладемо в ряд по поліномах 𝜑𝑖(𝑥),
де
∫ 𝜑𝑖(𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
−1
.
Отже,
𝑛0 =
1
2
∫ 𝑁(𝑥, 𝜏)𝑑𝑥
1
−1
,
𝑛𝑖 =
∫
𝑁(𝑥,𝜏)−𝑛0
√1−𝑥2
𝜑𝑖̅(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
∫
𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
⁄ , 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ .
Дістанемо,
𝑁(𝑥, 𝜏) = 𝑛0 + ∑ 𝑛𝑖𝜑𝑖(𝑥)𝑛
𝑖=1 . (11)
0
10
20
30
40
Зн
ач
ен
н
я
р
о
зв
’я
зк
у
Безрозмірні координати по часу
Для 𝜶=𝟎,𝟗𝟗 порядку дробової похідної
Caputo
n=4
n=12
n=20
n=30
0
2
4
6
8
Зн
ач
е
н
н
я
р
о
зв
’я
зк
у
Безрозмірні координати по часу
Для 𝜶=𝟎,𝟖 порядку дробової похідної
Caputo
n=4
n=12
n=20
n=30
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 38, 128-134
132
Оскільки, функції 𝜑𝑖(𝑥) та 𝜑𝑖̅(𝑥) є біортогональними, то
∫
𝑉(𝑥)𝑁(𝑥,𝜏)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝜋
∫
𝑉(𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1 ∫
𝑁(𝑥,𝜏)
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
1
−1
+ (12)
+ ∑ 𝑛𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
∫
𝜑𝑖(𝑥)𝜑̅𝑖(𝑥)
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
Отриманий результат (12) підставимо у (9) та, продиференціюємо по 𝜏 і дістанемо
значення дробової похідної.
Обчислювальний експеримент для порівняння дробових похідних проводився для тих
самих параметрів, що і раніше. Результати обчислень подані в таблицях.
Таблиця 1.
Значення розв’язку поставленої задачі для 𝜶 = 𝟎, 𝟗𝟗 порядку дробової похідної
від безрозмірних часу для різних значень 𝒏 .
𝑡\𝑛
Rimana
-Liuvilj
Rimana-Liuvilj
Caputo
Caputo
n = 2 n = 6 n = 20 n = 8 n = 20 n = 30
0,001 14,581 14,237 14,529 14,577 14,577 28,266 19,754 15,213
0,005 6,373 6,216 6,349 6,371 6,371 12,592 8,724 6,660
0,01 4,406 4,294 4,389 4,404 4,404 8,834 6,080 4,610
0,05 1,763 1,713 1,756 1,763 1,763 3,776 2,524 1,856
0,1 1,138 1,102 1,133 1,138 1,138 2,571 1,680 1,204
0,5 0,330 0,314 0,327 0,330 0,330 0,981 0,576 0,360
0,9 0,180 0,168 0,178 0,180 0,180 0,668 0,364 0,202
1,0 0,159 0,148 0,157 0,158 0,158 0,622 0,334 0,180
Таблиця 2.
Значення розв’язку поставленої задачі для 𝜶 = 𝟎, 𝟖 порядку дробової похідної
від безрозмірних часу для різних значень 𝒏 .
𝑡\𝑛
Rimana
-Liuvilj
Rimana-Liuvilj
Caputo
Caputo
n = 2 n = 6 n = 14 n = 8 n = 20 n = 30
0,001 5,288 5,231 5,282 5,287 5,264 6,311 5,549 5,307
0,005 3,162 3,127 3,158 3,161 3,147 3,793 3,323 3,174
0,01 2,508 2,480 2,505 2,508 2,497 3,021 2,639 2,518
0,05 1,399 1,382 1,398 1,399 1,392 1,716 1,480 1,405
0,1 1,053 1,039 1,051 1,053 1,047 1,310 1,118 1,058
0,5 0,464 0,456 0,463 0,464 0,461 0,623 0,505 0,467
0,9 0,312 0,305 0,311 0,312 0,309 0,445 0,346 0,315
1,0 0,288 0,282 0,288 0,288 0,285 0,417 0,321 0,291
Ярослав П´янило, Валентина Собко, Галина П´янило, Адріан Торський Порівняльний аналіз
апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних
многочленів
133
Таблиця 3.
Значення дробової похідної CAPUTO та RIMANA-LIUVILJ для різних
значень порядку дробової похідної від безрозмірних часу.
