Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів
The paper creates such an algorithm that represents cubic irrationality using the sum of two periodic branched chain fractions. The unity and convergence of these fractions are proved. It is logically assumed that the irrationalities of higher orders are directly related to the order of the algebrai...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/345 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Physico-mathematical modeling and informational technologies| _version_ | 1867479710852710400 |
|---|---|
| author | Фис, Михайло Демків, Ігор Пелех, Ярослав |
| author_facet | Фис, Михайло Демків, Ігор Пелех, Ярослав |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Михайло Фис",
"institution": null
},
{
"author": "Ігор Демків",
"institution": null
},
{
"author": "Ярослав Пелех",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Фис, Михайло |
| baseUrl_str | http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-10-19T19:01:15Z |
| description | The paper creates such an algorithm that represents cubic irrationality using the sum of two periodic branched chain fractions. The unity and convergence of these fractions are proved. It is logically assumed that the irrationalities of higher orders are directly related to the order of the algebraic equation. However, it is difficult to propose such a simple procedure for constructing the corresponding irreducible equation for the simple reason that there are no closed formulas for roots higher than degree four. And the existing formulas for the 3rd and 4th orders are not very suitable for constructing an equation that corresponds to the given irrationality. Therefore, in the future, we will propose a simple way of constructing the corresponding irreducible equation and perform the necessary research on its basis. |
| doi_str_mv | 10.15407/fmmit2023.38.135 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:10:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
135
УДК 511.4
DOI10.15407/fmmit2023.38.135
Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми
двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів.
Михайло Фис1, Ігор Демків2, Ярослав Пелех3
1д-р техн. наук, професор, Національнийуніверситет ”Львівськаполітехніка”, вул. С. Бандери, 12, м. Львів, 79013,
Україна, e-mail: mykhailo.m.fys@lpnu.ua
2д-р. фіз.-мат. наук, професор, Національнийуніверситет ”Львівськаполітехніка”, вул. С. Бандери, 12, м. Львів,
79013, Україна, e-mail: ihor.i.demkiv@lpnu.ua
3канд. фіз.-мат. наук, доцент, Національнийуніверситет ”Львівськаполітехніка”, вул. С. Бандери, 12, м. Львів, 79013,
Україна, e-mail: yaroslav.m.pelekh@lpnu.ua
У роботі створюється такий алгоритм, що представляє кубічну ірраціональність за
допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів.Доводиться єдиність та
збіжність цихдробів. Логічно допускається, що ірраціональності вищих порядків безпосередньо
пов’язані з порядком алгебраїчного рівняння. Однак такої простої процедури побудови
відповідного незвідного рівняння важко запропонувати по тій простій причині, що не існує
замкнутих формул для коренів вище ступеня чотири. Та і існуючі для 3, 4 порядків формули є
малопридатні для побудови рівняння, що відповідає заданій ірраціональності. Тому в
подальшому запропонуємо простий спосіб побудови відповідного незвідного рівняння та на його
основі виконаємо необхідні дослідження.
Ключові слова:неперервний ланцюговий дріб, алгебраїчна ірраціональність,
періодичний гіллястий ланцюговий дріб, кубічна ірраціональність.
Вступ. Згідно [1] першим відомим використанням неперервних дробів є
наближення для √13 = 3 +
4
6+
4
6+⋱
, яке дав Р. Бомбеллі в 1572 р. Це частковий
випадок формули
√𝑎2 + 𝑏 = 𝑎 +
𝑏
2𝑎+
𝑏
2𝑎+⋱
. (1)
Другий частковий випадок (1) дослідив П. Каталді в 1613 р. для
√18 = 4 +
2
8+
2
8+⋯
.
Нагадаємо, що неперервний ланцюговий дріб має вигляд
𝐷 = 𝑏0 +
𝑎1
𝑏1+
𝑎2
𝑏2+
⋱
+
𝑎𝑛
𝑏𝑛+
⋱
,
а скінчений (n – підхідний) дріб
𝐷𝑛 =
𝑃𝑛
𝑄𝑛
= 𝑏0 +
𝑎1
𝑏1+
𝑎2
𝑏2+
⋱
+
𝑎𝑛
𝑏𝑛
, 𝐷0 = 𝑏0.
Для зручності ці дроби можна записати в одній з наступних форм
mailto:mykhailo.m.fys@lpnu.ua
mailto:ihor.i.demkiv@lpnu.ua
mailto:yaroslav.m.pelekh@lpnu.ua
Михайло Фис, Ігор Демків, Ярослав Пелех
Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих
ланцюгових дробів.
136
𝐷𝑛 =
𝑃𝑛
𝑄𝑛
= 𝑏0 +
𝑎1
𝑏1
+
𝑎2
𝑏2
+ ⋯ +
𝑎𝑛
𝑏𝑛
.
Якщо для квадратичної ірраціональності 𝑧 = √𝑝 , 𝑝 ∈ 𝑁практично вирішене
питання її зображення ланцюговими дробами, то для вищих степенів воно
залишалося відкритим. Тут доречно привести витяг з короткої монографії О.Я
Хінчіна[2, стор. 65, 1961 р.]: «Цікаво, відзначити, що до цього часу невідомо
розкладання в ланцюговий дріб жодного числа ступеня вище 2….Взагалі, питання,
пов'язані з розкладанням алгебраїчних чисел вище другого ступеня в ланцюгові
дроби, виключно важкі і майже не вивчені».
Застосування апарату гіллястих ланцюгових дробів до проблеми алгебраїчних
ірраціональностей дало позитивний результат [3].
Означення 1. Число α називається алгебраїчною ірраціональністю степеняn,
якщо воно задовольняє незвідне алгебраїчне рівняння степеняn.
Означення 2. Гіллястий ланцюговий дріб називається періодичним, якщо
починаючи з якогось його поверху усі компоненти періодично повторюються.
Зрозуміло, що якщо періодичний гіллястий ланцюговий дріб є одночасно і
збіжним, то величина α цього дробу є коренем алгебраїчного рівняння досить
високого степеню [3].
Теорема 1 [4], [5]. Будь-яка дійсна алгебраїчна ірраціональність
розкладається в періодичний гіллястий ланцюговий дріб вигляду
𝑏0 +
𝑎01
𝑏1+
𝑎11
𝑏1+
𝑎11
𝑏1+
⋱
+⋯+
𝑎1𝑘
𝑏𝑘+
⋱
+⋯+
𝑎1𝑘
𝑏𝑘+
𝑎𝑘1
𝑏1+
⋱
+⋯+
𝑎𝑘𝑘
𝑏𝑘+
⋱
, (2)
де 𝑏0 = [𝛼] −найбільша ціла частина числа 𝛼; 𝑏𝑗, 𝑎𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) −цілі числа;
𝑘 + 1 = 𝑛 –степінь ірраціональності.
”Питання збіжності являє собою цікаву і важливу математичну задачу, яка ще
не розв’язана”[3, стор. 46].
1. Зображення квадратичної ірраціональності ланцюговими дробами.
Спочатку розглянемо квадратичну ірраціональність 𝑧 = √𝑝 , 𝑝 ∈ 𝑁.
Зокрема, приймемо 𝑝 = 𝑎2
2 + 𝑎3. Цезавждиможназробити, наприклад,𝑎2 =
1, 𝑎3 = 𝑝 − 1. Тоді квадратичну ірраціональність можна пов’язати з квадратним
рівнянням:
𝑢2 − 2𝑎2𝑢 − 𝑎3 = 0 . (3)
Якщо маємо два раціональних корені 𝑢та 𝑢̿рівняння (3), тоді ірраціональність
√𝑝рівна одному з нихмінус 𝑎2, наприклад, √𝑝 = 𝑢 − 𝑎2.
У іншому випадку розв’язування рівняння (2) можна звести до обчислення
виразу
𝑧 = 2𝑎2 +
𝑎3
𝑧
(4)
ланцюговим дробом. У праву частину (4) будемо повторно підставляти значення 𝑧,
що приводить до ланцюгового дробу [3]:
𝑧 = 2𝑎2 +
𝑎3
2𝑎2+
𝑎3
2𝑎2+
𝑎3
2𝑎2+
⋱
(5)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип.38, 135-140
137
Перетворимо ланцюговий дріб (5) в еквівалентний за алгоритмом, що
описаний в [3, стор.7].
Маємо
𝑧 = 2𝑎2 +
1
2𝑎2
𝑎3
+
1
2𝑎2+
1
2𝑎2
𝑎3
+
⋱
(6)
При обчисленнях треба підбирати числа 𝑎2, 𝑎3 так щоб ланцюговий дріб (6)
був збіжним. За теоремою 1.2 (Зейделя) [див. 3, с.10], ланцюговий дріб (6) з
додатними компонентами (𝑎2, 𝑎3 > 0) буде збіжним,бо ряд ∑ 2𝑎2 (1 +
1
𝑎3
)∞
𝑘=1 є
розбіжним.