𝑡\𝛼
𝑑𝑓
𝑑𝑡
CAPUTO RIMANA-LIUVILJ
0,99 0,90 0,80 0,70 0,99 0,90 0,80 0,70
0,001 15,317 14,577 9,149 5,264 2,943 14,581 9,171 5,288 2,961
0,002 10,689 10,245 6,853 4,231 2,537 10,248 6,870 4,250 2,553
0,003 8,639 8,315 5,775 3,716 2,322 8,317 5,789 3,733 2,337
0,004 7,417 7,161 5,108 3,386 2,179 7,163 5,121 3,401 2,192
0,005 6,584 6,371 4,641 3,147 2,072 6,373 4,653 3,162 2,085
0,006 5,969 5,787 4,288 2,964 1,988 5,789 4,300 2,977 2,001
0,007 5,492 5,333 4,010 2,816 1,919 5,334 4,020 2,829 1,931
0,008 5,107 4,966 3,781 2,692 1,860 4,967 3,791 2,705 1,872
0,009 4,789 4,662 3,590 2,588 1,810 4,663 3,599 2,600 1,821
0,01 4,518 4,404 3,426 2,497 1,765 4,406 3,435 2,508 1,777
0,02 3,061 3,007 2,501 1,961 1,490 3,008 2,508 1,970 1,500
0,03 2,418 2,386 2,066 1,691 1,342 2,387 2,071 1,700 1,351
0,04 2,036 2,015 1,796 1,518 1,241 2,016 1,802 1,526 1,250
0,05 1,776 1,763 1,608 1,392 1,166 1,763 1,612 1,399 1,175
0,06 1,585 1,576 1,465 1,295 1,107 1,577 1,470 1,302 1,115
0,07 1,437 1,432 1,353 1,217 1,057 1,432 1,357 1,223 1,065
0,08 1,318 1,315 1,261 1,151 1,015 1,316 1,265 1,157 1,023
0,09 1,219 1,219 1,184 1,095 0,979 1,219 1,187 1,101 0,986
0,1 1,136 1,138 1,117 1,047 0,947 1,138 1,121 1,053 0,954
0,2 0,694 0,701 0,747 0,761 0,745 0,702 0,750 0,766 0,752
0,3 0,504 0,513 0,576 0,618 0,636 0,513 0,578 0,622 0,641
0,4 0,394 0,403 0,471 0,526 0,561 0,403 0,473 0,530 0,567
0,5 0,321 0,330 0,399 0,461 0,506 0,330 0,401 0,464 0,511
0,6 0,268 0,277 0,345 0,410 0,462 0,277 0,347 0,414 0,467
0,7 0,229 0,237 0,304 0,370 0,426 0,237 0,306 0,373 0,431
0,8 0,198 0,205 0,270 0,337 0,396 0,205 0,272 0,340 0,401
0,9 0,172 0,180 0,243 0,309 0,370 0,180 0,244 0,312 0,374
1,0 0,152 0,158 0,220 0,285 0,347 0,159 0,221 0,288 0,351
Висновки. Результати обчислень показують, що біортогональні многочлени
дають кращу швидкість збіжності для похідної дробового порядку Рімана-Ліувіля.
Таким чиниом в тому випадку, коли немає критерію вибору дробової похідної і
виникають значні труднощі при їх обчисленні, доцільно використовувати похідну
дробового порядку Рімана-Ліувіля.
ЛІТЕРАТУРА
1. П’янило Я.Д. Використання інтегральних перетворень Якобі та Чебишева–
Лагерра для розв’язування інтегральних рівнянь // Доп. НАН України – 1998. –
№ 8. – С. 41–46.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип. 38, 128-134
134
2. Я.Д.П’янило Проекційно-ітераційні методи розв’язування прямих та
обернених задач переносу. – Львів: Сплайн, 2011.-248 с.
3. Ярослав П’янило, Марія Васюник, Іван Васюник Використання многочленів
Лагерра до спектрального методу розв'язування рівнянь у дробових похідних
за часом // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. –
2013. – Вип.17. – С. 163-167
4. N. B. Lopuh and Ya. D. Pyanylo Numerical analysis of models with fractional
derivatives for gas filtration in porous media //J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. 2,
15-19 (2014).
5. Pyanylo Ya., Bratash O., Pyanylo H. Solving of differential equations systems in the
presence of fractional derivatives using the orthogonal polynomials. // Mathematical
modeling and computing. – 2017. − Volume 4, Number 1. – pp. 87−95.
6. Ya. Pyanylo, V. Sobko, O. Bratash The mass transfer research in complex porous
media and pipelines by spectral methods MMC. 2017; Volume 4, Number 2 pp. 187-
196
Comparative analysis of the approximation of derivatives of Caputo
and Riemann-Liouville fractional orders in the bases of biorthogonal
polynomials
Yaroslav Pyanylo, Valentina Sobko, Halyna Pyanylo, Adrian Torskyi
On the basis of the model problem, a comparative analysis of the use of the spectral
method in the basis of orthogonal polynomials for calculating the derivatives of fractional
orders of Caputo and Riemann-Liouville was carried out. The rate of convergence of the
approximation was analyzed.