Його обчислення зручно виконувати за допомогою рекурентних формул
наступного вигляду: 𝑧𝑛+1 = 2𝑎2 +
𝑎3
𝑧𝑛
, 𝑧0 = 2𝑎2.
Приклад 1.Розкласти √3 у ланцюговий дріб.
Випадок 1. Маємо √3 = √1 + 2, 𝑎2 = 1, 𝑎3 = 2, √3 = −1 + 𝑧̃, тоді
√3 = 1 +
2
2 +
2
2+
2
2+⋯
.
Випадок 2. Цей дріб можна одержати іншим способом. Квадратичну
ірраціональність можна пов’язати з іншим квадратним рівнянням, наприклад: 𝑢2 =
3. Тоді маємо 𝑢 = 1 +
2
1+𝑢
, або
𝑢 = 1 +
2
2+
2
2+
2
2+⋯
.
Одержали той самий дріб.
2. Постановка задачі
На основі розглянутого вище матеріалу поставимо наступне завдання.
Створити такий алгоритм, що представляє кубічну ірраціональність за допомогою
гіллястих ланцюгових дробів, довести єдиність та збіжність цього дробу.
Логічно допустити, що ірраціональності вищих порядків безпосередньо
пов’язані з порядком алгебраїчного рівняння. Однак такої простої процедури
побудови відповідного незвідного рівняння важко запропонувати по тій простій
причині, що не існує замкнутих формул для коренів вище ступеня чотири. Та і
існуючі для 3, 4 порядків формули є малопридатні для побудови рівняння, що
відповідає заданій ірраціональності. Тому в подальшому запропонуємо простий
спосіб побудови відповідного незвідного рівняння та на його основі виконаємо
необхідні дослідження.
3. Зображення кубічної ірраціональності ланцюговими дробами.
Детально проаналізуємо подану методику для кубічної ірраціональності, тобто
опишемо алгоритм для знаходження 𝑧 = √𝑝3 , 𝑝 ∈ 𝑁.
Михайло Фис, Ігор Демків, Ярослав Пелех
Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих
ланцюгових дробів.
138
Зробимо заміну змінної: 𝑧 =∝ +𝑎,де 𝑎 = −1, −2, … , −[√𝑝3 ], [ √𝑝3 ] – найбільша
ціла частина. Піднімемо до кубу:
∝3+ 3 ∝2 a + 3 ∝ a2 + a3 = p
Звідкиодержимо рекурентні формули
∝= −3𝑎 −
3a2
∝
+
p−a3
∝2 = 𝑎1 +
a2
∝
+
a3
β
. (6)
Помножимо (6) на ∝.
β =∝2= −3𝑎 (−3𝑎 −
3a2
∝
+
p − a3
∝2
) − 3a2 +
p − a3
∝
=
= 6a2 +
8a3+𝑝
∝
+
3𝑎(a3−p)
∝2 = 𝑏1 +
𝑏2
∝
+
𝑏3
β
. (7)
Підставляючи повторно (6), (7) в (6) одержимо суму двох ланцюгових дробів з
двома розгалуженнями. Покажемо дріб з чотирма поверхами
𝑧 = −2𝑎 +
+
a2
𝑎1+
a2
𝑎1+
a2
𝑎1+
a2
∝
+
a3
β
+
a3
𝑏1+
𝑏2
∝
+
𝑏3
β
+
a3
𝑏1+
𝑏2
𝑎1+
a2
∝
+
a3
β
+
𝑏3
𝑏1+
𝑏2
∝
+
𝑏3
β
+ (8)
+
a3
𝑏1+
𝑏2
𝑎1+
a2
𝑎1+
a2
∝
+
a3
β
+
a3
𝑏1+
𝑏2
∝
+
𝑏3
β
+
𝑏3
𝑏1+
𝑏2
𝑎1+
a2
∝
+
a3
β
+
𝑏3
𝑏1+
𝑏2
∝
+
𝑏3
β
.
З побудови випливає, що при конкретно вибраному 𝑎 представлення кубічної
ірраціональності (8) є єдиним.
Приклад.Розкласти √2
3
у ланцюговий дріб. √2
3
=-1+∝, 𝑝 = 2, 𝑎 = −1.
√2
3
=-1+∝= 2 +
−
3
3+
−3
3+
−3
3+
−3
∝
+
3
β
+
3
6+
−6
∝
+
9
β
+
3
6+
−6
3+
−3
∝
+
3
β
+
9
6+
−6
∝
+
9
β
+
+
3
6+
−6
3+
3
3+
−3
∝
+
3
β
+
3
6+
−6
∝
+
𝑏3
β
+
9
6+
−6
3+
−3
∝
+
3
β
+
9
6+
−6
∝
+
9
β
.
Маємо √2
3
= 1,25992104991038.
Виникає питання збіжності ланцюгового дробу, отриманого за формулами
(6),(7). Для цього можна скористатись ознаками збіжності гіллястого ланцюгового
дробу. Ми, однак, застосуємо інший підхід, який базується на ітераційному методі.
Його суть полягає в наступному: обчислення ланцюгового дробу(як простого, так і
гіллястого) здійснюється знизу до верху. Тому періодичний ланцюговий дріб можна
розглядати, як ітераційний процес. Тобто, маючи деяке початкове значення
підстановкою шукаємо за формулою нове, повторно за ним наступне тощо до
досягнення потрібної точності Тобто обчислення можна подати таким чином:
∝𝑚+1= −3𝑎 −
3a2
∝𝑚
+
p−a3
β𝑚
, ∝0= −3𝑎, (9)
β𝑚 =∝𝑚
2= 6a2 +
8a3+𝑝
∝𝑚
−
3𝑎(p−a3)
∝𝑚
2 , 𝑚 = 0,1 … . (10)
Дослідимо поведінку функції 𝑓(∝).
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2023, вип.38, 135-140
139
Маємо 𝑓(∝) = −3𝑎 −
3a2
∝
+
p−a3
β
. Розглянемо випадок 𝑎 < 0, тоді 𝑝 − a3 > 0,
∝> |𝑎|, 𝑓′(∝) =
1
∝2
(3a2 +
(p−a3)(8a3+𝑝−
3𝑎(p−a3)
∝
)
β2
).
Очевидно, що|𝑓′(∝)| < 1. Одержали наступну теорему.
Теорема 2. Кубічну ірраціональність можна представити сумою двох
ланцюгових дробів з двома розгалуженнями вигляду (8). При цьому а може
приймати одне із наступних значень 𝑎 = −1, −2, … , −[√𝑝3 ], [√𝑝3 ] – найбільша ціла
частина числа [√𝑝3 ]. При фіксованому а розклад єдиний та збіжний.
Приклад 2.
А) обчислити 𝑧 = √27
3
А А=-1 А=-2 А=-3 А=-7
Z 2,9999999999 3,0000000000 3,0000000000 3,50000000024513
Б) обчислити 𝑧 = √75
3
А А=-1 А=-2 А=-3 А=-4 А=-10
Z 4,217163326
49005
4,217163326
50018
4,217163326
52317
4,217163326
52973
5,000000000
22512
Висновк. Поданий алгоритм дає можливість представляти ірраціональність
третього порядку з застосуванням гіллястих ланцюгових дробів, а їх обчислення з
використанням рекурентних співвідношень дозволяє виконувати їх з довільною
наперед заданою точністю.
Література.
[1] Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическаятеория и приложения. Пер. С англ. —
М.; Мир, 1985. — 414 с.
[2] Хинчин А.Я. Цепные дроби. — М.; Наука, 1961, — 112 с.
[3] Боднарчук П.І., Скоробогатько В.Я. Гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування. — К.: Наукова
думка, 1974, — 271 c.
[4] Пасічняк Ф.О. Розклад алгебраїчних ірраціональностей будь-якого степеня в гіллясті ланцюгові
дроби. — В кн. Тези доповідей п’ятої наукової конференції молодих математиків України. Інститут
математики АН УРСР, К., 1970.
[5] Пасічняк Ф.О. Розклад кубічної алгебраїчних ірраціональності в гіллясті ланцюгові дроби. —
ДАН УРСР, 1971, 6, 511.
Михайло Фис, Ігор Демків, Ярослав Пелех
Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих
ланцюгових дробів.