Keywords: derivatives of fractional orders, biorthogonal polynomials, approximation
of functions, numerical analysis.
Отримано: 04.12.2023.
http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/ya-pyanylo
http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/o-bratash
http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/g-pyanylo
http://science.lpnu.ua/mmc/all-volumes-and-issues/volume-4-number-1-2017
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/ya-pyanylo&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhhAXobGAuY3yaxYCp3NwOG3cazTMw
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/ya-pyanylo&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhhAXobGAuY3yaxYCp3NwOG3cazTMw
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/v-sobko&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhjkbGDRfZO2GWFH12E48lwq0cE0LQ
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/all-authors-journals/o-bratash&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhg0II7oy8AWi5LUEWno3t1vMUkjZw
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/mmc&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhiu1N62py5L0BxXPmBUy_6U_vE45w
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?anno=2&depth=1&hl=uk&rurl=translate.google.com&sl=en&sp=nmt4&tl=uk&u=http://science.lpnu.ua/mmc/all-volumes-and-issues/volume-4-number-2-2017&xid=17259,15700022,15700124,15700149,15700186,15700191,15700201,15700214&usg=ALkJrhjAdrGX62aBtCFBjsChBAj1EgrVMg
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-344 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:10:36Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/11/32aa3974437010417e0daffa0e819011.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3442024-10-19T19:01:15Z Comparative analysis of the approximation of derivatives of Caputo and Riemann-Liouville fractional orders in the bases of biorthogonal polynomials Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів П’янило, Ярослав Собко, Валентина П’янило, Галина Торський, Адріан похідних дробових порядків, біортогональні многочлени, апроксимація функцій, числовий аналіз. укр On the basis of the model problem, a comparative analysis of the use of the spectral method in the basis of orthogonal polynomials for calculating the derivatives of fractional orders of Caputo and Riemann-Liouville was carried out. The rate of convergence of the approximation was analyzed На базі модельної задачі проведено порівняльний аналіз використання спектрального методу в базисі ортогональних многочленів обчислення похідних др Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-12-25 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/344 10.15407/fmmit2023.38.128 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 38 (2023): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 128-134 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 38 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 128-134 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.38 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/344/304 Авторське право (c) 2023 Ярослав П’янило, Валентина Собко, Галина П’янило, Адріан Торський (Автор) |
| spellingShingle | похідних дробових порядків біортогональні многочлени апроксимація функцій числовий аналіз. П’янило, Ярослав Собко, Валентина П’янило, Галина Торський, Адріан Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title | Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title_alt | Comparative analysis of the approximation of derivatives of Caputo and Riemann-Liouville fractional orders in the bases of biorthogonal polynomials |
| title_full | Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title_fullStr | Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title_full_unstemmed | Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title_short | Порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків Капуто та Рімана-Ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| title_sort | порівняльний аналіз апроксимації похідних дробових порядків капуто та рімана-ліувіля в базисах біортогональних многочленів |
| topic | похідних дробових порядків біортогональні многочлени апроксимація функцій числовий аналіз. |
| topic_facet | похідних дробових порядків біортогональні многочлени апроксимація функцій числовий аналіз. укр |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/344 |
| work_keys_str_mv | AT pâniloâroslav comparativeanalysisoftheapproximationofderivativesofcaputoandriemannliouvillefractionalordersinthebasesofbiorthogonalpolynomials AT sobkovalentina comparativeanalysisoftheapproximationofderivativesofcaputoandriemannliouvillefractionalordersinthebasesofbiorthogonalpolynomials AT pânilogalina comparativeanalysisoftheapproximationofderivativesofcaputoandriemannliouvillefractionalordersinthebasesofbiorthogonalpolynomials AT torsʹkijadrían comparativeanalysisoftheapproximationofderivativesofcaputoandriemannliouvillefractionalordersinthebasesofbiorthogonalpolynomials AT pâniloâroslav porívnâlʹnijanalízaproksimacíípohídnihdrobovihporâdkívkaputotarímanalíuvílâvbazisahbíortogonalʹnihmnogočlenív AT sobkovalentina porívnâlʹnijanalízaproksimacíípohídnihdrobovihporâdkívkaputotarímanalíuvílâvbazisahbíortogonalʹnihmnogočlenív AT pânilogalina porívnâlʹnijanalízaproksimacíípohídnihdrobovihporâdkívkaputotarímanalíuvílâvbazisahbíortogonalʹnihmnogočlenív AT torsʹkijadrían porívnâlʹnijanalízaproksimacíípohídnihdrobovihporâdkívkaputotarímanalíuvílâvbazisahbíortogonalʹnihmnogočlenív |