140
Representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranche
dchainfractions
Mykhailo Fys, IhorDemkiv, Yaroslav Pelekh
The paper creates such an algorithm that represents cubic irrationality using the sum
of two periodic branched chain fractions. The unity and convergence of these
fractions are proved. It is logically assumed that the irrationalities of higher orders
are directly related to the order of the algebraic equation. However, it is difficult to
propose such a simple procedure for constructing the corresponding irreducible
equation for the simple reason that there are no closed formulas for roots higher than
degree four. And the existing formulas for the 3rd and 4th orders are not very
suitable for constructing an equation that corresponds to the given irrationality.
Therefore, in the future, we will propose a simple way of constructing the
corresponding irreducible equation and perform the necessary research on its basis.
Keywords: continuous chain fraction, algebraic irrationality, periodic branched
chain fraction, cubic irrationality.
Отримано: 11.12.2023
|
| id | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-345 |
| institution | Physico-mathematical modeling and informational technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:10:36Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwfmmitlvivua/ee/e7ab3d9519253305a6424a502c1992ee.pdf |
| spelling | oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3452024-10-19T19:01:15Z Representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranche dchainfractions Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів Фис, Михайло Демків, Ігор Пелех, Ярослав неперервний ланцюговий дріб, алгебраїчна ірраціональність, періодичний гіллястий ланцюговий дріб, кубічна ірраціональність. укр The paper creates such an algorithm that represents cubic irrationality using the sum of two periodic branched chain fractions. The unity and convergence of these fractions are proved. It is logically assumed that the irrationalities of higher orders are directly related to the order of the algebraic equation. However, it is difficult to propose such a simple procedure for constructing the corresponding irreducible equation for the simple reason that there are no closed formulas for roots higher than degree four. And the existing formulas for the 3rd and 4th orders are not very suitable for constructing an equation that corresponds to the given irrationality. Therefore, in the future, we will propose a simple way of constructing the corresponding irreducible equation and perform the necessary research on its basis. У роботі створюється такий алгоритм, що представляє кубічну ірраціональність за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів.Доводиться єдиність та збіжність цихдробів. Логічно допускається, що ірраціональності вищих порядків безпосередньо пов’язані з порядком алгебраїчного рівняння. Однак такої простої процедури побудови відповідного незвідного рівняння важко запропонувати по тій простій причині, що не існує замкнутих формул для коренів вище ступеня чотири. Та і існуючі для 3, 4 порядків формули є малопридатні для побудови рівняння, що відповідає заданій ірраціональності. Тому в подальшому запропонуємо простий спосіб побудови відповідного незвідного рівняння та на його основі виконаємо необхідні дослідження Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-12-25 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/345 10.15407/fmmit2023.38.135 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 38 (2023): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 135-140 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 38 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 135-140 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.38 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/345/305 Авторське право (c) 2023 Михайло Фис, Ігор Демків, Ярослав Пелех (Автор) |
| spellingShingle | неперервний ланцюговий дріб алгебраїчна ірраціональність періодичний гіллястий ланцюговий дріб кубічна ірраціональність. Фис, Михайло Демків, Ігор Пелех, Ярослав Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title | Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title_alt | Representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranche dchainfractions |
| title_full | Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title_fullStr | Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title_full_unstemmed | Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title_short | Представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| title_sort | представлення кубічної ірраціональності за допомогою суми двох періодичних гіллястих ланцюгових дробів |
| topic | неперервний ланцюговий дріб алгебраїчна ірраціональність періодичний гіллястий ланцюговий дріб кубічна ірраціональність. |
| topic_facet | неперервний ланцюговий дріб алгебраїчна ірраціональність періодичний гіллястий ланцюговий дріб кубічна ірраціональність. укр |
| url | https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/345 |
| work_keys_str_mv | AT fismihajlo representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranchedchainfractions AT demkívígor representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranchedchainfractions AT pelehâroslav representationofcubicirrationalityusingthesumoftwoperiodicbranchedchainfractions AT fismihajlo predstavlennâkubíčnoíírracíonalʹnostízadopomogoûsumidvohperíodičnihgíllâstihlancûgovihdrobív AT demkívígor predstavlennâkubíčnoíírracíonalʹnostízadopomogoûsumidvohperíodičnihgíllâstihlancûgovihdrobív AT pelehâroslav predstavlennâkubíčnoíírracíonalʹnostízadopomogoûsumidvohperíodičnihgíllâstihlancûgovihdrobív |